クラスター分析 §２クラスター分析の種類１１月２０日 (木) 発表者：大城亜里沙クラスター分析の種類（１）（２）（３）（４）（５）最短距離法最長距離法群平均法重心法ウォード法データとグラフ y 変数サンプル y x ① ５３ ② ４４ ③ ２４ ④ １１ ⑤ １２ ① 5 ② 4 3 ③ 2 1 ④ ⑤ 1 2 3 4 5 x 最短距離法各組に属する２つの点の中から１つずつ選んで距離をとったとき、最も近い距離を、その組と組との距離と考える方法。表１：サンプル間のユークリッド距離 ①② ③④⑤ ① ② 2 ・・・ 32  12  10 ・・・ 2 1 ③ 10 4 ④ 20 18 ⑤ ③ 17 13 ⑤ 1 10 5 ④ 1 2 3 4 22 12  5 従って、最短の 5 が [ ④， ⑤]と ③ の距離となる。最長距離法一番長い距離を組相互の距離と考える。表１までは同じ。組相互の距離を計算する。 ① ② ③ ④⑤ ①②③ ④⑤ ① ② ③ 2 10 4 ④⑤ 20 18 10 ①② ③ 10 ④⑤ 20 10 群平均法① ○“最短”、“最長”の距離の平均を距離とする。（ただし、その場合の平均とは、各組に属するサンプル数を考慮した、加重平均） ○距離の計算過程ではユークリッド平方距離（ユークリッド距離を２乗したもの）を用いて計算し、最後に平方距離の平方根をとり、距離を求める。＜一般式＞ ― Str ：クラスターtと別の任意のクラスターrとの間の距離 ― n p ：クラスターpの大きさ（クラスターに含まれる組あるいは点の数）更新後の距離は、 np S pr  nq Sqr Str  np  nq 群平均法② と Ⅰ ④と ① の距離＝２０ ⑤ ① の距離＝１７ 20＋17 平均＝ 2 ①② ③④⑤ ① と ② の距離＝１３ 2 ③ 10 と ④ 20 ① ② ③ ④⑤ ① 4 の距離＝５ 18 ⑤ 17 13 10 5 1 表２：サンプル間の平方距離 ③ 10 4 Ⅱ ＝15.5 Ⅲ ④と ③ の距離＝１０ ⑤ １０＋５ ③ 平均＝ ④⑤18.5 15.5 7.5 Ⅰ ④ と ② の距離＝１８ Ⅱ⑤ ② 18＋13 平均＝ 2 ② 2 ＝18.5 Ⅲ 2 ＝７．５重心法（１）クラスター間の距離を、各クラスターの重心の間の距離として定義する。＜公式＞２つのクラスターをまとめた場合の距離の更新 np nq np nq Str   S pr   Sqr   S pq 2 np  nq np  nq (np  nq ) サンプル間の距離がユークリッド距離の場合のみ、妥当性を持つ。重心法（２）表２までは同じ。公式を用い、新しいクラスターと他のクラスターとの距離を計算する。ｐ＝４，ｑ＝５なので、 Str  1 1 1 S4r  S5r  S45 2 2 4 （ただし、 S45  1 ） ① ② ③ ④⑤ ① ② 2 ③ 10 4 ④⑤18.25 15.25 7.25 1 1 1  20  17  1  18.25 2 2 4 1 1 1 18  13  1  15.25 2 2 4 1 1 1 10   5  1  7.25 2 2 4 ウォード法（１）実用的で優れた方法としてよく利用されている。＜公式＞ np  nr nq  nr nr Str   S pr   Sqr   S pq nt  nr nt  nr nt  nr ただし、 nt  np  nq ウォード法（２）表２までは同じ。公式を用い、新しいクラスターと他のクラスターとの距離を計算する。ｐ＝４，ｑ＝５（Ａ） ① ② ③ ④⑤ ① ② 2 ③ 10 ④⑤24.333 20.333 9.667 （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｂ）（Ｃ） ② ③ ｒ・・・ ① S42 ＝１８ S43 ＝１０ S4r・・・ S41＝２０ S52 ＝１３ S5r・・・ S51＝１７ S53 ＝５ n2 ＝１ n3 ＝１ nr・・・ n1 ＝１ S45 ＝１， n4＝１， nt  n4  n5＝２，公式より（Ａ）・・・ n  n1 n4  n1 n1  S41  5  S51   S45 nt  n1 nt  n1 nt  n1 2 2 1   20  17  1  24.333 3 3 3