Universidad Nacional de La Plata
Facultad de Ciencias Económicas
Departamento de Economía
Apuntes sobre Números Índices
(versión preliminar – para alumnos1)
AGUSTIN LODOLA
La Plata, Marzo de 2006.-
1
Esta versión preliminar es para uso exclusivo de los alumnos del seminario “Medición de la Economía”. Todos los
comentarios son bienvenidos y pueden enviarse a [email protected]
Agustín Lódola
PREFACIO
3
1 INTRODUCCIÓN
4
2 NÚMEROS ÍNDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES
5
2.1 VALORES, PRECIOS Y VOLÚMENES
2.2 CONCEPTOS BÁSICOS
2.3 INDICES ELEMENTALES, AGREGACIÓN Y PONDERACIÓN
2.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
5
6
8
15
3 NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA
16
3.1 CONSTRUCCIÓN
3.2 ALGUNOS PROCEDIMIENTOS COMUNES
3.3 UTILIZACIÓN
3.4 LOS INDICES DE PRECIOS EN ARGENTINA
3.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
16
32
38
48
48
4 LA TEORIA DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS
49
4.1 EL PROBLEMA DE LOS NÚMEROS ÍNDICES
4.2 EL ENFOQUE AXIOMÁTICO
4.3 EL ENFOQUE ECONÓMICO
4.4 INDICES DE COSTO DE VIDA: ¿DE QUIÉN?
4.5 LOS ÍNDICES ESPACIALES
4.6 NUEVOS BIENES:
4.7 LOS INDICES DE PRECIOS DE PRODUCCIÓN
4.8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
49
49
53
58
61
61
61
61
5 ACERCANDO LA PRÁCTICA Y LA TEORÍA
62
5.1 ÍNDICES SUPERLATIVOS
5.2 INDICES DEMOCRATICOS
5.3 ÍNDICES EN CADENA
5.4 INDICES MULTILATERALES
5.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
62
65
66
68
70
6 TÓPICOS SOBRE ÍNDICES DE PRECIOS
71
6.1 AJUSTES POR CALIDAD: ENCADENAMIENTO Y REGRESIONES HEDÓNICAS
6.2 LOS SESGOS
6.3 INFLACIÓN SUBYACENTE
6.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
71
71
71
71
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
72
7.1 BIBLIOGRAFÍA GENERAL
7.2 NOTA SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA
72
73
-2-
Apunte sobre Números Índices
PREFACIO
Según un conocido dicho popular las estadísticas deben consumirse, al igual que las
hamburguesas, sin averiguar cómo fueron hechas. Estos apuntes parten de considerar justamente lo
opuesto: conocer cómo se construyen las estadísticas es fundamental para saber usarlas correctamente.
Considerando que la información estadística es solamente un reflejo de la realidad y por lo tanto un intento
de acercarse a la misma; hay diferencias importantes entre las dos. Justamente conocer los detalles de su
construcción permitirá evaluar esa brecha.
A riesgo de aburrir con justificaciones económicas desde el comienzo, pero no pudiendo ser infiel
como mi profesión, voy a empezar diciendo que en la explicación de estos apuntes, se mezclan cuestiones
de oferta y demanda.
Entre las primeras se encuentra fundamentalmente un gusto muy grande por los números índices,
que nació en el momento que cursé los trabajos prácticos de la materia “Macroeconomía I”, hace ya trece
años. Ese primer contacto se potenció siete años después, cuando estando del “otro lado del mostrador”,
me tocó dictar dicho curso. Al mismo tiempo, a estas experiencias casi exclusivamente académicas, se le
sumo las recurrentes ocasiones en la que en el ejercicio de la profesión me enfrenté con la necesidad de
elaborar y utilizar números índices. El entusiasmo con el tema, junto con la certeza de su utilidad práctica,
forman un elemento central que explica por qué decidí ofrecer estos apuntes.
Por otro lado, en las diferentes etapas de mi formación, pero principalmente como alumno y
docente, me enfrenté con el inconveniente de no contar con bibliografía adecuada sobre el tema, y por lo
tanto comencé a experimentar una demanda insatisfecha, que luego percibí que no era solamente
personal, sino de muchos profesores y colegas. Ante esto comencé a investigar el problema y comprobé
que la falta de bibliografía era más aparente que real. Desde hace mucho tiempo, en innumerables libros de
textos y trabajos publicados en revistas científicas, se ha tratado extensamente el tema de los números
índices. Entonces ¿cuál era el problema?, ¿había alguna falla de mercado, que mantenía este exceso de
demanda?. No necesariamente. Me pareció que el problema fundamental es que esa bibliografía esta
escrita para otro mercado. Los libros de textos que contienen notas sobre números índices, tienen como
temas principales otras cuestiones y lo referido al tema de índices de precios o cantidades solo ocupaba
anexos y secciones interiores, mezcladas con las cuestiones principales del libro. Por otro lado, los trabajos
científicos, estaban escritos a un nivel distinto del requerido para un curso inicial.
Estas dos cuestiones me decidieron a emprolijar unas notas que había armado para dar clases y
convertirlas en estos apuntes sobre Números Índices. Su objetivo es principalmente pedagógico y apunta a
cubrir las necesidades de los alumnos que se enfrentan por primera vez al estudio de este instrumental
económico. En realidad podría decirse que estos apuntes pretenden ser un puente entre el exceso de oferta
en un mercado y el exceso de demanda en otro.
Tengo que agradecer en primer lugar a Marcelo Oviedo, quien me facilitó algunas notas que
sirvieron como punto de partida de este proyecto; al profesor Mario Szychowski, con quien compartí como
ayudante, siete años en la cátedra de Macroeconomía I; a Matías Busso y Federico Cerimedo por compartir
una parte de esta agenda de investigación; a Verónica Fossati por su investigación sobre índices espaciales
a Rafael Brigo y Victoria Dowbley por su colaboración en el seminario “Medición de la Economía” y por
tener que leer la primera versión de estos apuntes.
Esta primera versión enfatiza sobre los índices de precios y es preliminar. El proyecto implica
incorporar mayores detalles sobre índices de volumen físico; índices de comercio exterior y más tópicos y
aplicaciones. El carácter preliminar de estos apuntes se refleja en que muchas secciones están en
construcción.
-3-
Agustín Lódola
1
INTRODUCCIÓN
El espacio y el tiempo agregan innumerables complejidades a quienes deben tomar decisiones. La
diferente localización de la actividad productiva, el consumo, etc; y el período de tiempo que implican los
mismos, hacen que preguntas sencillas no tengan respuestas satisfactorias simples. La siguiente pregunta
constituye un ejemplo. ¿Cuánto aumentaron los precios durante el último año?. Supóngase que como
respuesta se obtiene una lista de 5000 bienes acompañada de los precios al inicio y al final del año y la
correspondiente variación porcentual. Esto, como es obvio, no es útil ni operativo.
Precisamente, los números índices son medidas estadísticas usadas para dar una respuesta breve
y concisa a preguntas del tipo de la recién sugerida. Si los precios de todos los bienes subieron en la misma
proporción, por ejemplo un 5% al año, sería fácil medir la inflación: la tasa de inflación sería 5%. Las
dificultades se deben al hecho de que los precios de los diferentes bienes suben a tasas distintas y algunos
pueden incluso bajar. Ellos señalan tendencias generales o cambios globales, no hechos específicos
simples.
En términos más formales, el problema de los números índices trata de separar, en las variaciones
a lo largo del tiempo (o del espacio) que experimentan los flujos de bienes y servicios, cuanto de esa
variación se debe a los precios y cuánto a los volúmenes.
Sin embargo al igual que la economía, la medición de la actividad económica no es una ciencia
exacta. Los números índices forman parte de esta última y por lo tanto tampoco están exentos de este
comentario. Hay diferencias entre lo que se mide y lo que se debería medir. Lo mismo ocurre con los
números índices. Esto ha llevado a separar los capítulos en tres secciones principales. Tanto en los índices
de precios como de cantidades, primero haremos referencia a lo que sucede en la práctica, más
relacionado con lo que realizan la mayoría de las agencias estadísticas en el mundo. Luego se presentará
un breve resumen de cuestiones teóricas. Obviamente esta parte solo pretende ser una introducción al
tema que, como se comentará en las secciones de “notas sobre la bibliografía” es muy extenso. En tercer
lugar estos capítulos tendrán una sección donde se resumirá diversos avances que han intentado lograr un
acercamiento entre la práctica y el “deber ser” del tema.
Profundizar en la tarea de construcción de números índices puede ser una actividad tediosa, y
para algunos sin importancia, sin embargo estoy plenamente convencido que es una de las mejores formas
de comprender adecuadamente la información que de estos números se deduce y utilizarlos con mayor
precisión.
-4-
Apunte sobre Números Índices
2
NÚMEROS ÍNDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES
Como en toda construcción, es necesario primero armar cimientos sólidos y luego
avanzar ladrillo por ladrillo. Antes de ver cómo se construye un número índice
repasemos algunas definiciones que utilizaremos en el resto del apunte. En este
capítulo se introducen en primer lugar (sección 2.1) los elementos que constituyen un
número índice. Luego se presentan tres conceptos que serán fundamentales en todo el
apunte: número relativo (sección 2.2), fórmula de agregación (sección 2.3) y
ponderador (sección 2.4).
2.1
Valores, Precios y Volúmenes
El primer lugar es importante definir y establecer relaciones y propiedades de tres conceptos: las
cantidades, los precios y los valores.
Siguiendo el manual de cuentas nacionales (SCN 1993), el valor de un bien o servicio único y
homogéneo es igual al precio por unidad de cantidad (p) multiplicado por el número de unidades de
cantidad (q); es decir
V=pq
En contraste con el precio, el valor es independiente de la unidad de cantidad elegida. El valor
tiene dimensiones muy diferentes a las del precio, y los términos “valor” y “precio” no pueden utilizarse
indistintamente.
Respecto a las cantidades hay que resaltar que son aditivas sólo para un producto único y
homogéneo. Las cantidades de diferentes productos no son conmensurables ni aditivas, aunque se midan
en las mismas clases de unidades físicas; por ejemplo, no es económicamente significativo sumar 10
toneladas de carbón y 20 toneladas de azúcar, aun cuando su peso conjunto de 30 toneladas pueda
proporcionar una información interesante para otros fines, como la carga de buques o de vehículos.
El precio de un bien o servicio se define como el valor de una unidad de ese bien o servicio. Los
precios, al igual que las cantidades, no son aditivos para los diferentes bienes o servicios.
Mientras que por su parte los valores se expresan en término de una unidad monetaria común y
son conmensurables y aditivos para diferentes productos; según se ha señalado, no varían con respecto a
la unidad de cantidad elegida. La agregación de los valores de diferentes bienes o servicios se justifican por
el hecho de que, en un sistema de mercado, los precios relativos de los diferentes bienes o servicios
deberían reflejar sus costos relativos de producción y sus utilidades relativas para los compradores, tanto si
éstos pretenden utilizarlos para la producción como para el consumo.
En el sistema de cuentas nacionales se prefiere la denominación de índice de volumen en lugar de
índice de cantidad, debido a la ambigüedad que presenta el uso de ésta última. Un ejemplo puede ilustrar lo
anterior. Supóngase que queremos tener un indicador de la producción de una industria que produce dos
tipos de automóviles, uno de los cuales se vende a un precio que es el doble del otro. Aunque los dos
reciben el mismo nombre genérico de “automóviles”, desde el punto de vista económico son dos productos
totalmente diferentes.
Ahora supongamos que entre dos períodos: a) permanece constante el precio de cada modelo; b)
permanece constante el número total de automóviles; c) la proporción de modelos producidos de precio
más alto aumenta del 50% al 80%. El siguiente gráfico resume la información.
-5-
Agustín Lódola
Precio
Año 1
Cantidades
Año 2
Año 1
Año 2
Valores
Var %
Año 1
Año 2
Var %
Modelo A
50.000
50.000
100
160
5.000.000
8.000.000
60%
Modelo B
25.000
25.000
100
40
2.500.000
1.000.000
-60%
200
200
7.500.000
9.000.000
20%
0%
De lo anterior se deduce que el valor total de la producción aumenta el 20% a causa del aumento
de la proporción de modelos de más alto precio, lo que constituye un aumento del volumen del 20%. Como
cada automóvil de precio más alto representa el doble de producción que el del precio más bajo, un cambio
en la producción de modelos de bajo precio a modelos de precio alto eleva el volumen de la producción
aunque el número total de automóviles producidos permanezca invariable.
Si solamente nos quedamos con las cantidades, podríamos afirmar erróneamente que la
producción de esta industria no ha variado, dado que se producen la misma cantidad de “automóviles”. Sin
embargo, esta interpretación se basa en una confusión semántica debida a que el mismo término genérico,
“automóvil” se aplica a dos productos que en realidad son totalmente diferentes desde el punto de vista
económico. No es legítimo sumar juntas cantidades que no son idénticas, aun cuando se puedan medir en
la misma clase de unidades físicas. Sumar conjuntamente modelos totalmente distintos de “automóviles” no
tiene más sentido que sumar toneladas de diferentes “alimentos”; por ejemplo sumar toneladas de
manzanas y de carne.
Por eso, en estos apuntes utilizaremos la expresión “índices de volumen” en lugar de “índices de
cantidades”.
2.2
Conceptos Básicos
Un número índice de precios (de volúmenes) es una representación escalar de un conjunto de
precios (volúmenes) con relación a algún valor base. Su utilidad radica en sintetizar la evolución de alguna
variable (precios, volúmenes, valores) de una determinada canasta de bienes o servicios consumidos,
vendidos, o producidos por una unidad económica (familias, empresas, industrias, etc.) en el tiempo o en el
espacio.
La Canasta
En el cálculo de un número índice ya sea de precios, de volumen o de valor, surge el
inconveniente que existe una cantidad tan grande de bienes en la economía, que si se pretende abarcarlos
a todos, la tarea sería muy ardua (por no decir imposible) y los números índices perderían toda su
operatividad. Esto obliga a que cuando se construye un índice el primer paso consista en determinar la
canasta, es decir el conjunto de bienes que se consideraran para la construcción del indicador.
Bienes y Servicios
En segundo lugar, hay que precisar el concepto de “bien”. Por ejemplo si estamos construyendo un
índice de precios de los consumidores, el bien “galletitas” es una denominación bastante general, ya que
estas pueden dividirse en “galletitas dulces” o “otras galletitas”, a su vez dentro de las “otras galletitas”
podemos encontrar: “de agua”, “de harina integral”, etc. Por lo tanto y de acuerdo al nivel de agregación
elegido, surgen diversos agrupamientos: grupo, subgrupo, producto, variedad.
Empezando desde el nivel mas desagregado, nos encontramos con el concepto de variedad, que
son los agrupamientos que componen un producto. En nuestro caso el producto “otras galletitas” se
compone de las variedades: “galletitas de agua”, “galletitas de harina integral”, etc.
El término items o variedad es utilizado para denominar cualquier bien o servicio incluido en la
canasta relevada por el índice (por ejemplo “galletitas saladas de agua”) para el cual no se dispone de
ponderaciones internas ni de elementos para realizar una selección de bienes y servicios proporcional a
esas ponderaciones desconocidas. Para cada variedad se calcula un índice elemental. Este es un promedio
-6-
Apunte sobre Números Índices
no ponderado de un conjunto de observaciones de precios realizadas mediante entrevistas directas en una
muestra de negocios informantes. La razón por la cual los precios de los productos comprendidos dentro de
una variedad deben promediarse sin ponderaciones es que, en la práctica, no se dispone de información
para determinar ponderaciones de cada uno de ellos en cada punto de venta específico.
A su vez los productos son cada uno de los agrupamientos que componen un subgrupo. Por
ejemplo el subgrupo “productos de panificación”, se compone por los productos: “pan fresco”, “pan
envasado”, “facturas”, “galletitas dulces”, “otras galletitas”, etc.
Año base de la canasta y Período de Referencia
Decir que el precio de un determinado bien, digamos zapatos, en el año 2000 es de $8 por unidad,
o que la producción de ese bien en dicho año fue de 12.000 unidades no nos ofrece información de utilidad
para el objeto que estamos buscando. El interés mayor en construir un número índice es poder comparar el
mismo en el tiempo (o en el espacio), y por lo tanto surge la necesidad de elegir un período (o un espacio
geográfico) contra el cual realizar las comparaciones. Será de mucha utilidad saber que el precio del zapato
en el año 2000 es un 30% mayor que en 1990 (o que el precio del zapato cuesta un 30% más en la región
norte que en la región sur). Supongamos que elegimos como base de comparación al año 1990, al que
llamaremos año base. Lo mismo sucede cuando queremos saber el comportamiento de muchos precios o
cantidades. En este caso necesitamos elegir el año base de toda la canasta de bienes.
No se debe confundir año base de la canasta con año base de la serie del índice o período de
referencia. El término año base se refiere a la base de los precios o cantidades que están siendo utilizados
como ponderadores. El término período de referencia se refiere al período para el cual la serie de índices
es igual a 100. El período de referencia puede cambiarse simplemente dividiendo la serie del índice por el
valor que toma el índice en el período de referencia elegido. En cambio para modificar el período base de
una serie, debemos obtener nuevos datos de precios y/o de cantidades de ese período que queremos
transformar en base.
Dado que los datos del año base serán utilizados como ponderadores de la serie de índices, se
requiere que deba contemplarse "un año normal" y para ello deben tenerse en cuenta determinados
requisitos o condiciones, siendo los más importantes:
a) que sea un año reciente: es decir que se cumpla el objetivo importante de que los precios a
utilizar en la base como estructuras de ponderaciones representen en buena medida a los bienes transados
actualmente en la economía.
b) que se verifique un elevado nivel de crecimiento: esto supone que ese año presente una
tendencia ascendente de la actividad económica, dejando de lado años con tasas de evolución negativas o
bajos niveles de actividad.
c) que exista normalidad en las condiciones de mercado: se tiene que evitar que en el período a
elegir se hayan producido hechos desequilibrantes como pérdidas de cosechas, desastres de la naturaleza,
recesión, huelgas, control de precios, etc.
d) que exista cierta uniformidad en las variaciones de precios: para evitar cambios significativos en
la estructura de valuación.
e) que sea razonable la disponibilidad de información.
-7-
Agustín Lódola
2.3
2.3.1
Indices Elementales, Agregación y Ponderación
Indices Elementales: Número Relativo
Comencemos entonces a transitar el camino de la construcción de números índices dando el paso
más sencillo, que es el de elaborar un índice de precios de un producto a lo largo de un período. Lo mismo
sería para un índice de producción, salarios, ventas o cualquier otra variable.
Supongamos que tenemos el precio que un determinado bien tenía en una serie de años, tal como
se expone en la siguiente tabla.
Precio de los Zapatos
Período 1990-1993
En pesos
Año
Precio
1990
1991
1992
1993
20
25
28
40
Como ya hemos mencionado esta información no es muy útil para el propósito que buscamos, por
lo tanto transformaremos esta serie de precios en una serie de números relativos.
El valor del índice correspondiente a cada año resultará de dividir el precio de ese año por el precio
del año elegido como base o de referencia, multiplicándose generalmente el resultado por 100 que es el
valor que se asigna a la base. La multiplicación por 100 es una convención que sirve para facilitar el trabajo
posterior.
Así, con estos datos, el índice para el año 1992 con base 1990 surge de la siguiente operación:
IP9290 =
28
× 100 = 140
20
(2.1)
donde IP9290 es el índice de precios del año 1992 tomando como base el año 1990. Haciendo el
mismo procedimiento para todos los años se obtiene la siguiente serie de índices de precios:
Índice de Precio de los Zapatos
Período 1990-1993
Base 1990=100
Año
Índice
1990
1991
1992
1993
100
125
140
200
El resultado nos dice que el índice de precio de los zapatos para el año 1992 es 140. Este número
es independiente de las unidades de medida, no representa ni pares de zapatos, ni kilos, ni toneladas, ni
pesos (dólares, etc). Sólo adquiere significado cuando se los compara con otros índices, ya sea del período
base o de otro año. Por ejemplo, el resultado comentado indica que el precio de 1992 es el 40% más alto
que el de 1990. Esta variación porcentual surge de:
-8-
Apunte sobre Números Índices
∆% 90
92 =
140 − 100 140 100 140
=
−
=
− 1 = 0,40 = 40%
100
100 100 100
(2.2)
Obviamente que este mismo cálculo lo podríamos haber hecho directamente con los precios en
lugar de armar números índices, sin embargo la ventaja de estos últimos va a quedar más clara a medida
que necesitemos incorporar más bienes. De todas maneras la transformación de precios a índices puede
ser de mucha utilidad práctica, aún en estos casos simples. Supongamos que en un momento determinado
necesitemos comparar dos series de precios o de cantidades. Supongamos que queremos averiguar si los
precios del trigo (un importante producto agropecuario) ha evolucionado diferente al del gasoil (un
significativo insumo del agro). Para ello tenemos las dos series de precios:
Precios de la Soja y Gasoil
Periodo 1990-1996
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Precios de la Soja
$ por Tn
2500,00
2664,00
2702,00
2704,00
2800,00
3200,00
4200,00
Precio del gasoil
$ por litro
0,10
0,12
0,14
0,20
0,30
0,40
0,50
Las diferentes características de los productos que se están comparando y las distintas unidades
de medida no permiten a simple vista decir algo sobre la evolución de los precios relativos. Por lo tanto
construyamos un número índice para cada bien, tomando a 1990 como año base:
Índice de Precios de la Soja y Gasoil
Base 1990=100
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Soja
Gasoil
100,0
106,6
108,1
108,2
112,0
128,0
168,0
100,0
120,0
140,0
200,0
300,0
400,0
500,0
De la observación de los números índices surge con mayor claridad que el precio del gasoil creció
mucho más (400%) que el de la soja (68%), entre 1990 y 1996.
Estos índices que hemos construido en esta sección se denominan índices elementales. Son
índices de un único bien y por lo tanto no tiene ponderaciones.
2.3.2
Agregación
Otro problema es elaborar un índice para varios bienes (o un índice de un bien para el cual se
tienen precios de diferentes lugares de compra). Para esto necesitaremos una manera de “agregar” dichos
-9-
Agustín Lódola
bienes. Supongamos que se tiene tres variedades de un mismo bien (o tres lugares de compra de un bien)
cuyos precios en los años 1990 y 1995 son los siguientes:
Producto (o lugar
de compra)
I
II
III
Precios
1990
1995
(a)
(b)
20
40
200
Cociente
Variación %
(c) =(b)/(a)
(d)=(c)-1
130
80
180
6,5
2,0
0,9
550%
100%
-10%
Se trata de elaborar un índice para el año 1995 tomando como base el año 1990. Teniendo en
cuenta lo que hicimos anteriormente para construir el índice de un bien, lo primero que se viene a la mente
es realizar lo mismo para cada uno de los bienes, es decir dividir el precio del año que se está
considerando por el precio que cada bien tenía en el año elegido como base, y luego buscar alguna forma
de agregar dichos bienes.
El primer paso es el que aparece en la columna (c) del cuadro anterior. En cuanto al procedimiento
a adoptar para agregar los bienes se puede citar cuatro alternativas principales:
a)
promedio aritmético, es decir sumar los datos que se quieren promediar y dividirlos por el
número de datos.
b)
promedio geométrico, es decir extraer la raíz n-enésima del producto de los n datos que se
quieren promediar, que a su vez es igual a realizar un cociente de medias geométricas.
c)
Promedio armónico: que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los
valores a promediar.
d)
cociente de los promedios aritmético de cada año.2
Promedio Aritmético: Índice Simple de Carli
La primera alternativa es calcular una media aritmética de los diferentes cocientes. Para ello se
suman la columna (c) del cuadro anterior y se la divide por el número de observaciones (en este caso 3
observaciones).
PCA ={(130/20) + (80/40) + (180/200)}/3
La ecuación sería
N
PCA c = ∑
o
n =1
1 p nc
N p n0
(2.3)
donde
PCAc0 Índice de precios elemental de Carli para el año “c” tomando como base el año “o”
p0 indica el precio del bien en el período base
pc es el precio del bien en el período que se está considerando
N es el número de bienes
2
Esto mismo es válido para elaborar un índice simple de cantidades. En los ejercicios se pide construir índices simples de
cantidades.
- 10 -
Apunte sobre Números Índices
Promedio Geométrico: Índice Simple de Jevons
1
o
Jc
P
 pc  N
= ∏  n0 
n =1  p n 
N
(2.4)
Promedio Armónico: Índice Simple Armónico (IPEH)
1
p no
o
PH c =
N
∑p
n =1
(2.5)
c
n
N
Cocientes de Medias Aritméticas: Índice Simple de Dutot.
N
o
Dc
P
=
1
∑N
n =1
N
p nc
(2.6)
1 0
pn
∑
n =1 N
Los índices calculados con las diferentes fórmulas son los siguientes:
Índices de Precios Simples
Período 1995
Base 1990=100
Índice
Media aritmética
Media Geométrica
Media armónica
Cocientes de medias aritméticas
313,33
227,02
169,98
150,00
Variación %
respecto al año base
213%
127%
70%
50%
Las variaciones de precios que ha sufrido esta economía de tres bienes (o este bien en tres
lugares de compra diferente) son muy distintas de acuerdo a las diferentes fórmulas. Haciendo un promedio
aritmético la variación fue de 213%, mientras que haciendo un cociente de las medias aritméticas, resulta
que la variación fue de sólo 50%.
¿Cuál es la mejor forma de calcular un índice simple?. Esta pregunta aparecerá muchas veces en
estos apuntes. En varias oportunidades tendremos diferentes formas de construir un número índice. La
- 11 -
Agustín Lódola
respuesta puede hallarse por dos caminos: uno estudiando las propiedades matemáticas de las fórmulas y
sobre la base de ello juzgar cuál de ellas cumple con la mayoría de los requisitos. Esto constituye el
denominado “enfoque axiomático”. La otra forma es ver cuál de los índices se acerca más a lo que
establece la teoría económica. Estos dos enfoques se verán con mayor detalle en la próxima sección.
En el caso de los índices simples, es poco lo que puede aportar la teoría económica para juzgar
las bondades de cada fórmula, en estos casos tiene mayor utilidad evaluar algunas propiedades
matemáticas de las mismas. 3
Una de ellas es la propiedad de reversibilidad temporal, que dice lo siguiente: en el caso que
tengamos índice para tres años (1990, 1991 y 1992), entonces, si los precios en el año 1992 son los
mismos que en 1990 o año inicial, entonces la variación de precios entre 1991 y 1992 debe compensar a la
variación de precios experimentada entre 1990 y 1991.
En términos un poco más formales, y suponiendo como es usual que al año base le damos un
valor de 100, se debería verificar que:
(Pco * P0 c )/100 = 100
(2.7)
donde Pco es el índice de precios del período “c” tomando como base el período “o” e P oc es el
índice de precios del período “o” tomando como base el “c”
Para comprobar esto y siguiendo con el ejemplo anterior, supongamos que en lugar de calcular el
índice de precios del año 1995 con base en el año 1990, construimos el índice de 1990 con base en el año
1995. Los resultados serían los siguientes:
Índices de Precios Simples
Período 1990
Base 1995=100
Índice
Media aritmética
Media Geométrica
Media armónica
Cocientes de medias aritméticas
58,83
44,05
31,91
66,67
Por lo tanto, para cumplir con la propiedad de reversibilidad temporal, la multiplicación de estos
índices (de 1990, base 1995) por los resultados obtenidos anteriormente (de 1995, base 1990) debe ser
igual a 100.
Media aritmética:
(313,33 * 58,83) /100 = 184,34
Media Geométrica:
(227,02 * 44,55) /100 = 100,00
Media Armónica:
( 169,98 * 31,91)/100 = 54,24
Cocientes de medias aritméticas: (150,0 * 66,67) / 100 = 100,00
Claramente, la media geométrica y el cociente de medias aritméticas cumplen con la propiedad,
mientras que la media aritmética y armónica no la cumple. Puede ser útil antes de continuar, hacer algunas
reflexiones sobre las diferencias entre las diferentes fórmulas de agregación. En sentido matemático será
muy relevante preguntarse de qué dependen las diferencias de los resultados arrojados por las diversas
fórmulas.
Las diferencias entre las medias aritméticas, geométrica y armónica dependen de la dispersión de
los datos a promediar. En el caso extremo que todos sean iguales las tres medias coinciden. Se puede
3
Para un intento de aplicar teoría económica para comparar índices de precios simples o elementales puede verse Diewert
(1995)
- 12 -
Apunte sobre Números Índices
comprobar que la aritmética siempre va a ser mayor que la geométrica y ésta será mayor que la armónica.
Por esta razón se dice que los índices que utilizan una media aritmética tiene un sesgo hacia arriba.
Concepto a Resaltar: “Formulas de Agregación”
En esta sección se han analizado diferentes fórmulas de agregación. Estas serán un componente
importante en el camino a construir un número índice, ya que el resultado dependerá, entre otras cosas,
de la fórmula empleada.
2.3.3
Índices ponderados
En los ejemplos anteriores vimos que los tres productos (o los tres lugares de compra) tenían la
misma gravitación al calcular la variación de precios del conjunto. Esto queda más claro si observamos en
detalle alguna de las fórmulas de agregación. Por ejemplo del Índice de Precios Simple de Carli (IPSCA):
PCA9590 = (1/3)*(130/20) + (1/3)*(80/40) + (1/3)*(200/80)=
En este índice cada bien recibe un peso igual a 1/3. Lo mismo sucede en todas las formulas de
agregación presentadas. Esto es objetable, por ejemplo si se trata de seguir la evolución de los precios de
las exportaciones argentinas (en cuyo caso se daría la misma importancia a la soja que al vino) o de costo
de vida (pues no tiene la misma importancia el consumo de carne que el de biromes) o tantos otros, sean
índices de precios o no. La misma crítica podríamos realizar si queremos construir un índice de precios para
un bien que se adquiere en diferentes lugares de compra (supermercados, almacenes, kioscos, etc.). En
estos casos no deberían pesar igual los distintos lugares de compra, ya que el gasto en ese bien realizado
en un tipo de negocios (por ejemplo supermercados) seguramente no será el mismo que el realizado en
otros (por ejemplo kioscos).
En tales casos es necesario ponderar, esto es, aplicar un procedimiento que haga gravitar la
variación de precios de un producto (o un determinado lugar de compra) con intensidad distinta a la de
otros. En cada caso habrá que analizar el criterio de ponderación.
Supongamos que se tiene que construir un índice de precios, representativo del consumo de un
determinado grupo de personas. Consideremos que este grupo en algún período base, digamos 1980, tenía
una canasta de bienes y servicios que se componía únicamente de tres bienes: bien I, bien II y bien III. El
peso de estos bienes en el total difiere, y como se está tratando de armar un índice ponderado, este hecho
debe tenerse en cuenta. Es decir, a diferencia del índice construido anteriormente (índice simple), donde
cada bien tenía el mismo peso, en este caso debe darse un peso diferente a cada bien. Por lo tanto, si por
ejemplo se quiere calcular un índice de precios ponderado para el año “c” tomando como base el año “o”,
se podría utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas de agregación vistas anteriormente:
1) Si se utiliza la fórmula aritmética, se obtiene:
 PIc
PIIc
PIIIc 
P =  sI o + sII o + s III o  × 100
PII
PIII 
 PI
o
c
O en forma general, para N bienes:
- 13 -
Agustín Lódola
 N
Pnc 
P =  ∑ sn o  × 100
 n=1 Pn 
o
c
(2.8)
donde Sn es el ponderador del bien n.
2) si se utiliza la fórmula del promedio geométrico
 N  p c  Sn 
Pco =  ∏  n0   × 100
 n=1  pn  


