公共経済学

公共経済学
三井清
1
「公共経済学（第１学期）
；三井」の運営方法
【講義のねらい（第 1 学期）
】
1.
政府の支出政策の役割について
2.
市場メカニズムの機能や政治メカニズムの機能について
2
【参考書】
スティグリッツ
『公共経済学(上)：公共部門・公共支出』
第 2 版、東洋経済新報社
4
【成績評価の方法】基本的に定期試験と宿題で成績を評価されるが、それ以外に「講義
への貢献｣も考慮される。また、3 年生以上の学生に限り、レポートが提出されてい
れば、定期試験・宿題・講義への貢献の合計点が 40 点以上 50 点未満のときに限り
10 点満点でレポートが評価される。
○ 成績評価のための「総合得点」は、①定期試験、②宿題、③講義への貢献、
の３つの得点の合計である。なお、配点は以下の通りである。
① 定期試験
：80 点（＝40 点×2）
② 宿題
：20 点（＝10 点×2）
③ 講義への貢献
：1 点×貢献回数（上限 10 回）
○「講義への貢献」とは以下の 3 つである。また、その講義中の貢献は講義終了後にサ
インをした場合のみポイントが与えられる。
① 講義中に板書や言葉による説明の間違いを指摘する。
② 講義中に（講義の内容に関する適確な）質問をしたり意見を述べたりする。
③ ホームページ上にアップされたプリントなどの間違いを指摘する。
5
【ホームページとメールのアドレス】
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~20040012/index.htm
[email protected]
6
【各章間の関連性】
第 1 章から第 24 章までの議論は次の流れ図のように関連している。なお、第 1 学期は
第 1 章から第 12 章まで、第 2 学期は第 13 章から第 24 章までを講義する。
社会保障
公共財の供給
外部性
7
5
17
16
13
6
4
3
15
14
補償原理
1
2
地方財政
租税
9
24
18
10
8
20
23
11
22
21
19
市場メカニズ
ム
12
費用便益分析
⇒：この矢印先の章の議論は矢印元の章の議論が前提になっている。
：この矢印先の章の補論の議論は矢印元の章の(補論の)議論が前提になっている。
→：この矢印先の章の議論は矢印元の章の議論との関連性が大きい。
7
【問題と補論について】
「*」も「**」も付いていない問題と補論は基本的・標準的な内容であ
る。また、「*」の付いている問題と補論は発展的・技術的な内容であ
る。さらに、
「**」の付いている補論は、積分の基本的な性質に関する
予備知識を必要とする議論、および集合の内部に関する厳密な定義を
用いた議論であり、講義では説明されない。そして、「*」の付いてい
る問題と「*」と「**」の付いている補論の内容は定期試験には出題さ
れない。
【使用される数学について】
本講義で用いる数学は、中学と高校で学ぶ「集合と論理、関数とグラ
フ、ベクトル、不等式と領域、微分」に関する基礎的な事項だけであ
り、多くの事項については脚注などで復習する。また、特に微分につ
いては第 2 章の補論で復習する。
8
1．
「厚生経済学の(第 1)基本定理」1
1.1
アダム・スミスの『国富論』
1.2 エッジワース(Edgeworth)の箱と実現可能な資源配分
1.3
効用関数と上方位集合・無差別曲線
1.4
パレート改善とパレート効率性
1.5 パレート効率性と限界代替率
1.6
補論**：
「集合の内部」と「(1-15)の導出」
9
1.1 アダム・スミスの『国富論』
アダム・スミス（Adam Smith）
『国富論(または諸国民の富)』(1776)
An Inquiry into the Nature and Causes
of the
Wealth of Nations
第4篇第 2 章
国内でも生産できる財貨を外国から輸入することにた
いする制限について
1723-1790
BOOK IV Chapter Ⅱ
OF RESTRAINTS UPON THE IMPORTATION
FROM FOREIGN COUNGRIES OF SUCH GOODS
AS CAN BE PRODUCED AT HOME
10
He generally, indeed, neither intends to promote the public interest,
nor knows how much he is promoting it. By preferring the support
of domestic to that of foreign industry, he intends only his own
security; and by directing that industry in such a manner as its
produce may be of the greatest value, he intends only his own gain,
and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to
promote an end which was no part of his intention. Nor is it always
the worse for the society that it was no part of it. By pursuing his
own interest he frequently promotes that of the society more
effectually than when he really intends to promote it. I have never
known much good done by those who affected to trade for the public
good. It is an affectation, indeed, not very common among
merchants, and very few words need be employed in dissuading
them from it.
