周波数伝達関数とボード線図

第7週目：周波数伝達関数とボード線図
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周波数伝達関数
ボード線図
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今週の授業の目的
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今週の大きな目的
周波数伝達関数，ボード線図について学ぶ．周波数伝達関
数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力を求め
ることができる．ボード線図は制御系を設計する際に利用す
る．今週の授業内容は，制御系の応答を確認する際や制御
系を設計する際に重要なものである．
 周波数伝達関数を学ぶ
 ボード線図の概念を学ぶ
 積分要素のボード線図を学ぶ
 微分要素のボード線図を学ぶ
 １次遅れ要素のボード線図を学ぶ
 ２次遅れ要素のボード線図を学ぶ
 むだ時間要素のボード線図を学ぶ
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周波数伝達関数（１）
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伝達関数G(s)で表される安定なシステムに，周波数w0の正弦波入力
u (t )  sin w0t
を加えると，十分長い時間がたった後，すなわち，定常状態において
出力は，
y (t )  G ( jw0 ) sinw0t  G ( jw0 )
となる．このように，出力は入力と同じ周波数w0をもつ正弦波になる．
ただし，その振幅は|G(jw0)|倍され，位相は∠G(jw0)だけ遅れる．
|G(jw0)|を周波数w0におけるゲイン，∠G(jw0)を位相角と呼ぶ．
w0をさまざまな値に変化させたときの入力u(t)と，出力y(t)の伝達関
数G(s) (0<w<∞)を周波数伝達関数，あるいは周波数応答と呼ぶ．こ
れは伝達関数G(s)においてs=jwとおいて得られるものである．
|G(jw)|をゲイン特性，∠G(jw)を位相特性と呼ぶ．
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周波数伝達関数（２）
例１：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは0.5，位相角は0degの出力波形
y(t )  0.5 sin2t 
u(t )  sin2t 
例２：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは１，位相角は180degの出力波形
u(t )  sin2t 
例１
1.5
y(t )  sin2t   
例２
位相角
0[deg]
位相角
180[deg]
ゲイン：１
1
ゲイン：0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
u(t)
y(t)
t
0
0
t
0.5
1
1.5
-1
u(t)
y(t)
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周波数伝達関数（３）
ここで入力u(t)から出力y(t)を導出しておく．入力u(t)，出力y(t)のラプ
ラス変換をそれぞれU(s)，Y(s)とおく．定常状態を考えると，
w0
K1
K2
Y ( s )  G ( s )U ( s )  G ( s ) 2


2
s  jw 0 s  jw 0
s  w0
が得られる．ただし，

w0 
G (  jw 0 )
K1  s  jw0 G ( s ) 2

2
2j
s  w 0  s   jw 0


w0 
G ( jw 0 )
K 2  s  jw0 G ( s ) 2

2
2j
s

w

0  s  jw 0
である．
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周波数伝達関数（４）
G(jw0)とG(-jw0)が，互いに共役な複素数であることに注意すれば，
K1
K2
j  G (  j w 0 ) G ( jw 0 ) 
Y (s) 

 

s  jw0 s  jw0 2  s  jw0 s  jw0 
G ( jw 0 )  G (  jw 0 ) 
1
 G ( jw 0 )  G (  jw 0 )
 2
w
 js
2  0

2
2
s  w0 

1
w0 ReG ( jw0 )  s ImG ( jw0 )
2
2
s  w0
となる．
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周波数伝達関数（５）
1
Y ( s)  2
w0 ReG ( jw0 )  s ImG ( jw0 )
2
s  w0
逆ラプラス変換すれば，
y (t )  ReG ( jw0 )sin w0t  ImG ( jw0 )cos w0t
ここで下記の公式を用いると，出力y(t)が得られる．
 sin    cos   2   2 sin   tan 1  /  
ただし，以下の関係を用いる．
ReG( jw0 )2  ImG( jw0 )2
1  ImG ( jw0 ) 

G ( jw0 )  tan 
 ReG ( jw0 ) 
G ( jw0 ) 
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周波数伝達関数（６）
例：1+s
s=jwと代入したとき，実部と虚部は，Re[G(jw)]=1，Im[G(jw)]=wとな
る．このとき，先の公式から，
G ( jw0 )  1  w 2
G ( jw0 )  tan 1 w
の関係を得る．
w=0.01のとき
G ( jw0 )  1  0.012
1
G ( jw0 )  tan 1 0.01
 0.57 deg
w=1のとき
w=10のとき
G ( j w0 )  1  1
 1.4
G ( jw0 )  1  102
 10
G ( jw0 )  tan 1 1
G ( jw0 )  tan 1 10
 45 deg
 84.3 deg
定常状態の出力は，このように明らかにできる．また，これらの関
係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び，続けて説明する．
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ボード線図
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周波数伝達関数G(jw)のゲイン特性|G(jw)|と位相特性∠G(jw)を，周
波数wの関数として別々のグラフに図示したものをボード線図という．
横軸に角周波数wを対数目盛でとり，縦軸にゲインの対数量
g(w)=20log10|G(jw)| dBで表わしたものをゲイン曲線，また，別のグ
ラフに縦軸に位相角をf(w)=∠G(jw) degとして表わしたものを位相曲
線と呼ぶ．ボード線図は，広い範囲で詳細な特性を表わすことがで
きることから，フィードバック制御系の解析や設計において広く用い
られている．
積分要素，微分要素，１次遅れ要素，２次遅れ要素，むだ時間要素
のゲイン特性と位相特性の式，ボード線図を説明する．また，次回
予定でボード線図の折線近似，１次遅れ要素，２次遅れ要素のパラ
メータによるボード線図の違いや応答の違いを紹介する．
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ボード線図（積分要素）
積分要素G(s)=1/sに対してs=jwとおくことで，周波数伝達関数は，
G ( jw ) 
1
1
j
jw
w
となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．
g (w )  20 log 10 G ( jw )  20 log 10
1
w
 20 log 10 w
 1/ w 
1
  tan     90 deg
 0 
位相[deg]
ゲイン[dB]
f (w )  G ( jw )  tan 1 
40
20
0
-20
-40 -2
10
0
-20dB/dec
10-1
100
101
-45
-90
10-2
-90[deg]
10-1
100
101
角周波数[rad/s]
つまり，ゲインはw=1のとき0であり，w
が10倍されるとき20dBだけ減少する．
102 通常，ゲイン特性の直線の傾きを表
わすために，[dB/dec]という単位を用
いる．よって，積分要素のゲイン特性
の傾きは-20dB/decである．一方，位
相は全体にわたって-90degである．
102
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ボード線図（微分要素）
積分要素G(s)=sに対してs=jwとおくことで，周波数伝達関数は，
G( jw )  jw
となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．
g (w )  20 log 10 G ( jw )  20 log 10 w
1/ w 
1
  tan    90 deg
 0 
位相[deg]
ゲイン[dB]
f (w )  G ( jw )  tan 1 
40
20
0
-20
-40 -2
10
20dB/dec
10-1
100
101
つまり，ゲインはw=1のとき0であり，
傾きは20dB/decである．また，位相は
全体にわたって90degである．
102
90
90[deg]
45
0 -2
10
10-1
100
101
角周波数[rad/s]
102
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ボード線図（１次遅れ要素）
１次遅れ要素G(s)=1/(1+Ts)に対する周波数伝達関数は，
G ( jw ) 
1
1  j wT

