NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
Marzo de 2015
Volumen 88
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García, Mª
Aurelia Noda e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan
Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.
Portada. Autora: Judith Clavijo González Título: A través del cubo. (Accesit concurso Fotografía y Matemáticas 2007)
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Luis Balbuena Castellano (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidenta), Mª Isabel Borges Pérez
(Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Francisco Aguiar Clavijo
(Vicesecretario), Pilar Acosta Sosa (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores
insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Nieves Marcela Herrera Pérez (Gran Canaria),
Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen San Gil López (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán
(Tenerife).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 3-4
Índice
Editorial
5
Artículos
La rutina del calendario
M. J. Fernández Casado
Programa de Estadística aplicada a la Biología: una propuesta
M. F. Walz
Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
V. I. Espíritu Montiel y C. Navarro Sandoval
Los números impares y las potencias de los números naturales
L. Barrios Calmaestra
Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula
de Matemáticas
7
17
31
55
75
N. M. Santana. N. Climent
Análisis competencial de una tarea de modelización abierta
C. Gallart Palau. I. Ferrando Palomares. L. M. Garcia Raffi
93
Secciones
Experiencias de aula
Código WhatsApp
105
S. Darias
Mundo Geogebra
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas
definidas por la expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
115
Problemas
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
127
Índice (continuación)
Juegos
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
141
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
En la red
Matemáticas y code.org
159
C. Tejera Bonilla
Leer Matemáticas
Cálculo mental en el aula en Educación Secundaria Obligatoria. María Ortiz Vallejo
167
Reseña: M. C. Prieto Puigbó
Cuéntamemates. Hilario Barrera Rodríguez
169
Reseña: L. A. Blanco Fernández
Informaciones
Normas para los autores
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NÚMEROS
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ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 5-6
Israel García, Director de Números
Un profesor de matemáticas con preocupación por la enseñanza en el aula y el aprendizaje de
sus estudiantes, está en constante evolución y transformación. Esto es inevitable, pues el entorno de
trabajo con el que se encuentra también está en continuo movimiento: los medios con que se puede
contar en el aula, los medios con los que cuentan los estudiantes, las necesidades y los centros de
interés de los estudiantes, las modificaciones curriculares, los cambios sociales,…
T
O
R
En este número de Números
I
En definitiva, queremos que la revista Números la construyamos entre todos los docentes de
matemáticas, la utilicemos en nuestras aulas y la estudiemos en nuestros departamentos y centros de
investigación.
D
Así, la revista Números pretende ser un escaparate de lo que en este momento preocupa a los
docentes del aprendizaje de las matemáticas en las aulas. Un espacio en donde se pueda compartir
cómo es el proceso de enseñanza, a través de las experiencias y actividades de innovación e
investigación que se desarrollan dentro y fuera de nuestro país. Queremos que siga siendo un espacio
de intercambio de la satisfacción por resolver problemas, explicar juegos y realizar lecturas
matemáticas. Y, por supuesto, un lugar en el que podamos contar cómo se combinan las tecnologías de
la información y comunicación con la enseñanza de las matemáticas en el aula, así como, un espacio
para compartir ideas y ponerlas en práctica e innovar con nuestros estudiantes.
E
Esta preocupación por dar una respuesta adecuada a los estudiantes es la que da sentido a
nuestra revista Números, que ve la luz por primera vez en abril de 1981 y que, sin interrupción, ha
acompañado durante estos 34 años a muchos docentes, de Canarias, España y del resto del mundo, en
este proceso de cambio, renovación y formación.
Tenemos ante nosotros una nueva edición variada e interesante.
I
Contamos con un trabajo elaborado por Espíritu Montiel y Navarro Sandoval que propone
desarrollar el concepto de límite indeterminado utilizando las tablas de valores y el estudio gráfico de
la tendencia. Realizan el análisis de varios libros de texto en el que observa la preponderancia del
estudio algebraico y se propone un cuestionario con el que valorar la propuesta didáctica que ofrecen.
Barrios Calmaestra nos trae a la revista un trabajo en el que realiza un estudio sobre las series de
números impares. Seleccionando convenientemente la serie podemos obtener como resultado de la
suma un número natural elevado al cuadrado, al cubo, a la cuarta,…, a la diez.
Por su parte, los autores Santana y Climent profundizan en los diferentes conocimientos que
debe utilizar un docente de matemáticas. Para analizar cómo se ponen de manifiesto los diferentes
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de Profesores de Matemáticas
L
En el siguiente trabajo Walz sugiere una secuenciación para desarrollar la estadística en las
carreras orientadas a la Biología buscando un aprendizaje que resulte significativo para los estudiantes
y donde se profundice en temas como Población, Muestra, Estimadores y Parámetros, todo ello
enmarcado en una propuesta concreta para la consecución de estos objetivos.
A
Comenzamos con un trabajo realizado por Fernández Casado en los niveles de Educación
Infantil y Primer Ciclo de Primaria. Nos muestra cómo, utilizando el calendario como contexto
cercano al estudiante, y diferentes materiales manipulativos podemos construir conceptos
matemáticos.
Editorial
I. García
tipos de conocimiento matemático especializado del docente se utiliza el entorno de aprendizaje que
ofrece Geogebra.
Gallart Palau, Ferrando y García-Raffi nos proponen centrar nuestra atención en una de las
competencias matemáticas a desarrollar en los estudiantes: la modelización. A lo largo del artículo se
pondrá manifiesto que cuando se desarrolla esta competencia matemática a la vez se está trabajando el
resto de competencias matemáticas.
A
L
Aniversario
Durante este año celebramos el 15º aniversario de la creación de la exposición “Matemáticas
2000”, que ha sido y sigue siendo un referente en la divulgación y utilización de juegos como
herramienta didáctica del aula. En el volumen 76 de nuestra Revista, D. Luis Balbuena, en el artículo
titulado “Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000”, da cuenta de todos los juegos que en dicha
exposición podemos encontrar, y explica cómo, inspirados en trabajos de Martin Gardner, construyen
muchos de los artilugios, puzzles y acertijos que en ella podemos encontrar. Es un buen momento para
realizar una relectura del artículo.
Actualmente la exposición se puede visitar y está expuesta de forma permanente en la Casa de
la Matemática, situada en San Cristóbal de La Laguna (Tenerife).
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I
Comité editorial
Con esta edición comienza una nueva etapa en la revista Números. Durante el último trienio ha
estado dirigida por Dª Alicia Bruno, quien consolida una revista que se convierte en referente para el
mundo de la didáctica y la docencia de las Matemáticas.
El nuevo Comité Editorial de la revista Números va a mantener la misma línea de trabajo que ha
tenido hasta el momento. Queremos desde aquí dar la bienvenida a una sección que estrenamos en esta
edición.
“Mundo Geogebra”. Geogebra es un programa matemático multiplataforma libre que ofrece la
oportunidad de experimentar con elementos matemáticos de forma muy sencilla y dinámica. La
primera versión de este programa aparece en enero de 2002, pero rápidamente se extiende y
actualmente la podemos encontrar en prácticamente todas las aulas con ordenador. Como se trata de
software libre y gracias a su gran versatilidad se ha producido una rápida extensión en todo el mundo y
en particular en España. Así, contamos en España con 10 Institutos Geogebra en distintas
Comunidades Autónomas. Recientemente se ha fundado el Instituto GeoGebra de Canarias (IGCan)
con el objetivo de profundizar e intercambiar ideas y materiales que permiten llevar esta herramienta
al aula de matemáticas. Desde la revista Números queremos reservar un espacio a la divulgación de
trabajos basados en esta herramienta informática. En este sentido, animamos a todos los profesores
que hacen uso de ella para mejorar el aprendizaje de las matemáticas, nos hagan partícipes de sus
experiencias y resultados a través de Números como medio de divulgación de su trabajo entre la
comunidad de Profesores de Matemáticas.
Queremos animar a la participación activa en la revista Números por parte de todos los socios y
socias, así como a cualquier docente interesado. Nos gustaría poder contar las “Experiencias de aula”
que está llevando a cabo con sus estudiantes, o bien, que nos enviara una reseña de aquel libro que ha
leído relacionado con las matemáticas y que cree interesante compartir a través de nuestra sección
“Leer matemáticas”; o si han visitado o trabajan con alguna página web en clase con sus estudiantes
nos encantaría recibir su comentario o valoración y publicarlo en nuestra sección “En la red”.
Queremos que
sea su revista. Aquella con la que crecemos
profesionalmente, y un medio que nos permita difundir y conocer nuestro trabajo en el aula.
Entre todos construimos la Matemática del futuro, entre todos construimos la Matemática de
nuestros estudiantes.
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 7-15
La rutina del calendario
Manuel Jesús Fernández Casado
(Colegio de Educación Infantil y Primaria San José. Los Silos. España)
Fecha de recepción: 26 de septiembre de 2013
Fecha de aceptación: 1 de diciembre de 2014
Resumen
Las matemáticas en el segundo Ciclo de Educación Infantil y Primer Ciclo de Educación
Primaria pueden abordarse desde diferentes perspectivas. El planteamiento que defiendo
en este artículo parte de una rutina diaria que ocurre en cualquier colegio. Poner la fecha,
señalar las ausencias de los alumnos, identificar los docentes que nos visitan hoy, marcar
los días señalados, etc. son acciones normales en el día a día. Mi aportación es el material
que utilizo para concretar dichas acciones, y cómo a partir de ello, se generan múltiples
problemas, que obligan a los alumnos a buscar variedad de estrategias para darles
solución.
Palabras clave
Calendario, regletas, conflicto cognitivo, aprendizaje funcional, Zona de Desarrollo
Próximo y algoritmo.
Title
The routine of the calendar in the first educational levels
Abstract
The mathematics in the second Cycle of Infantile Education and The First Cycle of
Primary Education can be approached from different perspectives. The exposition that I
defend in this article departs from a daily routine that happens in any college. To put the
date, to indicate the absences of the pupils, to identify the teachers who visit us today, to
mark the notable days, etc. They are normal actions in day after day. My contribution is
the material that I use to make concrete the above mentioned actions, and as from it,
there are generated multiple problems, which force the pupils to look for variety of
strategies to give them solution.
Keywords
Calendar, regletas, cognitive conflict, functional learning, Zone of Near Development
and algorithm.
1. Introducción
El artículo que a continuación desarrollo, surge a partir de la propuesta del ponente de unas
sesiones de formación organizadas por el Consejo Escolar de Canarias, como experiencia piloto, en el
municipio de Los Silos de la isla de Tenerife, Islas Canarias, España. Estas jornadas que se han venido
realizando mensualmente a lo largo del curso escolar 2012-13, llevan por título PROYECTO
NEWTON, y agrupan a los docentes del segundo ciclo de Educación Infantil y primer ciclo de
Educación Primaria, que corresponden a un alumnado con edades comprendidas entre los tres y los
ocho años. Su objetivo es la formación del profesorado en la utilización de materiales manipulativos
útiles para el aprendizaje de las matemáticas como: regletas, bloques lógicos, geoplano, tangram, etc.
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El ponente fundamenta su ponencia en el tránsito que hacen los alumnos en el aprendizaje de las
matemáticas por tres etapas: etapa manipulativa, gráfica y simbólica. Los alumnos con los que
trabajamos en nuestros centros, los ubicaríamos en las dos primeras etapas e inicio de la tercera.
También se nos presentaron diferentes materiales e intercambiamos experiencias reales, que ahondan
aún más en la necesidad de mostrar el aprendizaje a partir de situaciones lo más cercanas a la realidad.
Es decir, favorecer la significatividad de los aprendizajes, partiendo de los conocimientos y
experiencias previas de los niños y teniendo muy presente el desarrollo psicoevolutivo de los mismos.
La experiencia que se desarrolla a continuación es necesario contextualizarla en el espacio
donde se ubica, el C.E.I.P. San José, en Los Silos, Tenerife. El centro tiene en total veintiocho
alumnos, abarcando desde el segundo ciclo de Educación Infantil hasta la totalidad de la Educación
Primaria. De todos ellos, me encargo del segundo ciclo de Educación Infantil y primer ciclo de
Educación Primaria, con un total de dieciséis alumnos, de los cuales cinco son de tres, tres de cuatro,
dos de cinco, cuatro de seis y dos de siete años. A lo largo de un día en el aula se suceden
regularmente una serie de rutinas, como la asamblea, el desayuno, las tareas, el cuento con su cuento
fórum, los rincones, etc. Es dentro de la rutina de la asamblea, en la que se desarrolla esta experiencia.
2. La rutina del calendario
Figura 1.
Tras recibir a los alumnos y comentar aquellos aspectos a resaltar del día (por una celebración,
interés e iniciativa propia de los niños, recuerdo del día anterior, etc.), iniciamos la rutina del
calendario. El material que vamos a necesitar es sencillo y fácil de conseguir. Como soporte hemos
utilizado varios cartones de diferentes tamaños, con el fin de darle mayor durabilidad. Precisamos
papel y cinta adhesiva de diversos colores, velcro para pegar los diferentes elementos y para adherirlo
a la pared. Necesitamos también iconos de las áreas de aprendizaje, festividades, cumpleaños,
características de la estación, climatología del día, etc. Realizamos cartones con los números del mes,
en negro y rojo (fin de semana y festivos), con cruces
para señalar los días que ya han pasado, con
los días de la semana, meses, año, etc., con los nombres y la foto de los alumnos, y utilizamos regletas
con velcro. Todos aquellos elementos que pudieran ser plastificados, lo serían, con el objetivo de
evitar un desgaste más acelerado.
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La rutina comienza pasando lista por parte del responsable. Una vez hayamos acabado, surgen
una serie de problemas que debemos resolver. Por un lado, se contabilizan los alumnos que no han
acudido al colegio ese día. Así, si en total son cinco, el responsable deberá identificar la grafía del
número 5 y colocar la regleta equivalente en el lugar correspondiente del cartel. Después tendrá que
descomponer la regleta del número cinco las veces que pueda, como por ejemplo; cinco regletas
blancas, una roja y otra verde clara, una rosada y otra blanca, etc. Al ser un grupo mixto las ayudas
entre compañeros dependerá de la edad de los mismos, pudiendo un niño de tres años recibir
colaboración de los mayores, pero la cooperación irá disminuyendo a medida que pasen los meses.
Con todo ello favorecemos la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), refiriéndonos al espacio entre las
habilidades que ya posee el niño y lo que puede llegar a aprender a través de la guía o apoyo que le
puede proporcionar un compañero más competente.
Figura 2.
Figura 3.
En otro cartel, se contabilizarán las ausencias de los niños
semanalmente, cuántos alumnos tienen cumpleaños en el mes, o
cuántos días de sol, de nubes, de lluvia,…, ha habido esa semana.
