TEMA 1: NÚMEROS NATURALES, DIVISIBILIDAD

TEMA 1: NÚMEROS
NATURALES,
DIVISIBILIDAD
1º ESO. MATEMÁTICAS
Los números naturales
•  De forma intuitiva podemos definir los números naturales
de la siguiente forma:
DEFINICIÓN
“Los números naturales son aquellos
números que usamos para contar”
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….
Propiedades de los números naturales
Propiedad Conmutativa (suma y producto)
El orden de los sumandos o los factores no varía el resultado.
EJEMPLO
2+3= 5
3+ 2 = 5
2x3 = 6
3x2 = 6
A partir de ahora usaremos el signo (.) en lugar de la x que
usábamos para indicar una multiplicación.
2⋅3= 6
3⋅ 2 = 6
Propiedades de los números naturales
Propiedad asociativa de la suma
respecto del producto
El orden en que se realicen las sumas o las multiplicaciones no varía el
resultado.
EJEMPLO
6 + 5+ 4
(6 + 5) + 4 = 11+ 4 = 15
6 + (5 + 4) = 6 + 9 = 15
3⋅ 2 ⋅ 4
(3⋅ 2)⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24
3⋅ (2 ⋅ 4) = 3⋅ 8 = 24
Propiedades de los números naturales
Propiedad distributiva del producto
respecto de la suma
El producto de un número por la suma de dos o más números es igual a
la suma de los productos de cada número por cada sumando
EJEMPLO
Resolver el paréntesis
3⋅ (5 + 2) = 3⋅ 7 = 21
3⋅ (5 + 2) =
Aplicar la propiedad distributiva
3⋅ (5 + 2) = 3⋅ 5 + 3⋅ 2 = 15 + 6 = 21
Propiedades de los números naturales
EJERCICIO
*Página 10. Ejercicio 11
Copia en tu cuaderno indicando la propiedad que aplicas en cada
caso.
Propiedades de los números naturales
EJERCICIO
*Página 10. Ejercicio 12
Halla el resultado de las siguientes operaciones.
Propiedades de los números naturales
EJERCICIO
Calcula en cada ejercicio de dos formas: aplicando la propiedad
distributiva o resolviendo el paréntesis.
Aplicando distributiva
Resolviendo paréntesis
2 ⋅ (4 − 3) =
2 ⋅ (4 − 3) =
5⋅ (7 − 2) =
5⋅ (7 − 2) =
4 ⋅ (5 − 3) =
4 ⋅ (5 − 3) =
Múltiplos y divisores de un número
•  ¿Qué significa que un número esté contenido en otro un
número exacto de veces?
16
8
4
5
Múltiplos y divisores de un número
•  ¿Qué significa que un número esté contenido en otro un
número exacto de veces?
16
8
8
8 está contenido 2 veces
dentro de 16.
5
5
16
5
5 no está contenido un número
exacto de veces en 16 porque
nos ha sobrado una unidad que
no hemos podido “cubrir”
Múltiplos de un número
DEFINICIÓN
•  Múltiplo de un número: “Un número es múltiplo de otro si
el segundo está contenido en el primero un número
exacto de veces”
EJEMPLO
16 es múltiplo de 8
El primer número
El segundo número
El primer número (16) es múltilplo del segundo (8), si el segundo (8) está contenido
en el primero (16) un número exacto de veces.
8 está contenido en 16 dos veces. 16 es múltiplo de 8
Múltiplos de un número
•  Para calcular los múltiplos de un número se multiplica ese
número por los números naturales.
Cálculo de los múltiplos de 7
7 ⋅ 2 = 14
7 ⋅ 3 = 21
7 ⋅ 4 = 28
7 ⋅ 5 = 35
(…)
Múltiplos de un número
EJERCICIO
*Página 11. Ejercicio 15
Halla tres múltiplos de 11 comprendidos entre 27 y 90
Calculamos los múltiplos de 11
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77,88, 99,110...
27
Seleccionamos todos
los que están entre 27
y 90
90
33, 44, 55, 66, 77,88
Escogiendo 3 de estos números tenemos la respuesta
al ejercicio
Múltiplos de un número
EJERCICIO
*Página 11. Ejercicio 16
EJERCICIO
*Página 11. Ejercicio 17
Encuentra el primer múltiplo de 17 mayor que 500
Múltiplos de un número
EJERCICIO
*Página 11. Ejercicio 17
Escribe tres múltiplos de 9 mayores que 100
Divisor de un número
DEFINICIÓN
•  Divisor de un número: “Un número es divisor o factor de
otro cuando el primero está contenido en el segundo un
número exacto de veces”
EJEMPLO
8 es divisor de 16
El primer número
El segundo número
El primer número (8) es múltilplo del segundo (16), si el primero (8) está contenido en
el segundo (16) un número exacto de veces.