(2.9)
3) si se utiliza el cociente de medias
 N

 ∑ s n p nc 
 × 100
Pco =  nN=1


0
s
p
∑ n n 
 n =1

(2.10)
4) si se utiliza la media armónica
H co =
1
pno
sn c
∑
pn
n =1
N
× 100
(2.11)
Donde los ponderadores se representan con la letra “s”. Las suma de estos tiene que ser igual a
uno.
El siguiente problema es determinar qué valor otorgarle a cada ponderador, ya que no puede ser
arbitrario. Es claro que, para un índice que intente medir el costo de la canasta de bienes consumida por
una determinada población, lo ideal sería ponderar a cada bien por la importancia que este tiene en el gasto
total de la familia. Es decir si las familias destinan el 50% de su gasto total en el alquiler de la vivienda, es
lógico que el ponderador de este servicio sea de 0.5. Sin embargo, aunque estemos de acuerdo que el
ponderador sea la proporción que ese bien representa en el total del gasto, queda resolver ¿en qué año?,
¿en el año base?, o ¿en el que estamos considerando?. La diferencia no es menor, ya que si por
ejemplo estamos construyendo el índice de precios de 1995, base 1980. El peso, por ejemplo, del alquiler
puede ser muy diferente entre ambos años, y por lo tanto el índice será muy diferente.
- 14 -
Apunte sobre Números Índices
Concepto a resaltar: “Ponderador”
En esta sección se puso de manifiesto otro componente fundamental en la construcción de un número
índice como es el peso que tendrá cada uno de los bienes.
En suma, de las últimas secciones surgen dos cuestiones fundamentales a tener en cuenta en la
construcción de un número índice: a) la fórmula de agregación (aritmética, armónica, geométrica, cociente
de medias) y b) el valor del ponderador (año base, año considerado)
De acuerdo a la forma en que se respondan estas cuestiones, surgirán diferentes números índices.
Dejaremos la fórmula de agregación geométrica para la última sección y nos concentraremos en los
promedios aritméticos y armónicos, que son los más utilizados en la práctica.
2.4
Ejercicios y Problemas
Ejercicio 2.5.1.
En la ciudad de “pocopan” los consumidores tienen tres lugares alternativos para comprar el pan:
Negocio A, negocio B y negocio C. Los precios y cantidades adquiridas en los diferentes lugares y para los
diferentes meses son los siguientes:
mayo
junio
julio
precio cantidad precio cantidad precio cantidad
Negocio A
Negocio B
Negocio C
0,8
1,2
1,5
200
100
50
0,9
1,5
1,5
190
90
60
0,9
1,4
1,7
190
95
40
El Concejo Deliberante de “pocopan” ha decidido incrementar los salarios de los empleados
municipales de acuerdo a las variaciones del precio del pan. Para ello es necesario que la ciudad tenga un
índice de precios del pan en forma mensual y lo contrata a usted para que realice esa tarea. Calcule el
índice simple para los diferentes meses e informe cual debería ser el incremento de salarios en cada mes.
¿es importante el mes que elige como base?
Sería su respuesta la misma si en lugar de contratarlo el intendente, lo contrata el sindicato de
empleados municipales.
Discuta las dos alternativas.
Ejercicio 2.5.2.
El intendente de “pocopan”, teniendo en cuenta que la producción de pan es la principal actividad
del distrito y por lo tanto la principal fuente de recursos municipales, ha decidido aprovechar los datos
obtenidos (precios y cantidades) de la encuesta realizada en las panaderías para construir un indicador de
producción. Por lo tanto se le pide a usted que construya, utilizando los datos del cuadro anterior, las
diferentes alternativas que podría tener ese índice para el período mayo-julio.
- 15 -
Agustín Lódola
3
NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA
Hemos repasado brevemente cuestiones generales sobre números índices.
Ahora nos dedicaremos a la parte práctica. Comenzaremos por las cuestiones que
tiene que ver con la construcción (sección 3.1) de los principales índices de precios y
volumen que utilizan las agencias oficiales de estadísticas. Luego describiremos
brevemente algunos procedimientos comunes (Sección 3.2) que se realizan con los
índices y sus principales aplicaciones prácticas (sección 3.3). Para finalizar
presentaremos los más importantes índices existentes en Argentina (sección 3.4)
3.1
3.1.1
Construcción
Índices de Laspeyres
Índice de Precios
Siguiendo el criterio de Laspeyres (1871), debemos considerar como fórmula de agregación la
media aritmética presentada en (2.8)
IPco
=
N
Pnc
∑ si P o
n =1
(3.1)
n
y para calcular el ponderador de cada bien, se tiene en cuenta la importancia que tiene ese bien
en el año base. Por lo tanto comencemos por deducir el valor de “s”, que para el caso específico del índice
de precios de Laspeyres lo denominares con la letra griega “α”. Para ello hay que dividir el gasto en ese
bien en el año base, por el gasto total en todos los bienes en dicho año.
Gasto en el bien I en el año base:
PI0 . QIO
(3.2)
0
donde Pi es el precio del bien i en el período “o” (o base)
Gasto total en los tres bienes
O
0
0
PIo.QIo + PII0.QII
+ PIII
.QIII
lo anterior se puede resumir
∑I
III
Pio .Qio
(3.3)
El cociente entre (3.2) y (3.3) nos determina el ponderador para el bien I, que indicaremos con la
letra griega “α”.
- 16 -
Apunte sobre Números Índices
PIoQIo
αI =
(3.4)
∑ PioQio
Haciendo lo mismo para los otros dos bienes y reemplazando en la ecuación (3.1), obtenemos:
PIo QIo
∑ Pio Qio
PIc
PIo
o
PIIo QII
+
∑ Pi0Qio
PIIc
PIIo
+
o
PIII
QIo
∑ Pio Qio
c
PIII
(3.5)
o
PIII
Simplificando4 y agrupando5 la anterior expresión se obtiene la siguiente fórmula general para el
índice de precios de Laspeyres (IPL).
n
o
PL c =
∑P Q
i =1
n
c
i
o
i
(3.6)
∑P Q
i =1
o
i
o
i
Donde, respecto al PL el subíndice indica el año al que se quiere hacer referencia y el supraíndice
el año que se ha elegido como base. Lo que hace este índice es comparar el costo de adquirir la canasta
del año base en el año que se está considerando respecto al período base. Para cada año distinto de 1990
se deben comparar los precios de ese año referidos a la canasta del año base, pues esta es la
característica del IPL: comparar el precio que en distintos momentos del tiempo cuesta la canasta relevante
para el año inicial tomado como base.
De la ecuación (3.1), también se puede obtener una formula general para cuando se conoce el
valor del ponderador:
Pi c
P = ∑αi o
Pi
0
Lc
(3.7)
Hay dos características que es necesario resaltar en este punto. Primero que el índice de
Laspeyres utiliza como ponderador al peso que tiene el bien en el período elegido como base. Segundo que
es un promedio aritmético de índices elementales.
También se puede mostrar la llamada formula de Laspeyres modificada, que es la que en realidad
utilizan la mayoría de las agencias de estadísticas del mundo. En esta fórmula el año de la canasta es
diferente del año elegido como base. Esto surge generalmente debido a que la publicación de las nuevas
series de índices de precios se produce un tiempo después que la realización de la encuesta de donde
surge los valores de los ponderadores. Así por ejemplo, en Argentina la última encuesta nacional de gastos
se realizó entre 1996 y 1997 por lo tanto este es el período de la canasta de bienes y servicios, pero se
eligió como período base al año 1999, de esta forma la ecuación modificada de Laspeyres para el año
4
Fíjese que en los tres miembros de esta suma aparece un mismo número en el numerador y denominador Pi94 en el
primero, etc.) por lo tanto se puede simplificar.
5
En los tres miembros de la suma, el denominador es el mismo, por lo tanto se pueden agrupar.
- 17 -
Agustín Lódola
2000 sería la siguiente:
n
99
PL 2000 =
∑P
i =1
n
2000
i
∑P
i =1
i
Qi97
x 100
99
(3.8)
97
i
Q
En realidad se cambia la base de la serie del índice pero no la base de la canasta.
Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere calcular la inflación que experimentaron los
estudiantes universitarios en una determinada ciudad, entre 1988 y 1990. Por lo tanto se necesita un índice
de precios relevantes para esa población de referencia. A través de una encuesta a un número
representativo de los mismos se llega a la conclusión que la canasta de consumo correspondiente a dicho
grupo está constituida por dos bienes: fideos y libros y por un servicio: alquileres.
En la siguiente tabla se muestra la información sobre cantidades consumidas de dicho bienes en
el período que se eligió como base (1988) y la información de precios que se obtiene periódicamente de
otras encuestas específicas, para los años 1988 y para 1990; columnas (a), (b) y (c) respectivamente.
Precios y Cantidades Consumidas
Estudiantes Universitarios
Bien
Cantidad
1988
(a)
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
1988
(b)
10
80
1
1990
(c)
5
2
40
8
4
45
Para obtener la inflación entre 1988 y 1999 necesitamos construir los índices de precios de cada
uno de esos años. Dado que 1988 es el año elegido como base, ya conocemos que su valor es 100 por
convención. Para el índice correspondiente al año 1990 utilizamos la fórmula (3.6).
Para obtener el numerador de esa fórmula, construimos, en el cuadro siguiente, la columna (e) que
surge de multiplicar los precios del año que estamos considerando (1990) por las cantidades del año base
(1988). La suma de esta columna es 445.
Cálculo del Índice de Precios de Laspeyres
Bien
Fideos
Libros
Alquileres
Cantidad
1988
(a)
Precios
1988
(b)
10
80
1
Gasto
1990
(c)
5
2
40
P88 Q88
(d)=(a)*(b)
8
4
45
Suma
P90 Q88
(e)=(a)*(c)
50
160
40
80
320
45
250
445
Luego, para lograr el denominador de la fórmula de Laspeyres, construimos la columna (d), donde
- 18 -
Apunte sobre Números Índices
para cada bien, se multiplica el precio y las cantidades del año elegido como base. Su valor es 250.
Dividiendo finalmente numerador por denominador y multiplicando el resultado por 100, obtenemos
el índice de precios de Laspeyres para 1990 (base 1988=100), IPL9088, que es igual a 178.
Este número, no tiene un valor en sí mismo, y sólo está indicado que la canasta de bienes del
período base, cuesta un 78% más en el año considerado respecto al año base. Esta variación surge de la
siguiente operación:
88
90
L 88
∆% P
=(
PL 90
88
PL 88
− 1) *100
(3.9)
Con los datos anteriores podemos también calcular el ponderador de cada bien. Para ello
utilizamos la fórmula (3.4). Así de un gasto total en el año base de $250, en fideos se gastó $50. Por lo
tanto el ponderador de este bien es 0,20 o 20% (=50/250). Lo mismo hacemos con el ponderador de los
libros (0,64 = 160/250) y de los alquileres (0,16 = 40/250).
Habiendo calculado los ponderadores, podemos ahora utilizar la fórmula (3.7) para construir el
índice de Laspeyres. De esta forma el PL para 1990 con base en el año 1988 es el siguiente
PL9088 = ( 0,20 * (8/5) + 0,64 * (4/2) + 0,16 * (45/40)) * 100 = 178,00
(3.10)
En forma general entonces, el índice de precios de Laspeyres para un determinado año “c”,
tomando como base a un año “o” es igual a:
n
o
PL c =
∑P Q
i =1
n
c
i
o
i
∑P Q
i =1
o
i
× 100
(3.11)
o
i
Digresión: álgebra matricial
La ecuación anterior puede simplificarse utilizando álgebra matricial. Cuando se trata con pocos
bienes no hay problemas en seguir con la notación anterior, pero en otros casos la utilización de álgebra
matricial (vectores principalmente) simplifica en gran medida la forma de escribir. Por ejemplo podemos
definir un vector de precios del año base, que denominaremos p0, como el conjunto ordenado de los
precios de todos los bienes en dicho año (pI, pII, ...). De la misma forma el vector de cantidades, qc, puede
representar las cantidades de los bienes en el año que estamos considerando (qI, qII, ...). Lo útil de definir a
los conjuntos de precios y cantidades como vectores es que la multiplicación de dos vectores se realiza de
la siguiente manera:
Por ejemplo y utilizando los datos del ejemplo anterior, si tenemos el vector (fila)
p0 = p 88 = [5, 2, 40]
y el vector (columna)
- 19 -
Agustín Lódola
q0 = q88 =
10 
80 
 
