多変量解析ゼミ 第１０回 第１２章クラスター分析 発表者 直江 宗紀 クラスター分析 クラスター分析とは 大量のデータの中に存在するクラスター(集落)をデー タ同士の距離によって分類していく、 分析方法 扱う対象は分析目的により、サンプルの場合、変数の 場合と場合によって変わるが分析は可能 分析で用いられる方法は大別すると「階層的方法」と 「非階層的方法」がある 分析の流れ 大雑把な分析の流れ 個々の対象間の距離を測る 「近い」と判断できる対象間の距離、及び「クラスター」 と判断する距離を決め、測った対象間の距離との比 較、併合を行う 適当な距離でグループ分けできたクラスターに含まれ る対象を調べ、グループの特徴を把握する デンドログラム デンドログラム(樹形図)とは クラスター分析において対象間の距離を樹形図にお いてグラフ化された物 計算手法によって対象間の距離、配置は変わる （よってデンドログラムの形が変わる） デンドログラムの例 図１ デンドログラム図例（左図はデンドログラム例に用いたデータプロット図） 最短距離法 最短距離法とは 階層的手法の一つ 最も近い対象間の距離を、 クラスター間の距離として 比較、併合を行う方法 欠点：鎖効果が起こりやすい 鎖効果とは、ある一つのクラ スターに対象が１つずつ順に 吸収されてクラスター形成が される状態 図２ 鎖効果が起こってしまっている デンドログラム １つでも近い対象があればクラス ターに統合されるため、鎖効果 が起こりやすい 様々な距離計算方法 クラスター分析では 分析する際、対象間の距離を計算する必要がある クラスター分析で用いる「距離」は以下の物がある ユークリッド距離(Euclidean distance) 重み付きユークリッド距離(Standardized Euclidean distance) マハラノビス距離(Mahalanobis distance) ミンコフスキー距離(Minkowsky distance) 本解説では、最短距離法の距離計算に ユークリッド距離を用いることとする ユークリッド距離 ユークリッド距離の計算方法 変数が２個の場合(要素i番から要素j番までの時) dij ( xi1 x j1 )2 ( xi 2 x j 2 )2 ・・・（１） 変数がp個の場合の一般式 dij p (x k 1 ik x jk ) 2 ・・・（２） 最短距離法による分析（１） 変数２個の場合の分析 実際の分析の流れを示す ため、以下の例題を用意 例題：国語と英語の成績 表１ ５段階評価の国語、英語成績表 生徒No. 国語x1 英語x2 1 5 1 2 4 2 3 1 5 4 5 4 5 5 5 図３ 表１データのプロット図 (Ｒを用いて描画) 最短距離法による分析（２） 対象間の距離を計算 ユークリッド距離で計算 表２ 対象間のユークリッド距離（１） 生徒No. 1 2 3 4 1 2 1.41 3 5.66 4.24 4 3.00 2.24 4.12 5 4.00 3.16 4.00 1.00 最短距離法による分析（３） クラスター形成 一番値の小さい要素を探し、初期クラスタとする 表２よりNo.4とNo.5が一番小さい→クラスターＣ１（4,5）とする この時クラスターと各対象の距離も一番短い方を選ぶ 表３ 対象間のユークリッド距離（２） 生徒No. 1 2 3 1 2 1.41 3 5.66 4.24 C1(4,5) 3.00 2.24 4.00 最短距離法による分析（４） クラスター形成 遂次一番小さい値を選択してクラスター形成 ２番目にNo.1,No.2の距離が短いためクラスターC2(1,2)形成 ３番目にC1,C2の距離が短いためクラスターC3(1,2,4,5)形成 表４ 対象間のユークリッド距離（３） 生徒No. C2 3 C2(1,2) 3 4.24 C1(4,5) 2.24 表５ 対象間のユークリッド距離（４） 生徒No. C3 C3(1,2,4,5) 4.00 3 4.24 最短距離法による分析（５） デンドログラムを作成 先程のクラスター形成時 に選択した最短距離値を 元にデンドログラムを作成 する クラスター評価 任意の距離で区切ること によりデンドログラムから クラスタの分類が出来る ただし解析者の意図によ り任意で区切る距離、グ ループの意味が変わる 図４ 例題のデンドログラム (Ｒを用いて作成) 最短距離法による分析（６） 変数がｐ個の場合の分析 ほとんど変数が２個の場合と変わらない ユークリッド距離変数ｐ個の場合の距離計算を行う 表２と同様に対象間距離表を作成 最短距離値を遂次抜き取りクラスター形成 デンドログラムの作成 デンドログラムからデータの評価 最短距離法による分析（７） 解析例題：試験成績 表６ 試験成績データ 生徒No. 国語x1 英語x2 数学x3 理科x4 1 86 79 67 68 2 71 75 78 84 3 42 43 39 44 4 62 58 98 95 5 96 97 61 63 6 39 33 45 50 7 50 53 64 72 8 78 66 52 47 9 51 44 76 72 10 89 92 93 91 最短距離法による分析（７） 表７ 表１のデータの対象間ユークリッド距離 生徒 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 24.86 3 67.76 70.61 4 52.03 29.85 81.90 5 22.02 42.88 81.71 71.20 6 71.64 70.94 13.45 77.38 88.15 7 44.69 35.57 39.66 43.06 64.36 36.96 8 29.98 46.64 44.75 68.85 40.27 51.65 41.50 9 50.47 