1  jwT 1  wT 2
となる．Tを時定数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．
g (w )  20 log 10
1
 20 log 10 1  wT 
2
1  wT 
2
位相[deg]
ゲイン[dB]
f (w )   tan 1 wT 
0
-10
-20
-30
-40 -2
10
0
T =1
-20dB/dec
10-1
100
101
wT<<1のときは，ゲインは0であり，w
に関係なく一定値となる．逆にwT>>1
のときには，g(w)=-20log10(wT)となり，
102
傾きは-20dB/decである．また，位相角
はw0のとき0degとなり， w∞のとき90degである． wT =1のとき-45degとな
る．
-45
-90 -2
10
10-1
100
101
角周波数[rad/s]
102
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ボード線図（２次遅れ要素）（１）
２次遅れ要素G(s)=wn2/(s2+2wn+wn2)に対する周波数伝達関数は，
G( jw ) 
w
n
wn
2

2
 w 2  j 2wnw

1
 j 2 w / wn 
1  w / w  
2
n
f (w )   tan 1
2 w / wn 
2
1  w / wn 
  2 w / w 
2 2
2
n
周波数が増加するにつれて，ゲイン曲
線は0dBの直線から-40dB/decの傾き
に，位相曲線は0degから-180degに変
化する．
位相[deg]

g (w )  20 log 10 1  w / wn 
ゲイン[dB]
となる．wnを固有角周波数，を減衰係数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性
は以下のように求まる．
0
-20
-40
-60
-80 -2
10
0
wn =1, =1
-40dB/dec
10-1
100
101
102
10-1
100
101
角周波数[rad/s]
102
-90
-180 -2
10
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14/16
位相[deg]
減衰係数の変化に対するボード線
図を下記に示す．減衰係数が小さい
とき固有角周波数のゲインにピーク
が現れる．
ゲイン[dB]
ボード線図（２次遅れ要素）（２）
40
0
-40
-80 -2
10
0
-40dB/dec
10-1
100
101
=0.01
=0.1
=0.5
=1
=2
102
=0.01
２次遅れ要素の例として，自動車の
=0.1
=0.5
-90
ショックアブソーバがある（２回目，３
=1
=2
回目資料参照）．分子の係数は異な
-180 -2
るがゲイン曲線の形状は同じである
10
10-1
100
101
102
ことに注意する．
角周波数[rad/s]
自動車が走行する道路として，①細かいでこぼこ道と②ゆっくりとしたでこぼこ道
を考える．でこぼこ道から受ける力は外乱f=sinwtと考えることができ，①はwが大
きいことに，②はwが小さいことに対応する．が小さく，f(t)にw=wnの成分が含ま
れると，その成分の振動が増幅されるため，乗り心地が悪くなってしまう．そこで，
自動車の振動をやわらげるためには，車体重量に合わせて，バネ，ダンパ係数
を調整して，ゲイン特性に現れるピークを抑える必要がある．方法としては，望ま
しいバネ，ダンパ係数を持つアブソーバを使う方法（パッシブ制御）のほか，路面
の状況に合わせて，バネ，ダンパ係数を油圧や空気圧の力によって変化させる
方法（アクティブ制御）などがある．
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ボード線図（むだ時間要素）
むだ時間Lのむだ時間要素G(s)=e-sLにする周波数伝達関数は，
G( jw )  e jwL  cos wL  j sin wL
となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．
g (w )  20 log 10
cos wL 2  sin wL 2
 0db
 sin wL 
  wL  (180 /  ) deg
cos
w
L


位相[deg]
ゲイン[dB]
f (w )  tan 1 
20
10
0
-10
-20 -2
10
0
L =1
10-1
100
101
L=1とした場合のボード線図を示す．
ゲインは常に0dBであり，位相はwに
比例して遅れる．
102
-90
-180 -2
10
10-1
100
101
角周波数[rad/s]
102
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16/16
課題
下記のシステムにu(t) =asinwt の入力を加えたときの時間応答y(t) を
求めよ．
G( s) 
1
1  5s
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