8 está contenido en 16 dos veces. 8 es divisor de 16
Divisores de un número
EJERCICIO
*Página 11. Ejercicio 20
¿Cuál de estos números es divisor de 91?
3
7
11
13
Criterios de divisibilidad
•  Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para
saber si un número es divisible por otro sin necesidad de
hacer la división
REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 2
“Un número es divisible entre 2 si termina en cifra par”
EJEMPLO
329842368
¿Cuáles de estos números son divisibles entre 2?
123959
5692347
98324516
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 3
“Un número es divisible entre 3 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 3”
EJEMPLO
1314
¿Cuáles de estos números son divisibles entre 3?
293
258
3592
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 5 Y EL 10
“Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5 “
EJEMPLO
1315
¿Cuáles de estos números son divisibles entre 5?
193
758
1290
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DE 4 Y 25
“Un número es divisible entre 4 si lo es el número formado
por sus dos últimas cifras o si termina en 00“
EJEMPLO
1344
¿1344 es divisible entre 4?
Es divisible entre 4 porque sus dos últimas cifras forman el 44 que
es divisible entre 4
“Un número es divisible entre 25 si lo es el número
formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00“
EJEMPLO
8375
¿8375 es divisible entre 25?
Es divisible entre 25 porque sus dos últimas cifras forman el 75
que es divisible entre 25
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DE 10 Y DE 100
“Un número es divisible entre 10 si termina en 0“
“Un número es divisible entre 100 si termina en 00“
EJEMPLO
1300
¿Cuáles de estos números son divisibles entre 10 o 100?
190
7200
1291
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 9
“Un número es divisible entre 9 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 9”
EJEMPLO
1314
¿Cuáles de estos números son divisibles entre 9?
293
258
2592
Criterios de divisibilidad
REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 11
“Un número es divisible entre 11 si la suma de
las cifras que ocupan posiciones pares menos la
suma de cifras que ocupan posiciones impares
es igual a 0 o múltiplo de 11”
EJEMPLO
2805
Cifras en posiciones impares: 2+0=2
Cifras en posiciones pares: 8+5=13
Diferencia entre
ambos:
13-2=11
Por tanto 2805 es
divisible entre 11
Criterios de divisibilidad
EJERCICIO
*Página 13. Ejercicio 26
Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla.
Criterios de divisibilidad
EJERCICIO
Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla.
Divisible por
2 625
6 930
12 936
86 100
99 680
2
3
4
5
9
10
11
25
100
Números primos y compuestos
DEFINICIÓN
•  Número primo: “Un número es primo cuando sólo tiene
dos divisores el propio número y el uno”.
•  Número compuesto: “Un número es compuesto cuando
tiene más de dos divisores”
Números primos
Criba de Eratóstenes: La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite
hallar todos los números primos menores que un número determinado.
En este ejemplo calcularemos los menores de 100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Descomposición en factores primos
Descomponer un número en factores primos es expresarlo como un producto
de factores primos:
EJEMPLO
15 = 3⋅ 5
2
18 = 3⋅ 3⋅ 2 = 3 ⋅ 2
18 = 9 ⋅ 2
Esto no es una descomposición
en factores primos porque 9 no
es un número primo.
Descomposición en factores primos
EJEMPLO
48
24
12
6
3
1
4
2
2 4
2
2
2
3 3
48 = 2 ⋅ 3
Descomposición en factores primos
EJEMPLO
2100
1050
525
105
21
7
1
3
2 3
2
2
5 2
5
5
3 3
7 7
2
2100 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3⋅ 7
Descomposición en factores primos
EJERCICIO
*Página 15. Ejercicio 40
Copia en tu cuaderno e indica la descomposición en factores primos de los
números dados.
Descomposición en factores primos
EJERCICIO
*Página 15. Ejercicio 42
Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números.
Obtención del número de divisores de un
número dado
•  ¿Cómo podemos saber cuántos divisores tiene un
número a partir de la descomposición factorial?
Tras hacer la descomposición factorial, el número de divisores coincide con el
producto de los exponentes de las potencias de cada factor primo aumentadas
en una unidad cada una de ellas. Veámoslo en los ejemplos anteriores.
EJEMPLO
48
24
2
48 = 2 4 ⋅ 31
2
4
12
2
6
3
1
2
3
2
¿Cuántos divisores tiene?
