Guía Materia Numeros - Preuniversitario Derecho a la U

GUIA DE MATERIA
UNIDAD: NÚMEROS
Basado en Material de Preuniversitario Pedro de Valdivia
(Por favor no distribuir y mantener para el uso personal)
NÚMEROS NATURALES
Los elementos del conjunto IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} se denominan “Números
Naturales”.
Los Números Cardinales corresponden a la unión del conjunto de los Números Naturales con
el cero. IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} IN0 = IN  {0}
NÚMEROS ENTEROS 
Los elementos del conjunto  = {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números
Enteros”.
OPERATORIA EN 
ADICIÓN
Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el
signo común.
 Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

OBSERVACIÓN: El Valor Absoluto de un número es el mismo número, si este es mayor o
igual a 0, y el opuesto si el número es menor que 0. El valor absoluto de +5 o de -5 es 5.
MULTIPLICACIÓN


Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo.
Si se multiplican dos números de distintos signo el resultado siempre es negativo.
OBSERVACION:
En la división se cumple la regla de los signos de la multiplicación.
EJEMPLO:
1.
Al calcular (-195 + 123) : 3 se obtiene
A) -106
B) -24
C)
58
D)
24
E) 106
1
PROPIEDADES:
Definición: sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par, el 0 es un entero par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El inverso aditivo u opuesto de n es –n.

El cuadrado perfecto de n es n2, con n distinto de 0.
OBSERVACIONES:
Sea n un número Natural. Son cuadrados perfectos los números de la
forma n2.
1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.
EJEMPLOS:
2. Joaquín debe resolver la siguiente situación: “Se sabe que p + 5 = 8, q – 6 = -1
y r – 9 = -15”, entonces p + q + r =
A) -34
B) -8
C) -4
D)
2
E) 14
3.
6{-(2 – 9) – 2[5 – 8 – (-9 – 2)]} =
A) -210
B) -102
C) -54
D)
18
E) 240
2
MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Si n es un número entero, los múltiplos de éste se obtienen multiplicando n por cada
número entero.

Un número entero es divisor de otro entero, cuando al dividirlos el resultado es un
número entero y el resto de la división es cero.
ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
POR
2
3
4
5
6
8
9
CUANDO
Termina en cifra par.
La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.
Termina en 0 o 5.
Es divisible por dos y por tres a la vez.
Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8.
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…

Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores distintos. Los primeros
números compuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de números
primos.
EJEMPLOS
4.
El triple de 146 es divisible por
A)
B)
C)
D)
E)
5.
4
5
6
7
8
La diferencia entre el mayor número primo menor que 10 y el menor número
compuesto, disminuido en 4 es
A) -7
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
3

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
El m.c.m. entre dos o más números naturales es el menor número natural, que es
múltiplo común de todos ellos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
El M.C.D. entre dos o más números naturales es el mayor número natural, que es divisor
común de todos ellos.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Se debe descomponer los números dados en factores primos.
El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso de
existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando
aquel que posea el exponente menor.
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0.
-3
-2
-1
0
-3 = 3
DEFINICIÓN:
 n,
|n| = 
 -n,
1
2
3
3 = 3
si n  0
si n < 0
EJEMPLOS
6.
El m.c.m y el M.C.D de 22, 33 y 44 son, respectivamente.
A)
B)
C)
D)
E)
7.
22 · 3 · 11
11
22 · 3 · 11
11
23 · 3 · 11
y
y
y
y
y
11
22 · 3 · 11
113
23 · 3 · 11
11
-3 · 5 – 4 – -5 =
A) -8
B) -2
C) 1
D) 2
E) 8
4
NÚMEROS RACIONALES
a
con a y b números
b
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra
.
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a

 =  / a, b   y b  0 
b


FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA
Sean a y b enteros.
a
es una fracción propia.
b
a
ii) Si |a| > |b| 
es una fracción impropia.
b
i)
Si |a|  |b| 
OBSERVACIÓN:
Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
Sean
a c
a
c
,
 . Entonces:
=
b d
b
d

a·d=b·c
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c
,
 , entonces:
b d
c
a
ad  bc