11
もちろん、かれは、普通、社会公共の利益を増進しようなどと意図しているわけでもない
し、また、自分が社会の利益をどれだけ増進しているのかも知っているわけではない。外
国の産業よりも国内の産業を維持するのは、ただ自分自身の安全を思ってのことである。
そして、生産物が最大の価値をもつように産業を運営するのは、自分自身の利益のためな
のである。だが、こうすることによって、かれは、他の多くの場合と同じく、この場合に
も、見えざる手に導かれて、自分では意図してもいなかった一目的を促進することになる。
かれがこの目的をまったく意図していなかったということは、その社会にとって、かれが
これを意図していた場合に比べて、かならずしも悪いことではない。社会の利益を増進し
ようと思い込んでいる場合よりも、自分自身の利益を追求するほうが、はるかに有効に社
会の利益を増進することがしばしばある。社会のためにやるのだと称して商売している徒
輩が、社会の福祉を真に増進したというような話は、いまだかつて聞いたことがない。も
っとも、こうしたもったいぶった態度は、商人のあいだでは通例あまり見られないから、
かれらを説得して、それをやめさせるのは、べつに骨の折れることではない。
（大河内一男監訳『国富論Ⅱ』中公文庫）
12
He generally, indeed, neither intends to promote the public interest,
nor knows how much he is promoting it. By preferring the support
of domestic to that of foreign industry, he intends only his own
security; and by directing that industry in such a manner as its
produce may be of the greatest value, he intends only his own gain,
and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to
promote an end which was no part of his intention. Nor is it always
the worse for the society that it was no part of it. By pursuing his
own interest he frequently promotes that of the society more
effectually than when he really intends to promote it. I have never
known much good done by those who affected to trade for the public
good. It is an affectation, indeed, not very common among
merchants, and very few words need be employed in dissuading
them from it.
13
もちろん、かれは、普通、社会公共の利益を増進しようなどと意図しているわけでもない
し、また、自分が社会の利益をどれだけ増進しているのかも知っているわけではない。外
国の産業よりも国内の産業を維持するのは、ただ自分自身の安全を思ってのことである。
そして、生産物が最大の価値をもつように産業を運営するのは、自分自身の利益のためな
のである。だが、こうすることによって、かれは、他の多くの場合と同じく、この場合に
も、見えざる手に導かれて、自分では意図してもいなかった一目的を促進することになる。
かれがこの目的をまったく意図していなかったということは、その社会にとって、かれが
これを意図していた場合に比べて、かならずしも悪いことではない。社会の利益を増進し
ようと思い込んでいる場合よりも、自分自身の利益を追求するほうが、はるかに有効に社
会の利益を増進することがしばしばある。社会のためにやるのだと称して商売している徒
輩が、社会の福祉を真に増進したというような話は、いまだかつて聞いたことがない。も
っとも、こうしたもったいぶった態度は、商人のあいだでは通例あまり見られないから、
かれらを説得して、それをやめさせるのは、べつに骨の折れることではない。
（大河内一男監訳『国富論Ⅱ』中公文庫）
14
He generally, indeed, neither intends to promote the public interest,
nor knows how much he is promoting it. By preferring the support
of domestic to that of foreign industry, he intends only his own
security; and by directing that industry in such a manner as its
produce may be of the greatest value, he intends only his own gain,
and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to
promote an end which was no part of his intention. Nor is it always
the worse for the society that it was no part of it. By pursuing his
own interest he frequently promotes that of the society more
effectually than when he really intends to promote it. I have never
known much good done by those who affected to trade for the public
good. It is an affectation, indeed, not very common among
merchants, and very few words need be employed in dissuading
them from it.