Todo ello nos permite hacer cálculos con aspectos destacables para los
pequeños, desde registros semanales de ausencias o de la climatología,
con cuadros de doble entrada, hasta cálculos de probabilidades e
incluso diálogos para la comprensión. Por ejemplo, a partir de una
pregunta realizada un viernes: ¿Cuántos niños y niñas han faltado esta
semana?; si son muchos o pocos; el porqué; si faltaron diez esta
semana, ¿faltarán los mismos la próxima?; etc. Del mismo modo, con
esta recogida de datos ayudamos a los alumnos a distinguir diferentes
datos con parámetros temporales distintos, como en este caso días,
semanas y meses.
A continuación, nos acercamos al cartel del calendario. Primero, establecemos la fecha del día,
obligando a los alumnos a identificar visual y auditivamente la grafía de los días y los meses. Después,
señalamos con un marco el día de hoy y marcamos con una
el día que ha pasado. En este momento
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podríamos incluir preguntas relacionadas con: ¿cuántos días faltan para el cumpleaños de Diego?;
¿cuántos días han pasado desde que celebramos el día del libro?; etc.
Figura 4.
Dentro de una normalidad, sin esquemas rígidos de cálculo, estamos trabajando la suma,
la resta, pero también si queremos la multiplicación y la división, utilizando, por ejemplo,
como parámetros la semana (7 días). Todo ello lo señalamos en el calendario con las regletas
y si faltan cinco días para el cumpleaños de Diego, pegamos la regleta amarilla en el día
señalado y en posteriores días la rosada, la verde clara, la roja y la blanca, y sin quererlo
hemos hecho una serie hacia atrás, aspecto que a los niños de Infantil les cuesta comprender y
que con esta propuesta surge a partir de una necesidad significativa.
Proseguimos, con una actividad en la que posibilitamos la orientación y organización de
los alumnos dentro de la jornada escolar, ya que se le muestran qué maestros son los que
acuden diariamente a nuestra clase, simplemente con unos iconos que hagan referencia al área
y al docente que la imparte.
English Teacher: Pepi
Antonio
Toni
Figura 5.
Además también hemos incluido una referencia a las estaciones y cuáles son sus características
más importantes. Así por ejemplo, en primavera ponemos unos iconos de un niño con ropa menos
abrigada, los animales con sus retoños, las frutas de la estación (fresas, melones y cerezas), las plantas
en todo su esplendor, etc.
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Figura 6.
Finalmente, nos acercamos a la ventana del aula para comprobar cuál es la climatología del día,
llegando a un acuerdo general a partir de las características que observamos. A veces surgen pequeños
conflictos de lo observado, que tratamos de solventar a través de los comentarios que puedan expresar
los niños. Por ejemplo: hoy hace calor, pero es un calor de calima (partículas muy pequeñas de polvo o
arena en suspensión en la atmósfera proveniente del desierto en África), pues discutimos sobre qué
tipo de calor es. También surge a veces el conflicto de ver por las mañanas la luna, cuando tienen
asociados sol-día, luna-noche, lo que nos permite incluso iniciar un proyecto de investigación a partir
de la inquietud de los alumnos, etc.
3. Relación con otras experiencias matemáticas que se trabajan en el aula
Toda esta metodología tiene un objetivo común, que es establecer una secuenciación correcta en
la presentación de los materiales a los alumnos y que éstos a su vez ayuden a los niños y niñas a crecer
en el ámbito de las ciencias matemáticas. A continuación les voy a mostrar diferentes pinceladas de
alguna de las experiencias paralelas que llevamos a cabo en nuestra aula, teniendo en cuenta la edad y
sobre todo el desarrollo psicoevolutivo del alumnado.
La primera experiencia hace referencia a la necesidad de hacer actividades de estimaciones,
entendiéndola como una práctica mental que incluye elementos de intuición y de lógica matemáticas.
Prácticamente a diario sin darnos cuenta, en nuestra vida cotidiana hacemos muchas estimaciones
matemáticas para resolver o explicar situaciones (por ej: creo que la caja pesa 2 Kg). Al ser la
estimación una herramienta matemática muy útil, es necesario enseñarla y entrenarla. En este caso
realizo la actividad con niños y niñas de 4 y 5 años e incluso de primero y segundo de Primaria. Los de
5 años en cualquier momento del curso escolar, en cambio con los de 4 años creo que es mejor a partir
de febrero o marzo del curso.
3.1 Estimación con boliches
1.
2.
3.
4.
Preguntar cuántos boliches hay en la bolsa.
Toda la clase estima cuántos hay.
Salimos a la pizarra a poner cada estimación de los niños.
Después cogemos 10-11-12… cajas y repartimos, por ejemplo, 10 boliches en 10 cajas o 20
boliches en 5 cajas, etc.
5. Verbalizar siempre, es decir, los niños deben expresar diez, veinte, treinta, cuarenta,
cincuenta, sesenta, setenta… o veinte, cuarenta, sesenta, ochenta…
6. Vamos a la pizarra y representamos gráficamente la estimación de los boliches que hay en
cada caja.
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 Lenguaje gráfico
Figura 7.
 Lenguaje simbólico
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10
10
10
10
10
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10
10





Figura 8.
10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 = 100
10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 = 100
10 veces 10 = 100
10  10 = 100 boliches (  equivale a veces)
Todo lo que acabamos de hacer lo copiamos todos en un folio con bolígrafo
7. Lo representamos con regletas, figura 9, y unimos las regletas, figura 10.
Figura 9.
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Figura 10.
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3.2. La venta
Otra de las experiencias que me gustaría mencionar, hace referencia a La Venta. Dentro del
Aula. Disponemos de unas estanterías en la que hemos colocado diferentes artículos traídos por los
alumnos de sus casas, a los cuales les hemos designado un coste con su precio. Cada alumno dispone
de su “Libreta de la Venta”, la cual utiliza cuando decide ir a comprar algo. Éste primer ejemplo lo
utilizamos para niños y niñas desde el segundo trimestre 4 hasta el primer trimestre de 5 años. Su
objetivo es que comiencen a manipular con las regletas pequeñas sumas en sus compras. A parte
trabajamos más cosas, como la autonomía, la aproximación a la lectura y la escritura, artística, etc.
Figura 11
Figura 12
En el segundo ejemplo, lo manejamos desde el segundo trimestre en 5 años y en todo el primer
ciclo de Primaria. Su realización es algo más compleja con la suma de más elementos, la aparición de
los problemas, la multiplicación, cuánto dinero entrego y me devuelven, etc. Su objetivo es generar
variados conflictos cognitivos, que obliguen a los alumnos a avanzar en su desarrollo.
Figura 13
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4. Relación con el Currículum
La Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa, LOMCE,
organiza la Educación Primaria a partir del Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se
establece el currículo básico de la Educación Primaria, el cual, establece en el Artículo 7.Objetivos de
la Educación Primaria y concretamente en su apartado g):
Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la
resolución de problemas que requieran la realización de operaciones
elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como
ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.
Como se puede apreciar con una simple lectura del objetivo, cualquier acercamiento a las
matemáticas debe abordarse teniendo presente su aproximación a los escenarios de la vida cotidiana.
Si continuamos investigando en dicho Real Decreto, encontramos a las matemáticas como asignatura
troncal en su Anexo I, apartado d, donde especifica “Las matemáticas se aprenden utilizándolas en
contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para ir adquiriendo
progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos
previos”. Como comprobamos la rutina del calendario encuentra un acomodo más que significativo,
dentro del Currículum de Educación Primaria.
Por otro lado, aún a expensas de conocer el nuevo Currículum para el segundo ciclo de
Educación Infantil con la LOMCE, todavía podemos acudir al que está actualmente vigente, el
Decreto 183/2008, de 29 de julio, por el que se establece la ordenación y el currículum del segundo
ciclo de Educación Infantil en la Comunidad Autónoma de Canarias y que parece que va a adoptar
muy pocas modificaciones. En este Decreto las matemáticas la encontramos en el área de
Conocimiento del Entorno y sin olvidarnos en ningún momento del carácter globalizador de esta
Etapa, podemos descubrir en su introducción como, “para conocer y comprender cómo funciona la
realidad, el niño y la niña indaga, compara, ordena, cuantifica, pasando así de la manipulación a la
representación, origen de las incipientes habilidades lógico-matemáticas”. De este modo podemos
acreditar que la rutina del calendario que aquí mostramos, favorece que el alumnado se aproxime a la
realidad y que además facilite el tránsito de una etapa inicial a la etapa siguiente en Primaria.
Con esto intento demostrar que, “La rutina del calendario” descrita en éste artículo, no parte de
una idea aislada y sin sentido, sino que se origina a partir de un proceso de investigación que tiene
muy presente el desarrollo psicoevolutivo de los alumnos, sus intereses, inquietudes y contexto, así
como también los diferentes documentos que debemos utilizar como garantes de una educación
integral en ambas etapas.
5. Conclusión
Como podemos comprobar la rutina del calendario es una actividad sencilla, algo laboriosa en la
preparación del material, pero que después nos permite múltiples planteamientos y continuidad con
diferentes actividades que generan conflictos cognitivos en los niños del aula, como son los ejemplos
de La Venta y las Estimaciones. Además esta propuesta es presentada y explicada a las familias,
ofreciéndoles un material similar para trabajar en casa, favoreciendo la colaboración familia-escuela.
Y lo más importante, parte de situaciones próximas al alumnado, lo que deriva inexorablemente en
aprendizajes funcionales, ya que favorece que se acomoden dentro de un contexto cercano,
ayudándoles a organizar sus pensamientos en forma de algoritmos, para resolver cualquier situación o
problema y aplicando esos aprendizajes a situaciones reales del día a día.
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Bibliografía
Consejería de Educación. Universidades y Sostenibilidad del Gobierno de Canarias. Decreto
183/2008, de 29 de julio, por el que se establece la ordenación y el currículum del segundo ciclo de
Educación Infantil en la Comunidad Autónoma de Canarias.
Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. España. La Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre,
para la Mejora de la Calidad Educativa, LOMCE.
Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. España. Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el
que se establece el currículo básico de la Educación Primaria.
Manuel Jesús Fernández Casado, trabaja actualmente como maestro en el C.E.I.P. San José de Los
Silos (Tenerife, España). Finalizó su carrera de magisterio en el año 1999, continuando sus estudios y
diplomándose en Fisioterapia en 2002, ambos realizados en la Universidad de La Laguna.
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 17-29
Programa de Estadística aplicada a la Biología: una propuesta
María Florencia Walz (Universidad Autónoma de Entre Ríos. Argentina)
Fecha de recepción: 11 de abril de 2014
Fecha de aceptación: 16 de junio de 2014
Resumen
En este artículo se presenta una propuesta de secuencia de contenidos para un programa
del primer curso de Estadística básica de carreras de grado universitario orientadas a la
Biología (Profesorados y Licenciaturas en Biología). La misma responde a la lógica y a
la epistemología de los conceptos disciplinares y busca satisfacer el objetivo primordial
de la inserción de esta asignatura en el plan de estudio; que es, precisamente, aprenderla
de manera significativa para poder usarla adecuadamente en aplicaciones sencillas, como
así también, sentar una buena base conceptual para cursos más elevados de Estadística.
Se pretende, también, abrir un debate que refleje las diferentes opiniones respecto de la
propuesta.
Por último, se exponen algunas técnicas de enseñanza para los distintos temas
involucrados, que promueven una didáctica con sentido pedagógico, surgidas de
diferentes investigaciones en el tema y que mejor respaldan el aprendizaje de la
Estadística.
Palabras clave
Secuencia, contenidos estadísticos, biología
Title
Statistics program for biology study: a proposal
Abstract
In this article a proposal of sequence of contents is presented, whose target is a program
to be applied in the first course of elementary Statistics for studies of teaching trainer or
bachelor degree in Biology. It responds to the logic and epistemology of disciplinary
concepts and seeks to satisfy the primary objective of the inclusion of this subject in the
curricula, which means precisely learning it in such a way that it can be used consciously
and appropriately in professional applications, as well as setting a good conceptual basis
for higher courses of Statistics. It also intends to be a matter of debate that reflects
different views on this proposal.
Finally some teaching techniques for the issues involved are presented, which promote a
didactic with pedagogical sense, i.e. committed to the learner and their environment,
arising from different research on the subject and that best support the learning of
Statistics.
Keywords
Sequence, statistical content, biology
1. Introducción
La estadística fue definida, por Cobb y Moore (1997) como una disciplina metodológica que no
existe por ella misma sino para ofrecer a otras ciencias un conjunto de instrumentos con los que
delinear y comprender datos y que requiere un tipo diferente de pensamiento; centrando su idea en que
los datos no son solo números sino: números en un contexto.
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Desde hace dos décadas, aproximadamente, es ampliamente aceptada la necesidad de generar
una cultura estadística en la sociedad y por ello se ha incorporado su enseñanza en todos los niveles
educativos (al menos, en la mayoría de los países de América y Europa). Especialmente, en todas las
carreras de pregrado y grado, cualquiera sea su orientación, incluso en las ciencias sociales. Esta
incorporación masiva de la disciplina plantea un desafío didáctico, al que podríamos llamar:
“Enseñanza adecuada de la estadística aplicada”.
Batanero y colaboradores (2013) expresan que la enseñanza actual de la estadística no está
transmitiendo el sentido estadístico que se requiere. El cual definen como la resultante de amalgamar
la cultura estadística y el razonamiento estadístico. Considerando a la cultura estadística como el
haber del saber de las ideas fundamentales necesarias en la mayoría de las situaciones aplicadas y para
la que Watson (2006, mencionado por Batanero y col. (2013)) indica que sus elementos esenciales
para adquirirla son: desarrollo del conocimiento básico de los conceptos, comprensión de sus
razonamientos y argumentos en un contexto más amplio y actitud crítica ante las evidencias
estadística.
Tal vez, la razón de la carencia de la enseñanza con sentido estadístico sea debido a que se
enseñan sus conceptos con gran influencia de la didáctica de la Matemática y no se enseña a pensarlos
bajo su esencia filosófica probabilística. Los mismos autores mencionan, además, que Moore (1992)
considera a la Estadística como una disciplina científica autónoma con razonamiento propio específico
que dista del matemático y que no tiene relación biunívoca con ésta; puesto que la estadística
desarrolló sus métodos usando conceptos matemáticos y, en cambio, la matemática no usa los
conceptos estadísticos.
Las ciencias experimentales, en general, y la biológica, en particular, utilizan en sus
investigaciones muchísimos elementos estadísticos que le permiten analizar, interpretar y concluir
respecto de sus problemáticas. Así, la Estadística que se enseña en éstas áreas, requiere que sea adaptada
tanto para el nivel como para la orientación; persiguiendo un objetivo fundamental que es que se aprenda
significativamente para que pueda aplicársela para resolver situaciones, tanto en lo profesional como en
la vida cotidiana. Es decir, para que se adquiera la tan deseada cultura estadística social.
