Tarea 2

Tarea 2
Matemátics Avanzadas de la Física
Dra. Lucía Medina Gómez
Dr. Ricardo Méndez Fragoso
Ay. Óscar González Miranda
Ay. Dulce Angélica Zugasti Fernández
1. Resuelve la ecuación de Laplace para el interior de un sector circular de 90◦ de radio r tal que
a < r < b; sujeto a las siguientes condiciones de frontera:
a) u(r, 0) = 0, u(r, π2 ) = 0, u(a, θ) = 0, u(b, θ) = g(θ)
b) u(r, 0) = 0, u(r, π2 ) = f (r), u(a, θ) = 0, u(b, θ) = 0
2. Sea la E.D.P.
φt (r, θ, t) − c2 ∇2 φ(r, θ, t) = Q(r, θ, t)
con las condiciones de frontera φ(a, θ, t) = G(θ) y la condición inicial φ(r, θ, 0) = f (r, θ)
a) ¿El problema tiene simetría de algún tipo?
b) ¿Qué forma debería tener G(θ) para que tenga simetria?
c) ¿A qué situación física corresponde el problema?
d) ¿Qué representa la condición de frontera?
e) Resuelve la E.D.P. con las condiciones dadas.
3. Resolver
∇2 u(r, θ) = 0
Con la condición de frontera ur (a, θ) = f (θ).
a) ¿Qué problema físico podría representar el problema?
b) Demostrar que, para que el problema tenga solución, f (θ) debe cumplir:
Z 2π
f (θ)dθ = 0
0
4. Observa la figura 1.
a) Demuestra que la solución a la ecuación de Laplace para la región sombreada de la figura 1;
con la condicion de frontera f2 (θ) = 0, está dada por:
n 2n
∞
X
R1
R2 − r2n
ln(r/R2 )
+
(An cos(nθ) + Bn sin(nθ))
u(r, θ) = A0
ln(R1 /R2 ) n=1
r
R22n − R12n
1
Figura 1: Ecuación de Laplace para una región entre dos discos concéntricos.
b) Resuelve ahora el problem para f2 (θ) 6= 0
5. La solución ψ(r, θ, z, t) de la ecuación de Schrödinger:
−~2 2
∇ ψ(r, θ, z, t) + V (r, θ, z) = i~ψt (r, θ, z, t)
2m
Está relacionada directamente con la probabilidad de encontrar a una partícula en las coordenadas
(r, θ, z) al tiempo t. Si la partícula esta encerrada en un cilindro de radio a y altura H; donde
V (r, θ, z) = 0.
a) ¿Cuáles son las condiciones de frontera del problema?
b) Encontrar el espectro de energías Enm de la partícula en términos de una λ0m y n ∈ N.
c) Encontrar la energía mínima de la partícula.
6. El potencial eléctrico en los extremos de un cilindro no conductor es de f (r, θ) y cero en su
superficie curva. Encuentra el potencial eléctrico en el interior del cilindro y el campo eléctrico en
su forma vectorial; para una distribución de carga ρ(r, θ, z)
7. La solución ψ(ρ, θ, φ) de la ecuación estacionaria de Schrödinger:
−~2 2
∇ ψ(ρ, θ, φ) = Eψ(ρ, θ, φ)
2m
Con la condición de frontera ψ(a, θ, φ) = 0; representa a una partícula encerrada en una esfera de
radio a. Encontrar su espectro de energías y su energía mínima.
8. Una esfera hueca de radio a contiene una onda sonora estacionaria. Si se cumple que:
c2 ∇2 ψ(ρ, θ, φ) = ψtt (ρ, θ, φ)
Con la condición ψρ (a, θ, φ) = 0. Encontrar la frecuencia mínima de oscilación | ωmin |6= 0; en
términos del radio a. Supón que: ac = 0,25
9. Encontrar la distribución de temperaturas en estado estacionario de una semiesfera sólida de radio
a; si la superficie curva tiene una temperatura f (θ) y la superficie plana a una temperatura T0
constante.
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10. Dos esferas concéntricas de radios a y b, estan divididas en dos hemisferios por un plano
horizontal. El hemisferio superior de la esfera interna y el inferior de la esfera externa se
encuentran a un potencial eléctrico V constante; mientras que los hemisferios restantes están a un
potencial cero. Determinar el potencial eléctrico en la región a ≤ r ≤ b si:
a) La esfera exterior está hueca.
b) La esfera exterior está rellena de un material no conductor y con una distribución de carga
constante.
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