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もちろん、かれは、普通、社会公共の利益を増進しようなどと意図しているわけでもない
し、また、自分が社会の利益をどれだけ増進しているのかも知っているわけではない。外
国の産業よりも国内の産業を維持するのは、ただ自分自身の安全を思ってのことである。
そして、生産物が最大の価値をもつように産業を運営するのは、自分自身の利益のためな
のである。だが、こうすることによって、かれは、他の多くの場合と同じく、この場合に
も、見えざる手に導かれて、自分では意図してもいなかった一目的を促進することになる。
かれがこの目的をまったく意図していなかったということは、その社会にとって、かれが
これを意図していた場合に比べて、かならずしも悪いことではない。社会の利益を増進し
ようと思い込んでいる場合よりも、自分自身の利益を追求するほうが、はるかに有効に社
会の利益を増進することがしばしばある。社会のためにやるのだと称して商売している徒
輩が、社会の福祉を真に増進したというような話は、いまだかつて聞いたことがない。も
っとも、こうしたもったいぶった態度は、商人のあいだでは通例あまり見られないから、
かれらを説得して、それをやめさせるのは、べつに骨の折れることではない。
（大河内一男監訳『国富論Ⅱ』中公文庫）
16
（問題 1-1）市場メカニズム（
「見えざる手」
）を「正常」に機能
させるためには、どのような取引ルールや規制体系を
整備するべきであろうか。また、そのルールや規制は
政府が整備すべきであろうか、民間が自主的に整備す
べきであろうか。
対策
問題
民間
政府
企業
業界団体
法律
政府系機関
(鶏肉)産地偽装
流通業者
日本食鳥協会
JAS 法、不正競争防止法
農林水産安全技術センター
インサイダー取引
証券会社
東証の自主規制法人
証券取引法
証券取引法等監視委員会
欠陥住宅
不動産会社
住宅性能評価・表示
住宅の品質確保の促進に
協会
関する法律（品確法）
住宅紛争処理支援センター
17
（問題 1-2）
「小さな政府」と「大きな政府」との関連性について
(1)所得再分配の大きさ、
(2)価格と供給量決定に対する政府の関与の大きさ、
(3)取引ルールや規制体系などの整備への政府の関与の大きさ、
という 3 つの観点から比較検討しなさい。
18
（資料）平成17年度『年次経済財政報告』第２章「官から民へ－政府部門の再構築とその課題」
19
（資料）平成17年度『年次経済財政報告』第２章「官から民へ－政府部門の再構築とその課題」
20
（資料）平成17年度『年次経済財政報告』第２章「官から民へ－政府部門の再構築とその課題」
21
(1) 所得再分配の大きさ
⇒社会保障・公的年金（15章～17章）、税（18章～23章）
(2) 純粋公共財以外への財供給への政府の関与の大きさ
⇒外部性（13章、14章）
(3) 私的財の市場の取引ルール作成に関連する政府の関与の大きさ
⇒社会保障（15章）
22
1.2 エッジワース(Edgeworth)の箱と実現可能な資源配分
交換モデル（2 財、2 人）を用いて交換の効率性について検討する。なお、より一般的な生
産技術のケースに関しては「3.4 補論」において検討する。
xi ＝個人 i の財 x の消費量（ i  A, B ）
yi ＝個人 i の財 y の消費量（ i  A, B ）
ci  ( xi , yi ) ：個人 i の消費量の組
消費量 xi と yi はマイナスの値を取ることがないので、 xi  0 かつ yi  0 が必ず成立する。
すなわち、 ci
 0 である。ここに、 0  (0, 0) である。
消費量の組 c i は次のように平面上の点としても表すこともできる。まず、横軸を xi 、縦軸
 0 ）の領域を「個人 i の消費平面（あ
るいは消費集合(consumption set)）」と呼ぶ。そして、消費平面の原点を Oi と表すことに
する。すなわち、 Oi  0 である。
を yi とした平面の xi  0 かつ yi  0 （すなわち ci
23
yi
Oi
ci  0  xi  0, yi  0
xi
24
xi ：個人ｉの財 x の初期保有量(initial endowment)
yi ：個人ｉの財 y の初期保有量
wi  ( xi , yi ) ：個人ｉの初期保有量の組（＝初期保有(点)））
yi
yi
 wi
Oi
xi
xi
25
w  (wA , wB ) ：資源の初期保有配分
（＝各個人の初期保有のパターン）
a  (c A , c B )  ((xA , y A ), (xB , yB )) ：資源配分(resource allocation)
そして、資源の初期保有配分 w が与えられたもとで、資源配分 a が「実現可能」であるた
めには、
c A  cB  w A  wB
(1-1)
が成立していなければならない。
また、この条件に加えて、消費点 c i が消費平面上にあるためには、 i 
ci  0
A, B に関して、
(1-2)
の条件が成立する必要もある。
また、資源配分 a  (c A , c B ) が実現可能であるためには、(1-1)より cB
 w A  wB  c A なの
で、所与の w のもとでの実現可能な資源配分 a は、 a  (c A , cB )  (c A , w A  wB  c A ) と個
人 A の消費点 c A だけで表すこともできる。
26
次に、実現可能な資源配分の効率性について議論するために用いられる分析道具である「エ
ッジワースの箱型図(box diagram)」について説明する。
Edgeworth
1845-1926
「エッジワースの箱型図」とは、個人 A の消費平面の上に、次の条件を満たすように個人