 1 
el producto de p0 * q0 = [5 (10) + 2 (80) + 40 (1)] = 250, que es el numerador del índice de Laspeyres.
Y definiendo el vector (fila) pc = p90 = [8, 4, 45], el producto de pc*q0 = [8*10 + 4*80 + 45*1 ]= 445,
es el denominador del índice de Laspeyres.
Por lo tanto la ecuación (10) utilizando la notación vectorial puede expresarse como:
pcq0
P = 0 o × 100
p q
o
Lc
Como puede observarse, en esta expresión no aparece el símbolo de sumatoria debido a que los
p y q no son simples precios y cantidades de un bien sino vectores de precios y cantidades y por lo tanto
representan un conjunto de bienes.
Indice de Volumen
3.1.2
Índices de Paasche
Índice de Precios
El índice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos. En primer lugar utiliza como
fórmula de agregación la media armónica, expresada en la ecuación (2).
.
H co =
1
pno
sn c
∑
pn
n =1
N
(3.12)
En segundo lugar considera que el ponderador (“s”) de cada bien es el peso que tiene ese bien en
el gasto total del año que se está considerando. Por lo tanto a diferencia de Laspeyres, donde para cada
bien existía un ponderador, en este caso habrá un ponderador para cada bien, pero también para cada año.
Es decir, no sólo el peso de los fideos será diferente al de los libros (al igual que sucedía en el índice de
Laspeyres), sino el peso de los fideos (y el de todos los bienes) puede ser diferente de acuerdo al año que
se esté considerando. Para el caso específico del índice de precios de Paasche denominaremos al
ponderador por la letra griega β. Por lo tanto el índice de precios de Paasche para un determinado año,
digamos 1995 para seguir con el ejemplo de los estudiantes, tomando como base a 1994, se representa por
la siguiente fórmula:
- 20 -
Apunte sobre Números Índices
1
94
PP 95 =
3
∑β
i =1
× 100
Pi 94
Pi 95
95
i
(3.13)
Donde “βI”, el ponderador del bien I, para el año 1995 sería:
β
95
I
PI95QI95
=
∑ P 95Qi95
(3.14)
Calculando los ponderadores de los demás bienes y reemplazándolos en la ecuación (3.13), se
obtiene
1
94
PP 95 =



95 95
94
95 95
94
95 95
94 
PI
P Q
PII
P Q
PIII 
 PI QI
+ III II II
+ III III III
III
95
95
95 

95 95 PI
95 95 PII
95 95 PIII
P
Q
P
Q
P
Q
∑ i i

∑
∑
i
i
i
i
i=I
i=I
 i=I

extrayendo factor común en el denominador y simplificando:
1
94
PP 95 =
1
n
∑P
95
*(P Q
94
I
Q
95
95
I
+P Q
94
II
95
II
+P Q
94
III
i =1
que es equivalente a:
1
94
PP 95 =
n
∑P
i =1
n
i =1
Q
95
Qi95
i
∑P
i
*100
94
95
i
expresando lo anterior como la recíproca de su recíproca
- 21 -
95
III
)
× 100
× 100
Agustín Lódola
n
94
PP 95 =
∑P
95
Qi95
90
95
i
i
i =1
n
∑P
i
i =1
×100
Q
en forma general
n
o
PP c =
∑P Q
c
c
i
∑P
o
c
i
i =1
n
i =1
i
i
Q
× 100
(3.15)
Donde ahora en el numerador y denominador, las cantidades son las del año que estamos
considerando y no las del año base como en la fórmula de Laspeyres. En este caso como el período de
comparación está al final, cada índice compara el costo de adquirir la canasta del año que se está
considerando, respecto al año base.
Sigamos con el ejemplo anterior, calculemos el incremento en el costo de la canasta de bienes
consumida por los estudiantes entre 1988 y 1990, de acuerdo a la fórmula de Paasche. Para ello, además
de los datos de precios para los dos períodos y cantidades para el período base, también se necesita
cantidades consumidas para todos los años. El requerimiento de información para construir un índice de
Paasche es mayor que para el caso de Laspeyres. Los datos se muestran en la siguiente tabla:
Precios y Cantidades Consumidas
por los Estudiantes Universitarios
Bien
Cantidad
1988
(a)
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
1988
(c)
(b)
10
80
1
6
50
1
1990
(d)
5
2
40
8
4
45
De la misma forma que hicimos para armar el índice de Laspeyres, calculemos cada parte de la
fórmula de Paasche. En este caso tenemos que estimar la ecuación (3.15). Para calcular el numerador
construimos la columna (e), que se obtiene de multiplicar el precio que cada bien tenía en el año base
(1988) por las cantidades del año que estamos considerando (1990). La suma de esta columna es 170.
- 22 -
Apunte sobre Números Índices
Cálculo del Índice de Precios de Paasche
Bien
Cantidad
1988
(a)
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
1990
(b)
10
80
1
1988
(c)
10
80
1
Gasto
P88 Q90
P90 Q90
(e) = (a) * (d)
(f) = (b) * (d)
1990
(d)
5
2
40
8
4
45
Suma
30
100
40
48
200
45
170
293
Luego para obtener el valor del denominador construimos la columna (f), que surge de multiplicar
el precio que cada bien tiene en el año que estamos considerando por las cantidades consumidas en ese
año (1990). La suma de la columna es 293.
Por último, dividiendo numerador por denominador y multiplicando el resultado por 100, obtenemos
el índice de precios de Paasche para 1990 (base 1988=100), IPP9088, que es igual a 172,35. Este número,
no tiene un valor en sí mismo, y sólo está indicado que la estructura de bienes del período considerado
hubiera costado un 72,35% menos en el período base. Esta variación surge de la siguiente operación:
88
90
P 88
∆% P
=(
PP 90
88
P 88
P
 172,35

− 1) × 100 = 
− 1  × 100 = 72,35%
 100

Con los datos anteriores podemos también calcular el ponderador de cada bien y para cada año.
Para ello utilizamos la fórmula (3.11). Así de un gasto total en el año 1990 de $293, en fideos se gastó $48.
Por lo tanto el ponderador de este bien es 0,16 o 16% (=48/293). Lo mismo hacemos con el ponderador de
los libros (0,68 = 200/293) y de los alquileres (0,15 = 45/293). Habiendo calculado los ponderadores,
podemos ahora utilizar la fórmula (3.13) para construir nuevamente el índice de Paasche. De esta forma el
IPP para 1990 con base en el año 1988 es el siguiente
88
PP 90 =
1
5
2
40
0,16 × + 0,68 × + 0,15 ×
8
4
45
× 100 = 172,35
Por lo tanto utilizando el índice de precios de Paasche la variación de precios fue 72,35%, mientras
que si medimos esta variación por Laspeyres el resultado es de 78,00%. ¿Por qué surgen diferencias?
¿Cuál de esas fórmulas es la correcta? ¿Cuál es la mejor?. En realidad las dos fórmulas son correctas y las
diferencias pueden explicarse tanto por las distintas fórmulas de agregación como por los diferentes
ponderadores que ambas utilizan. No es claro que una de las fórmulas sea mejor que otras. Como en el
caso de la comparación que hicimos en los índices elementales, en este caso, también puede utilizarse las
propiedades matemáticas (enfoque axiomático) o la teoría económica, para ver cual de estos índices es
mejor. En la próxima sección se tratan estos dos enfoques, pero realicemos un ejemplo para ir intuyendo
cuál de los índices puede cumplir mejor el objetivo buscado, que es medir la evolución de los precios de la
economía.
- 23 -
Agustín Lódola
Índice de Volumen
3.1.3
Relaciónes entre los índices de Paasche y Laspeyres
Índices de Precios
Supongamos que se desea construir un índice de precio para la fruta y existen dos tipos de frutas
relevantes: manzanas y naranjas. Es decir la canasta de este índice esta integrada por estos dos bienes. La
tabla que sigue muestra los precios y las cantidades consumidas de manzanas y naranjas en Abril, Mayo,
Junio y Julio.
Precios y Cantidades de Naranjas y Manzanas
Período: abril/julio
Naranjas
Manzanas
P
Abril
Q
P
Mayo
Q
P
Junio
Q
P
Julio
Q
12
4
6
7
20
4
3
10
20
4
2
15
20
2
2
30
Primero calculemos el Índice de precios de Laspeyres (IPL) tomando al mes de Abril como base,
como es convencional el índice para ese período es igual a 100, pero calculemos para el mes de Mayo
 20 × 6 + 4 × 7 
 120 + 28 
abr
PL mar = 
 ×100 = 
 ×100 = 148
 12 × 6 + 4 × 7 
 72 + 28 
También podemos calcular el índice de Paasche (IPP), para el mes de Junio:
ABR
PP JUN =
(20 × 2) + (4 × 15)
40 + 60
× 100 =
× 100 = 119
(12 × 2) + (4 × 15)
24 + 60
Haciendo lo mismo para los otros meses, obtenemos dos series de índices de precios. A partir de
ellos es posible deducir las variaciones mensuales del precio de las frutas. Los resultados para todo el
período de los dos índices se exponen en la siguiente tabla:
Precio de la Fruta
Período abril-julio
En índices (base abril=100)
y variaciones porcentuales mensuales
Abril
Mayo
Junio
Julio
Laspeyres
Variación resp. Mes
(abril=100)
100
148
148
134
anterior
Paasche (abril=100)
mes anterior
100
132
119
69
48%
0%
-9%
Realicemos algunos comentarios:
- 24 -
Variación resp.
32%
-10%
-42%
Apunte sobre Números Índices
1.
Las estimaciones de cambios de precios mensuales pueden diferir substancialmente,
dependiendo solamente de cómo el índice es construido.
En sentido matemático, y como veremos más detalladamente, las diferencias están en la fórmula
de agregación y en los ponderadores que difieren en las dos fórmulas. En un análisis más intuitivo hay que
decir que las dos fórmulas responden preguntas diferentes sobre la evolución del nivel de precios. Mientras
que con el empleo de la fórmula de Laspeyres se trata de contestar ¿Cuánto más (o menos) cuesta en el
período considerado la estructura de bienes del período base?; con el empleo de la fórmula de Paasche se
trata de responder ¿Cuánto menos (o más) hubiera costado en el período base la estructura de bienes del
período considerado?
El índice de Laspeyres y el de Paasche coinciden cuando el consumidor no efectúa sustituciones
en su patrón de consumo. Las curvas de indiferencia de ese consumidor serían ángulos rectos (del tipo
Leontieff). Sus elasticidades precio de demanda son iguales a cero; es decir que se abstiene de efectuar
sustituciones en su canasta cuando se modifican los precios relativos. Si su ingreso nominal permanece
constante pero aumentasen los precios, este consumidor reduciría proporcionalmente su consumo de todos
los bienes, aun cuando algunos hayan aumentado más que otros. Para este consumidor, en suma, la
utilidad se maximiza consumiendo una canasta fija de bienes.
2.
El índice de Paasche es menor que el índice de Laspeyres.
Matemáticamente la explicación puede venir por el lado de que la media armónica (que se utiliza
para construir un índice de Paasche) es siempre menor que la media aritmética (que se utiliza en el índice
de Laspeyres).
Pero además tiene mucha influencia el tipo de ponderación que cada uno de ellos tiene implícito.
Mientras que el de Laspeyres es fijo, en la formula de Paasche es variable. Con la ponderación móvil
(Paasche) existe mayor correspondencia con la realidad, pues si las ventas de un producto disminuyen
relativamente, también se reducirá su ponderación y aumentará la de otros cuyas ventas aumentaron. Este
efecto sustitución, que realizan los consumidores hacia bienes que se abaratan, Laspeyres no lo tiene en
cuenta.6
La importancia del ponderador queda reflejada si observamos los índices y las correspondientes
variaciones en el mes de Julio. En dicho mes hubo una declinación sustancial en el precio de las manzanas
(50%). A diferencia de Paasche, el índice de Laspeyres pone menos peso sobre esta declinación debido a
la importancia relativa de las manzanas en el período base, Abril. Verificar que para Laspeyres, las naranjas
en Julio tienen un ponderador de 28% (igual que en todos los meses), sin embargo para Paasche el peso
es de 60%.
3.
El índice de Paasche no sólo toma en cuenta variaciones de precios, sino también variaciones
de cantidad.
A pesar de que con la ponderación móvil existe mayor correspondencia con las sustituciones entre
bienes que realizan los consumidores, tiene el inconveniente de que, aunque no se produzcan cambios de
precios, el nivel general del índice puede subir o bajar por el solo efecto de cambios de ponderación, lo que
da una idea equívoca de la realidad. Observemos que si bien ninguno de los precios cambia en Junio, el
índice de Paasche cambia significativamente. El índice de precios de Paasche no sólo mide variaciones de
precios sino también variaciones de cantidad.
Con la ponderación fija el nivel general de precios sólo cambia si hay variaciones de precios (o de
producción, según el índice); por ello es preferido a los índices anteriores, pero es posible, sin embargo,
que la magnitud de la variación esté influenciada por productos que en la realidad han dejado de gravitar.
Hay que remarcar, que este problema está presente cuando se comparan dos períodos que no son
base. Se deja como ejercicio demostrar que si el mes de Mayo hubiese sido el período base, las dos
fórmulas hubiesen dado la misma variación entre Mayo y Junio. En este caso los índices de Lasyperes y
Paasche para Mayo y Junio hubieran sido iguales a 100, y en consecuencia la variación de precios, medida
por las dos fórmulas, hubiera sido nula.7
6
Para ser puntillosos hay que remarcar que el efecto sustitución tampoco Paasche lo capta totalmente, ya que en este, al
igual que en Laspeyres, la canasta de bienes es fija. Por lo tanto Paasche tiene en cuenta el efecto sustitución si este se
produce entre bienes que integran la canasta original.
7
Puede verse Szychowski (1977).
- 25 -
Agustín Lódola
4.
En la práctica, la fórmula de Laspeyres es más fácil y económica de calcular que la de
Paasche.
A pesar de lo anticipado en esta sección y lo que agregaremos luego cuando veamos cómo estas
fórmulas cumplen ciertos test estadísticos, lo que define la utilización por parte de las agencias de
estadísticas de todo el mundo, de una fórmula u otra son las cuestiones de orden práctico.
Supongamos que se trata de un índice de precios al consumidor. Si se utiliza Laspeyres, el
denominador es el valor de la canasta familiar en el año base, que se obtiene de una vez para todo el
período; y, en cuanto al numerador sólo deben obtenerse los precios de los bienes y servicios componentes
de la canasta, pues las cantidades son las del año base. Si se aplicara Paasche, habría que determinar los
consumos (cantidades) de cada mes o año de la serie, lo que significa una considerable dificultad; y,
además, las variaciones de precios. No hay duda de que en este caso es preferible adoptar Laspeyres, y lo
mismo si se tratara de un índice de precios mayoristas o minoristas, aunque para tal fin es frecuente que se
emplee una adecuación de esa fórmula, a la que nos referiremos más adelante.
En el caso de un índice de precios de exportaciones o importaciones se cuenta con información
actualizada, tanto sobre las cantidades comerciadas en cada año, dato que se necesita para calcular el
denominador de Paasche, como sobre el valor de las exportaciones o importaciones (numerador de la
fórmula) sin necesidad de multiplicar precio por cantidad. En cambio sería algo más engorroso aplicar
Laspeyres, porque habría que obtener para el numerador los precios medios de los productos exportados o
importados. De ahí que se prefiera Paasche. No obstante, ante la falta de comparabilidad de los resultados
de períodos intermedios de la serie, es frecuente que se obtengan los índices por grupos de artículos y se
les aplique una ponderación, según el valor comerciado el año base, obteniéndose así un nivel general que
permite tales comparaciones, mientras no haya notables cambios en la composición de los grupos. Este
tema se verá en extenso mas adelante, en el capítulo sobre índices de Comercio Exterior.
Índices de Precios y de Volúmenes
3.1.4
Otros Índices
La historia de los índices de precios no termina con las fórmulas de Laspeyres y Paasche, en
realidad se podría decir que recién comienza con estas. Existe una enorme variedad de fórmulas. Fisher en
su clásico libro presenta y analiza más de un centenar de ellas. En esta parte analizaremos las que son
más relevantes para el objetivo de estos apuntes. En realidad veremos que estas surgen de combinar de
diferente forma las características (formas de agregación, ponderadores) ya vistas de los índices de
Laspeyres y Paasche.
Índice de Palgrave
El índice de Palgrave es una media aritmética (como el de Laspeyres) de los índices elementales,
pero con las ponderaciones del período que se está considerando (como el de Paasche).
De esta forma partimos de la fórmula (2.8)
Pnc
P = ∑ si o
Pn
n =1
N
o
Pc
donde Si es el ponderador de Paasche, es decir “β”. Por ejemplo, siguiendo con el índice de
precios de los estudiantes para el bien I para 1995 sería:
β I95
=
PI95QI95
∑ P 95Qi95
- 26 -
Apunte sobre Números Índices
Reemplazando el β en la ecuación anterior, y multiplicando y dividiendo el numerador por pio se
obtiene:
2
 p nc  c c
 o  p n q n
∑
n =1 p
= N n 
× 100
c c
∑ pn qn
N
PPAL
n =1
Veamos cual sería la inflación experimentada por los estudiantes, si se mide la misma a través de
la fórmula de Palgrave.
Cálculo del Índice de Precios de Palgrave
Año 1990
Bien
Cantidad
1988
1990
a
b
Fideos
Libros
Alquileres
10
80
1
6
50
1
Precios
1988
1990
c
d
5
2
40
Relativo
P90/P88
e = d/c
8
4
45
Total
1,600
2,000
1,125
f = e2 x c x b
P90 Q90
g=bxd
76,80
400,00
50,63
48,00
200,00
45,00
527,43
293,00
Ponderador
1990
0,164
0,683
0,154
En primer lugar, para calcular el numerador de la fórmula, construimos una columna que mida el
cociente entre precio del año que estamos considerando y precio del año base (columna e). Luego
multiplicamos el cuadrado de esa columna por el precio en el año base y por las cantidades del año que
estamos considerando (columna f). La suma es 527,43 y es el numerador de la fórmula. El denominador lo
obtenemos multiplicando los precios por las cantidades del año que estamos considerando (columna g). El
resultado es 293,00.
Dividiendo numerador por denominador y multiplicando por 100, se tiene el índice de precios de
Palgrave para el año 1990, tomando como base 1988. Este toma un valor 180,01; lo que indica que los
precios para los estudiantes aumentaron (aprox.) un 80%.
Índice armónico
Otra fórmula para construir un número índice, conocida como índice armónico, es combinar las dos
características utilizadas en el índice de Palgrave, pero al revés. Utilizar la forma de agregar de Paasche, es
decir hacer un promedio armónico, pero utilizando los ponderadores de Laspeyres, o sea los del período
base.
Por lo tanto en la ecuación de la media armónica presentada en (2.11)
1
o
PH c =
pno
sn c
∑
pn
n =1
N
- 27 -
Agustín Lódola
y el ponderador de cada bien (Sn) sería el de la fórmula de Laspeyres, es decir “α”, que para el
bien I sería:
PIo QIo
αI =
∑ Pi oQio
Calculando el ponderador para los otros bienes y reemplazándolos en la fórmula se obtiene el
índice armónico en función de precios y cantidades:
N
∑p
o
PH c =
n =1
o
n
q no
2
p  c o
 p n q n
n =1 

N
∑  p
o
n
c
n
× 100
Veamos en este caso, cuánto sería la inflación experimentada por los estudiantes si medimos la
variación de precios por este índice.
Cálculo del Índice de Precios Armónico
Bien
Fideos
Libros
Alquileres
Cantidad
1988
a
Precios
1988
b
10
80
1
Total
5
2
40
1990
c
8
4
45
Gasto
P88 Q88
d=axb
Relativo
P88/P90
e
50
160
40
250
0,625
0,500
0,889
F = e2 x a x c
31,250
80,000
35,556
Ponderador
1988
f
0,20
0,64
0,16
146,8056
Al igual que los anteriores calculemos primero el numerador. Para eso construimos la columna (d)
que surge de multiplicar los precios y cantidades del año base. La suma de la misma es de 250. Para el
denominador calculamos en primer lugar la razón entre el precio del año base y el precio del año que
estamos considerando. Luego multiplicamos el cuadrado de esta columna por las cantidades del año base
y los precios del año que estamos considerando (columna f). El resultado es 146,81. El índice de precios
armónico es el cociente entre ambos multiplicado por 100. Su valor es de 170,29 e indica que los precios
para los estudiantes se incrementaron un 70,29%.
Índices Geométricos
Además de los índices mencionados, basados en fórmulas de agregación aritméticas y armónicas,
se han propuesto índices basados agregar precios de acuerdo a la media geométrica.
Combinando esta fórmula de agregación geométrica vista en (2.9) con los ponderados del año
base y del año que estamos considerando, obtenemos los índices geométricos de Laspeyres y Paasche
respectivamente.
Así obtenemos el índice geométrico de Laspeyres:
- 28 -
Apunte sobre Números Índices
 N  p c  Sn 
=  ∏  n0   × 100
 n=1  pn  


