信号解析のウェーブレットによる量子力学への応用

卒業研究：
「信号解析とウェーブレット解析」
基礎科学系量子物理部門
鎌田裕之
ウェーブレットとは何か



ウェーブレット（ Wavelet ）とは「小さな波」あるい
は「さざなみ」を意味する言葉である。
工学分野では、振動や波動を扱う場合、局所的な振動波
形を表す用語として古くから用いられてきた。
現在のウェーブレット理論は、１９８０年代初頭に
Ｊ.Ｍｏｒｌｅｔ(1983)が考えた(wavelet of constant
shape)を使った新しい時間周波数解析に始まる。
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方法

f ( x )  a0   (an cos nx  bn sin nx ) 
n 1

inx
c
e
 n
n 
このような展開は、フーリエ級数展開として知られている。
1 
 inx
cn 
f
(
x
)
e
dx

2 
展開する関数系を拡張する。（ einx → ( x )）
f ( x )   ck( j ) (2 j x  k )
j ,k
( j)
k
c
2
j


 (2 j x  k ) f ( x )dx

j  スケール, k  移動
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4
n=3
フーリエ解析
3
2
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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4
n=５
フーリエ解析
3
2
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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4
n=７
フーリエ解析
3
2
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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4
n=９
フーリエ解析
3
2
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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4
n=１１
フーリエ解析
3
2
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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Haarのスケーリング関数： H ( x )
 1, 0  x  1
H ( x )  
0, それ以外
Haarのウェーブレット関数：  H ( x )
 H ( x )  H (2 x )  H (2 x  1)
2n 1
f n ( x )   d  H (2 x  k )
k 0
(n)
k
j
1
1
0.5
0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
1
1.5
2
f ( x)  10x (1  x)
2
n=3
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f ( x)  10x (1  x)
2
n=4
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f ( x)  10x (1  x)
2
n=5
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.2
-0.25
0.4
0.6
0.8
1
いろいろなウェーブレット関数
French Hat
2
0
-2
1
0.5
0
-0.5
2
0
-2
Mexican Hat
Shannon wavelet
Daubechies wavelet
Daubechies 3
1
x
-2
2
-1
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ウェーブレットの応用
①効率の良い時間周波数解析ができる。
②微分方程式を解くことができる。
③非線形解析。
④画像処理の問題。
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時間周波数解析
ウェーヴレットで切り出した信号の部分はそれぞれの時間軸上における位
置と，その部分の周波数を表している．そこで周波数を表す座標軸を新たに
設け，時間軸と周波数軸が張る 2 次元面上を考える．これを信号平面とい
うが，この上にそれぞれの成分を配置してみると次のようになる．一番奥に
あるのは元の信号で，手前のウェーヴレット成分により部分の位置と周波数
がどのように分布しているかがよくわかる．
Freq
周波数
Time
時間
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 jk ( x ) :  (2 j x  k )
y '  f ( x ) をウェーブレット展開する。
( j)
( j)
(
y
')

(
x
)

f
 k jk  k  jk ( x ) (＊)
jk
jk
y ( x )   yk( j ) jk ( x )
jk
微分方程式を解く
これを微分すれば、
y '( x )   yk( j ) ( jk ) '( x )
jk
  yk( j ) 2 j ( ') jk ( x )となり、 ( *) と比較すれば
jk
(l ) l
(l ) ( j )
( j)
y
2
(

')
(
x
)

(
x
)
dx

y
c
[
lm
]

f
 m  lm
 m k
jk
k
lm
lm
を満たす。これは、 ym( l )についての
一次連立方程式である。
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その他の研究課題
量子物理化学
ベンゼンとLOMO電子雲
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その他の研究課題
時間発展型シュレディンガー方程式
井戸型ポテンシャル
調和振動子ポテンシャル
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その他の研究課題
量子散乱問題
希望する卒研生

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シミュレーションが好きな方
理論的考察が好きな方
プログラム（C,FORTRAN,Mathematica)が好きな方
科学が好きな方
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総合教育棟４階
４０２
鎌田裕之

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