B の消費平面を重ねたときにできる 4 つの軸で表現される図である。
i. 軸 x A と軸 xB が反対向きで平行になっている。
ii. 個人 A の初期保有点 w A と個人 B の初期保有点 w B が重なっている。
また、これらの 4 つの軸で囲まれる長方形は「エッジワースの箱」と呼ばれる。
27
（問題 1-3）エッジワースの箱型図のなかに、 x A 、 xB 、 y A 、 y B を図示しなさい。
yA
 wA
OA
xA
28
yB
 wB
OB
xB
29
xB
OB
 wB
yB
30
（問題 1-3）エッジワースの箱型図のなかに、 x A 、 xB 、 y A 、 y B を図示しなさい。
yA
xB
？
xB
yA
？
 wA [wB ]
OA
？
xA
OB
？
yB
y A？
 yB
xA
yB
xA ？
 xB
31
そして上図より、個人 A の消費平面の座標で表現すれば、個人 A の原点 OA は 0 であり、個
 wB である。したがって、エッジワースの箱の領域（を個人 A の消
費平面上で表現したもの）を E w とおけば、 E w は
E w  {c A | 0  c A  w A  w B }
(1-3)
人 B の原点 OB は w A
と表すことができる。
32
Ew  {cA | 0  cA  wA  wB} ：エッジワースの箱(の領域)
xA  xB
yA
xB
xB
yA
(0, 0)  0 
OA
 wA [wB ]
OB  wA  wB  (xA  xB , yA  yB )
yB
yA  yB
xA
xA
yB
33
そして上図より、個人 A の消費平面の座標で表現すれば、個人 A の原点 OA は 0 であり、個
 wB である。したがって、エッジワースの箱の領域（を個人 A の消
費平面上で表現したもの）を E w とおけば、 E w は
E w  {c A | 0  c A  w A  w B }
(1-3)
人 B の原点 OB は w A
と表すことができる。
そして、(1-1)を前提にすれば、(1-2)の c B  0 の条件より w A
 wB  c A  0 が成立するので、
(1-2)は
0  c A  w A  wB
(1-4)
という条件に置き換えることができる。すなわち、実現可能な資源配分 a  (c A , c B ) が満た
すべき「(1-1)かつ(1-2)」の条件は、「(1-1)かつ(1-4)」の条件に置き換えることができる。し
たがって、消費点 c A が c A  E w を満たすならば、(1-3)と(1-4)より、初期保有配分 w が与え
られたもとでの資源配分 (c A , w A  wB
 c A ) は実現可能な資源配分である
34
Ew  {cA | 0  cA  wA  wB} ：エッジワースの箱(の領域)
xA  xB
yA
xB0
xB
xB
 wA [wB ]
yA
・
OA
xA0
y
(0, 0)  0 
c0A [c0B ]
0
A
OB  wA  wB  (xA  xB , yA  yB )
yB
yA  yB
yB0
xA
xA
yB
(0, 0)  (xA0 , yA0 )  (xA  xB , yA  yB )
0  c0A  wA  wB
c0A  c0B  (xA0  xB0 , yA0  yB0 )  (xA  xB , yA  yB )  wA  wB
(1-4)
(1-1)
(c0A , c0B )は実現可能
35
1.3 効用関数と上方位集合・無差別曲線
消費点 ci にある実数値 ui を対応させる関数 ui
 U i (ci ) （あるいは ui  Ui (xi , yi ) ）が、次
の 2 つの関係を満たすとき個人 i の「効用関数(utility function)」と呼ぶことにする。
 ( xi0 , yi0 ) と c1i  ( xi1 , yi1 ) について、
① 「個人 i が消費点 ci0 を c1i より選好する（好む）
」とき U i (ci0 )  U i (c1i ) である。
② 「個人 i にとって消費点 ci0 と c1i が無差別である」とき U i (ci0 )  U i (c1i ) である。
すなわち、消費点 ci0
そして以下では、効用関数 ui
 U i (ci ) で、個人 i の選好（preference）が表現できると仮定
する。また、選好は「単調性(monotonicity)」を満たすことを仮定する。
なお、選好が「単調性」を満たすとは、 c i0
U i (ci0 )  U i (c1i )
 c1i を満たす任意の消費点 ci0 と c1i について、
(1-5)
が成立することである。
36
個人 i にとって消費点 ci0 よりも選好されるか、または ci0 と無差別な消費点の集合(領域)を
Pi (c i0 ) と表すことにする。すなわち、
(1-6)
Pi (ci0 )  {ci | Ui (ci )  Ui (ci0 ),ci  0}
である。そして、 Pi (c i0 ) を「（消費点 ci0 の）上方位集合(upper contour set)」と呼ぶことに
する。
また、消費点 ci0 よりも個人 i にとって選好される消費点の集合(領域)を「（消費点 ci0 の）厳
密な上方位集合(strict upper contour set)」と呼び、 Pi (c i0 ) と表すことにする。すなわち、
Pi (ci0 )  {ci | Ui (ci )  Ui (ci0 ),ci  0}
(1-7)
である。
厳密な上方位集合 Pi (c i0 ) と集合 {ci | ci  ci0 } を用いれば、「効用関数が単調性を満たしてい
る」ことは、「任意の ci0 について {ci | ci  ci0 }  Pi (ci0 ) 」と言い換えることができる
なお、選好が「単調性」を満たすとは、 c i0