La enseñanza de esta disciplina aplicada debe ser replanteada, entonces, en término de los
contenidos teóricos, profundidad de los mismos y estrategias de trabajo a usar; teniéndose en cuenta
que la incorporación de demasiada teoría en los programas de esta asignatura en carreras de grado con
orientación biológica, genera, muchas veces, obstáculos para alcanzar el objetivo planteado de su
inserción en el plan de estudio. Esta tendencia a lo teórico que aún persiste en muchas currícula
(derivada de la concepción clásica con la que se enseñanza Matemática) no debería tener ya, más lugar
en la enseñanza de la Estadística aplicada, al menos en este tipo de carreras. Puesto que no contribuye
en demasía a la construcción del pensamiento probabilístico e induce a mixturarla con aquella
disciplina determinista.
En relación, Wolfowitz delibera lo siguiente:
“Excepto quizás unos pocos de los más profundos teoremas, y quizás ni
siquiera esos, la mayor parte de los teoremas de la Estadística no
sobrevivirían en las Matemáticas si el sujeto de la propia estadística (la
aplicación) desapareciera. Para sobrevivir al sujeto deben responder más a las
necesidades de aplicación. De lo que debemos protegernos es del desarrollo
de una teoría que, por una parte, tiene poca o ninguna relación con los
problemas reales de la Estadística, y que, por otra parte, cuando se ve como
Matemática pura, no es lo suficientemente interesante, por si misma, ni para
sobrevivir.” (Wolfowitz, 1969. Pág. 42)
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Franklin y col. (2007) distinguen dos núcleos conceptuales en los que se diferencia la
Estadística de la Matemática, y los que se tendrían que tener bien presentes en la enseñanza de cada
disciplina: la variabilidad en los datos en la primera, que se opone a la naturaleza determinista de la
segunda y el rol del contexto que provee significado lógico al dato.
Pfannkuch y Wild (2004) alegan que la enseñanza de la estadística se ha centrado en el
desarrollo de habilidades para resolver y no para pensar estadísticamente. De lo que se desprende que
existen carencias de formación en didáctica en los docentes, que impiden alcanzar el objetivo de
transmitirla con sentido estadístico.
En los escritos ausubelianos se encuentra que para que el aprendizaje sea significativo el
material o tarea a ser enseñado debe ser potencialmente significativo. Para que esto suceda, el mismo
debe tener una organización lógica sustancial psicopedagógica. En la que el significado lógico
disciplinario (estricta y estrechamente vinculado a la dimensión epistemológica del contenido) debe
sumarse al significado lógico de una organización conceptual que considere las estructuras cognitivas
del que aprende. Tal organización, es más idiosincrática y puede variar según sea para uno u otro tipo
de alumnado (e incluso de uno a otro alumno). Por lo que debe ser atendida por los docentes en
beneficio de la racionalidad de ese contenido. Desde esta perspectiva las ideas generales e inclusivas
de la disciplina deberán aparecer primero y luego las ideas referidas a detalles o cuestiones más
específicas. La tendencia a ordenar los temas, como objetos independientes uno de otro sin tener en
cuenta los niveles de abstracción, generalidad e inclusividad que conlleva cada uno, va en desmedro
del aprendizaje significativo. En palabras de Brousseau (1997) el análisis epistemológico es esencial
en el diseño del material con miras a generar un aprendizaje significativo; puesto que a través de él se
eliminan los posibles obstáculos epistemológicos.
2. Didáctica de la Estadística
La didáctica de la Estadística, conceptuada como ciencia y arte de enseñar, puede entenderse en
dos sentidos: amplio y pedagógico. En el sentido amplio, sólo se preocupa por la forma de hacer que el
educando aprenda algo. En el sentido pedagógico, aparece comprometida con lo social, moral, cultural
y aplicabilidad del aprendizaje y responde a lo último que se dijera en el apartado anterior. Es decir,
que se requiere que su enseñanza se organice bajo un material potencialmente significativo; que
incluye: al programa y a los métodos y desarrollos que se empleen para construir el conocimiento de
los objetos deseados. Siguiendo siempre los resultados que se vayan obteniendo de las investigaciones
en el área; herramienta ésta que permite avanzar en el saber enseñar.
Al respecto, y haciendo un racconto, a partir de la década de los cincuenta, en todas las áreas de
la educación, comienza a tomar auge la idea de que el alumno no debe estar pasivo, concibiéndoselo
como ser capaz de seleccionar, asimilar, procesar y conferirle significaciones a los estímulos. Según
Coll y col. (1998), la adopción de esta perspectiva supone un cambio radical en la manera de entender
el proceso de enseñanza-aprendizaje; en el que se pone en alza considerar lo que al alumno le interesa,
necesita y es capaz de aportar por sí mismo. Pero tal concepción exige una estimulación efectiva del
aprendiz, que lo lleve a participar activamente en la construcción de sus saberes; táctica que se
enmarca dentro de la teoría del constructivismo y a la que adhieren, ampliamente, los didácticos de la
Estadística actual; atribuyéndosele el alcance del aprendizaje significativo de los objetos enseñados.
Sin olvidar lo que destaca Ausubel (1986), respecto del material o tarea a realizar por el alumno bajo
este paradigma, y es que debe ser potencialmente significativo. En tales términos, requiere poseer una
organización psicopedagógica (ya mencionada).
Continuando, Pozo (1996) aduce que para que el alumno participe activamente debe ser
estimulado de manera adecuada con actividades efectivas centradas en la problematización del
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concepto en áreas específicas; que requieran del aprendiz: reflexión y comprensión que fundamenten
su estudio. Así, la enseñanza de la Estadística Aplicada -como ciencia que dialoga con las otras
ciencias- se ha visto en la necesidad de adaptar métodos, contenidos, hacer transposiciones y generar
dialécticas específicas para las distintas y cada una de las orientaciones o especialidades en la que se
inmiscuye.
Desde mediado del siglo pasado, han surgido numerosas investigaciones, tendientes a evaluar
alternativas para mejorar la calidad de su enseñanza en las ciencias biológicas, de la salud,
experimentales, tecnológicas, sociales, humanas, entre muchas otras; acordando, casi en forma
general, en focalizarla, principalmente, en la resolución de problemas o proyectos reales. En los que el
funcionamiento del objeto esté implícito y promueva que el alumno reconozca sus propiedades,
representaciones y relaciones con otros objetos. Estrategia que forja el conocimiento en etapas
progresivas que -aunque no se ajusten a un modelo uniforme- se pueden ordenar siguiendo a Dewey
(1933) en cinco etapas: 1) reconocimiento del problema, momento en el que el sujeto se da cuenta que
hay una cuestión que necesita solución; 2) esclarecimiento del problema, que una vez percibido en
términos generales, se busca precisar qué resultado debe alcanzarse, qué se sabe o qué recursos hay
para resolverlo; 3) proposición de un curso de acción, con el empleo de técnicas o métodos que
permitan resolverlo; 4) inferir o concluir con los resultados que se alcanzan; 5) verificar las
conclusiones con hechos conocidos o con otros producidos. Secuencia que, casi intuitivamente, el
hombre ha seguido en lo cotidiano, a lo largo de la historia, al querer dilucidar algo desconocido y con
lo cual ha aprendido mucho; dando cuenta de la veracidad de las palabras reflexivas de Velázquez:
“..., el aprendizaje fuera del ámbito institucional no genera problemas desde
la perspectiva del proceso que lo logra. Éste surge como tal cuando aparece
en ámbitos especialmente diseñados para lograrlo. ” (Velázquez, 2004. Pág.
19).
Sin embargo, para alcanzar la funcionalidad del objeto, éste debe ser construido de manera
progresiva, cimentado en conceptos preexistentes, también, aprendidos significativamente; condición
que requiere una organización psicopedagógica de los contenidos.
3. Programas de Estadística de primer nivel para carreras de grado universitario con
orientación a las ciencias experimentales
En Argentina, a partir de los ochenta, con el creciente avance de las investigaciones en las
universidades, fue desarrollándose, cada vez más, el interés por el manejo de las técnicas estadísticas.
Con el propósito de lograr una manipulación teóricamente formalizada en sus usuarios, la Estadística
básica comienza a insertarse en los distintos planes de carreras universitarias. En especial, en aquellas
con orientación biológica, de la salud y otras experimentales, se incluye con nombres tales como
Introducción a la Bioestadística, Estadística Metodológica, Metodología Estadística, Estadística
Médica... y es, generalmente, la única materia obligatoria de Estadística; ubicada, además, en el ciclo
básico del plan (frecuentemente, en el segundo año de la carrera).
Investigando los programas de tales asignaturas en estas carreras en distintas facultades
argentinas (36) he podido observar que, en general, son de dictado cuatrimestral con una carga horaria
que oscila entre 4 y 6 horas semanales y están correlacionadas con Matemática o disciplina afín de
denominación específica según la orientación. En ellos los conceptos comunes mas frecuentes son:
Estadística descriptiva (manejo y organización de datos en tablas y gráficos y medidas resúmenes),
Probabilidad (definición, propiedades, axiomas, reglas de cálculo, probabilidad condicionada y
teorema de Bayes), Variables aleatorias (definición formal, tipos, clasificación), Distribuciones
(Binomial, Poisson, Hipergeométrica y Normal), Distribuciones muestrales (Normal, Teorema central
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del límite, t-Student, Ji-cuadrada y F-Fisher), Inferencia (estimación puntual y por intervalos de
confianza, pruebas de hipótesis estadísticas paramétricas para variables cuantitativas y test de hipótesis
no paramétricos para asociación entre variables cualitativas: Ji-cuadrada). En algunos de estos
programas se incluye, también, Regresión lineal como modelo predictor. En muchos, aparece la
palabra: “Aplicaciones” o la frase: “Uso de programas estadísticos”.
La secuenciación de los contenidos, en muchos de los programas vistos, comienza con el tema
relativo al manejo de datos y continúa con el siguiente orden: Probabilidad, Distribuciones de
variables discretas, continuas, Esperanza y Variancia, Distribuciones muestrales, Inferencia y,
finalizan, con algo de modelización. Secuencia parecida a la de muchos libros de textos. Al respecto,
es conveniente aclarar que los textos desempeñan un rol importante en la transmisión del
conocimiento. Autores como Chevallard (1985) y Ortiz de Haro (1996), han realizado interesantes
reflexiones sobre la influencia que éstos tienen para el docente, en cuanto a que le dan la seguridad de
que el “saber a enseñar” es legítimo y que enseñándolo según los contenidos y secuencia del libro
selecto marcan el progreso y el sentido del conocimiento; pero muchas veces no se tiene en cuenta que
se puede estar cayendo en la concepción de que el saber es algo localizado y cuya determinación ya
está hecha, apoyada por la tradición y la experiencia, no dejando margen para el análisis individual de
conveniencia que debe hacer todo docente involucrado. Puesto que se debe tener presente que los
autores de libros, muchas veces, organizan los capítulos siguiendo criterios relacionados al diseño y
presentación de su obra, que implica ordenar por temas globales. En tal sentido, y para el caso de la
Estadística, generalmente, estos temas globales la dividen en dos áreas: descriptiva e inferencial.
Siendo más seductor comenzar la primera parte con el tema relacionado a la organización de datos,
que es donde se torna más evidente lo aplicado a la especialidad. Sin embargo, es responsabilidad del
docente hacer emerger la secuencia lógica y epistemológica disciplinar en un programa; que evidencie
en primera instancia las ideas generales e inclusivas. Y, desde esta perspectiva, el no considerar el
ordenamiento de los temas como objetos independientes uno de otro y el atender los niveles de
abstracción, generalidad e inclusividad reportará beneficios para el aprendizaje (Brousseau, 1997).
4. Propuesta de secuencia de contenidos para un programa de Estadística de primer
nivel de carreras con orientación biológica
4.1. Objetivos de la propuesta
Diagramar una secuencia lógica y epistemológica de contenidos estadísticos para el programa
de la asignatura correspondiente al curso básico de Estadística de carreras universitarias de grado con
orientación biológica (Profesorados y Licenciaturas en Biología).
4.2. Origen y antecedentes de la propuesta
La concatenación de temas que se presenta fue diagramada para una investigación que tenía
como hipótesis que: profundizar la enseñanza de los temas Población, Muestra, Estimadores y
Parámetros, mediante simulaciones y aplicaciones a proyectos reales, mejoraba el aprendizaje
significativo de los test de hipótesis (Walz, 2011). Tal estudio requería que, previamente, se hiciese un
análisis de la secuenciación de los contenidos, desde lo lógico y epistemológico disciplinar, de lo que
surgió el orden que se apunta en el presente artículo.
Es de entender que el haber validado el supuesto del estudio referenciado no solo se debió a la
metodología empleada para cumplir su objetivo. El proceso de construcción del significado de un
objeto, no se da si no se cimienta un andamiaje de conocimientos que permita evitar obstáculos
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epistemológicos. Así, un programa de contenidos que atienda los paradigmas enunciados es un
componente responsable de la victoria alcanzada, aunque permanezca enmascarado.
Lamentablemente, no he encontrado, o al menos no están a mi alcance, antecedentes de
propuestas que planteen una consecución psicopedagógica de temas estadísticos, específica para el
ámbito para el que está destinada ésta. Si bien, podrían considerarse como propuestas de secuenciación
la presentada en los libros orientados a la Bioestadística; vale decir que tal material dista bastante de la
práctica docente real y las exigencias de una planificación psicopedagógica.
A modo de comentario, quisiera aclarar que esta secuenciación la vengo empleando desde el
año 2010 en el Profesorado en Biología, de la facultad donde me desempeño como docente de
Estadística (Facultad de Ciencia y Tecnología), con resultados satisfactorios, puesto que con ella he
constatado mayor comprensión de los temas inferenciales (Walz y Carrera, 2012).
4.3. Desarrollo de la Propuesta
El razonamiento estadístico es probabilístico por esencia y naturaleza. El primer tema, global e
inclusivo, a enseñarse en un curso básico de Estadística aplicada de grado es, a mi juicio, Probabilidad
y no Manejo de datos (como he observado en la mayoría de los programas de asignatura homólogas,
en facultades argentinas). El argumento amplio que atiende a la organización secuencial lógica y
epistemológica de los significados de los contenidos disciplinarios es el siguiente: los datos provienen
de la observación de una característica (variable) y pueden conformar un conjunto muestral o
poblacional; este punto conlleva que, al resumir la información de los datos, a través de medidas
resúmenes, éstas pueden ser, a su vez, solo medidas (si los datos provienen de muestras no
probabilísticas) o pueden ser variables aleatorias o parámetros.
Si se comienza con el tema Manejo de los datos, solo se tratarán los mismos como números,
induciéndose a considerarlos valores determinístico, descontextualizados, que aíslan al alumno del
sentido estadístico que contienen para la inferencia que vendrá (tema, este último, puramente
probabilístico). Los conceptos subyacentes que sustentan el adecuado Manejo de los datos, como
objeto con significado propio y no sólo como un conjunto de técnicas del método descriptivo, se
solapan bajo los conceptos Población y Muestras aleatorias y estos, a su vez, en el de Probabilidad.
