ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (Sesión 4)

ESTAD´ISTICA Y PROBABILIDAD (Sesi´on 4)
MsC. Gabriel Enr´ıquez
Universidad Tecnol´
ogica Equinoccial
4 de mayo de 2015
MsC. Gabriel Enr´ıquez (UTE)
PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA
4 de mayo de 2015
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Probabilidad condicional
La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ya
ocurri´o alg´
un evento A se llama probabilidad condicional y se denota con
P(B|A).
Definici´on 1
La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A), se
define como
P(B|A) =
P(A ∩ B)
,
P(A)
siempre que P(A) > 0.
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Ejemplo 1
La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo
es P(D) = 0,83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y
la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(D ∩ A) = 0,78. Calcule
la probabilidad de que un avi´
on a) llegue a tiempo, dado que sali´o a
tiempo; y b) sali´o a tiempo, dado que lleg´
o a tiempo.
Ejemplo 2
Considere un proceso industrial en el ramo textil, en el que se producen
listones de una tela espec´ıfica. Los listones pueden resultar con defectos en
dos de sus caracter´ısticas: la longitud y la textura. A partir de informaci´on
hist´
orica del proceso se sabe que 10 % de los listones no pasan la prueba
de longitud, que 5 % no pasan la prueba de textura y que s´olo 0,8 % no
pasan ninguna de las dos pruebas. Si en el proceso se elige un list´on al azar
y una medici´on r´apida identifica que no pasa la prueba de longitud, ¿cu´al
es la probabilidad de que la textura est´e defectuosa?
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Eventos independientes y regla del producto
Definici´on 2
Dos eventos A y B son independientes si y s´
olo si
P(B|A) = P(B)
o
P(A|B) = P(A)
Teorema 1
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)
, siempre que P(A) > 0.
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Ejemplo 3
Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de
las cuales 5 est´an defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se
retiran de la caja, uno despu´es del otro, sin reemplazar el primero, ¿cu´al es
la probabilidad de que ambos fusibles est´en defectuosos?
Ejemplo 4
Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa
contiene 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se
coloca sin verla en la segunda bolsa. ¿Cu´al es la probabilidad de que ahora
se saque una bola negra de la segunda bolsa?
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Teorema 2
Dos eventos A y B son independientes si y s´
olo si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Ejemplo 5
Una peque˜
na ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia
para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos
est´e disponible cuando se necesite es 0,98 y la probabilidad de que la
ambulancia est´e disponible cuando se le requiera es 0,92. En el evento de
un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la
ambulancia como el carro de bomberos est´en disponibles, suponiendo que
operan de forma independiente.
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Ejemplo 6
Un sistema el´ectrico consta de cuatro componentes, como se ilustra en la
siguiente figura. El sistema funciona si los componentes A y B funcionan,
y si funciona cualquiera de los componentes C o D. La confiabilidad
(probabilidad de que funcionen) de cada uno de los componentes tambi´en
se muestra en la siguiente figura. Calcule la probabilidad de que el sistema
completo funcione. Suponga que los cuatro componentes funcionan de
manera independiente.
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La regla multiplicativa se puede extender a situaciones con m´as de dos
eventos.
Teorema 3
Si, en un experimento, pueden ocurrir los eventos A1 , A2 , . . . , Ak , entonces
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ) =
= P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P(Ak |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak−1 ).
Si los eventos A1 , A2 , . . . , Ak son independientes, entonces
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ) = P(A1 )P(A2 ) · · · P(Ak )
Ejemplo 7
Se sacan tres cartas seguidas, sin reemplazo, de una baraja ordinaria.
Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento A1 ∩ A2 ∩ A3 , donde A1
es el evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la
segunda carta sea un 10 o una jota y A3 el evento de que la tercera carta
sea mayor que 3 pero menor que 7.
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Bibliograf´ıa
Walpole,R., Myers, R., Myers, S. y Ye, K.(2012)
Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias
Pearson Educaci´
on, Novena edici´
on M´exico
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