0
o
PGL c
y el índice geométrico de Paasche:
 N  p c  Sn
=  ∏  n0 
 n=1  pn 

c
o
GL c
P

 × 100


(2.9)
Estos índices geométricos pueden expresarse en forma logarítmica como una media aritmética
ponderada de los logaritmos de los índices elementales de precios, por lo cual a veces se lo llaman
“índices de variación logarítmica” (log-change index). Así se obtienen los respectivos índices logarítmicos
de Laspeyres y Paasche:
o
LnGL c
 N o  pnc  
=  ∑ sn Ln 0   × 100
 pn  
 n=1
o
LnGP c
 N c  pnc  
=  ∑ sn Ln 0   × 100
 pn  
 n=1
P
P
Cálculo del Índice de Precios Geométrico de Paasche
Bien
Fideos
Libros
Alquileres
Cantidad
Precios
1988 1990 1988 1990
a
b
c
d
10
80
1
6
50
1
5
2
40
8
4
45
Relativo Ponderador
P90/P88
1990
e= d/c
f
g=e (elevadado a la) f
1,600
2,000
1,125
0,164
0,683
0,154
Producto
por 100
1,080
1,605
1,018
1,765
176,51
Cálculo del Índice de Precios Geométrico de Laspeyres
- 29 -
Agustín Lódola
Bien
Cantidad
Precios
1988 1990 1988 1990
a
b
c
d
Fideos
Libros
Alquileres
10
80
1
6
50
1
5
2
40
8
4
45
Relativo Ponderador
P90/P88
1988
e= d/c
f
1,600
2,000
1,125
Producto
por 100
3.1.5
0,200
0,640
0,160
g=e (elevadado a la) f
1,099
1,558
1,019
1,744
174,45
Índices Espaciales
Hasta ahora hemos hecho énfasis en la construcción de índices de precios intertemporales, es
decir de aquellos índices que comparan la evolución de los precios en el tiempo. Sin embargo existe otra
dimensión importante de los números índices, que se relaciona con comparar precios en el espacio, ya sea
entre países o entre regiones de un mismo país.
Cuando la comparación entre países o regiones se reduce a dos de ellas (comparaciones
bilaterales), todo lo dicho hasta el momento para los índices intertemporales es aplicable también a este
tipo de índices.
Un índice espacial de precios mide diferencias en el nivel de precios entre distintos lugares.
Conceptualmente es similar al índice de precios visto anteriormente, pero en vez de referirse a la medición
temporal de los movimientos de precios, se concentran en el aspecto regional de los mismos.
Al nivel de las comparaciones internacionales, los índices espaciales adquieren particular
importancia porque se puede utilizar, en reemplazo de los tipos de cambios oficiales, para convertir varios
agregados económicos en una unidad de moneda común, permitiendo así las comparaciones entre países.
Los agregados económicos convertidos representan valores reales.
Pero no reales en sentido de estar expresado en moneda de un período de tiempo y de esta
manera eliminar las variaciones intertemporales de precios. En este caso el concepto de real hace
referencia a estar expresado en moneda de un país determinado y así se elimina las diferencias de precios
entre países. En otras palabras, el consumo de un país puede ser mayor que otro, ya sea porque consume
cantidades mayores de bienes o porque los precios de esos bienes son más altos en ese país que en el
otro. Esta diferencia de precios entre países es la que posibilita eliminar los índices espaciales de precios.
Ahora bien, no todo lo dicho para los índices intertemporales se aplica linealmente a los índices
espaciales. La principal diferencia en la construcción de un índice espacial de precios está dada por la
formación de los precios relativos. En los casos anteriores estos relativos se construían como el cociente
entre el precio de una determinada variedad en el período que estamos considerando versus el precio de
esa misma variedad en el período base. Ahora, en el caso de los índices espaciales, precios relativos
representan el cociente entre el precio de una variedad en una determinada localidad versus el precio de
esa misma variedad en la localidad elegida como base.
Luego debe elegirse una formula de agregación y un ponderador, al igual que los índices
intertemporales vistos hasta ahora.
Por ejemplo utilizando el criterio de Paasche podemos optar por el promedio armónico como
formula de agregación y como ponderador el peso que cada variedad tiene en la localidad.
El índice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos. En primer lugar utiliza como
fórmula de agregación la media armónica, expresada en la ecuación (2-11).
.
IHco =
1
pno
∑ sn p c
n =1
n
N
- 30 -
Apunte sobre Números Índices
En este caso pon indica el precio del bien n en la localidad o. El ponderador sería el peso que ese
bien tiene en el gasto total de la localidad considerada.
3.1.6
En la realidad
En la sección anterior hemos presentado los aspectos básicos sobre la construcción de índices de
precios de acuerdo a las principales formulas disponibles. En todos esos casos hemos utilizado varias
simplificaciones respecto a lo que es la construcción habitual de los índices de precios en una oficina de
estadística (como el INDEC en nuestro país).
Por ejemplo, además de haber utilizado pocos bienes cuando en la realidad los índices de precios
toman en cuenta una cantidad importante de bienes y servicios; una simplificación importante fue el
concepto utilizado de “bien”. Hemos empleado el agrupamiento “bien” pero en realidad, y como se comento
en la parte inicial, hay diversas desagregaciones a considerar, como el de variedad, producto, subgrupo,
grupo, etc.
La idea de esta parte es explicar sintéticamente los diversos pasos que se llevan a cabo en la
práctica usual de construir números índices. Esas prácticas surgen de los manuales metodológicos de las
distintas agencias y en este caso enfatizaremos el caso argentino (INDEC, 2001)
La principal característica que debemos resaltar es que existen diversos agrupamientos de bienes.
Así el menor nivel de agregación lo constituyen las denominadas variedades (como por ejemplo las
“naranjas”). Un conjunto de variedades constituyen lo que se denomina un producto (p.e.: “frutas cítricas”).
A su vez un conjunto de productos constituye un subgrupo (p.e.: “frutas frescas”). El nivel subsiguiente de
agregación se denomina grupo (p.e.: Frutas).
Asimismo para caracterizar completamente a una variedad se le agregan una especificación (por
ejemplo leche en sachet de plástico) y atributos como peso, tamaño, modelo, marca (por ejemplo litro). Así
se obtiene un artículo, definido como un bien o servicio específico caracterizado por una especificación y
atributos (por ejemplo leche en sachet de plástico de un 1 litro marca “La Granja”).
A los efectos de construir un índice de precios en la práctica, las oficinas de estadísticas (como el
INDEC en Argentina) tienen que realizar diversos pasos, que pueden resumirse en los siguientes8:
1.
Calcular los precios medios de las variedades
2.
Construir los índices elementales de cada una de las variedades
3.
Agregar los índices elementales.
Precios Medios de las Variedades
El primero de ellos tiene que ver con la obtención de precios para cada una de las variedades.
Los precios de las variedades son recopilados en puntos de venta pertenecientes a una muestra
de negocios informantes. A cada informante se le asignan un conjunto de variedades. A su vez en cada
visita se relevan precios de distintos artículos pertenecientes a cada una de las variedades.
Por lo tanto el precio medio de las variedades se obtienen en los siguientes pasos:
8
•
en primer lugar se calculan la media geométrica de los precios observados para los
artículos pertenecientes a la variedad
•
luego se calcula la media geométrica del negocio, considerando todas las visitas
realizadas.
•
En tercer lugar se calcula una media geométrica de los negocios, considerando
separadamente a los supermercados e hipermercados por un lado y al resto de los
negocios por el otro.
•
Por último, cuando los precios de los artículos se observan en ambos tipos de negocios,
el precio de medio de la variedad se calcula como un promedio ponderado de los precios
geométricos calculados para cada tipo de negocio. Como ponderador (α) de los precios
de los hiper y supermercado se utiliza la proporción de ventas en el total realizada por
Lo que sigue se basa en INDEC (2001).
- 31 -
Agustín Lódola
este tipo de negocios, y como ponderador del resto de los negocios la diferencia (1-α).
Construcción de Índices Elementales
Una vez calculado los precios medios de las diferentes variedades, el índice elemental de cada
variedad surge de comparar el precio medio de ese mes con el precio medio del año base.
Construcción de Índices de los Agrupamientos
Por último, desde el nivel de producto hasta el nivel general, el índice de precios del momento t
con respecto al año base 0 se basa en la fórmula de Laspeyres (ecuación 3.7).
3.2
Algunos Procedimientos Comunes
Habiendo repasado los principales aspectos sobre la construcción de índices de precios, en esta
sección describiremos algunos procedimientos comunes en la utilización de los números índices, como son
el cambio de base de una serie o período de referencia, empalmar series, desestacionalizar y hacer análisis
de incidencia.
3.2.1
Cambio de Base
En primer lugar debemos distinguir entre dos conceptos que puede llevar a la confusión. Por un
lado se encuentra el período base de la canasta del índice y por el otro se encuentra la base de la serie o
período de referencia. En esta sección si bien vamos a ver un método simple para cambiar la base de la
serie, tenemos que tener en cuenta que siempre el período base de la canasta de bienes que lo conforman
se mantiene constante.
Para cambiar la base de un número índice, sea éste de precios o de cantidades, se debe dividir
toda la serie por el valor que toma dicho índice en el año que se pretende tomar como nueva base y luego
multiplicar por 100. Por ejemplo supongamos que tengamos la siguiente serie de Indices de Precios de Laspeyres,
base 1996=100. El año 1996 es el año base de la canasta y el año base de la serie.
- 32 -
Apunte sobre Números Índices
Índice de Precios de Laspeyres
Período 1996-2000
Base 1996=100
Año
Índice
Variación % respecto
al mes anterior
1996
1997
1998
1999
2000
100,0
108,0
102,0
98,0
80,0
8,0%
-5,6%
-3,9%
-18,4%
Ahora podemos cambiar el año base de la serie, haciendo que el año 2000 sea el período de
referencia. Para ello dividimos uno a uno los índices de precios de cada año por el índice del año 2000. El
resultado se expone en la siguiente tabla
Índice de Precios de Laspeyres
Período 1996-2000
Base 2000=100
Año
Índice
1996
1997
1998
1999
2000
125,0
135,0
127,5
122,5
100,0
Variación %
respecto al mes
anterior
8,0%
-5,6%
-3,9%
-18,4%
Como vemos si bien el valor de los índices ha cambiado, la variación de precios sigue siendo la
misma, la canasta de bienes que forman parte del índice no se ha modificado. Es decir que entre, por
ejemplo, el año 1996 y 1997, los bienes que la población de referencia consumía en 1996 aumentaron de
precio un 8%. Esto no es afectado por qué año se elija como base de la serie.
3.2.2
Empalme
Esta operación se requiere para los casos en que se tienen dos o más series de números índices
que se hallan completas para los mismos años. Con una serie se intenta completar la otra. Si bien existen
diversos procedimientos para llevar a cabo esta operación se explicará sólo la más sencilla. La misma
consiste en calcular el incremento experimentado en cada uno de los años de acuerdo a la serie que se
halla completa y aplicar dicho incremento a la serie incompleta. Esto no es más que una aplicación de la
regla de tres simple.
Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos las siguientes series de índices de precios. La
primera, base 1986=100, abarca el período 1986-1994; la segunda, base 1993=100, abarca los años 1993
en adelante.
- 33 -
Agustín Lódola
Índices de Precios
Serie
Base 1986=100
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
100,0
2346,0
34500,0
234563,0
301478,0
307500,0
315342,0
309431,0
Serie
Base 1993=100
100,0
102,0
104,0
103,0
106,0
109,0
112,0
120,0
Por lo tanto si necesitamos una serie desde 1986 en adelante, ninguna de las anteriores por sí sola
abarca todos los años. Es necesario empalmar las dos series. Para eso se hace lo siguiente. En primer
lugar para los años más recientes, desde 1993 en adelante, la serie empalmada va a estar formada por los
índices correspondientes a la serie 1993=100. Para los años anteriores aplicamos regla de tres simple. Es
decir para el índice del año 1992 multiplicamos el índice para 1992 de la serie base 1986=100 (=315342)
por el índice para 1993 de la serie 1993=100 (=100) y lo dividimos por el índice del año 1993 de la serie
1986=100 (=309431). El resultado es 101,91. Este resultado nos sirve para obtener el índice de precios
para 1991 de la serie empalmada. Hacemos el mismo procedimiento para todos los años anteriores. El
resultado se expone en la siguiente tabla, donde además se exponen las variaciones porcentuales de las
tres series, la serie base 1986=100, la base 1993=100 y la empalmada.
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Serie Empalmada
Serie
Serie
Serie Empalmada
Base 1993=100
Base 1986=100
Base 1993=100
Base 1993=100
indice –
- variaciones porcentuales 0,03
0,76
2246,0%
2246,0%
11,15
1370,6%
1370,6%
75,80
579,9%
579,9%
97,43
28,5%
28,5%
99,38
2,0%
2,0%
101,91
2,6%
2,6%
100,00
-1,9%
-1,9%
102,00
2%
2,0%
104,00
2%
2,0%
103,00
-1%
-1,0%
106,00
3%
2,9%
109,00
3%
2,8%
112,00
3%
2,8%
120,00
7%
7,1%
- 34 -
Apunte sobre Números Índices
Como se puede observar lo único que hace este procedimiento es mantener las variaciones
porcentuales de cada serie. Es decir hasta 1992 las variaciones de la serie empalmada corresponden a la
serie 1986=100, mientras que a partir de 1993 las variaciones son las de la serie 1993=100.
Hay que mencionar que lo anterior es válido porque estamos empalmando un simple número
índice. Sin embargo en marco contable no es posible preservar las relaciones contables entre un agregado
y sus componentes al mismo tiempo que se empalman por separado dicho agregado y sus componentes.
Estas cuestiones las explicaremos mejor en la sección 5.3.
3.2.3
Desestacionalización
Hay series de precios, demanda o producción que experimentan variaciones en alza o baja
reproducidas anualmente en los mismos períodos (meses, trimestres) por la incidencia de determinados
factores. Así la demanda de ciertos productos experimenta un incremento en diciembre (consumos
navideños) o en verano. La producción industrial y de algunos servicios declina en enero y febrero, meses
de vacaciones, y la agrícola en diversos meses, según los productos de que se trate. Igual hecho se
percibe en el movimiento turístico, interno o internacional, en el tráfico de cargas y pasajeros, etc.
Es importante conocer la existencia de dicha estacionalidad para interpretar correctamente el
sentido de las variaciones de una serie y tener un conocimiento estadístico de ellas.
El cálculo de estas variaciones estacionales tiende a obtener las desviaciones en valor absoluto
que se producen en cada mes del año con respecto a la media; o bien coeficientes estacionales que,
aplicados a la serie sometida a factores estaciones, permite obtener otra serie corregida de tales
fluctuaciones.
Veamos un ejemplo. En el siguiente gráfico se expone una serie trimestral de Producto Bruto
Interno de un determinado país para el período 1993-1998.
320,0
300,0
280,0
260,0
240,0
220,0
III
8
I9
III
7
I9
III
6
I9
III
5
I9
III
4
I9
III
I9
3
200,0
Como se puede observar, siempre en el primer trimestre del año (señalado en gráfico con una
línea) se produce una caída del Producto Bruto; por lo tanto se puede concluir que ese comportamiento es
estacional.
Para obtener una serie que corrija este efecto, vamos a proceder de la siguiente manera. En
primer lugar vamos a calcular para cada trimestre el promedio de los cuatro trimestres más cercano (ver
columna B en el siguiente cuadro); por ejemplo el valor promedio obtenido para el IV trimestre del año 1993
- 35 -
Agustín Lódola
(240,6) surge de promediar los trimestres: II-93 (241,9); III-93 (242,9); IV-93 (245,9) y I-94 (232,9).
Luego del cociente entre el valor del trimestre y el valor promedio surge un índice que refleja una
medida cuantitativa de la diferencia entre el valor que asume el Producto Bruto en ese trimestre y el valor
promedio. Por ejemplo el índice para el IV trimestre de 1993 (1,018631) surge de dividir el valor el valor del
PBI para ese trimestre (245,1) y el valor promedio obtenido para el mismo período (240,6).
En tercer lugar, el índice de desestacionalización de cada trimestre (ver al final del cuadro) se
obtiene como un promedio de los índices de esos trimestres para cada uno de los años. Así, el índice para
el primer trimestre (0,9559), es un promedio del índice del primer trimestre del año 1994 (0,952547), del año
1995 (0,954860), etc.
Producto Bruto Interno
Serie con estacionalidad
PBI Con
Estacionalidad Variación %
(A)
216,4
241,9
11,8%
242,6
0,3%
245,1
1,0%
232,9
-5,0%
257,5
10,5%
253,5
-1,6%
257,3
1,5%
238,0
-7,5%
248,1
4,3%
242,2
-2,4%
244,5
0,9%
236,6
-3,2%
260,8
10,2%
262,2
0,5%
267,0
1,9%
256,4
-4,0%
281,8
9,9%
284,1
0,8%
287,5
1,2%
271,7
-5,5%
301,2
10,9%
293,3
-2,6%
286,3
-2,4%
I 93
II
III
IV
I 94
II
III
IV
I 95
II
III
IV
I 96
II
III
IV
I 97
II
III
IV
I 98
II
III
IV
Trimestre
Promedio
(B)
240,6
244,6
247,3
250,3
251,6
249,2
246,4
243,2
242,8
246,0
251,0
256,6
261,6
266,8
272,3
277,4
281,3
286,1
288,4
288,1
293,6
Índice
(A)/(B)
1,018631
0,952547
1,041339
1,012624
1,022968
0,954860
1,006855
0,996006
1,006722
0,961650
1,038901
1,021591
1,020790
0,960844
1,034711
1,023972
1,022204
0,949579
1,044282
1,018020
0,975037
Índices de Desestacionalización
Índices
I
II
III
IV
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
- 36 -
Apunte sobre Números Índices
Una vez obtenido el índice de desestacionalización para cada trimestre, se divide el valor del PBI
para cada período por el índice respectivo. Eso se muestra en el siguiente cuadro:
Desestacionalización de la serie de PBI
Índice de
PBI Con
desestacional
PBI Sin
Estacionalidad Variación %
ización
Estacionalidad
(A)
(D)
(A)/(D)
I 93
II
III
IV
I 94
II
III
IV
I 95
II
III
IV
I 96
II
III
IV
I 97
II
III
IV
I 98
II
III
IV
3.2.4
216,4
241,9
242,6
245,1
232,9
257,5
253,5
257,3
238,0
248,1
242,2
244,5
236,6
260,8
262,2
267,0
256,4
281,8
284,1
287,5
271,7
301,2
293,3
286,3
11,8%
0,3%
1,0%
-5,0%
10,5%
-1,6%
1,5%
-7,5%
4,3%
-2,4%
0,9%
-3,2%
10,2%
0,5%
1,9%
-4,0%
9,9%
0,8%
1,2%
-5,5%
10,9%
-2,6%
-2,4%
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
0,9559
1,0332
1,0144
1,0095
226,4
234,1
239,2
242,8
243,7
249,2
249,9
254,9
248,9
240,1
238,8
242,2
247,5
252,4
258,4
264,5
268,2
272,7
280,0
284,8
284,2
291,5
289,1
283,6
Variación
%
3,4%
2,2%
1,5%
0,4%
2,3%
0,3%
2,0%
-2,3%
-3,5%
-0,6%
1,4%
2,2%
2,0%
2,4%
2,3%
1,4%
1,7%
2,7%
1,7%
-0,2%
2,6%
-0,8%
-1,9%
Incidencia
En muchos casos no sólo es importante saber la evolución agregada que han tenido los precios de
una determinada canasta de bienes, sino también conocer la influencia que cada uno de esos bienes tuvo
en producir esa variación total. Por ejemplo en un índice de precios de las exportaciones ¿cómo influirá la
suba del precio internacional del trigo? ¿y del precio internacional del petróleo?. La respuesta no sólo
depende de la variación de precios que cada uno de estos bienes ha tenido, sino fundamentalmente del
peso (ponderador) que ellos tienen en el índice. Pueden existir bienes cuyos precios hayan experimentado
una gran variación, pero que tengan poco peso en el índice. Por el contrario, hay casos donde bienes que
tienen gran peso hayan variado poco y por lo tanto no hayan influido en gran medida en la variación total.
Por lo tanto, con la variación de precios de cada bien y su ponderador se puede obtener una variación
ponderada, que dividida por la variación total, nos dé la incidencia de cada bien, es decir qué porcentaje de
la variación total es explicada por dicho bien.
Por ejemplo, en el caso del índice de precios de los estudiantes, podríamos estar interesados en
conocer cuál de los tres bienes ha tendido mayor influencia en determinar la variación total de precios. Para
ello, de cada bien, necesitamos saber: a) la variación de precios que ha experimentado, y b) su ponderador.
- 37 -
Agustín Lódola
Estos datos ya se obtuvieron, para el caso de Laspeyres, en una sección anterior, y se presentan en las
cuatro primeras columnas de la siguiente tabla.
Bien
Precios
1988
1990
(1)
Fideos
Libros
Alquileres
(2)
5
2
40
Total
8
4
45
Variación
Ponderador
(3)
(4)
60%
100%
13%
20%
64%
16%
78%
100%
Variación
Ponderada
(Incidencia)
(5)=(3)*(4)
0,12
0,64
0,02
Aporte a la
variación total
15%
82%
3%
100%
Luego obtenemos la variación ponderada (columna 5) multiplicando la variación porcentual por el
ponderador. Esta variación ponderada, conocida también como incidencia, indica la variación que hubiera
tenido el índice si sólo hubiera variado ese ítems y los demás hubieran permanecido constante. En el
ejemplo, se observa que si sólo hubiera variado el precio de fideos el índice hubiera crecido un 12%.
Por último dividiendo esta variación ponderada por la variación total (78%) se obtiene el aporte de
cada bien a la variación total del índice. En este caso la variación de los libros explica el 82% de la variación
de precios experimentada por los estudiantes.
3.2.5
3.3
Arrastre Estadístico
Utilización
Los índices de precios son importantes indicadores económicos y son muy utilizados para poder
hacer comparaciones intertemporales y espaciales.
•
Como indicadores económicos. Algunos índices de precios (como por ejemplo el que representa la
variación del costo de la canasta de los consumidores) son la medida de la inflación más ampliamente
usada y constituye un indicador importante de las tendencias económicas. Las autoridades económicas
y monetarias utilizan las tendencias en este índice de precios para sus objetivos en la formulación de la
política monetaria y fiscal. Además varios agentes del sector privado usan el índice como una guía para
tomar decisiones económicas.
•
Para hacer comparaciones intertemporales:
•
Como deflactores de series macroeconómicas. Los índices de precios son utilizados para
ajustar otras series económicas y expresar estas en pesos libres de inflación. Esto es de
mucha utilidad cuando se desea comparar dos variables (producto bruto interno, consumo,
exportaciones, etc.) que están valuadas a precios de diferentes años. Por ejemplo los índices
componentes del IPC son también utilizados por las oficinas de estadísticas en todo el mundo
para deflactar los gastos de consumo personal en la construcción de las cuentas nacionales,
de esta forma los sesgos en el IPC podrían sesgar las medidas del crecimiento real y la
productividad. (Los componentes del índice de precios mayoristas y los índices de precios de
las exportaciones o importaciones también son usados para deflactar las cuentas nacionales,
y presumiblemente sean afectados por los mismos sesgos).
•
En los ajustes contables. La revaluación de activos y pasivos para propósitos contables
requiere de índices de precios.
- 38 -
Apunte sobre Números Índices
•
•
En decisiones judiciales. Muchos pagos y cobros determinados por la justicia se refieren a
períodos de tiempo muy distintos del momento en que se dicta la sentencia. En ese caso los
índices de precios se utilizan para ajustar dichos montos a valores actuales.
•
Como deflactores de ingresos y gastos de los hogares. En los análisis de distribución del
ingreso puede ser útil expresar los ingresos o gastos de diferentes unidades económicas en
unidades del mismo poder adquisitivo.
•
Como medio de ajustar contratos. En épocas de inflación moderada o alta los índices de
precios se utilizan para actualizar los pagos de salarios, pensiones, alquileres, etc.
•
Para establecer o definir la línea de pobreza. La línea de pobreza es un ejemplo de otro
importante indicador económico que es construido utilizando índices de precios.
Para hacer comparaciones espaciales.
•
Regionales. Los índices de precios pueden ser utilizados para realizar comparaciones entre
ciudades, regiones, países, etc. Por ejemplo supongamos que necesitamos saber cuánto
mayor o menor es el costo de vivir en la región norte del país, comparado con la región sur.
Tales relaciones también se necesitan para comparar niveles de desarrollo económico o
productividad.
•
Internacionales. Otra comparación espacial muy utilizada es el tipo de cambio de paridad
entre dos países, que mide el poder adquisitivo de una canasta de bienes en un determinado
país respecto a otro.
En esta sección revisaremos cómo los índices presentados anteriormente cumplen esas funciones.
3.3.1
Series a precios constantes
Una de las principales aplicaciones de los índices de precios es utilizarlos para transformar una
serie de alguna variable (por ejemplo salarios) que está valorizada a los precios de cada momento (precios
corrientes) en una serie a precios constantes, es decir a precios de un solo año.
¿Por qué es útil esta operación?. El problema que tienen las series de variables a precios
corrientes es que no es posible realizar una correcta comparación intertemporal, ya que las mismas no sólo
tienen en cuenta variaciones físicas, sino también variaciones de precios. Por ejemplo supongamos que
estamos analizando las ventas de un determinado negocio (una panadería), cuyos valores se exponen en la
siguiente tabla:
1990
1991
1992
1993
Ventas de Pan
Variación %
a precios
corrientes
respecto año
anterior
25000
30000
40000
44000
20%
33%
10%
La serie de ventas claramente presenta una tendencia creciente; en cada año las ventas fueron
mayores que el año anterior. Ahora bien esta variación ¿es producto que la panadería vendió más kilos de
pan, o que el precio por kilo subió, o una combinación de ambas situaciones?. Para responder esta
pregunta será de utilidad deflactar la serie de ventas por un índice de precios; esto es dividir las ventas de
cada año por el índice de precios de ese año. Al hacer este procedimiento obtenemos una serie de ventas
de pan a precios constantes (los precios no cambian), y por lo tanto las variaciones que experimente esta
- 39 -
Agustín Lódola
serie será exclusivamente variaciones de cantidad. En la tabla siguiente se expone el procedimiento y el
resultado.
Ventas de Pan
Indice de Precios del Pan
Ventas de Pan
a precios corrientes Variación % Base 1990=100 Variación % a precios constantes Variación %
(a)
1990
1991
1992
1993
(b)
25000
37500
45000
45000
100
150
150
300
50%
20%
0%
( c) = (a)/(b)x100
50%
0%
100%
25000
25000
30000
15000
0%
20%
-50%
Realicemos algunos comentarios respecto al cuadro anterior. Es claro que en el año 1991 las
ventas de pan subieron exclusivamente por un incremento de los precios, que subieron un 50%. Por el
contrario en el año 1992 el incremento de las ventas es exclusivamente a incrementos de las unidades; ya
que los precios no variaron; por lo tanto la variación de las ventas a precios corrientes coincide con la
variación a precios constantes (25%). Por último en el año 1993, si bien aparentemente no hubo
modificaciones (la variación de las ventas a precios corrientes es nula) hay una combinación de variaciones
de precios y cantidades de signo contrario; mientras los precios subieron un 100%, las variaciones a precios
constantes disminuyeron un 50%.
Una vez presentado el procedimiento para deflactar una serie, es necesario aclarar que no todas
las series se deflactan por el mismo índice de precios. En forma general, la posibilidad que tiene un
determinado índice de precios de realizar deflaciones correctas se relaciona con uno de los criterios que
forman en enfoque axiómatico. Más precisamente el criterio de reversión de factores. Éste, exige que el
índice de precios, multiplicado por el índice de cantidad, sea igual al índice de valor nominal. En su forma
“fuerte” este criterio exige que los dos índices (de cantidades y de precios) sean del mismo tipo. Se puede
comprobar fácilmente que los índices Laspeyres no cumplen con esta propiedad.
Para comprender el significado de este proceso considérese la siguiente situación. Supongamos
que estamos interesados en comparar el PBI de diferentes años que se hallan expresados a precios
corrientes. Estando dicha magnitud expresada a valores corrientes, es decir según el nivel de precios
vigentes en el período a que se refiere la variable, la comparación de los valores de los distintos años no es
útil porque los datos están influenciados o distorsionados por la inflación. Para ello se quiere expresar toda
la serie a precios de un año elegido, por ejemplo 1980. Además asúmase que se cuenta con la siguiente
información:
PBIii
IPj80
1980
1.245
100,0
1981
1.480
108,0
1982
1.650
114,0
En el cuadro anterior se expone una serie de tres años del Producto Bruto Interno a precio
corrientes y una serie de un índice de precios para el mismo período. Dejaremos de lado, por ahora, que
tipo de índices de precios se refiere.
Obviamente que para el año elegido como base, 1980, el valor a precios corrientes coincidirá con
el valor a precios constantes porque las cantidades de los dos años están valuadas a precios de 1980. Sin
embargo, para el año 1981 se verifica que el PBI a valores corrientes es distinto que a valores constantes