La probabilidad, es lo primero que surge en la historia de la Estadística como disciplina y su
formulación formal fue buscada para dar respuesta a diferentes fenómenos y, a partir de comprenderla,
se derivan nociones consecuentes que competen y hacen a la Estadística. Tanto es así, que el famoso
matemático francés Pierre Simon Laplace (1749-1827) conocido por su tendencia, casi absoluta, a lo
determinista entendió (ante su intuición de la naturaleza variable de los resultados ante un mismo
fenómeno) que es imposible alcanzar la certeza absoluta sobre los aconteceres y, a lo máximo que
puede aspirar el hombre, es a alcanzar un conocimiento meramente probable. Pensamiento que lo lleva
a emprender sus estudios sobre probabilidad, antes de que surgiera, siquiera, la idea de otros conceptos
estadísticos (como el cómo manejar las observaciones recolectadas en datos).
“Los acontecimientos actuales mantienen con los que les preceden una
relación basada en el principio evidente de que una cosa no puede comenzar
a existir sin una causa que la produzca. Este axioma, conocido con el nombre
de principio de razón suficiente, se extiende incluso a las acciones más
indiferentes. La voluntad más libre no puede producirlas sin un motivo
determinante, pues si, siendo absolutamente iguales todas las circunstancias
de dos situaciones, actuara en una y dejara de hacerlo en la otra, su elección
sería un efecto sin causa y ella sería entonces, como dice Leibniz, el azar
ciego de los epicúreos.” (Laplace en la traducción en línea de Castillo, 1985).
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Por su parte, Le Lionnais (1976) señala que la probabilidad nace como la meditación sobre los
fenómenos concretos, tanto los de la vida corriente como los de las ciencias biológicas, químicas,
físicas, psicológicas y sociales. Asumiéndose que la certeza en la verificabilidad de los resultados es
imposible y, por lo tanto, el científico debe conformarse con una cierta probabilidad; cuyo cálculo fue
posible a partir del nacimiento de la Teoría de la probabilidad, que se convirtió en el andamiaje de la
Estadística.
“La biometría es concebida a partir del momento en que, el efecto de unas
prácticas no científicas consiste en proporcionar a la observación una materia
homogénea y susceptible de un tratamiento.” (Canguilhem, 2009. Pág. 21).
En general, los biólogos, al realizar sus investigaciones toman muestras “al azar” y realizan
mediciones en cada unidad que la conforma, generando así un conjunto de datos (variable estadística).
Este conjunto de observaciones, al que denominan muestra (y, generalmente, la llaman aleatoria) se
convierte en su evidencia para inferir. Sobre ella trabajan; primero: organizando los datos,
depurándolos, resumiéndolos y apuntando con ellos pequeñas conclusiones de tipo inferencial. En una
segunda etapa, le hacen el tratamiento estadístico específico (comparar, correlacionar, inferir o
modelar, entre otros) que le permita alcanzar el objetivo de sus investigaciones. Es por esto que los
datos tienen un contexto real, pertenecen a un conjunto mayor y tienen naturaleza variable;
consideraciones que deben conocerse previamente para no caer en tratarlos sólo como números.
La imposibilidad de estudiar una población llevó a los primeros estudiosos a buscar la verdad en
muestras (sin aún saberse o definirse estos conceptos como tales) teniendo presente la existencia de
que los valores que obtendrían podrían diferir entre las unidades observadas e, intuitivamente,
percibían la probabilidad de ocurrencia de éstos. Las muestras seleccionadas en los comienzos del
empleo de un método científico no formalmente reconocido, pudieron haber sido aleatoria, pero la
población a la que era destinada la inferencia, probablemente, haya sido otra; porque la formalización
de lo que es una muestra aleatoria todavía no estaba. A modo de comentario, vale decir que, a pesar de
que hoy en día existe una definición para ella, todavía no se comprende del todo. Al decir de Colton
(1974), existen dos poblaciones que no son bien diferenciadas por muchos investigadores: una es
sobre la cual se quiere inferir o generalizar los resultados y la otra es la población muestreada. Así,
discernir los conceptos Población, Muestra aleatoria, Unidad experimental y Característica o Variable
a observar (su clasificación), es necesario que se de en el segundo lugar del programa, dada la
inclusividad que éstos tienen de los temas: Variables (estadística y aleatoria) y sus distribuciones.
Epistemológicamente, el término Muestra está estrechamente vinculado al de Población y
Muestra aleatoria al de Probabilidad. En cuanto al término aleatoriedad, hace tiempo, Bennett (1998)
dejó entrever un posible causal referido al porqué de su mala interpretación, al advertir que su
separación de la teoría de probabilidad lo aleja de su comprensión. Y que, sin su correcta noción esencia de la estadística inferencial- los resultados de los estudios llevan a conclusiones sin sentido o
no muy fiables.
Por otra parte, Vallecillos (mencionado por Ruiz Hernández, 2010) encontró que es común la
confusión entre estadístico (que es un representante de la variable estadística o sea de los valores
observados en una muestra aleatoria) y parámetro (que es el representante poblacional de la variable
aleatoria). Sí, antes de estudiar Variables aleatorias, hacemos hincapié en los conceptos: Población y
Muestra aleatoria, podremos evitar lo observado por la autora, que es considerar la igualdad entre
Variable estadística y Variable aleatoria, debido a que estos están emparentados e incluidos en los
primeros.
Ruiz Hernández y Albert Huerta (2011) comentan que el origen del concepto variable aleatoria
no es fácil de rastrear en el tiempo. Su naturaleza es, un tanto, intuitiva y de uso cotidiano poco
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perceptible y su definición formal está vinculada con problemas que la teoría de la probabilidad
todavía no resuelve. En torno a su desarrollo histórico se ciernen dos paradigmas: uno el de
magnitudes aleatorias y el otro el de variables aleatorias. Sustentándose el primero, en las ideas de
Parzen (1960/1971), aunque hay, también, indicios en los estudios de Laplace (1812/1886 y
1778/1893) y Poisson (1837) (menciones hechas por Ruiz Hernández y Albert Huerta, 2011), quienes
consideran a la variable aleatoria como un valor observado en el fenómeno aleatorio, dando así
relevancia a los resultados numéricos. El paradigma de las variables aleatorias, por su parte, define la
naturaleza funcional de esta variable como una función conjunto de valor real; que permitió, entre
otras, generalizar el concepto a espacios muestrales finitos o infinitos. Así, el paradigma de magnitud
aleatoria dificultó el surgimiento del de variable aleatoria (cuya principal cuestión fue confundirla con
variable estadística). Esto argumenta, la necesidad de enseñar Variables aleatoria antes del tema
Manejo de Datos y después del de Población y Muestras; puesto que en ellos se arraiga la diferencia.
Desprendido de lo anterior, continuaría en el tercer lugar de la secuencia, el tema Variable
aleatoria; que constituirá la antesala del concepto Distribución de probabilidades. Centralizando la
significancia de estas funciones en su aporte para proveer información acerca de la probabilidad de
ocurrencia de los distintos valores de la variable; como técnica para pronosticar u organizar una
logística de acción anticipada. Esta consecución es, según Ruiz Hernández y Albert Huerta (2013)
necesaria puesto que el concepto variable aleatoria es probabilístico y facilita el pasaje del cálculo de
probabilidades al estudio de las distribuciones.
Varias funciones de distribución teórica son importantes para las ciencias biológicas, pero en
cuestiones muy específicas. En un curso básico que intenta brindar, especialmente, herramientas para
la inferencia elemental, las indispensables podrían ser: la distribución Binomial y la de Poisson (de
naturaleza discreta) y la distribución Normal (de naturaleza continua). Esta última sustentará la
comprensión del significado del teorema central del Límite y de la inferencia paramétrica relativa a
proporciones y medias.
En esta instancia, los conceptos, ya aprendidos, que subyacen en los datos recolectados con
fines estadísticos ayudarán en la construcción de la interpretación, tanto de la información contenida
en ellos, como de otros conceptos estadísticos que le seguirán.
En las ciencias biológicas el interés por los datos se asocia, principalmente, a las conclusiones
que pueden obtenerse de fenómenos aleatorios infinitos. Por lo que si su manejo, organización,
depuración y resumen se lo enseña al principio del desarrollo de la asignatura se lo está presentando
como un conjunto numérico, lo que puede generar un obstáculo epistemológico. Por tal razón es que
creo que, recién, a esta altura del programa puede introducirse el tema Manejo de los datos
observados. Tratándoselos como una variable estadística vinculada a una variable aleatoria de la que
van a surgir conceptos como los estadísticos/estimadores. Siendo, también, necesario, en este tiempo,
diferenciarlos del significado de Parámetros. La enseñanza de lo anterior dará conexión y apertura al
tema aleatoriedad propia de los estimadores y luego, continuando el orden lógico y epistemológico, la
secuencia se constriñe, entonces, a enseñar las distribuciones muestrales.
En el mismo estudio de Vallecillos que mencioné anteriormente (citado por Ruíz Hernández,
2010) la autora aduce que, a pesar de que los alumnos diferencian entre la media de la muestra y la
media poblacional, no distinguen a la media muestral como una variable aleatoria. Sobre esto me
atrevo a decir que un posible obstáculo epistemológico sería la confusión entre Población y Muestra,
Parámetros y Estimadores y Variables aleatorias y estadísticas; y no solo para lo indicado por
Vallecillos sino también para otros temas vinculados a la inferencia como Intervalos de Confianza y
Pruebas de Hipótesis (Walz y Carrera, 2012). En este aspecto la secuencia de mi propuesta atiende a
esta cuestión como obstáculo e intenta evitarlo.
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Para el uso particular que se le dan en las aplicaciones biológicas, la distribución de la media de
muestras grandes (sustentadas en el teorema central del límite) y de muestras chicas (provenientes de
poblaciones normales) son estrictamente necesarias. En esta instancia del programa la distribución Jicuadrada para la variable Variancia transformada deberá ser, también, presentada. Además, si los
contenidos mínimos de la asignatura exigen incluir comparaciones de dos medias (suponiendo
homogeneidad o no de las variancias), conocer la distribución F permitirá inclinarse hacia uno u otro
supuesto. Cabe aclarar que su teoría es compleja y desvía el interés del objetivo que se necesita
esclarecer, que es la posibilidad de asumir o no una igualdad entre dos medias. En su defecto es
preferible emplear algunas reglas empíricas para considerar la posible homogeneidad de las variancias.
Dejando su correcto desarrollo para un curso de nivel superior.
El estudio de la inferencia estadística se centra en los métodos que pueden emplearse para sacar
conclusiones acerca del comportamiento de las variables en la población, a partir de la muestra. A esta
altura, el alumno ya tiene todos los elementos cognitivos obligatorios que requiere su aprendizaje. Su
abordaje solo necesita utilizar la filosofía del pensamiento estocástico para sellar la representación del
objeto inferencial. La Estimación puntual y por intervalos de confianza serían los temas consecutivos a
lo anterior, puesto que sin el conocimiento del significado de los estadísticos y sus distribuciones
muestrales no podrían sustentarse las suposiciones que de los parámetros de la población se hagan.
A pesar de que las pruebas de hipótesis paramétricas son una técnica análoga a la de estimación
para la inferencia estadística y de que su aprendizaje requiere los mismos conocimientos previos que
los que requiere el tema Estimación; el pensamiento filosófico inductivo que en aquellas subyace
presenta mayor complejidad. Razonamiento que podría adquirirse más fácilmente si, previamente, se
lo practica en una técnica intuitivamente más sencilla. Razón por la cual el tema Pruebas de hipótesis
estadísticas debería ocupar el lugar postrero al de Estimación (considerándose incluir: una y dos
medias de muestras grandes y chicas y una y dos proporciones; si atendemos a las característica de la
asignatura objeto de esta propuesta, en cuanto a la carga horaria y nivel cognitivo de los alumnos).
Para finalizar, y con la mira en las necesidades más comunes de las investigaciones biológicas
(sobre todos las inmediatas como, por ejemplo, la investigación desarrollada para una tesina de grado),
la prueba de asociación entre variables categóricas: Ji-cuadrada y un estudio de correlación para
variables continuas, complementarían adecuadamente la formación básica estadística de grado del
alumno.
Sintetizando, el orden de los temas globales presentado en la propuesta sería: 1- Probabilidad, 2Población y Muestra aleatoria, 3- Variables aleatorias, 4-Distribuciones de probabilidad y de densidad,
5- Manejo de datos, 6- Estadísticos, 7-Distribuciones muestrales, 8- Inferencia.
5. Algunas estrategias didácticas reconocidas
Los estudiantes de ciencias biológicas tienen una preparación, de hecho, más pragmática que
teórica y su dinámica de pensamiento no es precisamente la que demanda esta materia. Por lo que se
torna imprescindible una enseñanza orientada al significado conceptual de los objetos, en término de
caracterizarlos en su sentido y aplicaciones, más que ahondar en demostraciones de propiedades,
supuestos o en la teorización de los modelos. Las metodologías elegidas para la enseñanza de los
conceptos estadísticos deberían mantener la posición de Freudenthal (1983), en la que la finalidad
primordial no es adquirir conceptos teóricos sino construir objetos mentales basados en una
fenomenología variada.
Un aspecto para resaltar es el papel que desempeña el profesor en la diagramación del
programa; aunque el docente sea quién señale las teorías y conceptos que se deben enseñar, también,
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es quién decide el modo de enseñarlos. Para lo cual debe estar familiarizado con las dificultades, más
comúnmente, observadas por los diferentes investigadores en didáctica de la estadística, en alumnos
con características parecidas a los suyos. De esta manera podrá prever posibles inconvenientes en el
proceso de aprendizaje y contar con técnicas que le permitan, al menos, intentar salvar o prevenir
interpretaciones incorrectas de los objetos a enseñar. Por otra parte, debe ser cuidadoso con la
bibliografía elegida para consulta, adecuándola al nivel y a la aplicabilidad que esta tenga en el
contexto educativo. Atendiendo, además, a lo comentado por Holmes (mencionado por Batanero
(2002)) respecto a que los temas estadísticos desarrollados en los libros, son escritos mayormente por
matemáticos; pudiendo ocasionar perder el objetivo de generar o motivar la actividad estadística
aplicada.
En términos generales, las estrategias didácticas que favorecen el aprendizaje de esta disciplina
son las que emplean un enfoque cognoscitivita; estimulando la autogestión pedagógica, basando las
actividades en la resolución de problemas reales con una perspectiva social orientada, según
concuerdan numerosos autores (Batanero, 2001; De Guzmán, 1997; Niss, 1996; Boero y Parenti,
1996).
Para el aprendizaje significativo de Muestra, Población, Estimadores, Parámetros y
Distribuciones muestrales (inclusive para la enseñanza del Teorema central del límite) las
simulaciones computacionales constituyen un método ampliamente reconocido como efectivo por
autores como delMas (y col., 1999); Chance (y col., 2004); Mills (2002) y Walz (2011).
