Divisibilidad. Para resolver juntos: Un cartel tiene

Divisibilidad.
Para resolver juntos:
Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo, Verde; Rojo; Blanco. Se van encendiendo, por minuto. El
primer minuto, la luz amarilla, el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto minuto la
blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto la verde y así continua.
¿Cuál es el color de la luz en el minuto 7?. ¿Y en el minuto 18?. ¿Y en el 35?. ¿y en el minuto 100?,
¿Y en el 412?. ¿Y en el 2.000?
1)
i)
Para que lo intenten solos:
Se escriben los números en tres columnas:
Encuentra en qué columna se ubican los números: 24; 141; 814; 1721; 10001
ii)
El primer día del mes es lunes. ¿Cuál es el 29° día del mes?
iii)
El primer día del mes es juves. ¿Cuál es el 29° día del mes?
iv)
El primer día del año es martes. ¿Cuál es el 305° día del año?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
v)
Encuentra dos números mayores que 1200 cuyo resto de la división entre 9
sea 7
Múltiplos y Divisores de un número Natural
Múltiplos
Ejemplo: los múltiplos de 3 son todos los números de la forma 3 × c, para c ∈N, y se escriben:
3.6=18
entonces 18 es múltiplo de 3 y de 6
Los múltiplos de 3 y 6 son:
3 = 3; 6; 9; ........18.....
6 = 6; 12; 18; 24.........
Recuerda que:
múltiplo de un número natural (N)
es el producto de dicho número
por cualquier otro número natural(c∈N).
Observaciones:

Todo natural es múltiplo de 1 •

Cero tiene un único múltiplo: 0

Cero es múltiplo de todo número natural b
En alguna bibliografía se usa la siguiente notación
m = b˙ para indicar que m es múltiplo de b.
Divisor
Ejemplo: 3 divide a 54 porque 54 = 3 . 18. La notación que se utiliza es: 3 | 54
Recuerda que:
Un número natural b, distinto de cero, es
divisor de un número natural a si existe un
número natural c tal que, a.b = c
(*) Criterio de divisibilidad válido para números de 6 cifras
Ayudándote con las propiedades de los divisores y las tablas de divisibilidad encuentra los criterios de
divisibilidad para 15; 18, 17, 13
2)
a) ¿Es posible que un número de resto 6 al dividirlo entre 15 y resto 5 al dividirlo
entre 24? . Justificar tu respuesta
b) ¿Cuáles son todos los números naturales comprendidos entre 800 y 1000 que
tienen resto 6 en la división entre 15 y resto 18 en la división entre 24?
3)
Colocar V o F según corresponda en cada caso:
51 es múltiplo de 17
5 es múltiplo de 1
0 es divisor de 10
20 es divisor de 5
1 es divisor de 37
0 es múltiplo de 10
1 es múltiplo de 2
100 es divisible por 8
6 es múltiplo de 18
Números primos
Curiosidades
La criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo (es decir, una secuencia de instrucciones) que permite hallar
todos los números primos menores que un número natural dado.
Investiguen:
a)
construyan una tabla con los números primos comprendidos entre 1 y 100. Expliquen en que
consistía el filtro descubierto por Eratostenes.
b)
Podrías decir cuál es el último número primo.
c)
¿Sabías qué el 0 y el 1 no son primos ni compuestos? ¿ podrías explicar por qué?
4)
Colocar V o F según corresponda en cada caso:
El número 2 es coprimo de cualquier número impar
El producto de dos números primos es un número compuesto
Dos números compuestos no pueden ser coprimos
La suma de dos números primos es un número compuesto
La suma de un número primo y un compuesto es un número primo
Múltiplos y Divisores de un número Entero
Múltiplos
Ejemplo: los múltiplos de 5 son todos los números de la forma 5 × c, para c ∈ Z, por ejemplo
5.2=10 ; 5. (-1)= -5
entonces 10 y -5 son múltiplos de 5
Recuerda que:
múltiplo de un número entero (Z)
es el producto de dicho número
por cualquier otro número c ∈ Z .
Divisor
Ejemplo: lo divisores de 10 son: 1, -1; 2; -2; 5; -5; 10 y-10 decimos entonces que -2|10
Los números enteros que tienen sólo cuatro divisores son NÚMEROS PRIMOS.
Los números que tienen más de 4 divisores son NÚMEROS COMPUESTOS.
Recuerda que:
Un número entero b, distinto de
cero, es divisor de un número
entero a si existe un número entero
c tal que, a.b = c
5)
Sin construir la Criba de Eratóstenes verificar si los siguientes números son primos:
i) 151
iii) 539
ii) 217
iv) 611
6)
Marcar con una X los que estén correctamente factoreados:
7)
18 = 2 . 9
36 = 2 . 3 . 6
50 = 2 . 25
20 = 5 . 2 . 2
40 = 2 . 5 . 4
75 = 5 . 3 . 5
30 = 3 . 10
42 = 7 . 2 . 3
100 = 10 . 10
Si
3
2
Z = 2 .3 .7 . 11 indiquen si las siguientes afirmaciones son V o F:
i) 2 2 es divisor de Z
ii) 4 4 es divisor de Z
iii) 24 .3 2 es divisor de Z
iv) 693 es divisor de Z
8)
¿ Cuántos números menores que 5000 son múltiplos de 7 y terminan en 26? ¿ Cuántos
números menores que 10 000 reúnen las mismas condiciones.
9)
i)
ii)
iii)
iv)
Calculen :
MCD ( 72; 180)
MCD ( 55; 231)
MCM ( 484; 308)
MCM ( 160; 360)
v)
vi)
vii)
MCD (38; 51)
MCD (80; 120; 150)
MCM (31; 13)
10)
Una compañía de micros de larga distancia tiene servicios hacia Los Nogales cada 4 horas,
hacia Los Alerces cada 6 horas y hacia los Pinos cada 9 horas. Si el lunes salen los tres a la 6:00 hs ¿
Cuándo volverán a salir juntos? ¿ Cuántas salidas simultáneas hacia esas ciudades hay en una
semana?
11)
Un cartón rectangular mide 24cm de largo y 18cm de ancho. Se quiere cortar la menor
cantidad de cuadrados iguales. ¿ Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados?
12)
Indiquen cuántas son las maneras distintas de escribir 90 como producto de dos o más
números.
13)
Hallar en MCD (136; 187) utilizando el algorítmo de Euclides.
14)
Hoy se decidió en la escuela trabajar con múltiplos de 5. Con problemas de otros temas como
ecuaciones.
i)
ii)
Hallen tres múltiplos consecutivos de 5 que sumen 7380
Hallar tres múltiplos de 5 que sumen 60.
15)
Comprueben que 5550005 es múltiplo de 5; 707770 es múltiplo de 7, 8088 es múltiplo de 8;
9000990 es múltiplo de 9. Enuncien una propiedad que generalice sus observaciones.
16)
Cambien de orden las cifras del número 4859 para obtener un múltiplo de 11.
17)
Averigua cuanto dura el mandato presidencial, senadores nacionales y legisladores de la
CABA. Si en el 2014 hay elecciones para los tres cargos ¿ en que año volverá a suceder esto?
18)