Ui (ci0 )  Ui (c1i )
 c1i を満たす任意の消費点 ci0 と c1i について、
(1-5)
が成立することである。
37
選好が「単調性」を満たすとは、 c i0
U i (ci0 )  U i (c1i )
 c1i を満たす任意の消費点 ci0 と c1i について、
(1-5)
が成立することである。
{ci | ci  ci0}
yi
Pi (ci0 )
 c1i
 ci0
Oi
xi
Pi (ci0 )  {ci  Ci | U i (ci )  U i (ci0 )}
『{ci | ci  ci0}  Pi (ci0 ) 』
『 c1i {ci | ci  ci0}
『 c1i  ci0
c1i {ci Ci | Ui (ci )  Ui (ci0 )} 』
Ui (c1i )  Ui (ci0 ) 』
選好は「単調性」を満たす。
38
また、個人 i にとって消費点 ci0 と無差別な消費点の集合(領域)を「無差別集合(indifference
set)」と呼び、 I i (ci0 ) と表すことにする。すなわち、
Ii (ci0 )  {ci Ci | Ui (ci )  Ui (ci0 )}
(1-8)
である。
そして、選好が「単調性」を満たすので「無差別集合 I i (ci0 ) 」には「内部」が存在しない（「1.6
補論」参照）。すなわち、 I i (ci0 ) は「曲線」なので「無差別曲線」と呼ぶこともある。
39
yi
Pi (ci0 )
 ci0
Oi
xi
40
yi
Pi (ci0 )
 c1i
Pi (ci0 )
Oi
xi
Ii (ci0 )  {ci | Ui (ci )  Ui (ci0 ),ci  0}
41
＜無差別集合に「内部」が存在するケース＞
{ci | ci  ci0}
yi
Pi (ci0 )
 ci0
Pi (ci0 )
Oi
Ii (ci0 )  {ci | Ui (ci )  Ui (ci0 ),ci  0}
{ci | ci  ci0}  Pi (ci0 ) ではない。
xi
選好は「単調性」を満たしていない。
42
1.4
パレート改善とパレート効率性
状態 j の資源配分を a j
 (c Aj , cBj ) と表すことにする（ j  0,1 ）。そのとき、
「資源配分 a1 が資源配分 a 0 をパレート改善（Pareto improvement）する」とは、
「資源配分 a1 の方が資源配分 a 0 よりも、全ての個人にとって効用が低くはなく、
少なくとも１人の個人にとっては効用が高い」ことである。
すなわち、上方位集合 Pi (ci0 ) と無差別曲線 I i (ci0 ) を用いて表せば、
「 a1 が a 0 をパレート改
善する」とは、次の 2 つの条件
① 「 c1A  PA (c0A ) かつ c1B  PB (c0B ) 」である。
(1-9)
② 「 c1A  I A (c0A ) かつ c1B  I B (c0B ) 」ではない。
(1-10)
を満たすことである。
43
効率性について議論を進めるときは、初期保有配分 w  (w A , w B ) が与えられたもとでの実
現可能な資源配分に着目することになる。
そこで、その準備として、
（消費点 ci0 の）上方位集合 Pi (ci0 ) を、エッジワースの箱の領域 E w
に制限して、個人 A の消費平面上で捉えたものを Pi w (ci0 ) とおくことにする。すなわち、
PAw (c0A )  {c A | c A  PA (c0A ), c A  E w }
PBw (c0B )  {c A | cB  PB (c0B ), c A  cB  w A  wB , c A  E w }
(1-11a)
(1-11b)
である。
また、同様にして、エッジワースの箱の領域 E w に制限して、個人 A の消費平面上で捉えた
選好集合を Pi w (ci0 ) 、無差別曲線を I iw (ci0 ) と表すことにする
44
（問題 1-4）資源の初期保有配分が w  (w A , w B )  ((xA , y A ), (xB , yB ))  ((5, 2), (1,12)) で
あるとする。そのとき、 a0
 (c0A , c0B )  ((xA0 , y A0 ), (xB0 , yB0 )) ＝ ((3, 6), (3, 8)) が
実現可能な資源配分であることを確認しなさい。次に、個人 A の効用関数が
u A  min(2xA , y A ) のときの PA (c0A ) と I A (c0A ) を求めなさい。また、個人 B の
効用関数が uB  2xB  yB であるときの PB (c0B ) と I B (c0B ) を求めなさい。さらに、
個人 A の消費平面上に E w 、 PAw (c0A ) 、 PBw (c0B ) を図示しなさい。
PA (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA )  6}
I A (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA )  6}
PB (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  14}
I B (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  14}
45
 (c Aj , c Bj ) が、 w  (w A , wB ) が与えられたもとで、実
現可能な資源配分であるケースに議論を限定する（ j  0,1 ）。すなわち、c Aj  c Bj  w A  w B
さて以下では、状態 j の資源配分 a j
である（1.2 節参照）。