Particularmente, los temas relativos al Manejo de Datos y a los de la Estadística inferencial son
óptimos para ser enseñados con cuestiones propias de una investigación o proyectos reales. Evitando
introducir los conceptos y técnicas de manera descontextualizadas, aplicadas en problemas tipos
difíciles de ser factibles en la realidad. Es decir, presentar problemas que requieran efectuar las
diferentes fases de una investigación: planteamiento de un problema, decisión sobre los datos a
recoger, recogida y análisis de datos y obtención de conclusiones sobre el problema planteado
(Batanero, 2004).
6. Discusión y conclusiones
Esta propuesta no es un proyecto curricular completo. La misma responde al interés de
secuenciar los contenidos de la asignatura Estadística (de primer nivel inserta en carreras universitarias
con orientación biológica) atendiendo a una lógica psicopedagógica; necesaria para la construcción
progresiva del conocimiento de los distintos objetos a enseñar. Al tiempo que busca satisfacer el
objetivo principal de su incorporación en el plan de estudio; que es proporcionar una herramienta
resolutiva al futuro profesional y que este haga uso de ella a conciencia.
En forma abreviada, se basa en un cambio sustancial en el orden de ubicación y consecución de
temas que usualmente se emplea para este tipo de programas en carreras biológicas de facultades
argentinas, siguiendo el paradigma anteriormente mencionados. Principalmente, se basa en modificar
el primer lugar que habitualmente se le otorga al tema Manejo de dato trasladándolo a etapas más
avanzadas del temario conceptual, según lo justifican las perspectivas lógicas y epistemológicas
disciplinares e intenta, además, sustituir otros argumentos, que bajo estos aspectos quedan obsoletos,
como, por ejemplo, que el Manejo de datos es la primera etapa de una investigación. Lo que, tampoco,
es tan así, si recordemos las palabras de Popper:
“Mi epistemología implica que las ciencias no comienzan con mediciones…”
(Popper, 1984. Pág. 5).
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Que parafraseándolas, y haciendo una analogía con la secuencia de mi propuesta, antes de medir
hay que saber que medir, porqué medir, porqué varían las mediciones,… Preguntas, éstas, que están
estrechamente ligadas al concepto: Variable aleatoria y ésta, a su vez, a los de Muestra y Población,
que, a su vez también, se ligan al de Probabilidad (tema que dio origen y esencia a la Estadística en su
totalidad).
Por otra parte, y debido a que no he podido encontrar otros artículos que pudieran esclarecerme,
argumentarme o hacerme reflexionar sobre mis ideas, es que intento con la presentación de esta
propuesta, inducir la apertura de un debate entre pares; convencida del incuestionable aporte que
tienen las deliberaciones, experiencias y diferentes opiniones dentro de la comunidad educativa, para
avanzar por el camino que lleva a la enseñanza y aprendizaje significativo de esta disciplina en cada
ámbito específico del amplio espectro que abarca su aplicabilidad.
Las estrategias didácticas presentadas, más bien a modo de sugerencias, son las que mayor
consenso tienen entre los docentes de estadística aplicada y procuran favorecer la comprensión
significativa de los conceptos y el desarrollo del pensamiento probabilístico; observando,
principalmente, lo postulado por Garfiel (1995) respecto a no caer en la tendencia de enseñar
algoritmos, procedimientos mecánicos e incluso demostraciones de teoremas innecesarios que
desvirtúan el sentido de la asignatura que es: desarrollar la cultura estadística.
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Paraná, Entre Ríos. Argentina. Nacida en Paraná, el 3 de mayo de 1968. Bioquímica, Especialista en
Estadística, Master en Didáctica. Profesor de las asignaturas: Bioestadística del Profesorado en Biología y
de la Licenciatura en Biología. Directora del Gabinete de Asesoramiento Estadístico para tesinas e
investigaciones de la FCyT. Profesor responsable permanente de Estadística de la carrera de posgrado
Maestría en Geomática aplicada a la gestión de riesgos ambientales de la FCyT. Publicaciones sobre
didáctica de la Estadística: Obstáculos epistemológicos en el aprendizaje significativo de los test
estadísticos en las ciencias experimentales (Revista Bilateral Brasil Argentina, 2012); Hacia un
aprendizaje significativo de los test de hipótesis (Revista Anual de la Facultad de Bioquímica y Ciencias
Biológicas, 2011); Adecuación de la asignatura Estadística al perfil del alumno de la Licenciatura en
Nutrición (Revista Aula Universitaria, 2010).
Email: [email protected]
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ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 31-53
Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
Víctor Ignacio Espíritu Montiel y Catalina Navarro Sandoval
(Universidad Autónoma de Guerrero. México)
Fecha de recepción: 29 de enero de 2014
Fecha de aceptación: 29 de agosto de 2014
Resumen
En este documento se propone una alternativa para el cálculo de límites indeterminados
mediante el uso de tablas de valores y gráficas, dirigida a alumnos del Nivel Medio
Superior (cuyas edades oscilan entre 17 y 18 años). Para esto, nos hemos dado a la tarea
de analizar investigaciones considerando los aspectos histórico-epistemológico, didáctico
y cognitivo. Así mismo, se elaboró un cuestionario preliminar con el objetivo de indagar
sobre los procedimientos que usan los alumnos al resolver límites indeterminados, una
vez aplicado y analizados los resultados, se identificaron diversas problemáticas y con
base en éstas se diseñó una propuesta didáctica atendiendo en particular el cálculo de
límites indeterminados, presentando también en este escrito, los resultados de la puesta
en escena.
Palabras clave
Límite, indeterminado, función, tabla de valores, gráfica.
Title
Indeterminate limits through using tables of values and graphs
Abstract
This document proposes an alternative for calculating indeterminate limits through using
tables of values and graphs, to pre-university students (aged between 17 and 18 years).
For this, we have been given the task of analyzing research considering the historicalepistemological aspects, didactic and cognitive. Furthermore, was elaborated a
questionnaire preliminary with the objective of exploring the procedures used by students
to solve indeterminate limits, once applied and analyzed the results, we identified various
problematic and according to these was designed a didactic proposal covering in
particular the calculation of indeterminate limits, also presented in this paper, the results
of the staging.
Keywords
Limit, indeterminate, function, table of values, graph.
1. Introducción
El concepto límite es fundamental en el estudio del Cálculo, además, es propio del tipo de
pensamiento requerido para el estudio de Matemáticas avanzadas. Es decir, el estudio y trabajo de este
concepto dentro del cálculo es la base para la Matemática básica de grados más avanzados. El
concepto límite de una función en un punto forma parte de los contenidos que deben ser abordados
desde el Nivel Medio Superior (NMS) en la escuela mexicana. Este concepto es esencial ya que ocupa
una posición central en el campo conceptual del Cálculo Diferencial e Integral, así como en la Teoría
de Aproximaciones y la Continuidad. Su complejidad resulta ser fuente de dificultades tanto para la
enseñanza como para el aprendizaje (Ferrante, 2009, pp.2).
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Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
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Cabe señalar que existe una diversidad de investigaciones respecto del concepto límite, sin
embargo, el proceso de enseñanza-aprendizaje (e-a) sigue siendo tema de preocupación, debido a que
las dificultades siguen estando presentes en la mayoría de los aprendices. En este sentido, nuestro
trabajo se centra en atender la manera de calcular límites indeterminados por parte de los alumnos de
NMS ya que éste es uno de los objetos de aprendizaje en este nivel, de acuerdo a lo citado en los
Planes y Programas de Estudio de la escuela mexicana.
En general este trabajo está constituido por antecedentes en los que se consideran aspectos
histórico-epistemológicos, didácticos y cognitivos, con la intención de mirar lo que han atendido ya
algunas investigaciones reportadas sobre el tema de interés, así mismo, éstos son parte de la etapa del
análisis preliminar de la Ingeniería Didáctica (ID), esta última es la metodología a usar en el presente
trabajo de investigación. En general los antecedentes permitieron identificar diversas problemáticas en
cuanto al tema de límite, al mismo tiempo permitieron especificar el problema a estudiar y el objetivo
de la investigación. Con base en el problema y el objetivo, la teoría idónea a usar es la Teoría de
Situaciones Didácticas (TSD) y la metodología la ID, de las cuales se presenta un esbozo en este
reporte. Se presenta también el diseño de la propuesta didáctica, se describe la puesta en escena y los
resultados obtenidos.
2. Antecedentes
2.1. Desarrollo Histórico-Epistemológico
En primer lugar se presenta una reseña histórica del concepto límite, considerando el origen y
evolución a lo largo de su desarrollo. Esta evolución está dividida en tres etapas, las que se diferencian
por la concepción de límite que subyace en cada una. A lo largo de la evolución de este concepto, se
observa claramente la necesidad de explicar y formalizar la noción para validar resultados obtenidos y
para demostrar otros más generales (Ferrante, 2009, pp. 03-10).
Primera etapa: Primera mitad del siglo XVIII
En esta etapa emerge una idea intuitiva del proceso del concepto límite, pues aun no existía el
concepto como tal, ya que ni siquiera se había explicitado el concepto de función, pero apareció como
proceso implícito en algunos métodos para resolver problemas de velocidad, tangentes a curvas,
cálculo de áreas. Sin embargo, estos métodos funcionaban de manera separada, faltaba algo que los
armonizara y además les diera el carácter de universalidad, faltaba el concepto límite. Newton (16481727), en 1704 en su obra Tractatus Quadratura Curvarum explicó el método de las razones primeras y
últimas, en la que el incremento de la variable se desvanece, lo que supone la explicación de una idea
de límite un tanto metafísica. En su obra Principia Mathematica Newton aclaró el concepto límite:
"Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen
continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más
que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales". Por otra parte, Leibnitz (1646-1716) con
su teoría sobre las Diferenciales, se dio cuenta que la pendiente de la tangente a una curva depende de
la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando estas diferencias se hacen
infinitamente pequeñas. La noción de límite se encuentra implícita, se nota una evolución pasando de
ser una noción a una herramienta para resolver problemas, pero esta idea de límite como aproximación
no era suficiente. Dado que en esta etapa se trabajó más con problemas de índole geométrico por lo
que la concepción que subyace de límite es de tipo geométrica.
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Segunda etapa: Segunda mitad del siglo XVIII
Los matemáticos del siglo XVIII necesitaban una idea clara del concepto función para poder
extender las operaciones a un mayor número de funciones, no se dieron cuenta de la necesidad del
concepto límite. Euler (1707-1743) estudió los procesos infinitos, se planteó la regularidad de las
funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones
elementales. D'Alembert (1717-1783) creó la teoría de los límites, en el tomo IX de la Encyclopédie,
escribe la siguiente definición de límite: “Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando
la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la
pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la
cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea
absolutamente inasignable”. Tiempo después, Lagrange (1736-1813) trabajó en el desarrollo de
funciones en series de potencias, los resultados que consiguió le hicieron creer que se podían evitar los
límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia
de las mismas necesitaba del concepto de límite. En esta etapa el concepto límite resultó ser más
intuitivo, aun no servía de apoyo para resolver problemas más avanzados, no se dieron cuenta que en
la resolución de diversos problemas el concepto límite estaba ahí y que solamente hacía falta en dicho
concepto el carácter de generalidad.
Tercera etapa: finales del siglo XVIII y comienzos del siglo XIX
En estos años las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad de
construir la teoría de límites, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función,
la aparición de nuevos problemas matemáticos y la evolución de la enseñanza de las matemáticas.
Cauchy (1789-1857) retoma el concepto de límite de D'Alembert, dándole un carácter más aritmético,
pero aún impreciso. La definición que propone es la siguiente: “…, cuando los sucesivos valores que
toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir
de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás”.
Weierstrass (1815-1897) da una definición satisfactoria del concepto límite, una definición métrica,
puramente estática: "Si, dado cualquier  , existe un n0 , tal que para 0  n  n0 , la diferencia
f ( x0  n)  L es menor en valor absoluto que  , entonces se dice que L es el límite de f ( x ) para
x  x0 " (Ferrante, 2009). En esta etapa el concepto límite, formaba parte de la estructura matemática y
sirvió de soporte para otros conceptos, tales como: continuidad, derivada e integral.
2.2. Aspectos Didácticos
Con el objetivo de identificar en que semestre se aborda el concepto límite y cuáles son los
contenidos que involucra, se realizó un análisis de los Planes y Programas de Estudio de Matemáticas
del Bachillerato Tecnológico en México. De igual manera, se revisaron al menos tres libros de texto de
matemáticas sugeridos en la bibliografía del plan y programa antes mencionado, con la intención de
mirar cómo se presenta el concepto límite en los mismos, retomando información de dos libros más
reportados en López (2011), correspondientes al Nivel Superior. A continuación se muestra lo
encontrado en cada uno de los documentos mencionados.
2.2.1. Planes y Programas de Estudio
En los Planes y Programas de Estudio de Matemáticas del Bachillerato Tecnológico se encontró
que el concepto límite se aborda en el quinto semestre en la asignatura Cálculo Diferencial,
específicamente en la unidad III. La secuencia de los temas que se abordan en este semestre es:
función, límite y derivada. El curso de Calculo Diferencial está distribuido en cuatro bloques, el
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concepto límite se incluye en el bloque II “Resuelves problemas de límites en situaciones de carácter
económico, administrativo, natural y social” (para el cual están destinadas 15 horas), es aquí donde se
trabaja con límites indeterminados. El objetivo general del bloque II es buscar que el alumno resuelva
problemas sobre límites en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; mediante el
análisis de tablas, gráficas y la aplicación de propiedades de los límites. Los objetos de aprendizaje
para este bloque son:
 Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones
algebraicas.
 El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.
Cabe resaltar que en los Planes y Programas de Estudio del NMS indican primero el trabajo con
el tema de límite y posteriormente con el tema de derivada, sin embargo, en la primera parte de este
escrito se menciona que históricamente el concepto de derivada se trabajó antes de que se formalizara
por completo el concepto de límite. Es decir, es evidente un cambio en la secuencia de presentación de
las temáticas (derivada y límite) entre lo declarado históricamente con lo declarado en los Planes y
Programas de Estudio vigentes en México.
En particular en este trabajo interesó trabajar la temática de límites tal y como se presenta en los
planes y programas de estudio del NMS en México, en particular límites indeterminados, así mismo se
tomó en cuenta que los alumnos no tenían conocimiento acerca de derivadas.
2.2.2. Libros de Texto
Para el desarrollo de este trabajo fue necesario realizar un análisis de algunos libros de texto, ya
que éstos son el apoyo principal tanto para el profesor en la enseñanza como para el alumno en su
aprendizaje y guía las actividades que se realizan en el aula, dado que éstos son la herramienta más
cercana con la que cuentan dichos actores, más de lo que se dice o se indica en los Planes y Programas
de Estudio.