=
d
b
bd
OBSERVACIONES

El número mixto A
b
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
A
b
A · c +b
=
, con A  0
c
c
EJEMPLO:
8.
3 2
El valor de la expresión 4 –    es
2 5
15
A) 17
10
D)
5
1
B) 23
7
E)
7
21
C)
10
5
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
c
a
,
 , entonces:
b
d
MULTIPLICACIÓN
c
ac
a
=
·
d
bd
b
c
d
ad
a
a
:
=
·
=
d
c
bc
b
b
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a
 a
es  
b
b 
-1
=
b
, con a y b  0
a
RELACIÓN DE ORDEN EN 
Sean
a c
a
c
,
  y b, d  +. Entonces:

 ad  bc
b d
b
d
c
a
<
 ad < bc
Además:
b
d
OBSERVACIONES

Para comparar
procedimientos:




números
racionales,
se
pueden
utilizar
los
siguientes
Igualar numeradores.
Igualar denominadores.
Convertir a número decimal.
Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
EJEMPLOS:
9.
también
La tercera parte del doble de
A)
1
16
B)
9
5
5
:
· 8 es igual a la cuarta parte de
4 12
C) 16
D) 32
E) 64
10. Si x es un número racional mayor que 3, ¿cuál es la relación de orden correcta entre
4
4
4
las fracciones p =
,q=
y r=
?
x  3
x
x+3
A) r < q < p
B) p < q < r
C) r < p < q
D) q < r < p
E) q < p < r
6
POTENCIAS EN LOS RACIONALES (Q)
Si a es un número racional y n numero entero positivo.
DEFINICIONES
a · a · a · a · a · a · a … · a = an
n factores
a0 = 1 , a  0
a-n =
1
an
, a es un número racional positivo y n un número entero positivo
OBSERVACIONES



0n = 0, si n > 0
1n = 1
00 no está definido.
an =
SIGNOS DE UNA POTENCIA:
Positivo, si a  0 y n es par.
Negativo, si a < 0 y n es impar.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b  números racionales distintos de cero, m y n números enteros.
Multiplicación de potencias de igual
base
an · am = an + m
División de potencias de igual base
an : am = an - m
Multiplicación de potencias de igual
exponente
an · bn = (ab)n
División de
exponente
an : bn = (a : b)n
potencias
Potencia de una potencia
de
igual
(an)m = an · m
EJEMPLO:
5
5 3
11. (4 · 3 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
1275
1210
1215
1213
128
7
NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA


Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k  10n,
en que 1  k  10 y n es un numero entero.
Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p  10n, en que
p es el menor entero y n es un número entero.
EJEMPLOS
3,4 · 108
1.
340.000.000 expresado en notación científica es
2.
-6
La notación científica de 0,00000621 es equivalente a 6,21 · 10
NÚMEROS IRRACIONALES (Q')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
 = 3,141592 …,
Los números
2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b
números racionales no negativos, son:
OBSERVACIÓN:
DEFINICIÓN:
1)
a = b  b2 = a
ab

2)
a2 = |a|
PROPIEDADES

a ·
b =
a
b
=
a
b

a b =
a2 b

a
b
=
a b
b
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de
los números reales el cual se expresa como lR.
Es decir:
lR =Q  Q'
OPERATORIA EN lR

El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).

La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
ãPor otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da
como resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma
8
n
a , con a < 0 y n par.
NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún
número real x para el cual x2 = -1.
Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que
denotamos con i y cuyo cuadrado es igual a -1:
i2 = -1 /
i = -1
POTENCIAS DE i
Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que:
i1
i2
i3
i4
Se tiene que i
=
=
=
=
i
-1
i2 · i = -1 · i = -i
i2 · i2 = -1 · -1 = 1
4n
= 1, con n 
+
0
i5
i6
i7
i8
=
=
=
=
i9 = i
i10 = -1
i11 = -i
i12 = 1
i
-1
-i
1
, entonces i4n + p = i4n · ip = 1 · ip = ip, por tanto
i4n + p = ip
con n 

0
y 0p<4
OBSERVACIÓN:
i0 = 1
 La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0.
 El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1.

RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo S  lR+ se tiene :
-S =
(-1) · S =
(-1) ·
9·3 ·i=
9 ·
S =i S
EJEMPLOS
a)
-16 =
16 · -1 =
16 ·
-1 = 4i
b)
-27 =
27 · -1 =
27 ·
-1 =
EJERCICIO:
12. El valor de
-81  2 -49  3 -1 + 8i es
A) 0
B) i
C) -i
D) 2i
E) 1 + i
9
3 · i = 3 3i
NÚMERO COMPLEJO (C)
Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números
reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o
algebraica.
Además
a : se llama parte real del complejo z y se denota como Re(z).
b : se llama parte imaginaria del complejo z y se denota como Im(z).
Ejemplo: en el número complejo z = 2 + 3i se tiene:
Re(z) = 2 (parte real de z).
Im(z)= 3 (parte imaginaria de z).
OBSERVACIÓN
En el complejo z = a + bi
 Si sólo b = 0, entonces z = a (Complejo Real Puro)
 Si sólo a = 0, entonces z = bi (Complejo Imaginario Puro)
A la expresión binomial, también se le denomina “forma canónica” del número complejo.
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes
imaginarias, respectivamente.
Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.
a + bi = c + di  a = c y b = d
EJEMPLO:
13. La parte imaginaria del complejo z = 5 - 3i es
A)
B)
C)
D)
E)
-3i
-5
i
5
-3
EXPRESION BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado
(a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al
coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces:
Expresión cartesiana: (a, b)
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector
flecha, de origen O (0, 0) y punto final P de coordenadas (a, b).
10
ADICIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1= a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
z1 – z2 = (a - c) + (b – d)i
REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dados dos números complejos z1 y z2:
a) La adición z1 + z2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son los vectores z 1 y z2.
y
P
z1
OP = z1 
 OR = z1 + z2
OQ = z2 
z1 + z2
O
R
x
z2
Q
b) La sustracción (resta) z1 – z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del
vector z2, z1 + (-z2)
T
y
OP = z1

