第 6 章：フィードバック制御系の安定性 6.1 フィードバック系の内部安定性 6.2 ナイキストの安定定理キーワード：極零点消去, ナイキストの安定定理学習目標：ナイキストの安定定理を理解し，フィードバック制御系の安定性を判定できるようになる． 1 6.1 フィードバック系の内部安定性 d P(s) ：厳密にプロパー（ P()  0 ）分母の次数が分子の次数より大きい K (s ) ：プロパー（ | K () |  ）［例 6.1 ］不安定な極零点消去 P(s)  R   K (s ) U   P(s) Y 図 6.1 フィードバック制御系 s 1 1 1 , K (s)   1 s 1 s s 1 s 1 1 P( s) K ( s)    s 1 s s d  0 のとき 1 1 P( s ) K ( s ) s  R(s) Y ( s)   R( s )   R (s )  1 s 1 1  P( s ) K ( s ) 1 s 安定？ 2 Y (s) 1 P( s)   U (s) s  1  (s  1)Y (s)  U (s) 2 y (t ) 1 .5 y (t )  y(t )  u(t ) 初期値 y0 を考慮初期値 y0  0.01 1 0 .5 初期値 y0  0 (syY (s)  y0 )  Y (s)  U (s) 0 0 6 3 4 5 2 1 1 1 Y (s)  U (s)  y0 t s 1 s 1 図 6.2 ステップ応答例 s 1 U (s)  K (s)(R(s)  Y (s)), K ( s )  より s 1 s 1 1 Y ( s)   ( R( s)  Y ( s))  y0 s 1 s s 1 s ( s  1)Y ( s )  R ( s )  y0 s 1 1 s Y ( s)  R( s )  y0 s 1 ( s  1)(s  1) 不安定 3 ［例 6.1 ］ P(s)  N P (s) DP ( s ) K (s)  N K (s) DK ( s )  ( s) : DP ( s) DK ( s)  N P ( s) N K ( s) 1 P( s)  s 1 s 1 K (s)  s  (s)  (s  1)  s  1 (s  1)  (s  1)(s  1)  0 不安定 P( s ) K ( s ) s 1 G yr ( s)   1  P( s) K ( s) ( s  1)( s  1) 不安定な極零点消去が生じている 4 ［結果 1 ］ P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在するとき，フィードバック制御系は内部安定ではない．［結果 2 ］ P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在しないとき，以下の三つは等価である（a）フィードバック制御系が内部安定（b） G (s ) が安定 P( s ) K ( s ) G( s)  1  P( s ) K ( s ) （c） 1  P(s) K (s) の零点がすべて安定 5 6.2 ナイキストの安定判別法フィードバック系の内部安定性  特性多項式  (s)  0 の根を求める因数分解などにより，直接計算する実際的でないラウスやフルビッツの安定条件を適用する高次系では手間がかかる開ループ伝達関数の周波数応答に基づき図的に判別する 6 ナイキストの安定判別法［1］目的 { p1, p2 ,, pn } ：開ループ系 P(s) K (s) の極 {r1 , r2 ,, rn }：閉ループ系G (s) の極 DP ( s) DK ( s)  N P ( s) N K ( s) N P ( s) N K ( s)   1  P(s) K (s)  1  DP ( s) DK ( s) DP ( s) DK ( s) （閉ループ系の極） ( s  r1 )(s  r2 ) ( s  rn )   （開ループ系の極） ( s  p1 )(s  p2 ) ( s  pn ) P  （ { p1, p2 ,, pn } の中で）開ループ系の不安定極の数知っている．簡単に計算できる． Z  （ {r1 , r2 ,, rn } の中で）閉ループ系の不安定極の数知りたい．計算が難しい． 7 ［2］方法閉曲線 C （このなかにすべての不安定な極がある） P  閉曲線 C の内部にある開ループ系の極の数 Z  閉曲線 C の内部にある閉ループ系の極の数 Im a C 半径 R   b Re O c 図 6.3（a）右半平面全体を囲む閉曲線 C 8 複素数 s を決めると，対応する複素数 w が定まる．写像 F (s)  1  P(s) K (s) s ：（閉曲線 C に沿って） O  a  b  c  O と時計方向に 1 回転このとき，対応するF (s ) が描く軌跡：Γ1 Π  1 が原点を時計方向にまわる回転数 Im Im a C b O Γ1 : [1  P(s) K (s)]s C Re Re O c 図 6.3 閉曲線 C とその 1  P(s) K (s) による像 Γ1 9 Π  Pが成立するか ? P ：閉曲線 C の内部にある(不安定な) 開ループ系の極の数 P ：既知 Π ：図的に調べる Π ： Γ1 が原点を反時計方向に安定性を知ることができる Im C a まわる回転数   P ならば安定 Im b O   P ならば不安定 Γ1 Re Re O c 10 ［3］ベクトル軌跡の利用 G (s)  P(s) K (s) 右に 1 だけ移動 F (s)  1  P(s) K (s) Γ1 Γ ：ナイキスト軌跡 Γ1 が原点を Γ が点 (1,0) を Π 回まわる Π 回まわる Im Γ : [ P(s) K (s)]s C 1 Im Γ1 : [1  P(s) K (s)]s C Re Re O O 11 s: • C 上を O  a と動くとき，ベクトル軌跡 P( j ) K ( j ) (   ~ ) に一致する • 半径  の円周上を動くとき P() K ()  0 • C 上を c  O と動くとき，ベクトル軌跡と実軸に関して対称 Im a Im C Γ : [ P(s) K (s)]s C 半径 R   b Re O c 1 Re O 12 ナイキストの安定判別法［ステップ 1 ］開ループ伝達関数のベクトル軌跡 P( j ) K ( j ) を，角周波数   ~ の範囲で描き，ナイキスト軌跡を得る． Γ ［ステップ 2 ］開ループ伝達関数 P(s) K (s) の極の中で実部が正であるもの(つまり, 不安定極)の個数を調べ，これを P とする．［ステップ 3 ］ナイキスト軌跡 Γ が点 (1,0) のまわりを反時計方向にまわる回数を調べ，これを Π とする．［ステップ 4 ］ Π  P ならばフィードバック制御系は安定， Π  P ならばフィードバック制御系は不安定である． 13 ナイキスト軌跡が点 (1,0) のまわりを反時計方向にまわる回数が, 開ループ伝達関数の不安定極の個数に等しいならば，制御系は安定である．ナイキストの安定判別法の利点 • ループを閉じる前の開ループ伝達関数の周波数応答によって，図的に制御系（閉ループ系）の安定性を判別できる • 計算の必要がなく，次数の高い系やむだ時間系にも容易に適用できる • 実測データに基づいて判定できる • 直感的に分かりやすく，さらに安定余裕も調べられる 14 ［例 6.2 ］ G (s)  P(s) K (s)  ［ステップ 1 ］ 30 ( s  1)(s  2)(s  3) Im 1    O      0 Re   0 ［ステップ 2 ］ P0 G (s) :不安定極０個［ステップ 3 ］ Π 0 ナイキスト線図が(-1, 0)を回る回数０個［ステップ 4 ］ ΠP 制御系は安定 15 ［例 6.3 ］（不安定系の場合） K G ( s)  s 1 3 K  2, 4 3 （b） K  4 Im （a） K  2 ［ステップ 1 ］ Im   0  1   0    Re O      0 1   0    O Re    ［ステップ 2 ］ P  1 G (s) :不安定極１個 P  1 G (s):不安定極１個［ステップ 3 ］ Π  1 ［ステップ 4 ］ Π  P 回転数１回安定 Π 0 回転数０回 ΠP 不安定 16