4
1
48 = 2 ⋅ 3
(4 +1)
(1+1)
3
5 ⋅ 2 = 10
Calcular todos los divisores un número
dado
•  Para el cálculo de todos los divisores un número vamos a hacer de forma
ordenada productos de parejas de números enteros que den como resultado
el número dado.
EJEMPLO
Cálculo de todos los divisores de 60
Sabemos que la descomposición de 60 es
60 = 2 2 ⋅ 31 ⋅ 51
Usando el procedimiento que hemos visto antes:
(2 +1) (1+1) (1+1)
3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3⋅ 2 ⋅ 2 = 12
Sabemos que tiene 12 divisores, vamos a determinar cuáles son.
1
2
3
4
5
6
10
60
30
20
15
12
10
6
Estos son sus 12 divisores:
1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60
Paramos
porque se
ha repetido
un número.
Cálculo de los divisores
EJERCICIO
Cálculo de todos los divisores de 18
Máximo común divisor de varios números
DEFINICIÓN
•  Máximo común divisor: “El máximo común divisor de
varios números es el mayor de sus divisores comunes”.
•  De forma abreviada se escribe m.c.d
EJEMPLO
¿Cuál es el máximo común divisor de 60 y 18?
Divisores de 60
1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60
Divisores de 18
1, 2, 3, 6, 9,18
¿Cuál es el divisor más grande común a los dos?
Es fácil ver que 6 es el máximo de los divisores comunes. 6 es el mcd de 60 y
18
Mínimo común múltiplo
DEFINICIÓN
•  Mínimo común múltiplo: “El mínimo común múltiplo de
varios números es el menor de sus múltiplos comunes”.
•  De forma abreviada se escribe m.c.m
EJEMPLO
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 30 y 18?
Múltiplos de 18
18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216
Múltiplos de 30
30 60 90 120 150 180 210240
¿Cuál es el múltiplo común más pequeño?
Es fácil ver que 90 es el mínimo común múltiplo de 30 y 18.
90 es el mcm de 30 y 18
Cálculo del máximo común divisor por
descomposición factorial
•  Hemos calculado el mcm y mcd de una forma que resulta
muy cómoda cuando los números son pequeños pero no
cuando los números son grandes.
•  Por ejemplo el mcd de 2405 y 2400 no es muy cómodo
de calcular con el sistema que hemos visto.
•  Por eso vamos a aprender a usar un “algoritmo”, una
técnica que nos permita hacer este cálculo de forma más
eficiente.
Cálculo del máximo común divisor por
descomposición factorial
EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MCD POR DESCOMPOSICIÓN
EN FACTORES PRIMOS
Máximo común divisor de 60 y 210
210
105
21
7
1
Descomposición de 60
60
30
15
5
1
2
2
3
5
22
31
5
60 = 2 2 ⋅ 3⋅ 5
210 = 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7
Descomposición de 210
Factores
comunes al
menor
exponente.
2
5
3
7
22
51
31
71
mcd(60, 210) = 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30
Cálculo del mínimo común múltiplo por
descomposición factorial
EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MCM POR DESCOMPOSICIÓN
EN FACTORES PRIMOS
Mínimo común múltiplo de 60 y 210
210
105
21
7
1
Descomposición de 60
60
30
15
5
1
2
2
3
5
22
31
5
60 = 2 2 ⋅ 3⋅ 5
210 = 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7
Descomposición de 210
Factores
comunes y no
comunes al
mayor
exponente
2
5
3
7
22
51
31
71
mcd(60, 210) = 2 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7 = 420
EJERCICIO
Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de
números.
EJERCICIO
Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de
números.
EJERCICIO
Está previsto que asistan 120 personas a una fiesta. ¿De
cuántos comensales pueden ser las mesas si todas han de
ser iguales y estar completas?
EJERCICIO
Para obtener un número de cuatro cifras divisible por 2,
¿qué números puedes añadir a la derecha de 357?
EJERCICIO
Para obtener un número de cuatro cifras divisible por 2,
¿qué números puedes añadir a la derecha de 357?
EJERCICIO
Estudia qué cifras tendrías que añadir a la izquierda de 451
para obtener un número de cuatro cifras múltiplo de 3.
EJERCICIO
Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días y
Pedro lo hace cada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí.
¿Cuándo volverán a coincidir?
EJERCICIO
En un terreno rectangular de 240 por 360 metros se proyecta colocar
placas cuadradas del mayor tamaño posible para recoger energía solar.