そして、（ w が与えられたもとで）「（実現可能な）資源配分
a 0  (c0A , c0B )
= (c0A , w A  wB
 c0A ) がパレート効率的（efficient）またはパレート最適（optimal）である」
とは「（実現可能な）資源配分 a 0 をパレート改善する（実現可能な）資源配分は存在しない」
ことである。
言い換えると、 a 0 がパレート効率的であるとは、「（資源配分を a 0 から他の実現可能な資
源配分に変更することで）ある個人の効用水準を高くするためには、他の個人の効用水準
を低下させざるを得ない」ことである。
46
（実現可能な）資源配分の効率性をエッジワースの箱を用いて検討するために、個人 A と
個人 B の上方位集合、無差別曲線などを同じ消費平面上で表現したい。
そこで、
（消費点 ci0 の）上方位集合 Pi (ci0 ) を、エッジワースの箱の領域 E w に制限して、個
人 A の消費平面上で捉えたものを Pi w (ci0 ) とおけば、
PAw (c0A )  {c A | c A  PA (c0A ), c A  E w }
PBw (c0B )  {c A | c B  PB (c0B ), c A  c B  w A  w B , c A  E w }
(1-11a)
(1-11b)
である。
また、同様にして、エッジワースの箱の領域 E w に制限して、個人 A の消費平面上で捉えた
選好集合を Pi w (ci0 ) 、無差別曲線を I iw (ci0 ) と表すことにする
47
yA
xB
PAw (c0A )
 c0A [c0B ]
PBw (c0B )
I Aw (c0A )
I Bw (c0B )
xA
yB
48
以上で説明した Pi w (ci0 ) と I iw (ci0 ) を用いて（ i 
A, B ）、初期保有配分 w  (w A , wB ) が与
えられたもとでの実現可能な資源配分 a0  (c0A , c0B ) = (c0A , w A  wB  c0A ) のパレート効率
性に関して議論をすることができる。
まず、（資源の初期保有配分 w が与えられたもとで）
PAw (c0A )  PBw (c0B )
=「両方の個人が a 0 より好む、または無差別な（実現可能な）資源配分の集合(領域)」
I Aw (c0A )  I Bw (c0B )
=「両方の個人が a 0 と無差別な（実現可能な）資源配分の集合(領域)」
49
w  (w A , w B )
a0  (c0A , c0B )
c0A  c0B  wA  wB
したがって、（ w が与えられたもとで）
Pw (a0 )  {c A | c A  PAw (c0A )  PBw (c0B ), c A  I Aw (c0A )  I Bw (c0B )}
(1-12)
=「資源配分 a 0 をパレート改善(する資源配分の)集合(領域)」
=「 PAw (c0A )  PBw (c0B ) から I Aw (c0A )  I Bw (c0B ) を取り除いた集合(領域)」
したがって、「（
w が与えられたもとで実現可能な）資源配分 a1 が a0 をパレート改善する」
ことを c1A  Pw (a0 ) と表すことができる。なお、a1  (c1A , c1B )  (c1A , wA  wB  c1A ) である。
c1A  c1B  wA  wB
以上より、（資源の初期保有配分 w が与えられたもとで実現可能な）「資源配分 a 0 がパレー
ト効率的である」とは「 Pw (a0 ) が存在しない」ことである。すなわち、空集合(要素を全く
含まない集合)を  とおけば、
「資源配分 a 0 がパレート効率的である」ことは、
Pw (a0 )  
(1-13)
と表すことができる。
① 「 c1A  PA (c0A ) かつ c1B  PB (c0B ) 」である。
(1-9)
② 「 c1A  I A (c0A ) かつ c1B  I B (c0B ) 」ではない。
(1-10)
50
（問題 1-5）下のエッジワースの箱型図にある資源配分 a1 、 a 2 、 a 3 の中で資源配分 a 0 をパ
レート改善する資源配分はどれかを、理由とともに答えなさい。ここに、
a j  (c Aj , c Bj ) である( j  0,1, 2, 3 )。また、 Pw (a0 ) を図示しなさい。
yA
PAw (c0A )
xB
c0A [c0B ]
 c 3A
 c 2A
PBw (c0B )
 c1A
I Aw (c0A )
I Bw (c0B )
xA
yB
Pw (a0 )  {c A | c A  PAw (c0A )  PBw (c0B ), c A  I Aw (c0A )  I Bw (c0B )}
(1-12)
51
I Aw (c0A )  I Bw (c0B )  PAw (c0A )  PBw (c0B )
yA
xB
PAw (c0A )
c0A [c0B ]
PBw (c0B )
I Aw (c0A )
I Bw (c0B )
xA
yB
Pw (a0 )  {c A | c A  PAw (c0A )  PBw (c0B ), c A  I Aw (c0A )  I Bw (c0B )}
(1-12)
上図のケースでは Pw (a0 ) は存在しない。
52
（問題 1-6）問題 1-4 で与えられた効用関数と資源の初期保有配分のもとで、資源配分
a0  (c0A , c0B )  ((xA0 , y A0 ), (xB0 , yB0 )) ＝ ((6,14), (0, 0)) とする。そのとき、Pw (a0 )
を図示することで a 0 がパレート効率的でないことを確かめなさい。
PA (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12}