Los libros analizados del NMS fueron: Anfossi y Flores (2006); Cuellar (2006) y Almazán,
Espinosa, Fitz y Rodríguez (2005). En estos libros observamos que proponen problemas que pudieran
desarrollar ideas intuitivas respecto del concepto límite, posteriormente hacen aclaraciones sobre la
notación y por último presentan la definición de límite apoyándose del concepto de vecindad. En el
libro de Almazán et al. (2005) además de ésta definición también presenta otra definición con mayor
rigor matemático donde usan  y  .
Figura 1. Cuellar (2006)
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Cabe señalar que estos libros proporcionan ejemplos de cómo se utiliza la definición de límite
en funciones racionales, los tres coinciden en realizarlo de manera algebraica, pero Almazán et al.
(2005) y Cuellar (2006) van más allá de lo tradicional, dado que proponen el uso de tablas de valores y
gráficas. Ver figura 1 y figura 2.
Figura 2. Almazán et al. (2005)
Por otro lado, respecto de los libros del Nivel Superior como ya se mencionó, la información
fue retomada de López (2011); los libros son: Stewart (2002) y Spivak (1992). En el primero se
presenta el tema de límite de manera algebraica y de manera gráfica, igualmente, proporciona el uso
de tablas de valores. Mientras que en el segundo se presentan gráficas para generar una idea de límite,
posteriormente profundiza con la definición de límite y su aplicación en funciones algebraicas, pero el
lenguaje matemático que utiliza es más complejo (López, 2011, pp. 54-62).
Como se puede observar de los cinco libros de texto, tres corresponden con lo declarado en los
Planes y Programas de Estudio de NMS en México con lo que respecta al tema de límite. Uno de estos
libros corresponde al Nivel Superior el cual podría servir de apoyo a los profesores de NMS para
abordar este tema. En la siguiente tabla se muestran las definiciones de límite que proporcionan estos
libros de texto:
Libro
Definición de Límite
Definición de límite de un función: Si f es la función, decimos que lim f ( x )  A
xa
Almazán et al.
(2005)
si el valor de f(x) se aproxima    al valor A, cuando x toma valores cada vez
más cercano al de a .
Definición de límite con más rigor matemático: lim f ( x )  A si y solo si para
xa
cualquier número positivo elegido  , por pequeño que sea, existe un número
positivo  tal que, siempre que 0  x  a   , entonces f ( x)  A   .
Cuellar (2006)
Definición del concepto límite: Se dice que una variable “ ” tiende a la constante
L como límite, cuando los valores sucesivos de “ ” son tales que la diferencia
  L  puede llegar a ser menor que cualquier número infinitesimal positivo,
denotado por “  ”, prefijado tan pequeño como se quiera. La relación anterior se
denota por “  L ” y se lee “ tiende al límite L” o simplemente “ tiende a L”
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Intuitivamente podemos escribir que si una función f(x) se aproxima a un valor
único L cuando x se aproxima a un número c tanto por la derecha como por la
izquierda, entonces diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L y lo
denotamos por: lim f ( x )  L .
x c
Límite de una función: lim f ( x )  L límx→a f(x) = L y se dice “el límite de f(x) es
xa
Stewart (2002)
igual a L cuando x tiende a a ” si podemos acercar arbitrariamente los valores de
f(x) a L (tanto como queramos) aproximando x a a ” pero sin igualar a a .
Definición precisa de límite: Sea f una función definida en un intervalo abierto
que contiene al número a , excepto quizá a a mismo. Se dice que el límite de f(x)
es L, cuando x tiende a a y se escribe lim f ( x )  L , si para cada número   0
xa
hay un número correspondiente   0 tal que
f ( x)  L   siempre que
0 xa 
Tabla 1. Definición de límite
2.3. Concepciones de los Alumnos Sobre el Límite
Es abundante la información que la investigación y la reflexión teórica en Didáctica de la
Matemática han proporcionado respecto a las dificultades que se presentan en la adquisición del
concepto límite. Por ejemplo, Sierpinska (1985) señala cinco clases de obstáculos: los ligados al
concepto infinito, los que se refieren al concepto función, los relacionados con la intuición geométrica,
los estrictamente lógicos asociados al uso de cuantificadores y finalmente, los que tienen que ver con
el uso de símbolos. Por otra parte, Artigue (1995) señala otra dificultad, donde se observa la doble
naturaleza, estructural y operacional, que tiene el concepto límite, que consiste en mostrar que en la
definición formal de límite se concibe un solo proceso, mientras que en las producciones de los
alumnos se dejan ver dos, uno que se efectúa sobre la variable y otro sobre los valores de la función.
Para indagar sobre los procedimientos que usan los alumnos al resolver límites indeterminados,
se diseñó un cuestionario1 el cual está constituido de nueve preguntas, en éstas se consideraron el
cálculo de límites de manera algebraica, usando tablas de valores y gráficas. Las primeras dos
preguntas involucran la simbología x  L , la tercera implica el uso de una tabla de valores respecto
de una función para determinar el comportamiento de su imagen, la cuarta, quinta, sexta y octava
permiten observar los procedimientos de los alumnos al calcular límites de funciones. La séptima y la
novena involucran al cálculo de límites dada la gráfica de la función.
El cuestionario se aplicó a un grupo de 23 alumnos de tercer año de NMS, de un Colegio de
Bachilleres ubicado en la zona centro del estado de Guerrero, México. Cabe señalar que estos alumnos
ya habían trabajado con el tema de límite. A continuación se presentan algunos resultados:
Preguntas 1 y 2: Con estas preguntas se quiso observar que tan familiarizados estaban los
alumnos con la notación x  L , en sus producciones se observó que la mayoría está familiarizada con
dicha notación, pero no comprenden su significado (ver figura 3).
1
El cuestionario se muestra en el anexo 1.
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Figura 3. Preguntas 1 y 2
Pregunta 3: el objetivo de esta pregunta fue que los alumnos al llenar la tabla de valores donde la x
está dada, determinaran cierta tendencia en los valores de f ( x ) . En sus producciones pudimos
observar que la mayoría de ellos no logran mirar esta tendencia, es decir, no lograron ver que f ( x ) se
acerca a 3 cuando los valores de x se acercan a 2, tanto por la izquierda como por la derecha (ver
figura 4).
Figura 4. Pregunta 3
Preguntas 4, 5, y 6: con estas preguntas se pretendía saber qué métodos utilizan los alumnos
para calcular un determinado límite. De acuerdo a las producciones notamos que todos utilizaron el
método de sustitución para el cálculo de los límites indicados (ver figura 5).
Figura 5. Preguntas 4, 5 y 6
Pregunta 8: El objetivo de esta pregunta fue mirar si los alumnos hacían uso de otros métodos
para calcular límites, ya que si empleaban el método de sustitución llegarían a resultados
indeterminados. De acuerdo con las producciones de los alumnos, se pudo observar que ningún
alumno hizo uso de otro método para el cálculo de los mismos (ver figura 6).
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Figura 6. Pregunta 8
Preguntas 7 y 9: El objetivo de estas preguntas fue observar si los alumnos estaban
familiarizados con el cálculo de límites empleando gráficas de algunas funciones. De acuerdo con lo
realizado por ellos, notamos que en esta parte se presentaron mayores dificultades, ya que no se
identificaron procedimientos donde se observará el apoyo en los gráficos proporcionados, para el
cálculo de límites (ver figura 7).
Figura 7. Preguntas 7 y 9
Los resultados de este cuestionario, muestran la existencia de dificultades para involucrar a la
vez, aspectos algebraicos, el uso de tablas de valores y gráficas de parte de los alumnos al calcular
límites indeterminados, tal y como se declara en los Planes y Programas de Estudio del NMS. Así
mismo, se observó también, que hay dificultades para usar tanto tablas de valores como gráficos, por
separado, para calcular dicho tipo de límites. Finalmente se observó que el grupo explorado abusa del
uso del algoritmo de sustitución para calcular límites, en consecuencia, el cálculo de límites
indeterminados se complica aún más.
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3. Problema de investigación
Con base en los apartados anteriores, podemos señalar que existen diversas problemáticas
referentes a la e-a del tema de límite, lo cual conllevaría a una investigación extensa para trabajar con
todos ellos. Nosotros nos ocuparemos solamente del siguiente problema específico:
Existen dificultades en alumnos del NMS al calcular límites indeterminados que
involucran a su vez procedimientos algebraicos, el uso de tablas de valores y gráficas.
Objetivo
Por lo que interesa formular y valorar una propuesta didáctica que permita desarrollar en
alumnos de NMS la capacidad-habilidad de calcular límites indeterminados aplicando procedimientos
algebraicos y haciendo uso de tablas de valores y gráficas.
4. Marco Teórico y Metodología
La teoría que sustenta nuestro trabajo de investigación es la TSD y la metodología a usar es la
ID, ya que ambas nos conducen a cumplir el objetivo de nuestra investigación.
Por una parte, la TSD desarrollada por Guy Brousseau, aparece como un medio privilegiado,
tanto para comprender lo que hacen los profesores y los alumnos, cómo para producir problemas o
ejercicios adaptados a los saberes y a los alumnos. Brousseau (1986), parte de ideas Piagetianas
respecto de la construcción del conocimiento por parte de un sujeto, él cree que el alumno aprende,
adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios. Este saber,
fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje (Brousseau, 1986, pp. 41-43).
Por otra parte, la ID permite construir lo que se denomina génesis artificial de un saber, en este
génesis artificial se busca el camino más rápido y seguro para que el alumno construya con sentido un
concepto matemático, evitando los retrocesos y estancamiento que históricamente hayan podido
producirse, y reordenando los procesos de construcción de ese saber de acuerdo con pautas didácticas,
haciendo su transposición didáctica de la manera más rigurosa posible, desde un punto de vista
epistemológico (Chamorro, 2006, pp. 50-52).
4.1. Teoría de Situaciones Didácticas
De acuerdo a Brousseau (1986) una situación a-didáctica es aquella en la cual el alumno por
iniciativa propia enfrenta cierto problema por sí solo, es decir, el alumno sólo habrá adquirido
verdaderamente el conocimiento cuando sea capaz de ponerlo en acción, en situaciones que encontrará
fuera de todo contexto de enseñanza, y en ausencia de cualquier indicación intencional. Una situación
didáctica tiene la intención de que el alumno construya un conocimiento matemático específico, y
nada mejor para ello que tal conocimiento aparezca a los ojos del alumno como la solución óptima del
problema que se va a resolver. Dicha construcción depende de las actividades que desempeñan tanto el
alumno como el profesor y va más allá de la idea de mera actividad práctica. Las situaciones
didácticas se clasifican en situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización.
Situación de acción, aquí se genera la interacción entre el alumno y el medio físico. El alumno
debe tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema
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planteado. En esta fase el alumno se envía un mensaje así mismo mediante los ensayos y errores que
hacen para resolver el problema.
Situación de formulación, cuyo objetivo es el intercambio de informaciones, con uno o varios
alumnos. Para esto, deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y
adecuándolo a las informaciones que desean comunicar, lo cual admite la producción de un lenguaje,
mismo que a su vez permite la generación de un modelo explícito.
Situación de validación, aquí es donde los alumnos deben justificar y validar sus estrategias
puestas en marcha, para esto ellos elaboran pruebas para demostrar sus afirmaciones y de esa forma
convencer a uno o varios compañeros de la validez de las afirmaciones que se hacen.
Situación de institucionalización, ésta situación está bajo la responsabilidad del profesor, en esta
situación los alumnos asumen la significación socialmente establecida del conocimiento que ha sido
elaborado por ellos en las situaciones de acción, formulación y validación.
4.2. Ingeniería Didáctica
De acuerdo a Douady (1995) una ID es un conjunto de secuencias de clase diseñadas,
organizadas y articuladas coherentemente por un “profesor-ingeniero”, para lograr el aprendizaje de
cierto conocimiento en un grupo de alumnos específico. El diseño y la organización de situaciones
didácticas, es el objeto de la ID. Su nombre evoca la necesidad de controlar herramientas
profesionales, para producir secuencias de aprendizaje con ciertas garantías de éxito.
La ID será la metodología que nos conduzca a determinar aquellos elementos que serán
esenciales para el logro del objetivo de nuestro trabajo de investigación. Son cuatro las fases
fundamentales que se distinguen en la elaboración de una ID, estas son:




Análisis preliminar
Diseño y análisis a-priori
Experimentación
Análisis a-posteriori y validación
En el análisis preliminar, se analizan y determinan, desde una aproximación sistémica,
dimensiones epistemológicas: el desarrollo histórico del concepto a tratar. Didácticas: como y cuando
se debe de enseñar el concepto de acuerdo al sistema educativo. Y cognitivas: las concepciones de los
alumnos, sus dificultades y obstáculos que enfrentan para apropiarse del concepto.
En el diseño y análisis a-priori, se decide sobre que variables didácticas son pertinentes y sobre
cuales se actuará. Con esto se hace un análisis de restricciones y se determinan las variables de control
y se define la forma en que las mismas serán gestionadas. El objetivo del análisis a priori es
determinar el comportamiento posterior de los alumnos, las selecciones hechas y su significado, este
análisis se basa en la hipótesis “qué esperamos que suceda”. Este análisis debe constar de una parte
tanto descriptiva como predictiva. Una vez determinadas las variables didácticas y establecido el
objetivo, se pasa al diseño de la propuesta didáctica la cual debe crear un medio propicio para que el
alumno acepte la “invitación” al juego y se sienta desafiado a apropiarse del saber puesto sobre la
mesa.
Experimentación, esta fase se lleva acabo con una cierta población de alumnos, en la cual el
profesor implementa la propuesta didáctica y realiza los ajustes y adaptaciones necesarios según la
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dinámica de la clase lo exija, así como también observa y recolecta información útil para su posterior
análisis.
Análisis a-posteriori y validación, esta fase se basa en el conjunto de datos recolectados a lo
largo de la experimentación y de las producciones de los alumnos. Consiste en una exhaustiva revisión
de los sucesos ocurridos en la puesta en escena de la propuesta didáctica, es en esta etapa que se
confrontan las hipótesis definidas en el análisis a priori y se determina en qué medida las expectativas
fueron alcanzadas o cuánto se desvían de los resultados que se esperaban. De esta confrontación entre
los análisis a priori y a posteriori surge la fase de validación de la propuesta didáctica. En dicha
validación se confronta lo esperado y lo que se obtuvo en realidad.
5. Propuesta Didáctica
Dentro de la investigación desarrollada nos planteamos formular y valorar una propuesta
didáctica2, en la cual fueron consideradas cada una de las fases de la ID. Esta propuesta está
constituida por cinco actividades, las cuales en conjunto conducen a desarrollar en alumnos de NMS la
capacidad-habilidad de calcular límites indeterminados aplicando procedimientos algebraicos y
haciendo uso de tablas de valores y gráficas. Dicha propuesta está pensada para desarrollarse en dos
sesiones, en la primera se trabajarán las tres primeras actividades y en la segunda las dos restantes.