¿Qué longitud deben tener los lados de las placas?
EJERCICIO
Pedro, al colocar sus fotos en un álbum, se ha dado cuenta
de que si coloca 4 en cada página, solo quedan 2 para la
última página. Lo mismo ocurre si coloca 5 ó 6 fotos en
cada página.
a) ¿Cuántas fotos tiene Pedro?
b) ¿Cuántas debe colocar en cada página para que todas
tengan el mismo número y no sobre ninguna?
Engranajes
Se denomina engranaje al mecanismo utilizado
para transmitir potencia de un componente a otro
dentro de una máquina.
Los engranajes están formados por dos ruedas
dentadas, de las cuales la mayor se denomina
corona y la menor piñón.
Un engranaje sirve para transmitir movimiento
circular mediante el contacto de ruedas dentadas.
Observa el sistema de ruedas dentadas. Cada rueda tiene escrito al lado el
número de dientes:
1.  ¿Cuántas vueltas tiene que dar la rueda pequeña para que el diente
marcado en rojo coincida de nuevo con el diente marcado en amarillo?
2.  ¿Cuántas vueltas tiene que dar la rueda grande para que el punto azul y el
verde vuelvan a coincidir?
35
7
21
Más problemas
PROBLEMA A
Mc Donalds lanza una oferta cada
24 días, Burguer King cada 30 y
Krangue Burguer cada 32 días.
Precisamente hoy están los tres
de oferta. ¿Cuándo volveremos a
ver las tres ofertas coincidiendo?
(¿Cuántos días pasarán?)
PROBLEMA C
Calcula el mcm y MCD de 16, 24
y 36
PROBLEMA B
Las ruedas dentadas de la figura son de un
motor de barco que estamos intentando
reparar. Después de varias pruebas hemos
comprobado que cuando los engranajes
coinciden tres veces seguidas en esta posición
el motor se atasca. Hoy estamos haciendo una
prueba. Las ruedas han coincidido a las 20:00
en la posición que se muestra. La rueda grande
tarda 30 minutos en dar una vuelta. ¿A qué hora
volverán a coincidir en esta posición las ruedas
por tercera vez?
35
7
14
Más problemas
PROBLEMA A
El mínimo común múltiplo de 24 y 60 es:
¿Qué exponentes faltan en
los cuadrados?
PROBLEMA B
Juan tiene un terreno de
forma rectangular de 40m
de ancho y 96m de largo. si
se divide su terreno en
parcelas cuadradas iguales
y planta en el interior de
cada parcela 3 árboles,
¿cuál es el mínimo número
de árboles que podría
sembrar en todo su terreno?
https://www.youtube.com/watch?v=N68DQUqmtxw
SIMULACRO DE EXAMEN
1
(1p) El mínimo común múltiplo de 24
y 60 es:
¿Qué exponentes faltan en
los cuadrados?
2
(1p) Calcula cuántos divisores tiene
742 usando su descomposición
factorial.
3
(1p) Construye una tabla con los 50
primeros números naturales y rodea
los primos con un círculo.
4
(1p) Construye una tabla con los 50
primeros números naturales y rodea
los primos con un círculo.
TEORÍA
P1
(1,5 p) Juan tiene un terreno de
forma rectangular de 40m de ancho y 96m de
largo. si se divide su terreno en parcelas
cuadradas iguales y planta en el interior de
cada parcela 3 árboles. ¿Cuál es el mínimo
número de árboles que podría sembrar en
todo su terreno?
P2
(1,5 p) En almacén hay un montón
de cajas apiladas en filas de 15 cajas cada
una. Para reorganizar el espacio deciden
apilarlas en filas de 9 en 9, pero la última fila
de 9 no les cabe porque choca con el techo.
Entonces deciden ponerlas de 12 en 12 y
queda perfecto. ¿Cuántas cajas había como
mínimo?
5
Nº
1890
(2p) Define y pon un ejemplo de cada uno:
A)  Número primo.
B)  Múltiplo de un número.
1485
10500
(1 p) Completa la tabla:
2
3
5
7
4
25
11
•  Se tiene tres reglas calibradas, de 48 cm cada una. La
primera está calibrada con divisiones de 4/21 cm; la
segunda, con divisiones de 24/35 cm; y la tercera, con
divisiones de 8/7 cm. Si se hace coincidir las tres reglas
en sus extremos de calibración, ¿cuántas coincidencias
de calibración hay en las tres reglas? A) 13 B) 14 C) 4 D)
15 E) 12
MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN
SECUNDARIA
Números naturales.
http://www.maleducados.com

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