por la incidencia de la variación de precios, es decir:
- 40 -
Apunte sobre Números Índices
PBI 81 = PBI 80 + PBI 80 × ∆IP 80
81
81
81
81
(3.20)
donde ∆ significa variación entre 1980 y 1981, expresada en tanto por uno (ej.: si el índice para
1980 es 100 y para 1981 es 110, la variación es 0,10).
Sacando factor común, obtenemos:
PBI 81 = PBI 80 × 1 + ∆P 80 
81
81 
81 
(3.21)
En palabras, el PBI del año 1981 a precios de ese año es igual al PBI del año 81 a precios del año
base (1980) corregido por la variación de precios experimentada entre esos dos años, es decir entre 1980 y
1981
Ahora, consideremos lo que indica la variación de precios.
P8180
∆ P = 80 − 1
P80
80
81
utilizamos que
P8080 = 100 ,
pasamos el 1 que está restando al otro lado de la igualdad y
obtenemos la siguiente expresión
P8180
∆P + 1 =
100
80
81
reemplazando esta última expresión en la ecuación (3.21) tenemos que:
PBI 81 =
81
( )
PBI 80 × P8180
81
100
despejando nuestra variable de interés, PBI8180 , es decir el Producto Bruto del año 1981 a precios
de 1980, tenemos que:
PBI 80 =
81
PBI 81
81 × 100
80
P81
En forma general es:
- 41 -
Agustín Lódola
PBI c
o
c × 100
PBI =
o
c
Pc
En palabras, para transformar una variable que está en pesos corrientes en pesos constantes, es
decir para deflactar una serie, hay que dividir dicha variable por el índice de precios correspondiente (y
luego multiplicar por 100, dado que la base del índice es igual a 100).
Ahora bien, ¿qué significa índice de precios correspondiente?.
Antes que nada debemos decir que este tipo de índice de precios que se utiliza para deflactar las
cuentas nacionales (como el PBI, el Consumo, la Inversión, etc.) se denomina índice de precios implícitos.
En segundo lugar, debemos decir que el año base del índice debe ser el mismo que el año base de la serie
considerada.
En tercer lugar, debemos destacar que no todas las series se deflactan por el mismo índice. Como
vimos existen varios índices de precios, a tal efecto hay que seleccionar para cada serie el índice de precios
cuya canasta este compuesta por los bienes que integran la serie que se quiere deflactar. En la mayoría de
los casos esto no se puede hacer exactamente.
Verifiquemos cuál es la diferencia entre deflactar el Producto Bruto por un índice de precios tipo
Laspeyres o por uno tipo Paasche.
Por ejemplo supongamos que tenemos el Producto Bruto del año 1991 a precios de ese año y lo
queremos llevar a precios de un año base por ejemplo 1980.
Lo que tenemos es
PBI 9191 = ∑ Pi 91 Qi91
es decir un valor a precios corrientes, y queremos llegar a:
PBI 9180 = ∑ Pi 80 Qi91
Deflactemos primero por un índice tipo Laspeyres, este toma la forma de
80
L 91
P
∑P
=
∑P
91
Qi80
80
Qi80
i
i
Para deflactar, como hemos visto hay que dividir el Producto en pesos corrientes, por el índice
correspondiente:
Dividiendo obtenemos:
PBI 9191
80
PL 91
∑P
=
∑P
∑P
91
i
91
i
i
80
Qi91
Qi80
Qi80
Como vemos no llegamos al objetivo buscado, sino que nos quedan en la fórmula precios y
cantidades de dos años diferentes.
Sin embargo probemos, deflactar por un índice tipo Paasche:
- 42 -
Apunte sobre Números Índices
PBI 9191
80
PP 91
∑P
=
∑P
∑P
91
i
91
i
i
80
Qi91
Qi91
Qi91
Resolviendo, nos queda el objetivo buscado:
PBI 9180 = ∑ Pi 80 Qi91
En resumen, deflactar una serie de PBI con un índice tipo Laspeyres tiene problemas mientras que
hacerlo por uno tipo Paasche, no presenta dificultades. El índice de precios de Paasche que se utiliza para
obtener una serie de PBI a precios constantes se denomina Índice de precios implícitos en el PBI. Cada
concepto que forma el PBI, como el Consumo (público y privado), la Inversión, las exportaciones y las
importaciones tienen su índice de precios implícito correspondiente.
Un ejemplo
A continuación se exponen dos series de Producto Bruto Interno, de la economía argentina. La
primera que surge de la metodología con base en 1970, abarca desde 1970 hasta 1990 (serie vieja) y la
segunda que surge de la metodología con base en 1986, abarca desde 1980 hasta 1993 (serie nueva).
Ambas están en pesos a precios corrientes. Se exponen también dos series de Índices de Precios
Implícitos, una con base 1970=100 y otro con 1986=100.
Supongamos que se necesite obtener, para cada uno de los años del período 1980-1990, y de
acuerdo a las dos series expuestas, el Producto Bruto Interno a precios constantes de 1986.
- 43 -
Agustín Lódola
Producto Bruto Interno, en pesos, a
precios corrientes
Serie Vieja
Serie Nueva
base 1970
base 1986
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
0,88
0,91
2,07
3,55
4,87
14,30
75,87
209,34
523,42
1.425,14
2.833,70
5.475,21
14.761,33
68.265,22
528.100,00
3.959.260,00
7.430.900,00
17.310.942,50
78.479.345,00
2.558.025.860,00
51.564.374.960,00
3.840,00
7.474,00
21.852,00
109.500,00
790.920,00
5.305.000,00
9.984.190,00
23.332.300,00
111.062.000,00
3.244.045.000,00
68.922.274.000,00
180.897.972.000,00
226.637.598.000,00
255.326.000.000,00
Índice de Precios Implícitos
Serie Vieja
base 1970=100
100,00
100,01
223,00
369,70
479,60
1.415,20
7.537,50
19.558,70
50.606,50
129.299,70
254.302,90
523.300,70
1.493.759,00
6.684.149,60
53.638.483,90
420.418.963,30
746.334.924,80
1.701.764.305,90
7.922.995.549,90
270.403.213.552,80
5.427.524.194.918,50
Serie Nueva
base 1986=100
0,04
0,08
0,23
1,12
7,94
57,02
100,00
227,81
1.105,19
34.422,13
730.852,07
1.761.421,34
2.031.039,44
2.156.963,885
Fuente: Banco Central de la República Argentina y Ministerio de Economía
Para deflactar la serie Vieja (base 1970), primero se debe cambiar el período de referencia del
índice de precios implícitos de esa metodología. Para ello se divide el índice de cada año, por el índice de
1986. De esta manera se obtiene una serie de índices de precios implícitos con período de referencia 1986,
la cual se expone en la columna a) del cuadro siguiente. Luego se divide el PBI de cada año (en pesos
corrientes) de la serie vieja, por el correspondiente índice de precios implícitos base 1986, obtenido en el
paso anterior (columna a)). El resultado, una serie de PBI a precios constantes de 1986, se presenta en la
columna b).
Para deflactar la serie Nueva (base 1986), se divide directamente el PBI de cada año a precios
corrientes por el índice de precios implícitos correspondiente. Esta última ya esta en base 1986, tal cual
como se pide. El resultado se expone en la columna c)
- 44 -
Apunte sobre Números Índices
Año
1.980
1.981
1.982
1.983
1.984
1.985
1.986
1.987
1.988
1.989
1.990
Índice de Precios
Implícitos
Serie Vieja
base 1986=100
(a)
0,03
0,07
0,20
0,90
7,19
56,33
100,00
228,02
1.061,59
36.230,81
727.223,67
Producto Bruto Interno
Serie Vieja
Serie Nueva
en pesos de 1986
(b)
( c)
8.316.409,44
10.378.378,38
7.808.779,34
9.706.493,51
7.375.281,51
9.418.965,52
7.622.318,60
9.785.522,79
7.348.072,60
9.962.463,79
7.028.545,98
9.303.263,60
7.430.900,00
9.984.090,16
7.591.980,23
10.241.820,08
7.392.642,81
10.049.104,55
7.060.360,02
9.424.300,04
7.090.579,89
9.430.400,00
Observando los resultados obtenidos, puede ser un interesante ejercicio responder por qué las dos
series tienen diferentes valores para los mismo años.
3.3.2
Extrapolación
Para obtener una serie a precios constantes una alternativa al proceso de deflación es partir de los
datos de un período determinado, y extrapolar ese valor por las variaciones ocurridas en los volúmenes
físicos, de forma tal que los nuevos valores también representen volúmenes físicos. A este método se lo
conoce como “extrapolación de los valores de un año base por índices de volumen físicos”.
Esto puede representarse de la siguiente manera
VCO = VCC x IQO
O bien explicitando precios y cantidades:
po × qc = ( po × qo ) × (
po × qc )
po × q0)
)
Así como comprobamos que para deflactar correctamente hay que utilizar un índice de precios tipo
Paasche, fácilmente podemos ver que para extrapolar la fórmula aplicable es la del índice de volumen de
Laspeyres.
3.3.3
Actualización de contratos
Además de deflactar series macroeconómicas, los índices de precios son también utilizados para
actualizar contratos como los de alquiler, jubilaciones, préstamos, etc.. En este caso el procedimiento es el
inverso al anterior, ya que en lugar de expresar una variable a precios de un único año, el objetivo es
mantener constante el poder adquisitivo de una cierta suma de dinero. Es el caso, por ejemplo, cuando se
quiere compensar a los jubilados por los aumentos de precios experimentados por ellos.
Por ejemplo supongamos que en el mes de enero los jubilados cobraron una jubilación de $250 y
se conoce el índice de precios correspondiente a la canasta consumida por ellos para el período enerodiciembre. Con estos datos podemos obtener el valor que cada mes tendría que cobrar cada jubilado, de
manera de mantener su poder adquisitivo constante.
- 45 -
Agustín Lódola
Actualización de Jubilaciones
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Jubilación (en
$)
Índice de Precios
(base ene=100)
Jubilación actualizada (en
$)
(a)
(b)
(c)= (a)*(b)/100
250
100
110
112
114
119
123
126
135
142
160
172
190
250,0
275,0
280,0
285,0
297,5
307,5
315,0
337,5
355,0
400,0
430,0
475,0
90,0%
90,0%
Variación % ene-dic
Al igual que el caso anterior, no todos los índices se pueden utilizar para actualizar los diferentes
contratos. En el caso de los jubilados, el índice de precios tendría que reflejar las variaciones de precios de
una canasta de bienes y servicios consumidos por ellos.
3.3.4
Paridad de Poder de Compra del Consumidor
Si bien los índices de precios se utilizan con mayor frecuencia para comparaciones
intertemporales, es decir para seguir la evolución en el tiempo de precios correspondiente a una unidad
económica; son también de gran utilidad para comparar precios en diferentes lugares (regiones, países,
etc.).
Así como vimos que un índice de precios permite transformar a una serie en precios corrientes
(nominales) en una a precios constantes (reales), los índices espaciales permiten separar cualquier
diferencia de valor en un índice de cantidad, que refleje diferencias reales entre países o regiones y un
índice de precios, que refleje diferencias monetarias.
A modo de ejemplo, consideremos dos regiones A y B. Supongamos que las dos regiones
presentan el mismo valor para el gasto de consumo de alimentos (o, alternativamente, la misma
participación del gasto de consumo en alimentos en el gasto total). Podría suceder que la región A enfrente
altos precios y que por lo tanto consuma bajas cantidades de alimentos, mientras que la región B tenga
bajos precios y consuma elevadas unidades de alimentos. Si no se tiene en cuenta las diferencias de
precios existentes entre ambas regiones no se puede separar estos efectos. En cambio, al tenerlas en
cuenta se pueden obtener valores del consumo en ambas regiones comparables en términos reales. En
forma similar, si el gasto de consumo en alimentos de ambas localidades es muy diferente, es de interés
determinar en qué medida esas diferencias se deben a distintas cantidades consumidas y en que medida
se deben a diferencias de precios.
En forma analítica, si queremos comparar las regiones A (tomada como referencia) y B, para un
producto dado i, podemos escribir el cociente del gasto de cada región en ese producto como:
piB qiB
G
= iB
piA qiA
G iA
- 46 -
Apunte sobre Números Índices
donde q se refiere a las cantidades, p a los precios y G al gasto.
Reorganizando los términos tenemos que:
qiB
qiA
G iB
G iB
G
G iA
= iA =
piB
PPC iB / A
piA
donde PPC es la paridad de precios para este bien. El término de la izquierda da una medida de
las cantidades consumidas del producto i en la región B en la relación a la región A.
Si se divide el gasto de la región B en el item i (EIB=pibqib) por la paridad de precios obtenemos
piB qiB
p q
= iB iB = piA qiB
piB
PPC iB / A
piA
donde piaqib representa las cantidades gastadas en el producto i por la región B valuadas a los
precios de la región de referencia A.
[poner el ejemplo de los estudiantes, comparar los precios de los tres bienes en el lugar donde
está la facultad versus el lugar de origen].
3.3.5
Como sustituto de tipo de cambio
En las comparaciones internacionales, la comparación entre diferentes regiones tiene las
complicaciones adicionales de que los valores están expresado en diferentes monedas. Por lo tanto una
tarea previa a cualquier comparación es transformar todos los valores en una moneda homogénea.
3.3.6
Comparaciones espaciales versus intertemporales de precios
Las comparaciones de precios en el tiempo y en el espacio tienen un conjunto de similitudes y
diferencias, que será útil resaltar para interpretar correctamente los indicadores correspondientes.
Al igual que en las comparaciones intertemporales, los índices de precios espaciales son útiles
para separar, cuando se comparan dos valores (ingreso, consumo, etc. de diferentes regiones), cuanto
esos valores difieren por cuestiones “reales”, es decir cuánto se debe a distintas unidades físicas; y cuanto
es por diferencias “monetarias”, es decir por diferencia en los precios de esas unidades.
En las comparaciones intertemporales, por ejemplo, un índice de precio es útil para deflactar los
ingresos monetarios de los trabajadores, y de esta forma saber cómo ha evolucionado el ingreso “real” o el
poder adquisitivo de ese salario.
De la misma forma, un índice espacial de precios, es decir un índice que relacione los precios de
una región con los de otra, servirá para saber la diferencia “real” entre salarios de dos regiones diferentes.
Las similitudes también se aplican a las limitaciones que tienen ambos índices. Los índices
intertemporales de precio no constituyen índices de costo de vida, ya que no reflejan el costo de alcanzar
un nivel constante de satisfacción en el tiempo, sino que en su lugar indican la variación en el tiempo del
costo de una canasta fija de bienes y servicios. Por lo tanto no tienen en cuenta, entre otras cuestiones, la
sustitución que realizan los consumidores en el tiempo, en búsqueda de alcanzar un cierta satisfacción al
mínimo costo. Tampoco distinguen correctamente los cambios de calidad de los bienes.
Los índices espaciales de precios también tienen estas limitaciones. Ellos no miden el costo de
alcanzar un dado nivel de satisfacción en diferentes regiones, sino simplemente lo que hacen es comparar
el costo de una canasta de bienes y servicios en regiones diferentes.
- 47 -
Agustín Lódola
El problema de la canasta de referencia, que existe en las comparaciones intertemporales, se hace
más evidente en las comparaciones espaciales. Cuando trata de comparar el costo de una canasta de
bienes en dos regiones distintas (A y B), ¿cuál será la canasta de referencia?, ¿la canasta representativa
de la región A, de la región B, de una región C, un promedio de A y B?
Pollak (1989), aunque para un contexto más general9, da una pista para responder esta pregunta.
Supongamos que se está comparando precios de Tokio con Paris. El gobierno japonés, que está
considerando cuanto pagar a su embajador en Paris, presumiblemente utilizará la canasta representativa
de Tokio, mientras que el gobierno francés, utilizará la canasta representativa de Paris. Pero supongamos
que el gobierno norteamericano quiere comparar precios en Paris y Tokio para establecer las diferencias
salariales para sus diplomáticos. La comparación podría realizarse con la canasta representativa para
Estados Unidos.
Hay una diferencia entre los cálculos de los índices intermporales con el cálculo de los índices
espaciales de precios. Mientras los primeros mantienen en el tiempo la canasta y las ponderaciones; en el
segundo la canasta es la misma; pero las ponderaciones son distintas. PENSAR LAS IMPLICANCIAS DE
ESTE PUNTO.
Hay que tener cuidado con la utilización que se le da a la paridad de poder de compra. Por ejemplo
puede suceder que los precios de ciertos bienes (transporte público, alimentos consumidos fuera del hogar)
estén mas altos en el interior de la Provincia que en el Conurbano. Hasta aquí parece recomendable que si
uno quiere mantener el mismo poder adquisitivo en la provincia de cierto plan social, debería otorgar un
monto de dinero mayor en el interior que en el Conurbano.
Sin embargo, lo anterior lo tiene en cuenta las cantidades necesarias en ambas regiones para
alcanzar la misma satisfacción. Puede suceder que en el conurbano de dicho bien (transporte público) se
necesiten más unidades que en el interior de la Provincia y por lo tanto el gasto total en dicho bien sea
mayor.
Una conclusión de lo anterior es que tal vez sería más conveniente calcular las paridades
elementales. Luego para cada objetivo en particular se tendría que obtener cantidades y así tomar la
decisión correspondiente. Por ejemplo uno podría calcular la paridad de precios de los lácteos, pantalones,
y libros. Luego si la provincia quiere dar un subsidio, de forma tal de que los beneficiarios puedan acceder
en sus respectivos lugares a comprar las mismas cantidades, solo tiene que multiplicar cantidades por
precios elementales en cada región.
3.4
Los Indices de Precios en Argentina
En Argentina la oficina responsable de la elaboración de los índices de precios oficiales es el
Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC), dependiente del Ministerio de Economía de la Nación.
Este organismo elabora cuatro grupos de índices de precios principales: el índice de precios al Consumidor
(IPC), el sistema de Índices de Precios Mayoristas (SIPM), el índice de costo de la construcción (ICC) y los
índices de precios del Comercio Exterior. Otros índices de precios relevantes son el índice de Paridad de
Poder de Compra del Consumidor que calcula el ÍNDEC y los índices de precios implícitos de las cuentas
nacionales que elabora la Dirección Nacional de Cuentas Nacionales. Seguidamente resumiremos los
principales aspectos metodológicos de estos índices y su evolución en los últimos años.
3.5
Ejercicios y Problemas
9
Pollak, en su artículo se refiere al orden de preferencia dado que trata un índice de costo de vida y no a una canasta de
bienes.
- 48 -
Apunte sobre Números Índices
4
LA TEORIA DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS
Hasta aquí se han tenido en cuenta algunos aspectos prácticos de la
construcción de los índices de precios. En otras palabras, ya sabemos qué es lo que
estamos midiendo, pero ¿Qué es lo que deberíamos medir?. Como veremos hay
diferentes enfoques para contestar a esta pregunta (sección 4.2), pero antes de
estudiarlos, recordemos ciertos conceptos básicos y notación (sección 4.3). Luego
sintetizaremos otros aspectos teóricos que tienen que ver los índices grupales (sección
4.4), índices espaciales (sección 4.5) e índices de precios de producción (sección 4.7).
Sobre cada uno de ellos en primer lugar presentaremos los principales argumentos
teóricos y luego se compararán con los índices “prácticos” vistos anteriormente.
4.1
El problema de los números índices
En una forma rigurosa, la gran cuestión de los números índices se puede explicar, siguiendo a
Diewert (1987), de la siguiente manera.
Consideremos que tenemos precios, resumidos en el vector p i = (p1i,....pni) y cantidades, resumidas
en el vector qi = (q1i,....qni) de un conjunto de N bienes correspondientes (ya sea por ser consumidos,
producidos, etc.) a la unidad económica i (p.e: familia i) o a los períodos de tiempo i (para i=1,2,....I) de una
misma unidad económica. El problema de los números índices es hallar I números Pi e I números Qi tal
que:
P iQi = pi qi ≡
∑n =1 pni qni
N
Pi es el índice de precios para el período i (o la unidad i) y supuestamente es representativo de los
precios de los N bienes (consumidos, producidos, etc.) de la unidad económica i o del período de tiempo i
para una misma unidad económica. Mientras tanto Qi es el correspondiente índice de cantidad y
supuestamente también representativo de las cantidades qni (para n=1,....,N). Sin embargo no es evidente
en qué preciso sentido tanto P como Q son representativos de los precios y cantidades respectivamente, y
por lo tanto existen diferentes enfoques de números índices como veremos a continuación.
Además de existir diferentes enfoques, la teoría de los números índices se divide naturalmente en
dos partes, de acuerdo a la dimensión de I. Cuando I=2, es decir los datos se refieren a dos períodos de
tiempo o a dos unidades económicas, estamos en la teoría de los números índices bilaterales. En otro caso,
cuando I>2, entonces nos ubicamos en la teoría de los índices multilaterales.
Aunque no se ha mencionado, toda la primer parte de estos apuntes hicieron referencia el enfoque
bilateral. Esto no fue casualidad. Como se mencionó en la introducción, nuestra idea en esas secciones fue
referirnos a los aspectos de la construcción u utilización de los números índices más cercanos con la
práctica habitual de las oficinas de estadísticas del mundo. Justamente esa práctica se relaciona con la
dimensión bilateral de la teoría de los números índices. La gran mayoría de los índices publicados por estas
oficinas son bilaterales. La incorporación de las fórmulas multilaterales la trataremos en la tercera parte de
estos apuntes, donde nos referiremos a los métodos que están analizando para acercar la práctica a la
teoría.
4.2
El Enfoque axiomático
El enfoque axiomático iniciado por Walsh (1901) y Fisher (1922) hace énfasis en las propiedades
matemáticas de los números índices. En este sentido comienza con una lista de propiedades consistentes
que debe satisfacer el índice propuesto. Independientemente de los modelos económicos en los que se los
quiera insertar, esta literatura sobre números índices se refiera a sus propiedades matemáticas. Por
ejemplo Fisher (1922) desarrolló varios criterios o propiedades que deberían tener los números índices para
poder considerarse válidos.
Como hemos visto un índice, que mide la evolución de los precios entre el período “o” y el período
- 49 -
Agustín Lódola
“c” se define en general como una función de los precios y cantidades de esos dos períodos: IP= IP(p0, pc,
qo, qc). Específicamente el índice de precios de Laspeyres se define como PL= PL (p0, pC, qo), mientras que el
índice de Paasche es PP= PP (p0, pC, qC). (Ver Pollak, 1989).
4.2.1
Propiedades de un índice de precios
i)
Identidad. Si los precios del período considerado (pc) y los precios del año base (po) son iguales,
entonces el valor del índice tiene que ser igual a 100.
IP(p, p, qo, qc) = 100
Este criterio lo cumple el Índice de precios de Laspeyres pero no el de Paasche.
ii)
Monotocidad en precios del período corriente. Si algún precio del período corriente se
incrementa, entonces el índice debe incrementarse.
IP (p0, p1) > IP (po, p2), si p2>p1
iii)
Monotocidad en precios del período base. Si algún precio del período base se incrementa,
entonces el índice debe disminuir.
IP (p0, p1) > IP (p, p1), si p>p0
iv)
Proporcionalidad I. Si los precios del año que se está considerando son proporcionales a los
precios del año base, entonces el valor del índice es igual al factor de proporcionalidad.
Trivialmente, si los precios no cambian, respecto al período base, el índice del período t debe valer
100, igual que en la base. Si todos los precios se duplican, el índice debe valer 200.
IP(po, k po, qo, qc) = k x 100
v)
Proporcionalidad II. Si los precios del año base son proporcionales a los precios del año que se
está considerando, entonces el valor del índice es el reciproco del factor de proporcionalidad.
IP( K pc, pc, qo, qc) = 1/ k x 100
vi)
Proporcionalidad III. Si los precios corrientes y los precios del año base son ambos multiplicados
por un factor común, entonces el valor del índice no cambia.
IP( k po, k pc, qo, qc) = IP( po, pc, qo, qc)
vii)
Reversibilidad Temporal. Si los precios del año base y los del periodo corriente son
intercambiados, entonces el nuevo índice es el reciproco del viejo. De la clase de índices de
canasta fija el único que cumple esta propiedad es el de Fisher que veremos en la próxima
sección.
- 50 -
Apunte sobre Números Índices
IP (pc, po) = 1/ IP (po,pc)
viii)
Circularidad. Esta propiedad va más allá del caso de sólo 2 períodos o dos lugares (países,
ciudades, etc.). Dice que si tenemos precios y cantidades de tres períodos, entonces si
multiplicamos el índice de precios que considera el período 1 y 2 por el índice de precios que
considera el período 2 y 3, esto será igual a un índice de precios que considere al período 1 y 3.
ix)
Aditividad. La aditividad es un caso específico de la consistencia en la propiedad de agregación
de los números índices. Consistencia en la agregación significa que un agregado puede ser
construido tanto directamente por agregación de los ítems más detallados, como indirectamente
agregando los subagregados, usando la misma fórmula de agregación. (ver Manual de Cuentas
Nacionales Trimestrales del FMI).
Si bien conocer las propiedades de las distintas fórmulas utilizadas para construir números índices
es útil para evaluar los mismos, el enfoque axiomático no puede proveer una respuesta satisfactoria a la
cuestión de que es lo que intentamos medir cuando usamos números índices.
Además el resultado final de este enfoque es meramente un teorema de la imposibilidad: Ningún
número índice satisface todos los test razonablemente. Esto no es sorprendente. Un número índice está
obligado a resumir en un escalar la información que es comúnmente dada por un vector (Fisher y Shell,
1998). Por ejemplo el PBI es una medida escalar del producto interno que resume un vector de varios
bienes de consumo, de inversión y públicos producidos por la economía doméstica. Así cualquier índice
escalar es improbable que tenga todas las propiedades que uno querría a causa de que éste no puede
perfectamente sintetizar la información provista por el vector de desagregados.
Por contraste el enfoque económico para la construcción de números índices intenta atacar el
problema en términos de lo que la teoría económica sugiere de lo que realmente hay que medir. Este
enfoque se basa en la teoría de la unidad económica relevante, tal como el consumidor, la firma, la industria
o la economía en su conjunto.
En la teoría del consumidor este enfoque está bien desarrollado. Konus (1924) definió el verdadero
índice de costo de vida – un índice de precios basado en la teoría del consumidor que idealmente
construiría en un mundo con información completa.
4.2.2
El enfoque axiomático y los índices de precios usuales
Circularidad
En esta parte estudiaremos algunas implicancias de los números índices que no cumplen la
propiedad de circularidad. Esto será muy relevante para armar series de tiempo. La ausencia de esta
propiedad impide, entre otras cosas, usar el índice para comparar entre sí períodos cualesquiera. Será
conveniente comenzar con un ejemplo. Siguiendo con nuestro índice de precios de los estudiantes,
agregamos datos para algunos años más. Éstos se muestran en la tabla que sigue:
Bien
Fideos
Libros
Alquileres
1988
10,0
80,0
1,0
Cantidad
1990 1991
11,0
50,0
1,0
1992
12,0 12,0
70,0 100,0
1,0
1,0
1988
5,0
1,0
20,0
Precios
1990 1991
4,0
4,0
45,0
3,0
2,0
50,0
1992
2,0
1,0
60,0
Calculemos ahora los índices de precios de cada año, utilizando la fórmula de Laspeyres, pero
tomando como base a un año distinto. En la siguiente tabla se resumen los distintos índices de precios para
los diferentes años bases.
- 51 -
Agustín Lódola
Año Considerado/Período
1988
1990
1991
1992
1988
Año Base
1990 1991
1992
Indices
100,0 43,3 66,4 97,8
270,0 100,0 165,0 267,9
160,0 63,3 100,0 155,4
106,7 45,7 68,1 100,0
Variaciones Porcentuales
1988/1990
1990/1991
1991/1992
1988/1992
170% 131% 149% 174%
-41% -37% -39% -42%
-33% -28% -32% -36%
7%
6%
3%
2%
En la primer parte de la tabla anterior, se exponen los índices de precios y en la segunda las
variaciones porcentuales entre distintos períodos. Por ejemplo en la columna titulada “1988”, el número 160
corresponde al índice de precios del año 1991, tomando como base a 1988. En la misma columna, la
variación indicada en primer lugar (170%) corresponde a la variación porcentual de precios entre 1988 y
1990.
Como puede observarse, dependiendo del año base elegido, la variación porcentual entre dos
años, puede ser distinta. Por ejemplo, la variación porcentual de precios entre 1988 y 1992, puede ser 7% si
se toma como año base a 1988 o 2% si se toma como año base a 1992.
Supongamos que elegimos como base al año 1988. Los datos de la tabla anterior nos dicen que
entre 1988 y 1990 los precios subieron 170% y que entre 1988 y 1992 los precios subieron un 7%. Sin
embargo ¿qué pasó entre 1991 y 1992?. El índice pasó de 270 a 160, ¿es legítimo decir que los precios
han caído un 33% en ese período?. A decir verdad, o lo que bajó en ese porcentaje es la canasta de bienes
del año base (1988), pero en los años 1991 y 1992 posiblemente los estudiantes utilizaban otras canastas.
Y observemos que si tomamos como base al año 1991, los precios cayeron 32% entre esos dos años, pero
