Boletin Resumen del tema 6

TEMA 6. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD BOLETÍN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Estudia la continuidad de
2. Ídem para
⎧ x
⎪
f ( x) = ⎨ x − 3
⎪ x 2
⎩
−4 ≤ x <1
y dibújala e indica sus extremos absolutos.
1≤ x ≤ 5
#
%3x +10 − 3 ≤ x ≤ −2
%
f (x) = $ x 2
− 2 < x <1
%x+3
%
1≤ x ≤ 3
& 2
3. Dada la siguiente gráfica, indica los puntos donde la función es discontinua el tipo de
discontinuidad.
4. Una empresa determina que los gastos de producción de palillos vienen dados por la siguiente función:
G ( p ) = 2000 +
1
p3 .
200000
Sus ingresos se rigen por la fórmula:
Ambas funciones vienen dadas en € y
p
I ( p ) = 8000 + 2 p −
representa el número de palillos fabricados.
1
1
p2 +
p3 .
1000
200000
a) Encuentra la función que da los beneficios.
b) ¿Para qué valores de producción de palillos no hay beneficios?
c) Calcula cuántos palillos se deben fabricar para obtener el beneficio máximo e indica éste.
5. Los beneficios mensuales de un artesano que vende ‘x’ objetos, expresados en euros, vienen dados por la función:
B( x) = −0,5x 2 + 50 x − 800 , donde 20 ≤ x ≤ 60 . Escribe la función que define el beneficio por unidad vendida.
6. Las ventas obtenidas por una empresa han sido de 28 000 € con unos gastos en publicidad de 3 000 € y de 39 000
€ con unos gastos publicitarios de 5 000 €. Escribe la función que relaciona las ventas obtenidas a partir de los
gastos publicitarios y estima a partir de la misma cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 4 000 €.
7. Halla el valor de ‘a’ para que
8. Halla ‘a’ y ‘b’ para que
f (x)
f (x)
sea continua:
sea continua:
⎧2 x 2 − 3x
⎪
f ( x) = ⎨
⎪3a − 7
⎩
⎧ x 2
⎪
⎪
f ( x) = ⎨ax + b
⎪
⎪2
⎩
x≤2
x>2
x<0
0 ≤ x ≤ 1.
x >1
.
9. La fusión de dos empresas en el año 2008 produce unos beneficios anuales, en millones de euros, determinados por
la función
f ( x) = 50 +
70 x
, siendo x el número de años transcurridos desde la fusión.
x + 30
a) ¿Qué beneficio obtendrán en el año 2015?
b) Si se supone que los beneficios se mantienen según la función f(x), ¿a qué cantidad se aproximan los beneficios?
10. Una constructora ha comprado una excavadora por 80000 euros. El departamento financiero ha calculado que
puede revenderla al cabo de t años al precio de
f (t) =
80
1+ 0, 4t
miles de euros.
a) ¿Al cabo de cuántos años la excavadora perderá la mitad de su valor de compra?
b) Calcula el límite lim f (t) y da una interpretación económica a este resultado.
t→∞
11. Calcula los siguientes límites:
a)
lim
x −1
x −1
b)
lim
3x 2 + 7x − 5
2x − 9
c)
x 4 −16
lim
x→2 x − 2
d)
lim
x→1
x→∞
x→∞
(
2x + 5 − x
)

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