PAw (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12, (0, 0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6,12  yA 14}
I A (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12}
I Aw (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12, (0, 0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6,12  yA 14}
PB (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  0}
PBw (c0B )  {(xA , yA ) | 2xB  yB  0, xA  xB  6, yA  yB  14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  (6  xA )  (14  yA )  0,14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  xA  yA  26, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
I B (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  0}
I Bw (c0B )  {(xA , yA ) | 2xB  yB  0, xA  xB  6, yA  yB  14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  (6  xA )  (14  yA )  0,14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  xA  yA  26, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6, yA 14}
PAw (c0A )  PBw (c0B )  {(xA , yA ) | xA  6,12  yA  14}
I Aw (c0A )  I Bw (c0B )  {(xA , yA ) | xA  6, yA  14}
P (a )  {(xA , yA ) | xA  6,12  yA  14}
w
0
53
1.5 パレート効率性と限界代替率
消費点 c i を通る個人 i の無差別曲線 I i (ci0 ) の点 ci0 における接線が存在している（点 ci0 の近
くで I i (ci0 ) が「滑らかな曲線」である）ならば、限界代替率は次のように定義される。
すなわち、「個人 i の消費点 ci0 における限界代替率
MRSi (ci0 ) （ marginal rate of
substitution）」とは「消費点 ci0 を通る個人 i の無差別曲線 I i (ci0 ) の点 ci0 における接線の傾
き」である。
（問題 1-7） ci0  ( xi0 , yi0 ) における限界代替率 MRSi (ci0 ) を、 xi
yi 平面に図示しなさい。
54
（問題 1-7） ci0
 ( xi0 , yi0 ) における限界代替率 MRSi (ci0 ) を、 xi yi 平面に図示しなさい。
yi
yi0
 ci0  (xi0 , yi0 )
MRSi (ci0 )
xi0
・・
Ii (ci0 )
xi
55
「上方位集合 Pi (ci0 ) が凸性を満たす」とは「 Pi (ci0 ) に含まれる任意の 2 点 c1i と ci2 を結ぶ線
分は Pi (ci0 ) に含まれる」ことである。
Pi (ci0 )
 ci1
 ci0
さらに、エッジワースの箱の領域の内部を
E w o は
E w o  {c
A
| 0  c A  w A  wB }
 ci2
E w o と表すことにする（1.5 補論）。すなわち、
(1-14)
と定義される。
56
さて、資源配分 a0
 (c0A , c0B ) = (c Aj , w A  w B  c Aj ) が
c0A  (E w )o
(2) MRSi (ci0 ) が存在する（ i  A, B ）。
(3) Pi (ci0 ) が凸性を満たしている（ i  A, B ）。
(1)
の 3 つの条件を満たしているとする。
そのとき、
「 Pw (a0 )  
⇔
MRSA (c0A )  MRSB (c0B ) 」
(1-15)
が成立する（1.5 補論）
。すなわち、パレート効率性の条件(1-13)を、限界代替率の一致条件
に置き換えることができる。なお、
「⇒の主張」には Pi (ci0 ) の凸性の条件は必要ではない。
（問題 1-8）Pw (a0 )   となるケースを 1 つ図示して、そのとき MRSA (c0A )  MRSB (c0B ) が
成立していることを確認しなさい。また、 Pi (ci0 ) が凸性を満たしていないときに、
「  の主張」が成り立たないケースを図示しなさい。
57
（問題 1-8）Pw (a0 )   となるケースを 1 つ図示して、そのとき MRSA (c0A )  MRSB (c0B ) が
成立していることを確認しなさい。また、 Pi (ci0 ) が凸性を満たしていないときに、
「  の主張」が成り立たないケースを図示しなさい。
yA
xB
MRSB (c0B )
 c0A
I A (c0A )
MRSA (c0A )
xA
I B (c0B )
yB
MRSA (c0A )  MRSB (c0B )