si optamos por el año 1992 como base, la variación de precios fue negativa en 36%.
En sentido estricto con este tipo de índices no se puede comparar el costo de vida de períodos
sucesivos. Sólo se puede comparar cada período con el base. Un índice de Laspeyres nos dice cuánto
varió el precio de su canasta fija entre dos períodos cualesquiera, pero no puede ser usado para medir
inequívocamente la tasa de variación de una canasta de un mes respecto al mes anterior, o respecto al año
anterior, que son sus usos más frecuentes.
Esto no sólo sucede con la fórmula de Laspeyres, sino con casi todas las fórmulas usuales y el
enfoque axiomático argumentaría que se debe a que dichas fórmulas no cumplen con la propiedad de
circularidad.
Como sugiere Polak (1989), estos problemas surgen más claramente en comparaciones
espaciales (entre países, regiones, etc.). Por ejemplo para construir un índice de costo de vida para
comparar los precios en Paris con los de Tokio, debemos establecer las preferencias en las cuales
basaremos la comparación. El gobierno japonés, que necesita saber cuánto pagarles a sus diplomáticos en
Paris, posiblemente le convenga utilizar las preferencias japonesas, mientras que por el contrario el
gobierno francés utilizará seguramente las preferencias y gustos de los franceses. Pero supongamos que
Estados Unidos desea comparar los precios en Paris y Tokio para decidir cuánto pagarles a sus
diplomáticos. En ese caso podría utilizar las preferencias norteamericanas. Por lo tanto, dependiendo del
propósito, la base irá cambiando.
En las cuestiones intertemporales tampoco la cuestión es clara. Antes esto surge un problema:
¿qué año elegimos como año base?. Diewert (1987) describe cuatro estrategias alternativas para seguir:
i)
elegir la primer observación como año base. Esto es lo que reflejan las series construidas
por las oficinas de estadísticas que fijan un año base y lo cambian cada 5 o 10 años.
ii)
Tomar un promedio de todos los años de la serie. Esta alternativa tiene el problema de
- 52 -
Apunte sobre Números Índices
que la serie debe ser reestimada al agregarse un año.
iii)
Abandonar el uso de fórmulas bilaterales y desarrollar un nuevo enfoque multilateral.
Utilizar índices multilaterales puede solucionar el problema de la falta de circularidad, pero
igual que en el caso anterior, los índices deberán ser reestimados cada vez que se
agrega un nuevo período de tiempo.
iv)
Utilizar índices encadenados. De esta forma primero elegimos alguna de las fórmulas
para construir un índice de precios IP. El índice de precios en el período 1, o de
referencia, es igual a 100; y el índice de precios del período 2 es igual a IP(p1, p2, q1,
q2). Luego el índice de precios del período 3 es igual a IP(p1, p2, q1, q2)x IP(p2, p3, q2,
q3), es decir el índice de precios del período 3 es igual al índice de precios del período 2,
tomando como base, y por lo tanto ponderando por, las cantidades del período 2,
multiplicado por el índice de precios del período 3, tomando como base las cantidades del
año 2; y así sucesivamente.
Aditividad y los índices de precios usuales
4.3
4.3.1
El enfoque económico
El índice de costo de vida
La teoría económica ha sido muy utilizada para especificar la construcción de índices de precios y
de volúmenes. El tratamiento moderno esta originado en un artículo publicado en las primeras décadas del
siglo por el matemático y economista ruso A.A. Konus (1929).
La teoría de los números índices comienza con la proposición que un índice de precios al
consumidor debería medir el cambio en el costo de mantener un estándar de vida constante. Si el índice de
precios mantiene constante el estándar de vida, cualquier incremento en los gastos de consumo per capita
que excede el incremento en el índice de precios puede ser interpretado como un incremento en el estándar
de vida. Inversamente si el consumo per capita aumenta más lentamente que el índice de precios, el
estándar de vida o consumo per capital real, esta cayendo. El consumo real, tanto per capita como
agregado, puede ser expresado como un índice de cantidad, que es la contraparte del índice de precios al
consumidor (esto se detalla mas adelante).
Así, desde la orientación del estándar de vida, el índice de precios mide el cambio en el costo de
mantener constante un estándar de vida, y el índice de cantidad mide incrementos o decrementos en el
estándar de vida.
En forma más concreta se puede decir que dada una función de utilidad de un consumidor
denotada por U(q, q,....)=U(q). Se define la función de gasto del consumidor como la solución al siguiente
problema de minimización
C(u,p)= min {p.q: U(q)≥ uR}
Donde p = (p1, p2, ...) es un vector de precios positivos que enfrenta el consumidor y u R es un nivel
de utilidad de referencia que debe ser alcanzado.
El índice de precios de Konus (IPK) entre el período 0 y t para un nivel de utilidad de referencia
igual a U se define como:
IPK to =
C (u , p t )
C (u , p 0 )
- 53 -
Agustín Lódola
Los índices de precios tipo Laspeyres mantienen constantes los bienes que se consumían en el
año base, como una forma de mantener fijo el estándar de vida de ese año.
Sin embargo la teoría del índice de costo de vida explica que los consumidores pueden alcanzar el
mismo estándar de vida de varias formas. Los consumidores pueden sustituir entre bienes que tienen
similares propósitos (por ejemplo, carne o pescado) o aun entre bienes que tienen fines diferentes (un
nuevo auto por unas vacaciones). La sustitución implica que diferentes conjuntos de bienes y servicios
pueden representar equivalente estándar de vida. Además, los datos indican que los consumidores
sustituyen aquellos bienes y servicios que se vuelven relativamente10 más caros por aquellos bienes y
servicios que se hacen relativamente más baratos.
Por lo tanto, teniendo en cuenta lo anterior, un índice de precios al consumidor que
verdaderamente represente un costo de vida tendría que estar basado en el costo de un conjunto de bienes
y servicios que representen un estándar de vida equivalente y que este índice no debería mantener
constante la canasta de bienes y servicios.
Además, como los consumidores sustituyen bienes cuyos precios crecen más rápidamente por
bienes cuyos precios suben mas lentamente, el costo de mantener un estándar de vida equivalente
aumenta menos rápidamente que el costo de una canasta fija de bienes que fueron consumidores en el año
considerado como base.
Por ejemplo, cuando utilizamos para medir la variación de precios entre 1988 y 1999, una canasta
fija de bienes consumidos en 1988 otorga demasiado peso a los precios que han crecido más rápidamente
en el período y demasiado poco peso a bienes cuyos precios han crecido más lentamente; como resultado
este indicador sobreestima el cambio en el costo de vida entre 1988 y 1999. Inversamente, utilizando una
canasta fija de bienes consumidas en 1999 daría demasiado peso a los precios que han caído en el período
considerado y demasiado poco peso a los bienes cuyos precios han crecido más rápidamente; como
resultado este indicador subestimaría la variación en el costo de vida.
En resumen, ante un incremento de precios, el índice de costo de vida es igual al monto del
ingreso monetario que requiere el consumidor para disfrutar de la situación anterior a la variación de
precios. Este monto depende, no sólo de las preferencias del consumidor, o de su mapa de indiferencia,
sino también de sus niveles iniciales de ingresos y gastos. Por lo tanto el valor del índice teórico es
diferente para consumidores con distintas preferencias y también para individuos con las mismas
preferencias pero con ingresos diferentes.
Otro problema que se encuentra en la discusión de un índice de costo de vida tiene que ver con los
bienes y servicios provistos gratuitamente por el Estado. Supóngase que el Estado decide reducir los
impuestos sobre los bienes de consumo, con lo cual se reducen sus precios, y cobrar sin subsidios el costo
de prestación de determinados bienes que se ofrecían gratuitamente como educación o salud.
Teóricamente el costo de vida no debería alterarse (aunque la gente compraría más de bienes de consumo
que se han abaratado y utilizaría menos bienes públicos que se han encarecido). Pensemos en un
diagrama de curvas de indiferencia y recta de presupuesto en un contexto de bienes públicos (eje de las
abscisas) y bienes privados (eje de las ordenadas). Ese cambio modificaría la pendiente de la recta de
presupuesto pero sería tangente a la misma curva de indiferencia.
Ahora supóngase que el Estado decide cobrar por los servicios de educación y salud pero en lugar
de reducir los impuestos sobre los bienes, resuelve reducir en cambio el impuesto sobre el ingreso. El
efecto sobre el bienestar del consumidor sería nulo, igual que en el caso anterior. Pero el índice de costo
vida registraría un aumento pues algunos bienes (los bienes públicos) se encarecerían sin que otros bienes
se abaraten. Lo que aumentaría serían los ingresos netos (después de deducir los impuestos), pero ello no
se registra en el índice de ponderación fija tipo Laspeyres.
4.3.2
El enfoque económico y los índices de precios usuales 11
Es claro entonces que el índice de precios del tipo Laspeyres, utilizado para medir el cambio de
precios en la mayoría de los países del mundo, no es un índice de costo de vida. Tampoco un índice
construido con la fórmula de Paasche cumple este requisito, ya que también en este índice la canasta es
fija. Ahora bien, ¿Cuál es la relación entre estos tres indicadores?.
El propósito de un índice de precios al consumidor (IPC) es medir el cambio promedio en los
10
Hacemos hincapié en esta palabra: relativamente, para sustituir bienes no es suficiente que el bien se haga más caro,
sino que suba de precio más que los otros.
11
Esta sección se basa en Deaton y Muellbauer (1980)
- 54 -
Apunte sobre Números Índices
precios pagados por las familias por una canasta fija de bienes y servicios mientras mantiene constante la
calidad. Acorde a la teoría del comportamiento del consumidor, el IPC puede ser considerado como una
aproximación al Índice de Costo de Vida por el índice de precios de Laspeyres. El índice de costo de vida
es definido como la razón entre el gasto mínimo requerido para alcanzar un nivel particular, o nivel de
utilidad, entre dos puntos del tiempo.
Sea uR un nivel constante de utilidad del consumidor y C(pt, UR) el monto mínimo de gasto
necesario para alcanzar este nivel de utilidad bajo el vector de precios pt. Luego el índice de costo de vida
(ICV) en el momento “c” relativo al momento “0” se define como:
ICV10 (uR) = C(pc, uR) / C(p0, uR)
(1)
El índice de precios para un dado vector de consumo q R, que minimiza el gasto de la familiar bajo
el vector de precios del período de referencia, mientras mantiene el nivel de utilidad uR, se define como
IPco (pc, p0, qR) = pc qR / p0 qR
(2)
Los índices de Laspeyres y Paasche pueden ser definidos respectivamente como
IPLc0 = pc q0 / p0 q0
(3)
IPPc0 = pc qc / p0 qc
(4)
Teniendo en cuenta estas ecuaciones, se puede derivar las relaciones entre ellas.
Entre los índices de Laspeyres y de costo de vida, se cumple la siguiente ecuación:
IPLc0 = pc q0 / p0 q0 ≥ C(pc, u0) / C(p0, u0) = ICVc0(u0)
(5)
Primero, el denominador de ambos lados de esta ecuación es idéntico por definición. Segundo,
mirando el numerador de ambos lados, se encuentra que pcq0 es mayor o igual a C(pc, u0). Esto de debe a
que i) por un lado, el vector de consumo q0 no necesariamente minimiza el gasto para el vector de precios
pc, aunque permita alcanzar el nivel de utilidad u0; ii) por otro lado, C(pc,u0) es el monto de gasto mínimo
necesario para alcanzar el mismo nivel de utilidad u0 bajo el vector de precios pc
Por argumentos similares, puede derivarse la siguiente ecuación entre el índice el índice de
Paasche y el índice de costo de vida:
IPPc0 = pc qc / p0 qc ≥ C(pc, uc) / C(p0, uc) = ICVc0 (uc)
(6)
En las siguientes figuras, en el contexto de dos bienes, pueden verse las relaciones entres estos
tres índices más intuitivamente.
Primero la Figura 1 muestra la relación entre el índice de costo de vida y el índice de Laspeyres.
En el momento inicial, un consumidor maximiza su utilidad en el punto E 0, donde la recta de presupuesto
AB y la curva de indiferencia para el nivel de utilidad u 0 son tangente. Cuando los precios de q1 se
incrementa, la recta de presupuesto cambia a AC. Ahora el equilibrio del consumidor se mueve a E1, que
significa alcanzar un nivel de utilidad menor uc. A fin de alcanzar el nivel de utilidad inicial u0 bajo este nuevo
conjunto de precios relativos con gasto mínimo, debe alcanzar la combinación E2, y la nueva recta de
presupuesto intersecta al eje y en el punto J. Por otro lado, si fuera necesario alcanzar la combinación E0
para alcanzar el mismo nivel de utilidad, los nuevos precios relativos harían que la recta de presupuesto
- 55 -
Agustín Lódola
intersecta el eje y en el punto K. Desde que los precios del bien 2 se mantienen constante, la razón de
distancias al origen OJ/OK es la razón de gasto para alcanzar el nivel de utilidad u 0 con y sin minimización
de gastos.
FIGURA 1 – INDICE DE COSTO DE VIDA Y EL ÏNDICE DE LASPEYRES
Q2
En otras palabras,
el índice de precios de Laspeyres y el índice de costo de vida son
K
respectivamente definido por
J
IPLc0 = pc q0 / p0 q0 = OK / OA
(7)
E2
c
0
0
0
ICVc0 (u0) = C(p
A , u ) / C(p , u ) = OJ/OA
(8)
Y genera que
E1
E0
U0
OK/OA > OJ /OA
(9)
Así el índice de Laspeyres es mayor o igual que el índice de costo de vida.
UR
De igual forma observando la figura 2, el índice
de Paasche y el índice de costo de vida puede
C
B
Q1
definirse como:
IPPc0 = pc qc / p0 qc = OA/M
(10)
ICVc0 (uc) = C(pc, uc) / C(p0, uc) = OA/OL
(11)
En consecuencia
OA/OM ≤ OA/OL
(12)
- 56 -
Apunte sobre Números Índices
Por lo tanto el índice de costo de vida es más grande o igual que el índice de Paasche.
Sin embargo, la combinación de las ecuaciones (9) y (12) no necesariamente significa que el
índice de costo de vida se ubica entre los índices de Laspeyres y Paasche. Esto se debe a que
generalmente no son iguales los índices de costo de vida ICVc0 (u0) y ICVc0 (uc) en el momento “0” y en el
momento “c” respectivamente. Impactos de cambios en los precios relativos varían con el nivel de utilidad.
Si las preferencias son homotéticas, -es decir, si cada curva de indiferencia es una extensión, o
una contracción, uniforme de cada una de las demás- el índice de costo de vida se situará entre los índices
de Laspeyres y Paasche. Esto implica que la senda de expansión del ingreso o curva de Engel (que es el
lugar geométrico de los conjuntos que maximizan la utilidad cuando los precios se mantienen constante y
varia el ingreso) debe ser una línea recta que parte del origen. Si este el caso, entonces la función de gasto
mínimo C(p, u) puede escribirse como a(p) x b(u). Esto implica que la función de gasto mínimo es
separable con respecto al precio y a la utilidad, y depende sólo del vector de precios a nivel constante de
utilidad. Entonces el índice de costo de vida puede escribirse como:
ICVc0 (u0) = C(pc, u0) / C(p0, u0) = a(pc) x b (u0) / a(p0) x b(u0)= a (pc)/a(p0)
ICVc0 (uc) = C(pc, uc) / C(p0, uc) = a(pc) x b (uc) / a(p0) x b(uc)= a (pc)/a(p0)
= ICVc0 (u0)
entonces
IPPc0 ≤ ICVc0 (uc) = ICVc0 (u0) ≤ IPLc0
GRAFICO 2
ÍNDICE DE COSTO DE VIDA E ÍNDICE DE PAASCHE
Q2
A
M
L
E2
E1
U0
UR
C
- 57 -
B
Q1
Agustín Lódola
4.4
Indices de Costo de Vida: ¿De quién?
Como hemos visto los índices de precios de Laspeyres y Paasche no miden exactamente el costo
de vida, ya que, entre otras razones, al mantener una canasta de bienes fija no consideran la sustitución
que realizan las personas entre ellos, etc.
Sin embargo este no es el único inconveniente de estas fórmulas para medir el cambio de precios.
Un número índice, además de tener que representar en un solo número, la variación de precios de
diferentes bienes; tiene que reflejar en un solo escalar, la experiencia de distintos tipos de individuos
(familias). Muchas veces cuando el gobierno publica la información de los índices de precios, mucha gente
no se siente representada por ellos. Es muy común que el efecto de los cambios de precios que hayan
sufrido algunos consumidores no esté reflejada en la inflación oficial, aquella que publica la oficina de
estadística (el INDEC en Argentina).
Este problema, que puede resumirse en la siguiente pregunta planteada por Pollak (1980, 1998),
¿Índice de costo de vida de quién, o de quienes?, se relaciona con si deben existir índices de precios para
diferentes grupos: ricos y pobres, vegeterianos y no vegetarianos, ancianos y no ancianos, urbanos y
rurales, etc.
Cuando se construye un índice de precios simple para reflejar la experiencia de un grupo
heterogéneo ¿la experiencia de quién debería reflejar el índice?. La teoría de los índices grupales, índices
que intentan reflejar lo que le sucede a una población heterogénea, especifica un conjunto de respuestas.
Los índices grupales pueden ser vistos como un agregado de índices individuales. Por ejemplo un
índice de costo de vida grupal puede pensarse como un promedio ponderado de los índices de costo de
vida de las familias. Un índice de costo de vida puede esperarse que sea diferente para distintas familias
por varias razones: i) los precios pagados por el mismo bien pueden variar entre familias, ii) en principio
cada familia tiene su propia estructura de preferencia implicando su propio comportamiento de sustitución
en presencia de cambios de precios, iii) diferencias de ingresos entre familias implican diferentes patrones
de consumo que, en presencia de cambios de precios relativos, implican índices de costo de vida diferente.
De la misma manera un índice de canasta fija grupal (por ej. Laspeyres) puede obtenerse como un
promedio ponderado de los índices de canasta fija de las familias. De esta forma si los índices grupales son
promedios ponderados de los índices familiares, la elección del ponderador es una cuestión clave. Para el
cálculo de los índices de precios del consumidor, la mayoría de las oficinas de estadísticas tratan a todos
los pesos gastados por las diferentes familias como iguales y así el índice de cada familia tiene un
ponderador implícito que es proporcional al gasto total de la familia. Las familias más ricas, que por
consiguiente realizan un mayor gasto, tienen un mayor peso en el índice. Debido a esta características,
Prais (1959) calificó a estos índices como “plutocráticos”. Por otro lado, índices que ofrecen igual
ponderación a todas las familias se los denomina como “democráticos”.
En la próxima sección formalizaremos la relación entre estos dos tipos de índices. Ahora veamos
un ejemplo que ayude a aclarar este punto. Sigamos analizado la situación de un índice de precios para los
estudiantes, pero supongamos ahora que los datos que vimos anteriormente sobre el consumo de fideos,
libros y alquileres es la suma de dos tipos de estudiantes, o dos grupos: uno que no es nativo de la ciudad
donde reside la Universidad (estudiante del interior) y otro que es de la ciudad donde funciona la
universidad (estudiante local). En las siguientes tablas se muestra las cantidades desagregadas de cada
uno de ellos, lo que nos permitirá obtener índices de precios para cada uno.
- 58 -
Apunte sobre Números Índices
Estudiante del Interior
Estructura de Consumo, Precios y Gastos
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
Cantidades
Gasto
Ponde
1998 1999
1998 1999 P98 Q98 P99 Q98
2,0
2,5
10,0
8,0
20,0
25,0
10%
20,0
30,0
5,0
5,0
100,0
150,0
48%
90,0
60,0
1,0
1,0
90,0
60,0
43%
Suma
210,0
235,0
100%
Índice de Precios de Laspeyres del Grupo "Estudiante del Interior"
Base 1998=100
111,90
Inflación 1998
11,9%
Estudiante Local
Estructura de Consumo, Precios y Gastos
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
Cantidades
Gasto
Ponde
1998 1999
1998 1999 P98 Q98 P99 Q98
2,0
2,5
15,0
12,0
30,0
37,5
7%
20,0
30,0
20,0
15,0
400,0
600,0
93%
90,0
60,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0%
430,0
637,5
100%
Índice de Precios de Laspeyres del Grupo "Estudiante Local
Base 1998=100
148,26
Inflación 1998
48,3%
Como vemos, existen diferencias en la estructura de consumo entre estos dos grupos. En el primer
caso (Estudiantes del Interior) tiene un gran peso el consumo de servicios de alquileres, mientras que en el
segundo caso, este servicio no tiene ningún tipo de influencia. Las diferentes canastas y pesos de cada
bien, hacen que mientras la inflación para el estudiante del interior haya sido de 11,9%, para el otro
estudiante la variación de precios fue de 48,3%.
Un índice que tenga en cuenta por igual la situación experimentada por las dos familias, utilizaría el
mismo ponderador para ambos y se obtendría un índice de precios democrático.
En este ejemplo el mismo sería:
IPD = 0,5 * 111,90 + 0,5 * 148,26 = 130,08
Es decir que la inflación para los estudiantes, calculada de esta forma, fue de 30%(=130,08/100-1).
Ahora verifiquemos qué se obtiene si se hubiera utilizado los datos agregados, los cuales se presentan en
la siguiente tabla.
- 59 -
Agustín Lódola
Estudiantes
Estructura de Consumo, Precios y Gastos
Fideos
Libros
Alquileres
Precios
Cantidades
Gasto
Ponde
1998
1999
1998 1999 P98 Q98 P99 Q98
2,0
2,5
25,0 20,0
50,0
62,5
8%
20,0
30,0
25,0 20,0
500,0
750,0
78%
90,0
60,0
1,0
1,0
90,0
60,0
14%
640,0
872,5
100%
Índice de Precios de Laspeyres
Base 1998=100
136,33
Inflación 1998
36,3%
Como se observa, la inflación para los estudiantes, calculada por un índice de precios de
Laspeyres, fue de 36,3%, muy diferente a lo obtenido anteriormente.
Las diferencias entre estos valores surgen de lo dicho anteriormente, si la inflación se mide por un
índice tipo Laspeyres cada familia recibe un peso implícito que es función de sus gastos, lo que hace que
las familias que gasten mas, reciban mayor peso en el indicador. Por el contrario los grupos que gastan
menos (en este caso el estudiante del interior) reciben menos peso en el indicador. Por lo tanto la variación
de precios que surge de este índice esta más cerca de la experimentada por el primer grupo que por el
segundo.
- 60 -
Apunte sobre Números Índices
4.5
Los índices espaciales
4.6
Nuevos Bienes:
Un tema importante a discutir es el problema de los nuevos bienes, es decir de cómo considerar
cuando aparecen nuevos bienes que son relevantes en la canasta del respectivo índice de precios.
Supongamos que tenemos, de una serie de tiempo, precios y cantidades de N-1 bienes en los
períodos (años) 1 y 2. Denominemos pnt y xnt para t=1,2 y para n=1,N-1. Luego, en el período 2, surge un
nuevo bien al precio pN2. ¿Cómo calculamos el índice de precios entre estos dos períodos si no se conoce
el precio de éste bien en el período 1 (que no existía el bien en cuestión)?. Por su puesto que podríamos
asumir que las cantidades en el período 1 son iguales a cero.
Desde el punto de vista del enfoque económico de la teoría de los índices de precios, Hick (1940)
ofreció una solución formal a este problema: si estamos en el contexto de la teoría del consumidor, el precio
de este nuevo bien el período 1 (cuando no existía) sería aquel que hace que la demanda del consumidor
para ese período sea igual a cero. El problema práctico es que este precio sombra no es observable:
requerimos un conocimiento del mapa de indiferencia del consumidor para calcularlo. En la práctica la
mayoría de las oficinas de estadísticas del mundo ignoran la existencia de los nuevos bienes.
4.7
Los Indices de Precios de Producción
La teoría de los índices de precios descripta anteriormente para el consumidor no es directamente
aplicable cuando se esta hablando de índices de precios de producción, como los deflactores de producto,
etc. Por ejemplo Fisher y Shell (1998) tratan separadamente las diferentes unidades de producción: la firma,
la industria y la economía, así como también las diferentes formas de organización industrial: monopolio,
monopsonio y competencia. Solo en el más simple de los casos es apropiada la teoría plenamente
isomórfica del índice de costo de vida a causa de las interconexiones entre las diferentes unidades de
producción. Una firma no puede siempre asumir que el comportamiento de sus competidores, proveedores
y clientes no será afectada por cambios en los precios y solo en casos muy especiales puede una industria
tomar las condiciones de oferta y demanda como dada. Este contrasta con el índice de costo de vida en
que el consumidor representativo se asume como que enfrenta precios fijos y ninguna restricción de
cantidad.
4.8
Ejercicios y Problemas
- 61 -
Agustín Lódola
5
ACERCANDO LA PRÁCTICA Y LA TEORÍA
Habiendo presentado en primer lugar los índices mas comúnmente utilizado por
las agencias estadísticas y en segundo lugar los índices teóricos, se observa que lo
utilizado en la práctica tiene importantes diferencias con lo que establecido en la teoría.
En esta parte presentaremos una variedad de procedimientos que se encuentran en
discusión (y se han aplicado en algunos países) para solucionar esos problemas. Como
se verá el debate no está cerrado, por lo tanto no queda más remedio que presentar el
estado de la discusión actual.
Hay tres problemas principales que se deben resolver, la forma de agregar
bienes; la forma de agregar unidades económicas (familias, países o regiones, etc.) y la
cuestión del período base. Para el primer se han propuesto los denominados índices
superlativos y nuevos procedimientos para considerar los cambios en la calidad
(sección 5.1); para el segundo grupo de problemas se debate la utilización de índices
específicos para cada grupo (sección 5.2). Para intentar solucionar algunos de los
problemas que trae aparejado la elección y cambio del período de referencia, se
discuten el rol de los índices encadenados (sección 5.3) y los índices multilaterales
(sección 5.4). Estos últimos también pueden ser útiles en el caso de comparaciones
espaciales.
5.1
5.1.1
Índices Superlativos
Fórmulas
Durante varios años la teoría del índice de costo de vida fue tomada como una pura abstracción,
una idea que no podría ser implementada en el cálculo de los índices de precios actuales. Para computar
un estándar de vida constante, uno tendría que conocer cómo los consumidores sustituyen entre bienes en
respuesta a cambios en los precios relativos. En otras palabras se tendría que poder separar cambios en el
consumo que aumenta (o disminuye) el estándar de vida de cambios en el gasto que meramente
representan caminos alternativos de alcanzar el mismo nivel de utilidad.
En 1976 Erwin Diewert publicó un artículo que sugiere un camino relativamente simple para
aproximar el índice de costo de vida teórico. Abandonando los intentos de hallar una formula para el índice
de costo de vida exacto, Diewert mostró que una clase de números índices, que él llama “Números Índices
Superlativos”, ofrecen una buena aproximación a la formula exacta.
Los índices superlativos ofrecen una medida exacta en ciertas circunstancias muy específicas, es
decir de algunas formas funcionales flexibles como las cuadráticas homogéneas y las translogarítmicas
homogéneas.
Algunos de estos índices superlativos son relativamente simples de computar y parten de la
siguiente idea: dado que el índice de Laspeyres sobreestima la inflación, mientras que un tipo Paasche
subestima la misma, es lógico pensar en hacer un promedio entre ambos para aproximar la verdadera
inflación.
Una primera alternativa es hacer una media aritmética, de esta manera obtenemos lo que Diewert
denomina un índice de Sidgwick-Bowley,
Índice de Sidgwick-Bowley (SB)
o
o
o
PSB c = 0.5 PL c + 0.5 PP c
donde PL es el índice de precios de Laspeyres y PP el índice de precios de Paasche.
- 62 -
Apunte sobre Números Índices
Índice de Fisher
Otro importante candidato a cumplir este rol es el índice ideal de Fisher, propuesto por Irving
Fisher en 1922. Este es un promedio geométrico (es decir la raíz cuadrada de su producto) de los índices
de Paasche y de Laspeyres.
[
o
]
o 0.5
o
PF c = PL c xPP c
∑P Q ∑P Q
∑P Q ∑P Q
c
o
Fc
P
=
0
i
o
i
i
o
i
c
i
o
i
c
i
c
i
Fisher describió a este índice como “ideal” porque satisface varias pruebas que consideraba
importantes, como la de “reversión temporal” y la de “reversión de los factores”.
Una ventaja importante de esta fórmula es que cumple la propiedad “dual”. Es decir el producto de
un índice de precios de Fisher entre dos períodos por un índice de cantidad de Fisher entre los mismos dos
períodos es igual cambio total en valores entre esos dos períodos.
Desde el punto de vista del enfoque económico, se demostró que, si la función de utilidad del
consumidor puede representarse mediante una función cuadrática homogénea (que sea homotética), el
índice ideal de Fisher es igual al índice teórico subyacente.
Índice de Tornqvist
Por último, otro índice superlativo es el índice de Tornqvist, desarrollado en los años 1930 en el
Banco de Finlandia.
0
Tc
P
 Pc
= ∏  i 0
i  Pi