En el número 1a78b1, reemplacen a y b por cifras para que el número resulte múltiplo de 9 y
11.
19)
Tengo cierta cantidad de globos. Si los agrupo de 2 e 2 me queda 1 suelto , si los agrupo de 3
en 3 me pasa lo mismo. No sobra ninguno si los agrupo de 5 en 5.
i)
ii)
Si tuviera menos de 30 globos ¿ cuántos tendría?
Si tuviera mas de 80 y menos de 100¿ cuántos tendría?
20)
Se desea dividir un campo rectangular, de 300m por 180m en parcelas cuadradas de la mayor
superficie posible. ¿ Cuánto mide el lado de cada parcela?
21)
Ana y Mabel hacen collares artesanales con tres tipos de cuentas. Tienen respectivamente
180, 120 y 96 cuentas, para hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna.
¿Cuántos collares puede hacer?
Curiosidades con números
Toma un número cualquiera de tres cifras y escríbelo dos veces consecutivas.
El número resultante es siempre divisible por 7, por 11 y por 13. Así 548 dá el
número 548548. Comprueba que es divisible por 7, 11 y 13.
¿Dónde estará la explicación?
Ayudita: 7.11.13 = 1001
22)
Cuadrados mágicos:
El juego consiste en un cuadrado con nueve casillas, donde se colocan nueve números que
sumados en vertical, en horizontal y en diagonal siempre den el mismo resultado.
Descubre cuál de estos cuadrados es un cuadrado mágico. Indica en caso afirmativo cuál es el
valor de la suma de cada línea.
I
II
III
IV
V
VI
Para practicar
23)
Matías tiene un CD con 13 canciones que escucha bastante seguido. ¿Cuántas veces escuchó
el CD si contó 100 canciones.
24)
Camila no se acuerda de los dos últimos números de teléfono de su amiga, pero sabe que
forma un número múltiplo de 15. A cuántos números como máximo deberá llamar para poder hablar
con su amiga.
25)
Un quiosquero tiene 192 latas de lima-limón, 144 latas de manzana y 216 latas de naranja. Si
quiere poner la mayor cantidad de latas en una heladera pero la misma cantidad de cada sabor
¿ cuántas latas de cada una debe poner?
Para estudiar y recordar
Múltiplos y divisores.
Propiedades de los divisores.
Propiedades de los divisores de un número:
Propiedad idéntica: Todo número natural no nulo es divisor de sí mismo.
Ej. 5|5
Propiedad transitiva: Si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.
Ej.: 4|16 y 16|32 entonces 4|32
Si a divide a b y a c entonces a divide a: b + c ; b – c (si b > c); y a cualquier combinación lineal
de b y c:
Ej. 5|15 y 5|10 entonces 5|(15-10) y 5|(15+10)
Si a divide a b, entonces a×c divide a b×c, cualquiera que sea el natural c distinto de cero
Ej.: 7|14 entonces 7.2|14.2 es decir 14|28
Números Naturales (N) primos y compuestos
Un número natural es primo cuando tiene dos divisores,
el mismo número y el 1, Ej: 2; 5; 11; 19...
Un número natural es compuesto cuando Tiene otros
divisores distintos del mismo número y el 1, Ej: 4; 9; 21....
Dos números son
coprimos cuando no
tienen divisores comunes
salvo 1. Ej 3 y 7; 21 y 16
Descomposición de números en factores primos. Factoreo
Todo número natural admite una única descomposición en factores primos.
Un número se puede factorear de la siguiente manera:
24
3
8
2
4
2
2
2
2
6
3
12
2
1
24
2
3
24 = 2 .2.2. 3 = 2 .3
Múltiplo común menor (MCM) y Divisor común mayor (DCM)
.
El múltiplo común menor de dos o mas números es el menor de todos los múltiplos comunes.
8
8 – 16 – 24 – 32 – 40 – 48 – 56 – 64 – 72 – 80 - .......
12 12 – 24 – 36 – 48 – 60 – 72 – 84 -...............
16 16 – 32 – 48 – 64 – 80 -96 - ..............
El MCM entre 8; 12 y 16 es 48
Una manera práctica de hallar el MCM de dos o más números es multiplicar los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente.
8 = 23
12 = 22 .3
16 = 24
MCM (8 ;12 y 16 ) = 2 4 .3 = 48
El divisor común mayor (DCM) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.
24: 1 –2 - 3 – 4 – 6 – 8 – 12 y 24
32: 1 – 2 – 4 – 8 – 16 y 32
40: 1 – 2 – 4 – 5 - 8 – 10 – 20 y 40
El DCM entre 24; 32 y 40 es 8
Una manera práctica de hallar el DCM de dos o más números es multiplicar los factores primos
comunes con su menor exponente
24 = 23.3
32 = 2 5
40 = 23 .5
s
DCM (24 ; 32 Y 40) = 23 = 8
Algoritmo de Euclides
El método que empleamos para hallar el DCM se complica si los números tienen divisores
difíciles de encontrar. En esos casos conviene utilizar el algoritmo de Euclides que se basa en la
siguiente propiedad::
Si a ≥ b, entonces el máximo común divisor de a y b es igual al máximo común divisor de b y r,
siendo r el resto de división entera de a por b.
La aplicación de ésta propiedad se puede reitere tantas veces como sea necesario, así se llega a
que el máximo común divisor es el último resto no nulo,
Ej. Hallar el MCD (184, 253)
253 : 184 =1 y r =69
184: 69= 2 y r = 46
69 : 46 = 1 y r = 23
46: 23 = 2 y r = 0
Entonces el MCD (184; 253) = 23

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