 OT = z1  z2
OS = -z2 
z1 – z2
P
S
z1
-z2
x
O
z2
Q
OBSERVACIÓN


El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.
El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi.
11
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si z = a + bi, entonces el módulo de z es z, tal que z =
a2 + b2
El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector que
representa al número complejo en el plano de Argand.
OBSERVACIÓN
El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo.
EJEMPLO:
14. Si z = 3 + 4i, entonces z es
A) 25
B) 5
C) 5
D) -5
E) otro valor.
CONJUGADO DE UN COMPLEJO
Dos números complejos se dicen conjugados sí solo tienen distinto el signo de la parte
imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es z , tal que z = a – bi.
z2 = (c, d)
y
d
Gráficamente, todo número
complejo z y su conjugado z
son simétricos respecto del
eje real.
EJE IMAGINARIO
z1 = (a, b)
b
c
x
-b
z2 = (c, -d)
EJE REAL
z1 = (a, -b)
-d
OBSERVACIÓN


El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo ( z = z)
Los módulos o valores absolutos de z, z , -z y - z son iguales
EJEMPLO:
15. El conjugado del complejo 2 + 5i es
A)
B)
C)
D)
E)
-2 + 5i
2 – 5i
-2 – 5i
2 + 5i
5 – 2i
12
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces
z1 · z2 = (a + bi)(c + di)
z1 · z2 = ac + adi + bci + bdi2
z1 · z2 = ac + bd(-1) + adi + bci
multiplicando los binomios
reordenando y reemplazando i 2 por (-1)
factorizando por i
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Notación binomial para la multiplicación de dos
números complejos.
z1 · z2 = (ac – bd, ad + bc)
Notación cartesiana para la multiplicación de dos
números complejos.
OBSERVACIÓN
El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1
EJEMPLO:
16. Si u = 2 – 3i y v = 1 + i, entonces u · v =
RECÍPROCO DE UN COMPLEJO
Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
2
5
2
5
5
– 3i
–i
+ 3i
+i
+ 3i
1
1
o z-1 =
z
a + bi
Para escribir el recíproco de un complejo, debe amplificarse por su conjugado:
z-1 =
a  bi
a  bi
a  bi
1
a  bi
·
=
=
=
2
2
2
22
a + bi a  bi
a  (bi)
a  bi
a2 + b2
Por tanto
z-1 =
z-1
a
bi
(Notación binomial)
a +b
a + b2


a
-b
= 
,
 (Notación cartesiana)
2
2
2
2
a + b a + b 
2
2

2
OBSERVACIÓN
El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo
EJEMPLO:
17. El recíproco de z = 3 + 2i es:
A)
B)
3 2
 5, - 5 


2i 
 3
 13 , - 13 


 3
C)  ,
 13
 3
D)  ,
 13
E)
2
- 
5
2 
13 
 3 2 
 13 , 13 


13
DIVISIÓN DE COMPLEJOS
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división
z1
z2
se obtiene amplificando por el conjugado de z2:
z · z2
z · z2
z1
= 1
= 1
2
z2
z2 · z2
z2
(a + bi)(c  di)
(a + bi)(c  di)
z1
=
=
z2
(c + di)(c  di)
c2 + d2
EJEMPLOS
18. El valor de
A)
B)
C)
D)
E)
2 + 3i
es
i
2 + 3i
2 – 3i
3 – 2i
3 + 2i
-3 – 2i
19. Sean a = 2 + 3i
6
10
6
B)
10
9
C)
10
9
D)
10
6
E)
10
A)
+
+
+
+
+
11
10
7
10
7
10
7
10
9
10
y b = 3 + i, entonces
a
=
b
i
i
i
i
i
RESPUESTAS
1.
B
8.
C
15.
B
2.
D
9.
E
16.
B
3.
C
10.
A
17.
D
4.
C
11.
C
18.
C
5.
C
12.
A
19.
C
6.
A
13.
E
7.
A
14.
C
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