( 1 / 2 )( α + β )
Este índice es un promedio geométrico ponderado de los precios relativos, con ponderador α y
β.donde α es el ponderador del índice de precios de Laspeyres y β es el ponderador del índice de precios
Paasche.
El índice de volumen se obtiene reemplazando los precios relativos (pic/pi0) por las cantidades
relativas
El índice de Tornqvist se utiliza corrientemente para medir variaciones de volumen con el propósito
de utilizarlas en las mediciones de productividad. Cuando las posibilidades de producción a analizar pueden
representarse mediante una función de producción homogénea, se demuestra que el índice de Tornqvist
proporciona una medida exacta del índice de volumen teórico subyacente.
El interés en estos índices con ponderaciones “promedio”, sobre todo el de Fisher y el de
Tornqvist, proviene no sólo del hecho de que están en medio del intervalo donde (para diversas funciones
de utilidad) ha de estar el índice verdadero de costo de vida, sino también del descubrimiento de que ellos
son índices exactos del costo de vida (o están muy cerca de él) para ciertas clases “realistas” de
consumidores, definidos por determinadas funciones de utilidad, lo cual los hace muy importantes desde el
punto de vista del análisis económico.
La exactitud ha sido demostrada para diferentes índices.. pp. 39 paper Maletta
- 63 -
Agustín Lódola
5.1.2
Cálculo
Siguiendo con el ejemplo del índice de precios para los estudiantes calculemos estas nuevas
formas funcionales: el índice de SB, el de Fisher y el de Tornqvist.
En los dos primeros casos el cálculo es simple. Tomando los resultados obtenidos de los índices
de precios de Laspeyres y Paasche, se realiza un promedio aritmético en el primero caso y un promedio
geométrico en el segundo. En la siguiente tabla se resume los resultados obtenidos.
Calculo del Índice de Precios de Fisher
1988
Indice de Precios de Laspyeres
Indice de Precios de Paasche
Indice de Precios de Sidqwick-Bowley
Indice de Precios de Fisher
Media aritmética
Media geométrica
1990
100,00
100,00
178,00
172,35
100,00
100,00
175,18
175,15
Para el cálculo del Índice de Precios de Tornqvist se requiere no el valor de los índices sino los
precios de los diferentes bienes en el año base y en año considerado y los ponderadores de cada bien para
el año considerado según las dos fórmulas (Laspeyres y Paasche). En la siguiente tabla se realiza el
cálculo.
Calculo del Índice de Precios de Tornqvist
Año 1990 – Base 1988=100
Precios Precios Cociente de
1988
1990
Precios
(1)
Fideos
Libros
Alquileres
(2)
5
2
40
(3) = (2)/(1)
8
4
45
Ponderador
Laspeyres
Ponderador
Pasche
Ponderador
Promedio
(4)
(5)
(6)=((4)+(5))/2
1,6
2,0
1,1
0,20
0,64
0,16
0,16
0,68
0,15
(3) ¨ (6)
0,18
0,66
0,16
Productoria
1,09
1,58
1,02
175,48
El primer paso es obtener los cocientes de precios para cada uno de los bienes (Columna (3)). En
segundo lugar se calcula el ponderador de cada bien de este índice que surge de hacer un promedio simple
del ponderador del índice de precios de Laspeyres y el índice de precios Paasche (columna (6)). En tercer
lugar al cociente obtenido en la columna (3) se lo eleva a la potencia obtenida en la columna (6). Por último
se obtiene la productoria de todos los bienes y se multiplica el resultado por 100.
El índice de precios de Tornqvist para el año 1990, tomando como base a 1988 es de 175,48.
5.1.3
Discusión
- 64 -
Apunte sobre Números Índices
5.2
Indices Democraticos
Como se mencionó anteriormente, un índice de precios grupal puede construirse como un
promedio ponderado de índices de precios individuales. Obviamente los resultados serán diferentes, de
acuerdo al ponderador seleccionado para llevar a cabo la agregación. En esta parte, se tiene particular
interés en la comparación entre la tasa de inflación que se obtiene utilizando índices de precios
plutocráticos y aquella que surge de la utilización de índices de precio democráticos. Como se verá más
adelante, la diferencia entre ambos índices radica en el ponderador utilizado para agregar los índices de
precios familiares.
Para definir con precisión cada uno de estos índices resulta necesario entonces definir un índice
de precios familiar del tipo Laspeyres. Para ello, se supone que existen B bienes y H familias con b = 1,…,
B y h = 1,…, H, respectivamente, y que q = (q1, …, qB) es un vector de bienes y p = (p1, …, pB) el vector de
precios de dichos bienes.
Dado un vector de bienes de referencia, qh0, y retomando la formula 3.7 el índice de precios de
Laspeyres para una determinada familia (en adelante ipl) puede definirse como:
ipl (pt, p0; qh0) =
∑w
i
h
i0
pit
pi0
,
donde whi0 es la proporción del gasto que la familia h realizó en el bien i durante el período 0 respecto el
total gastado por esa familia en el mismo período, es decir, whi0 = pi0qhi0/p0qh0.
Las agencias estadísticas utilizan un índice agregado de Laspeyres (en adelante IPL). Para
construir este índice, considérese el vector de cantidades agregadas compradas en el período 0 definido
como Q0 = (Q10, …, QB0), donde Qi0 = Σhqhi0. Luego, de acuerdo a la metodología empleada por las agencias
estadísticas, el PL se define como:
PL (pt, p0; qh0) =
∑α
i
i0
pit
pi0
,
donde αi0 es la participación del gasto en el bien i de todas las familias respecto al gasto total, es decir, αi0 =
pi0Qi0/p0Q0.
Nótese que αi0 puede escribirse como:
p 0 q h0 pi0 q i0h
∑
h
p 0 Q 0 p 0 qh0
donde,
p 0 qh0
p0Q 0
=ϕ h y
pi0 q i0h
p 0 q h0
= w ioh
siendo ϕh la participación del gasto total realizado por la familia h durante el período 0 en el gasto total de
todas las familias durante el mismo período
Luego, sustituyendo αi0 por la expresión anterior en la ecuación del IPL, resulta sencillo
mostrar que el IPL puede escribirse como un promedio ponderado de los índices de precios cada familia:
PL (pt, p0; qh0) =
∑ϕ
h
h
ipl(p t , p0 ; qh0 ) ,
De este modo, resulta evidente que el índice de precios de las familias que realizan un mayor
gasto tiene un peso mayor en el cálculo del Índice de Precios de Laspeyres. Por esta razón a estos índices
se los denomina como plutocráticos.
Por su parte, siguiendo a Prais (1959), un índice de precios democrático (en adelante IPD) se
obtiene simplemente como un promedio simple de los ipl para un período dado, esto es:
- 65 -
Agustín Lódola
PD (pt, p0; qh0) =
[∑ ipl(pt , p0 ; qh0 )] H1
h
Así, y a diferencia de lo que ocurre con el IPL, en el IPD todas las familias tienen el mismo peso.
5.3
Índices en cadena
Si el objetivo es medir los movimientos efectivos de precios y de volumen de un período a otro, los
índices deben elaborarse únicamente entre períodos consecutivos de tiempo. Las variaciones de precios y
volumen entre períodos separados en el tiempo se obtienen a continuación acumulando los movimientos a
corto plazo; es decir, eslabonando los índices entre períodos consecutivos para formar “índices en cadena”,
Esta clase de índices tiene diversas ventajas teóricas y prácticas. Por ejemplo se puede obtener una
comparación mucha mejor entre productos en períodos consecutivos que entre períodos que se hallan muy
alejados, ya que continuamente están desapareciendo productos del mercado para ser sustituidos por otros
nuevos o por nuevas calidades. Los índices en cadena también
5.3.1
Formulas
Las fórmulas de los índices encadenados primero agregan precios individuales en base periodo a
período para computar índices de períodos intermedios. Luego encadenan estos índices de períodos
intermedios para un índice de un período largo. En general un índice de precios encadenado (CIP to) se
define como:
CPc0
=
IP10
×
IP21
× ... ×
IPcc−1
=
c −1
∏ IP
s
s +1
s =0
De esta forma, podemos obtener un índice encadenado de Laspeyres, Paasche, Fisher, Tornqvist
y geométrico.
Índice de Precios de Laspeyres Encadenado (CIPL)
Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Laspeyres (3.8):
c −1
c −1 n
Pic
0
s
s
CPLc =
IPLs + 1 =
wi × 0
Pi
s =0
s = 0 i =1
∏∑
∏
Índice de Precios de Paasche Encadenado (CPP)
Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Paasche (3.13):
CPPc0
=
c −1
∏
s =0
IPPss+ 1
 n
Pic 
s