38.85 47.28 36.47 71.69 41.35 15.03 49.13 10 37.19 29.78 98.67 43.89 43.38 99.83 65.15 66.44 66.32 最短距離法による分析（８） 図５ 表７から得られるデンドログラム（Ｒを用いて描画） 他の階層的手法 階層的手法として用いられる代表的な手法 最短距離法（nearest neighbor method） 最長距離法（furthest neighbor method） 最も遠い対象間の距離をクラスター間の距離とする 群平均法（group average method） 最も近い対象間の距離をクラスター間の距離とする すべての対象間距離の平均をクラスター間の距離とする 重心法（centroid method） 各クラスターの代表点を重心とし、重心間の距離をクラス ター間の距離とする ウォード法（１） ウォード法(ward’s method)とは 階層的手法の１つ 他の階層的手法よりクラス ター内の集まりが良く、鎖効 果が起こりにくく、そのため良 いクラスター分析結果が得ら れやすい クラスター形成は、クラスター 内の平方和を最も小さくする という基準によって形成 図６ 良いクラスター分析の結果 を示すデンドログラム例 ウォード法（２） 変数が２個の場合のウォード法 ウォード法で用いる距離は平方和距離 2 Sij ((xik x.k )2 ( x jk x.k )2 ) ・・・（３） k 1 上記式で求めた距離表を元にクラスターを結合 クラスター内平方和の増加分が最小のものを統合し ていく ウォード法（３） 表１の例題を元に計算 No.1とNo.2の生徒のクラスター内平方和 S12 (5 4.5) (4 4.5) (1 1.5) (2 1.5) S12 1.00 2 2 2 2 上記のようにして計算していく 平均値は計算する同変数の対象要素同士の平均値 ウォード法（４） 右図はウォード法による 計算により作成できた距 離表 クラスター形成 平方和の増加が最小であ る、No.4,No.5をクラスター として統合する この際クラスターと対象間 の距離が変化するため計 算をしなおす必要がある 表８ 対象間のウォード法による距離（１） 生徒 No. 1 2 3 4 1 2 1.00 3 16.00 9.00 4 4.50 2.50 8.50 5 8.00 5.00 8.00 0.50 ウォード法（５） クラスター統合後の距離算出 統合したクラスターと元のクラスターの平方和を算出 例としてクラスターC1(4,5)と要素１の距離算出 結合後の平方和S145は S145 (5 5.00)2 (5 5.00)2 (5 5.00)2 (1 3.33)2 (4 3.33)2 (5 3.33)2 8.67 平方和増加分ΔS145は S145 S145 S1 S45 8.67 0 0.50 8.17 ウォード法（６） 同様にして計算して距離の計算を算出する 下表はクラスターＣ１と各対象間の距離値に直した表 表９ 対象間のウォード法による距離（２） 生徒No. 1 2 3 1 2 1.00 3 16.00 9.00 C1 8.17 4.83 10.83 ウォード法（７） 他のクラスターについて 同様にして平方和の増加分が最小の物を選ぶ 下表は最終段階までの計算結果 表１０ 対象間のウォード法による距離（３） 生徒No. C2 3 C2 3 16.33 C1 9.25 表１１ 対象間のウォード法による距離（４） 生徒No. C3 C3 10.83 3 14.45 ウォード法（７） 以上の結果から得られるデンドログラム 図７ 表１例題のウォード法から得られたデンドログラム（Ｒを用いて作成） ウォード法（８） 変数がｐ個の場合のウォード法 考え方は変数が２個の時と変わらない 一般式は以下の通り nl p Sl ( xlik xl .k )2 ・・・（４） i 1 k 1 nm p Sm ( xm ik xm.k )2 ・・・（５） Slm Sl Sm Slm ・・・（６） i 1 k 1 ウォード法（９） 式（４）～（６）をまとめると 以下の式が成り立つ ni nm p 2 Slm ( x x ) ・・・（７） l .k m.k nl nm k 1 これらの式を用いて例題の表６を解析する ウォード法（１０） 表１２ 表６のウォード法における距離 生徒 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 309 3 3365 2493 4 4229.5 4786.5 3353.5 5 2253.5 2011.5 7153.5 2535 6 2405.5 1971.5 689.5 1986 3885 7 1812.5 2007.5 540.5 2924 2661 683 8 513.5 619.5 2001.5 1387 1072 2112 861 9 2158.5 2303.5 730.5 2969 3186 762 1026 1207 10 462.5 3706.5 1774 515 4038 1918 1324 705.5 1623 ウォード法（１１） 表１２からクラスター統合をして得られるデンドログラム 図８ 例題表６のデンドログラム（ウォード法） 最後に 本発表に関し、以下の解析ソフトを利用した Lucent Technology Ｒ Microsoft Excel Ｒ 統計計算、グラフィックスのための言語・環境 ＧＮＵプロジェクトの一つ オープンソースのため、無料で提供されている Official Site URL http://www.r-project.org/
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