5.1. Diseño
A continuación se describe la fase de diseño y análisis a-priori de la ID, considerando cada una
de las actividades que constituyen la propuesta didáctica así como los objetivos que se persiguen en
cada una. Se mencionan también, las variables didácticas tomadas en cuenta y lo que se espera que los
alumnos realicen en las mismas.
En la actividad I se propone el cálculo de ciertos límites, donde se busca que los alumnos usen
el método por sustitución y obtengan la forma indeterminada 0 . Esta actividad corresponde a la
0
situación de acción en la que se genera una interacción entre el alumno y el cálculo de límites.
Posteriormente se integrarán equipos, en los que se consideran procedimientos diferentes (para generar
discusión entre los integrantes) realizados por los alumnos, para poder integrar los mismos.
En la actividad II se considera la situación de formulación, en ésta los alumnos trabajarán en
binas con la intención de intercambiar ideas, de forma tal que, los alumnos se darán cuenta que existen
otros métodos para el cálculo de límites, tales como, el uso de tablas de valores y gráficas. En esta
actividad las variables de control serán los diferentes valores que toma x al acercarse a un número.
Tanto en esta actividad como en la IV se involucra intuitivamente a la noción de límite como un
proceso de aproximación entre cantidades, optamos por considerar esta manera ya que el desarrollo
histórico de este concepto inicia con ideas muy intuitivas y las concepciones de Newton, D'Alembert y
Cauchy sobre el límite eran precisamente como aproximación entre cantidades.
La actividad III consiste en confrontar los resultados obtenidos en las actividades I y II, cuyo
objetivo es que el alumno compruebe y mire que algunos límites “indeterminados” en realidad no lo
son y sí tienen límite, y para ello se usarán como apoyo tablas de valores y gráficas, las variables de
2
En el anexo 2 se encuentra la propuesta didáctica.
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control son las funciones algebraicas de la forma p( x )
, que al factorizar se cancela el
q( x )
denominador. Esta actividad corresponde a la situación de validación ya que los alumnos tratan de
convencer a uno o varios compañeros en la validez de sus resultados.
Posteriormente se realiza la situación de institucionalización, en la que el maestro formaliza lo
trabajado en las actividades anteriores, es decir, se explica cómo se calcula el límite indeterminado de
una función mediante el uso de tablas de valores y gráficas y la relación de éstas con el procedimiento
algebraico. Para esto se considera o retoman resultados acertados de los mismos alumnos que se
presentaron durante las situaciones de acción, formulación y validación.
La actividad IV, tiene como objetivo que el alumno aplique lo realizado en las actividades
anteriores, es decir, que determine la existencia o no del límite de una función, al completar y
posteriormente analizar tanto la tabla de valores como la gráfica correspondiente. El trabajo a realizar
es en binas para que los alumnos intercambien ideas para resolver la actividad.
La actividad V consiste en confrontar los resultados obtenidos en la actividad IV con los
obtenidos en la actividad I, el objetivo de esta actividad es que el alumno compruebe y mire que la
existencia del límite de una función se puede determinar mediante el comportamiento de su tabla de
valores o su gráfica.
Por último, nuevamente se recurre a la situación de institucionalización, en donde el maestro
formaliza lo trabajado en las actividades IV y V, explicando cómo se determina la existencia o no del
límite de una función mediante el uso de tablas de valores y gráficas. Ver la propuesta completa en el
anexo II.
5.2. Puesta en Escena y Resultados
En este apartado se muestran conjuntamente las fases de experimentación y análisis a-posteriori
y validación que señala la ID. En cuanto a la experimentación ésta se llevó acabo con ocho alumnos de
NMS que cursaban el tercer año en un Centro de Bachillerato Tecnológico industrial y de servicio
(CBTis) ubicado en la zona centro del estado de Guerrero, México. Como se tenía pensado, la puesta
en escena se llevó acabo en dos sesiones; a continuación se describe lo ocurrido en cada una de estas.
Figura 8. Actividad I
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En la sesión 1: se desarrolló el trabajo de las tres primeras actividades de la propuesta, en la
actividad I, la mayoría de los alumnos realizaron el cálculo de los límites por medio de la sustitución
(ver figura 8), a excepción de uno que realizó la factorización. Una vez terminada esta actividad el
maestro formó binas para trabajar con la actividad II, cabe señalar que al alumno que realizó la
factorización se le pidió trabajar con uno que presentó mayores dificultades en el cálculo de los
límites.
Una vez formadas las binas se les proporcionó la actividad II, la cual está constituida por una
parte tabular y otra gráfica. Respecto a la parte tabular, algunos alumnos tuvieron dificultades en el
uso de la calculadora para el rellenado de la tabla, por lo cual fue necesario orientarlos. Durante el
desarrollo no se presentó mayor dificultad, debido a que los alumnos se apoyaron de la tabla de
valores para concordar que la función g(x) se acercaba a 12 cuando x tomaba valores cercanos a 2, por
lo cual dedujeron que el límite de la función era 12 (ver figura 9). Para los que no tenían claro esto, fue
necesario hacer uso de las variables de control, es decir, se les dijo que le dieran valores cada vez más
cercanos a 2, por ejemplo 1.9999, 2.0001 y que observaran que pasaba con el valor de g(x).
Figura 9. Actividad II, tabla de valores
Con respecto a la parte gráfica, los alumnos dedujeron que el límite de la función cuando
x  2 es 12 esto con el apoyo de la gráfica de la función. Algunos alumnos tuvieron dificultades al
inicio para saber qué valor le corresponde a g ( x ) , para ello se les indicó que se apoyaran con trazos
auxiliares (ver figura 10). El objetivo de esta actividad no se cumplió del todo, ya que un equipo no
logró comprender que el límite de una función puede existir en un punto aunque en ese punto la
gráfica no sea continua (ver figura 11). Esto deja ver algunas concepciones erróneas que tienen ciertos
alumnos sobre los conceptos de límite y continuidad.
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Figura 10. Actividad II, gráfica
Figura 11. Actividad II, gráfica
En la actividad III, los alumnos confrontaron lo que hicieron en la actividad I y II, con lo cual se
dieron cuenta que la función del inciso (c) de la actividad I y las funciones (de la tabla y gráfica) de la
actividad II eran las mismas, por lo cual se les pidió que compararan los límites y emitieran una
conclusión respecto al verdadero límite de la función (ver figura 12). El objetivo de esta actividad se
cumplió ya que los alumnos se dieron cuenta que es válido identificar la tendencia del límite de una
función mediante el uso de gráficas y/o por el comportamiento en su tabla de valores.
Figura 12. Actividad III
Posterior a esto se realizó la institucionalización por parte del profesor, donde se retomaron
cosas interesantes ocurridas durante la realización de las tres actividades y con ello, indicar al alumno
que la tendencia de límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores, o mediante su gráfica,
es otra opción o recurso del que se pueden apoyar para encontrar o resolver limites indeterminados,
además, de no dejar de lado los procedimientos algebraicos.
En la sesión 2: se desarrollaron las dos actividades restantes de la propuesta, en la actividad IV
los alumnos continuaron trabajando en binas, está actividad se constituye por una parte tabular y otra
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gráfica. Respecto a la parte tabular, los alumnos lograron deducir (con el apoyo y análisis de la tabla
de valores) que el límite de la función no existe (ver figura 13). En esta parte no se logró que los
alumnos observaran que por la derecha y por la izquierda f ( x ) tiende a  y  , respectivamente
cuando x  1 , es necesario modificar las preguntas o agregar otras más.
Figura 13. Actividad IV, tabla de valores
Con respecto a la parte gráfica, los alumnos apoyándose de la gráfica de la función pudieron
observar que el límite no existe (ver figura 14). El objetivo de esta actividad se cumplió, debido a que
los alumnos lograron deducir que el límite de las funciones no existía al recurrir al uso y análisis tanto
de tablas de valores como de gráficas.
Figura 14. Actividad IV, gráfica
En la actividad V, los alumnos confrontaron el resultado del inciso (d) de la actividad I con lo
que obtuvieron en la actividad IV, se les pidió que compararan los límites y emitieran una conclusión
respecto a la existencia o no del límite de la función (ver figura 15). El objetivo de esta actividad se
cumplió ya que los alumnos lograron identificar la existencia o no del límite de una función mediante
el uso de gráficas y/o por el comportamiento en su tabla de valores.
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Figura 15. Actividad V
Por último, se realizó la situación de institucionalización por parte del profesor, donde se
retomaron cosas interesantes ocurridas durante la realización de las dos actividades y con esto, indicar
al alumno que la existencia de límites indeterminados se puede determinar mediante un análisis del
comportamiento de su tabla de valores, o mediante la visualización de su gráfica.
6. Conclusiones
En esta investigación, el objetivo principal fue formular y valorar una propuesta didáctica que
contribuyera al desarrollo de la habilidad-capacidad, de calcular límites indeterminados haciendo uso
de tablas de valores y gráficas, de alumnos de NMS de la educación mexicana. Pero, a lo largo de
dicha investigación resultaron ciertos aspectos que nos parecen importantes resaltar, estos son:



La evolución histórica del concepto límite ha llevado un largo tiempo para llegar a su
formalización. Observamos que este concepto no se desarrolló de forma independiente, ya que
fue necesario de otros conceptos tales como, función, continuidad, infinito; para lograr su
comprensión. Consideramos que es una verdadera proeza enseñar todo lo que implica el
proceso de formación del concepto límite en unas cuantas clases, ya que generaciones de
grandes matemáticos dedicaron mucho tiempo para poder desarrollar y entender dicho
concepto.
Se identificó, en algunos libros de texto, que en la presentación del concepto límite prioriza lo
algebraico, mientras que los aspectos gráfico y tabular casi no son considerados. Creemos que
este hecho favorece, que en su mayoría los alumnos, recurran a la aplicación del método de
sustitución para calcular límites, lo cual agrava el problema cuando se encuentran con límites
indeterminados.
De los mismos resultados presentados, creemos que involucrar el uso de tablas de valores y
gráficas, en el cálculo de límites, podría ayudar al alumno a desarrollar ideas intuitivas al
calcular los mismos y con ello saber identificar cuando un límite es indeterminado o no.
Con respecto a la propuesta didáctica podemos decir que el objetivo se cumplió en gran medida,
ya que al analizar las producciones de los alumnos, la mayoría de participantes lograron desarrollar la
capacidad-habilidad para calcular límites indeterminados haciendo uso de tablas de valores y de
gráficas, sin dejar de lado los métodos algebraicos. Sin embargo, nos damos cuenta que algunas
preguntas planteadas en las actividades pueden ser mejoradas o ser replanteadas (por parte del
profesor) de acuerdo a las problemáticas presentes en los alumnos y con ello lograr una mejor
comprensión del tema en juego.
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Víctor Ignacio Espíritu Montiel. Nació en Chilpancingo de los Bravo, Guerrero, México, el día 26 de
abril de 1987. Es licenciado en Matemáticas, actualmente es estudiante de la maestría en Ciencias, Área:
Docencia de la Matemática, de la Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de
Guerrero (UAGro).
Catalina Navarro Sandoval. Nació en la Ciudad de México, el día 30 de marzo de 1977. Es maestra en
Ciencias, en el área de Matemática Educativa por CINVESTAV-IPN, actualmente es profesora de Nivel
Superior (licenciatura y posgrado) de la Unidad Académica de Matemáticas, de la Universidad Autónoma
de Guerrero (UAGro).
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Anexo I (Cuestionario-Cognitivo)
Analiza cada uno de los siguientes enunciados y contesta lo que se te pide.
1.- Cuando se dice que “x se acerca al número L” lo que es equivalente a decir que “x tiende al número
L”, en lenguaje algebraico, esto se escribe como:
a) x  L
b) x  L
c) x  L
xL
2.- Para el caso particular cuando L=7, ¿qué entiendes con la frase “x tiende a 7”
𝑥
3.- ¿Qué pasa con f ( x ) cuando el valor de x se acerca a 2 pero
no es igual a dicho número?
Completa la tabla y contesta lo que se te pide:
4.- Calcula el límite de la función 2𝑥 − 5 cuando x tiende a 3.
f ( x)  x 2  1
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.01
2.001
2.0001
2.00001
5.- Describe el procedimiento para calcular el siguiente límite:
lím (𝑥 3 + 2)
𝑥→1
6.- De acuerdo con tu procedimiento descrito en la pregunta anterior calcula el siguiente límite:
lím (𝑥 2 − 1) =
𝑥→2
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7.- Dadas las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) , encuentra el límite de cada una de ellas
cuando 𝑥 tiende a 1
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
8.- Calcular los siguientes límites:
𝑥2 − 9
=
𝑥→3 𝑥 + 3
lím
𝑥2 − 1
=
𝑥→1 𝑥 − 1
lím
9.- De acuerdo con la gráfica calcular los siguientes límites:
lím𝑥→3 𝑓(𝑥) =
lím 𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑥→4
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Anexo II (Propuesta Didáctica)
Actividad I
1.- Calcula los siguientes límites si es que existen:
a) lím𝑥→3 (3𝑥 − 2) =
𝑥 2 +2
)
2𝑥+5
b) lím𝑥→−1 (
=
2𝑥 3 −16
)
2𝑥−4
c) lím𝑥→2 (
2𝑥
)
2𝑥−2
d) lím𝑥→1 (
=
=
2.- ¿Describe cuál fue tu procedimiento para calcular los límites anteriores?
3.- ¿Crees que haya otra forma de calcular límites?
Actividad II
𝑥 3 −8
Dada la función 𝑔(𝑥) = 𝑥−2 completa la siguiente tabla cuando los valores de x se acercan por la
izquierda y por la derecha a 2, pero que nunca son 2.
𝑥
𝑔(𝑥)
1
1.5
1.75
1.999
2.001
2.25
2.5
3
De acuerdo con la tabla anterior, contesta las siguientes preguntas:
4.- ¿A qué valor se acerca 𝑔(𝑥) cuando los valores de x se acercan por la izquierda a 2, pero que nunca
son 2?
5.- ¿A qué valor se acerca 𝑔(𝑥) cuando los valores de x se acercan por la derecha a 2, pero que nunca
son 2?
6.- Cuándo los valores de x se acercan tanto por la izquierda como por la derecha a 2, ¿a qué número
se acerca 𝑔(𝑥)?
Recuerda que en tus clases de Cálculo Diferencial trabajaste con la definición de límite de una función
en un punto, a manera de recordatorio te presentamos dicha definición:
50
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marzo de 2015
NÚMEROS
Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
V. I. Espíritu Montiel y C. Navarro Sandoval
“Sí 𝑓 es una función, decimos que lím𝑥→𝒂 𝑓(𝑥) = 𝐴 si el valor de 𝑓(𝑥) se
aproxima al valor 𝐴, cuando 𝑥 toma valores cada vez más cercanos al de 𝒂”
7.- De acuerdo a las preguntas anteriores, cual es límite de la función 𝑔(𝑥) =
2, es decir, ¿cuál es el
𝑥 3 −8
lím𝑥→2 ( 𝑥−2 )?