=
wi × 0

Pi 
s = 0  i =1
c −1
∏∑
- 66 -
−1
Apunte sobre Números Índices
Índice de Precios de Fisher Encadenado (CPF)
Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Fisher (3.8):
CPFc0
=
c −1
∏
IPFss+ 1
=
s =0
c −1
∏
IPLss + 1 × IPPss + 1 = CPL0C × CPPc0
s =0
Índice de Tornqvist Encadenado (CPT)
Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Tornqvist:
CPTc0 =
c −1
∏ IPT
s
s +1
s =0
=
c −1
n
∏∏
s = 0 i =1
 Pis + 1

 Ps
 i




(wis + wis )
Índice Geométrico Encadenado (CPG)
Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios geométricos (x.x):
5.3.2
Cálculo
5.3.3
Discusión
- 67 -
Agustín Lódola
5.4
Indices Multilaterales
La construcción de índices multilaterales es más común en las comparaciones espaciales que
intertemporales. Por lo tanto en esta parte se presentan las principales fórmulas utilizadas. Luego se
sintetiza el debate sobre la utilización de los mismos en la práctica.
5.4.1
Fórmulas
GK: Geary y Khamis
La idea básica de este método es expresar la PPC de un país j como el cociente entre el gasto
total del país j valuado a sus propios precios y el gasto total expresado a los precios internacionales. A su
vez, los precios internacionales serán un promedio ponderado de los precios domésticos de todos los
países incluidos en la comparación, con los precios domésticos convertidos a la moneda del país numerario
por la PPC de cada país y los ponderadores reflejando la participación de cada país en la cantidad total del
bien en cuestión. Este método consiste en la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:
M
∑p q
ij
Pi =
PPPj
ij
j =1
M
∑q
ij
j =1
N
∑p q
ij
PPPj =
ij
i =1
N
∑P q
i
ij
i =1
donde Pi es el precio promedio internacional para un agregado y PPPj es la paridad de precios (ponderada)
de un país.
Los insumos básicos para calcular las PPC son las paridades elementales de precios calculadas
en la etapa anterior (ppij) y el gasto en cada agrupamiento mínimo y en cada país (Eij).
Este método produce comparaciones transitivas entre todos los países. Además, genera
resultados aditivos, que tienen la propiedad de consistencia matricial. 12 Por lo tanto, los resultados pueden
ser comparados entre regiones para cualquier agrupamiento mínimo o para cualquier agregado. No todos
los índices tienen esta propiedad (por ej. el índice ideal de Fisher o cualquier método de agregación basado
en este índice, como el método EKS, o los índices de cadena).
EKS: Elteto, Koves y Szulc
Los resultados obtenidos a través de este método tienen las propiedades de transitividad y
characteristicity.
Este método consiste en calcular:
M
[
EKS jk = ∏ Fjs Fsk
s =1
]
1/ M
12
La consistencia matricial es una propiedad que hace posible obtener relaciones de cantidades correctas entre países para
cada agrupamiento mínimo, y al mismo tiempo permite obtener relaciones de cantidades correctas entre países para
cualquier nivel de agregación, simplemente sumando las cantidades de las categorías incluidas en cada agregado.
- 68 -
Apunte sobre Números Índices
donde Fjk es un índice binario de Fisher, que compara las paridades de precios de los países j y k.
Fjk = Pjk L jk
n
Pjk =
∑p q
ij
ij
ik
qij
i =1
n
∑p
i =1
n
L jk =
∑p q
ij
ik
ik
qik
i =1
n
∑p
i =1
donde Pjk y Ljk son los índices de Paasche y Laspeyres, respectivamente.
Una de las principales críticas hacia este método es que le otorga a todas las comparaciones el
mismo peso, suponiendo que todas son igualmente confiables, y esto no siempre es así (por ejemplo: los
índices de precios para un determinado producto se pueden basar en muchas observaciones en un país o
sólo en un par en otro). Igualmente, el método puede ser modificado de modo de asignarle distintas
ponderaciones a las observaciones. Este método se denomina EKS generalizado.
Los resultados de este método de agregación, a diferencia de los resultados obtenidos a través de
la utilización del método Geary-Khamis, no son aditivos. Esto significa que la suma de los valores reales
obtenidos a partir de las PPC estimadas para un determinado nivel de agregación no refleja el valor real del
nivel de agregación siguiente.
El método CPD (Country Product Dummy):
Este método generalmente se utiliza cuando la matriz de precios está incompleta. Se utiliza el
análisis de regresión de modo de obtener paridades de precios transitivas para cada agrupamiento mínimo.
La variable dependiente es el precio del ítem i en el país j, y las variables independientes son dos conjuntos
de variables dicotómicas, uno compuesto por una dummy para cada ítem, y otro que contiene una dummy
por cada localidad (salvo para la que se toma como numerario). Las paridades de precios se derivan de los
coeficientes estimados de las variables dicotómicas para cada país.
LnPji = b1 X1 + b 2 X 2 + ... + b M−1 X M−1 + z1Y1 + z 2 Y2 + ... + z n Yn + µ i
donde Pji es el precio del ítem i en el país j, Xj (con j=1, ..., M) son las dummies para cada país y Z i
(con i=1, ...,n) son las variables dicotómicas para cada ítem.
Los logaritmos naturales de los coeficientes estimados para las dummies por país representan las
paridades de precios cada localidad respecto al numerario. Por otra parte, los logaritmos naturales de los
coeficientes estimados de las variables dicotómicas para cada ítem representan la estimación del precio de
cada ítem expresado en relación a los precios de la localidad que se utiliza como numerario.
- 69 -
Agustín Lódola
5.4.2
Cálculo
5.4.3
Discusión
Todos los métodos de agregación utilizan algún ponderador, explícito o implícito, para determinar
la importancia de cada región en la comparación. Este método le asigna a cada región un peso según la
relación de su PBI en el total, en cambio, el método EKS le asigna el mismo peso a cada región. La
ponderación otorgada a cada país en el método de Geary-Khamis puede generar un problema, ya que se le
asigna mayor peso a los vectores de precios a los países más grandes, lo que puede producir un sesgo
debido al efecto Gerschenkron. 13
5.5
Ejercicios y Problemas
13
Al utilizar este método los países más grandes tendrán un mayor peso en la determinación de los precios internacionales,
por lo tanto, la estructura de precios internacionales se asemejará más a la de los países grandes. Debido a la relación
inversa entre precio y cantidad, los ítems que son caros en los países pobres serán consumidos en pequeña cantidad y
viceversa. La estructura de precios del método Geary-Khamis tenderá a valuar las grandes cantidades consumidas de
bienes baratos en los países más chicos a mayores precios. En forma similar, los ítems que son relativamente baratos en
los países grandes serán valuados a precios internacionales más cercanos a su valor nacional.
- 70 -
Apunte sobre Números Índices
6
TÓPICOS SOBRE ÍNDICES DE PRECIOS
6.1
Ajustes por Calidad: Encadenamiento y Regresiones Hedónicas
6.2
Los Sesgos
6.2.1
Conceptos
6.2.2
Evidencia
6.2.3
Cálculo
6.2.4
Implicancias de los Sesgos
6.3
Inflación subyacente
6.4
Ejercicios y Problemas
- 71 -
Agustín Lódola
7
7.1
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografía general
Abraham Katherine, Greenlees John and Moulton Brent (1998); “Working to Improve the Consumer Price
Index”; Journal of Economics Perspectives, Vol. 12, Num. 1, Winter.
Boskin Michael, Dulberger Ellen, Gordon Robert, Griliches Zvi and Jorgenson Dale (1998); “Consumer
Prices, the Consumer Price Index, and the Cost of Living”; Journal of Economics Perspectives, Vol.
12, Num. 1, Winter.
Deaton A. Y Muellbauer (1980); “Economics and consumer behavior”, Cambridge University Press.
Deaton Angus (1998); “Getting Prices Right: What Should Be Done?”; Journal of Economics Perspectives,
Vol. 12, Num. 1, Winter.
Dierwert Erwin (1995); “Price and Volume Measures in The System of National Accounts”; Working Paper
Num. 5103, National Bureau of Economics Research, Cambridge.
Dierwert Erwin (1996a); “Seasonal Commodities, High Inflation and Index Number Theory”, Discussion
paper Num. 96-06, Departament of Economics, The University of British Columbia, Vancouver,
Canada.
Dierwert Erwin (1996b); “Comment on CPI Biases”, Discussion paper Num. 96-07, Departament of
Economics, The University of British Columbia, Vancouver, Canada.
Diewert, W. E., 1987, "Index Numbers," en The New Palgrave: A Dictionary of Economics, Volume 2,
editado por J. Eatwell et al. (Macmillan, London).
Diewert E (1997); “Commentary to Shapiro M. and Wilcox D. (1997); “Alternative Strategies for Aggregating
Price en the CPI””, Federal Reserve Bank of St. Louis Review, May/Jun.
Diewert E. (1976), “Exact and Superlative Index Numbers”, Journal of Econometrics 46, May, pp.115-45.
Diewert Erwin (1998); “Index Numer Issues in the Consumer Price Index”; Journal of Economics
Perspectives, Vol. 12, Num. 1, Winter.
Fisher Franklin and Shell Karl (1998); “Economic Analysis of Production Price Indexes”; Cambridge
University Press
Fisher Irving (1922); “The making of Index Number”, Boston Houghton. Mifflin.
Gerschenkron, A., 1951, A Dollar Index of Soviet Machinery Output, 1927-28 to 1937 (Rand Corporation,
Santa Monica CA).
INDEC (2001); “Índice de Precios al Consumidor – Gran Buenos Aires. Base 1999=100”, Metodología N°
13, Buenos Aires.
Konus A. (1939); “The problem of the True Index of The Cost of Living”, Econométrica 7, January, pp.10-29.
Maletta Hector (1996); “Sustitución en el consumo, medición del costo de vida y tipo de cambio real en la
- 72 -
Apunte sobre Números Índices
Argentina, 1960-1995”, informe para el Banco Mundial.
Moulton Brent (1996); “Bias in the Consumer Price Index: What is the Evidence?”, Working Paper 294,
Bureau of Labor Statistics, U.S. Departament of Labor,
Naciones Unidas (1993); “Sistema de Cuentas Nacionales 1993”.
Nordhaus William (1998); “Quality Change in Price Indexes”; Journal of Economics Perspectives, Vol. 12,
Num. 1, Winter.
Pollak Robert (1989); “The Theory of the Cost-of-Living Index”; Oxford University Press
Pollak Robert (1998); “The Consumer Price Index: A Research Agenda and Three Proposals”; Journal of
Economics Perspectives, Vol. 12, Num. 1, Winter.
Propatto Juan Carlos (1999); “El Sistema de Cuentas Nacionales”, Ed. Macchi.
Ruiz Castillo Javier, Ley Eduardo, Izquierdo Mario (1999); “The plutocratic bias in the CPI: Evidence from
Spain”, Documento de Trabajo 99-15, FEDEA, España.
Shapiro M. and Wilcox D. (1997); “Alternative Strategies for Aggregating Price en the CPI”, Federal Reserve
Bank of St. Louis Review, May/Jun.
Shiratsuka Shigenori (1999); “Measuring Errors in Japanese Consumer Price Index”, Federal Reserve Bank
of Chicago, February.
Szychowski (1977); “Problemas de Macroeconomía. Tomo I”, Cuaderno 21, Instituto de Investigaciones
Económicas, Facultad de Ciencias Económicas, UNLP, marzo, La Plata.
Walsh (1901); “The Measurement of General Exchange Value”; Macmillan and Co.; New York.
7.2
Nota sobre la Bibliografía
- 73 -

Educación para la paz (preguntas orientadoras)

(N°12E) Feb-2003 Cómo Invertir el Presupuesto de - DESISA

Aprueban los Índices de Distribución del Canon Pesquero

POBREZA E INDIGENCIA EN ARGENTINA 2003-14

Píldora de Calidad N°2: Indicadores

COMUNICADO A LOS SOCIOS DE LA COOPERATIVA “LA

RER9 Indice

Cuando de observar se trata

Perú: Historia de éxito económico con futuro promisorio

Número 71, Abril 2015