58
（問題 1-8）Pw (a0 )   となるケースを 1 つ図示して、そのとき MRSA (c0A )  MRSB (c0B ) が
成立していることを確認しなさい。また、 Pi (ci0 ) が凸性を満たしていないときに、
「  の主張」が成り立たないケースを図示しなさい。
yA
xB
MRSB (c0B )
 c0A
I B (c0B )
MRSA (c0A )  MRSB (c0B )
I A (c0A ) MRSA (c0A )
xA
yB
Pw (a0 )  
「 Pw (a0 )  
⇔
MRSA (c0A )  MRSB (c0B ) 」
(1-15)
59
（問題 1-4）資源の初期保有配分が w  (w A , w B )  ((xA , y A ), (xB , yB ))  ((5, 2), (1,12)) で
あるとする。そのとき、 a0
 (c0A , c0B )  ((xA0 , y A0 ), (xB0 , yB0 )) ＝ ((3, 6), (3, 8)) が
実現可能な資源配分であることを確認しなさい。次に、個人 A の効用関数が
u A  min(2xA , y A ) のときの PA (c0A ) と I A (c0A ) を求めなさい。また、個人 B の
効用関数が uB  2xB  yB であるときの PB (c0B ) と I B (c0B ) を求めなさい。さらに、
個人 A の消費平面上に E w 、 PAw (c0A ) 、 PBw (c0B ) を図示しなさい。
PA (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA )  6}
I A (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA )  6}
PB (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  14}
I B (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  14}
60
（問題 1-6）問題 1-4 で与えられた効用関数と資源の初期保有配分のもとで、資源配分
a0  (c0A , c0B )  ((xA0 , y A0 ), (xB0 , yB0 )) ＝ ((6,14), (0, 0)) とする。そのとき、Pw (a0 )
を図示することで a 0 がパレート効率的でないことを確かめなさい。
PA (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12}
PAw (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12, (0, 0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6,12  yA 14}
I A (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12}
I Aw (c0A )  {(xA , yA ) | min(2xA , yA ) 12, (0, 0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6,12  yA 14}
PB (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  0}
PBw (c0B )  {(xA , yA ) | 2xB  yB  0, xA  xB  6, yA  yB  14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  (6  xA )  (14  yA )  0,14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  xA  yA  26, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
I B (c0B )  {(xB , yB ) | 2xB  yB  0}
I Bw (c0B )  {(xA , yA ) | 2xB  yB  0, xA  xB  6, yA  yB  14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  (6  xA )  (14  yA )  0,14, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | 2  xA  yA  26, (0,0)  (xA , yA )  (6,14)}
 {(xA , yA ) | xA  6, yA 14}
PAw (c0A )  PBw (c0B )  {(xA , yA ) | xA  6,12  yA  14}
I Aw (c0A )  I Bw (c0B )  {(xA , yA ) | xA  6, yA  14}
P (a )  {(xA , yA ) | xA  6,12  yA  14}
w
0
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1．厚生経済学の(第 1)基本定理 1
1.1
アダム・スミスの『国富論』
1.2 エッジワース(Edgeworth)の箱と実現可能な資源配分
1.3
効用関数と上方位集合・無差別曲線
1.4
パレート改善とパレート効率性
1.5 パレート効率性と限界代替率
1.6
補論**：
「集合の内部」と「(1-15)の導出」
62

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