𝑥 3 −8
𝑥−2
cuando 𝑥 se acerca
Argumenta tu respuesta.
Observa la siguiente gráfica correspondiente a cierta función 𝑔(𝑥), apóyate de los trazos y nota lo
siguiente:
Si 𝑥 = 0.5, el valor de 𝑔(𝑥) = 5.25
Si 𝑥 = 3.5, el valor de 𝑔(𝑥) = 23
𝑔(𝑥)
Realiza los trazos necesarios para completar los
siguientes enunciados:
Si 𝑥 = 1, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 3, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 1.5, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 2.5, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 1.75, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 2.25, el valor de 𝑔(𝑥) =_______
8.- ¿Qué valor aproximadamente tomará 𝑔(𝑥), cuando 𝑥 = 1.9?
9.- ¿Qué valor aproximadamente tomará 𝑔(𝑥), cuando 𝑥 = 2.1?
10.- De acuerdo a las preguntas anteriores, cual es límite de la función 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 2, es
decir, ¿cuál es el lím𝑥→1 𝑔(𝑥)? Argumenta tu respuesta.
Actividad III
Revisa la actividad I, en la pregunta 1 del inciso (c) nota que corresponde a la misma función que
trabajamos en la actividad II
2𝑥 3 − 16 (2)(𝑥 3 − 8) 𝑥 3 − 8
=
=
2𝑥 − 4
(2)(𝑥 − 2)
𝑥−2
Además la gráfica mostrada en esta actividad también corresponde a esta función,
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Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
V. I. Espíritu Montiel y C. Navarro Sandoval
𝑥 3 − 8 (𝑥)3 − (2)3 (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 22 )
=
=
= 𝑥 2 + 2𝑥 + 4
𝑥−2
𝑥−2
𝑥−2
De acuerdo con esto contesta lo siguiente:
11.- Tu resultado en el inciso (c), coincide con el de las preguntas 7 y 10, es decir, los límites son
iguales. Si, ¿por qué? No, ¿Por qué?
12.- Con base en las actividades anteriores, ¿cuál es el límite de la función 𝑔(𝑥) =
acerca a 2?
lím (
𝑥→2
2𝑥 3 −16
2𝑥−4
cuando 𝑥 se
2𝑥 3 − 16
)=
2𝑥 − 4
Justifica tu respuesta:
Actividad IV
𝑥
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 completa la siguiente tabla cuando los valores de x se acercan por la
izquierda y por la derecha a 1, pero que nunca son 1.
Por la izquierda
𝑥
𝑓(𝑥)
0
0.5
Por la derecha
0.75
0.999
1.001
1.25
1.5
2
De acuerdo con la tabla anterior, contesta las siguientes preguntas:
13.- ¿Qué valor toma 𝑓(𝑥) cuando los valores de x se acercan por la izquierda a 1, pero que nunca son
1?
14.- ¿Qué valor toma 𝑓(𝑥) cuando los valores de x se acercan por la derecha a 1, pero que nunca son
1?
15.- Cuándo los valores de x se acercan tanto por la izquierda como por la derecha a 1, ¿se acerca a
algún número 𝑓(𝑥)?
𝑥
16.- De acuerdo a las preguntas anteriores, ¿existirá el límite de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 cuando 𝑥 se
𝑥
acerca 1?, es decir, ¿el lím𝑥→1 (𝑥−1) existe? Argumenta tu respuesta.
Observa la siguiente gráfica correspondiente a cierta función 𝑓(𝑥), apóyate de los trazos y nota lo
siguiente:
Si 𝑥 = −1, el valor de 𝑓(𝑥) = 0.5
Si 𝑥 = 2, el valor de 𝑓(𝑥) = 2
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NÚMEROS
Límites indeterminados mediante el uso de tablas de valores y gráficas
V. I. Espíritu Montiel y C. Navarro Sandoval
Realiza los trazos necesarios para completar los
𝑓(𝑥)
siguientes enunciados:
Si 𝑥 = 0, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 1.75, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 0.5, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 1.5, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 0.75, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
Si 𝑥 = 1.25, el valor de 𝑓(𝑥) =_______
17.- ¿Qué valor aproximadamente tomara 𝑓(𝑥),
cuando 𝑥 = 0.9?
18.- ¿Qué valor aproximadamente tomara 𝑓(𝑥),
cuando 𝑥 = 1.1?
19.- De acuerdo a las preguntas anteriores, ¿existirá el límite de la función 𝑓(𝑥) =
tiende a 1?, es decir, ¿el
𝑥
lím𝑥→1 (𝑥−1)
𝑥
𝑥−1
cuando 𝑥
existe? Argumenta tu respuesta.
Actividad V
Revisa la actividad I y fíjate en la pregunta 1, en el inciso (d), nota que corresponde a la misma
función que trabajamos en la actividad IV
2𝑥
(2)(𝑥)
𝑥
=
=
2𝑥 − 2 (2)(𝑥 − 1) 𝑥 − 1
Además la gráfica mostrada en esta actividad también corresponde a esta función,
De acuerdo con esto contesta lo siguiente:
20.- Tu resultado en el inciso (d), coincide con el de las preguntas 16 y 19, es decir, los límites son
iguales. Si, ¿por qué? No, ¿Por qué?
2𝑥
21.- Con base a las actividades anteriores, ¿existe el límite de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2 cuando 𝑥 se
acerca a 1?
Justifica tu respuesta:
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53
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 55-74
Los números impares y las potencias de los números naturales
Luis Barrios Calmaestra. (Instituto de Enseñanza Secundaria José de Mora. España)
Fecha de recepción: 29 de septiembre de 2014
Fecha de aceptación: 12 de octubre de 2014
Resumen
Sumando números impares consecutivos se puede obtener cualquier potencia de los
números naturales. Además se pueden distribuir los números impares en figuras y
cuerpos geométricos de forma que los números de dichas figuras o cuerpos verifiquen la
propiedad anterior.
Palabras clave
Divulgación, Aritmética, Números impares, Destrezas, Secundaria.
Title
Odd numbers and the powers of natural numbers
Abstract
Adding odd consecutive numbers it is possible to obtain any power of the natural
numbers. Odd numbers also can be distributed in figures and geometric shapes so that the
numbers of the above mentioned figures or shapes check the previous property.
Keywords
Divulgation, Arithmetic, Odd numbers, Skills, Secondary.
1. Introducción
Un número natural es impar si no es divisible por 2. Los números impares forman la sucesión:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Esta sucesión es una progresión aritmética, con diferencia d=2, que tiene por
término general: an=2n-1, siendo n un número natural.
Es conocido que al sumar los n primeros números impares, se obtiene como resultado de la
suma el cuadrado del número natural n. Esta propiedad se puede observar también geométricamente
añadiendo filas y columnas a los distintos cuadrados que se pueden ir construyendo.
En (A. Bodin y L. Grugnetti, 2001, p. 22), aparece una distribución de los números impares en
forma triangular de forma que al sumar los elementos de cada línea, se obtienen los cubos de los
números naturales.
A partir de los dos resultados anteriores, ¿es posible encontrar otras disposiciones de los
números impares con las que obtener el resto de potencias de los números naturales? La respuesta es
afirmativa. Se pueden obtener todas las potencias de los números naturales sumando números impares
consecutivos. Además, de forma similar a como sucede al construir cuadrados para las potencias de
exponente 2, para obtener las otras potencias, se pueden colocar los números impares en figuras
geométricas, en los primeros casos y en cuerpos geométricos en los siguientes, de forma que al sumar
los números de estos objetos geométricos se obtienen potencias de números naturales. A partir de n 8
no es suficiente con cuerpos tridimensionales para colocarlos.
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Los números impares y las potencias de los números naturales
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2. Potencias de exponente 2
Al calcular la suma de los n primeros números impares, se obtiene como resultado el cuadrado
de n. Se puede comprobar en la siguiente tabla:
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
5
5
5
5
5
+
+
+
+
7
7
7
7
+
+
+
9
9
9
. . .
+
+
11
11
+
=
=
=
=
=
=
=
13
1
4
9
16
25
36
49
=
=
=
=
=
=
=
1
22
32
42
52
62
72
Cada una de estas sumas se puede expresar de la forma:
1
2
3
∑(2k − 1) = 1 = 12
∑(2k − 1) = 4 = 22
∑(2k − 1) = 9 = 32
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
4
5
2
∑(2k − 1) = 16 = 4
∑(2k − 1) = 25 = 52
𝑘=1
𝑘=1
...
De forma general, con la siguiente fórmula, en la que k y n son números naturales:
𝑛
∑(2k − 1) = n2
𝑘=1
Demostración.
Esta fórmula se puede demostrar utilizando la suma de los términos de una progresión
aritmética:
n
∑(2k − 1) =
((2 · 1 − 1) + (2 · n − 1)) · n 2 · n · n
=
= n2
2
2
𝑘=1
Geométricamente, la suma de los n primeros números impares, equivale al área de un
cuadrado de lado n (figura 1).
Figura 1.
56
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3. Potencias de exponente 3
Al disponer los números impares como se indica en el siguiente triángulo (A. Bodin y L.
Grugnetti, 2001), la suma de los números de cada fila, coincide con los cubos de los números
naturales.
Cada una de estas sumas se puede expresar de la forma:
3
1
6
∑(2k − 1) = 1 = 13
∑(2k − 1) = 8 = 23
∑(2k − 1) = 27 = 33
𝑘=1
𝑘=2
𝑘=4
10
15
∑(2k − 1) = 64 = 4
3
𝑘=7
21
∑ (2k − 1) = 125 = 5
3
∑ (2k − 1) = 216 = 63
𝑘=16
𝑘=11
28
∑ (2k − 1) = 343 = 73
...
𝑘=22
La sucesión formada por los límites inferiores de las sumas: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, .... , tiene
como término general:
𝑛2 − 𝑛 + 2
2
La sucesión formada por los límites superiores de las sumas: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... , tiene
como término general:
𝑛2 + 𝑛
2
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula, siendo k y n números naturales:
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57
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𝑛2 +𝑛
2
∑
𝑘=
(2k − 1) = n3
𝑛2 −𝑛+2
2
Demostración.
También se puede demostrar esta fórmula con la fórmula de la suma de los términos de una
progresión aritmética:
El número de términos es:
𝑛2 + 𝑛 𝑛2 − 𝑛 + 2
−
+1=n
2
2
y la suma de los números impares:
𝑛2 +𝑛
2
∑
𝑘=
((2 ·
(2k − 1) =
𝑛2 −𝑛+2
𝑛2 − 𝑛 + 2
𝑛2 + 𝑛
−
1)
+
(2
·
2
2 − 1)) · n
2
=
2
=
((𝑛2 − 𝑛 + 1) + (𝑛2 + 𝑛 − 1)) · n 2 · 𝑛2 · 𝑛
=
= 𝑛3
2
2
4. Potencias de exponente 4
Si se disponen los números impares en cuadrados de lado n, la suma de todos los números
impares utilizados en cada cuadrado es igual a n4. En cada cuadrado se empieza colocando desde el
primer número impar.
1
∑(2k − 1) = 1 = 14
𝑘=1
4
∑(2k − 1) = 16 = 24
𝑘=1
9
∑(2k − 1) = 81 = 34
𝑘=1
58
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NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturale
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16
∑(2k − 1) = 256 = 44
𝑘=1
25
∑(2k − 1) = 625 = 54
𝑘=1
...
De forma general, se puede expresar esta propiedad con la siguiente fórmula, en la que k y n son
números naturales:
n2
∑(2k − 1) = n4
𝑘=1
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
n2
∑(2k − 1) =
((2 · 1 − 1) + (2 · n2 − 1)) · n2 2 · n2 · n2
=
= n4
2
2
𝑘=1
Esta propiedad se puede deducir a partir de la fórmula obtenida para las potencias de exponente 2.
5. Potencias de exponente 5
Colocamos ahora todos los números impares seguidos según la distribución indicada a
continuación:
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59
Los números impares y las potencias de los números naturales
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. . .
La suma de los números de cada cuadrado y de cada triángulo es la siguiente:
1
2
∑(2k − 1) = 1 = 1
5
∑(2k − 1) = 3
𝑘=1
𝑘=2
6
9
∑(2k − 1) = 32 = 2
5
∑(2k − 1) = 45
𝑘=3
𝑘=7
18
24
∑ (2k − 1) = 243 = 3
5
∑ (2k − 1) = 252
𝑘=10
𝑘=19
40
50
∑ (2k − 1) = 1024 = 4
5
∑ (2k − 1) = 900
𝑘=25
𝑘=41
90
75
∑ (2k − 1) = 3125 = 5
5
∑ (2k − 1) = 2475
𝑘=76
𝑘=51
...
60
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NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturale
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En el estudio que se está realizando en este artículo, interesa la suma de los números impares
situados en los cuadrados.
La sucesión formada por los límites inferiores de las sumas: 1, 3, 10, 25, 51, 91, .... , tiene como
término general:
𝑛3 − 𝑛2 + 2
2
La sucesión formada por los límites superiores de las sumas: 1, 6, 18, 40, 75, 126, ...., tiene
como término general:
𝑛3 + 𝑛2
2
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula siendo k y n números naturales:
𝑛3 +𝑛2
2
∑
𝑘=
(2k − 1) = n5
𝑛3 −𝑛2 +2
2
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
El número de términos es:
𝑛3 + 𝑛2 𝑛3 − 𝑛2 + 2
−
+ 1 = 𝑛2
2
2
y la suma de los números impares:
𝑛3 +𝑛2
2
(2k − 1) =
∑
𝑘=
((2 ·
𝑛3 − 𝑛2 + 2
𝑛3 + 𝑛2
−
1)
+
(2
·
− 1)) · 𝑛2
2
2
𝑛3 −𝑛2 +2
2
=
2
=
((𝑛3 − 𝑛2 + 1) + (𝑛3 + 𝑛2 − 1)) · 𝑛2 2 · 𝑛3 · 𝑛2
=
= 𝑛5
2
2
De la misma forma, la suma de los números impares situados en los triángulos se puede
expresar con la fórmula:
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𝑛3 +2𝑛2 +𝑛
2
∑
𝑘=
n2 · (n + 1)2 · (2n + 1)
(2k − 1) =
4
𝑛3 +𝑛2 +2
2
pero no es objeto del estudio que se realiza en este artículo.
6. Potencias de exponente 6
Si se disponen los números impares en cubos de arista n, la suma de todos los números impares
utilizados en cada cubo es igual a n6. En cada cubo se empieza colocando desde el primer número
impar. En los siguientes gráficos aparecen los cubos, los números impares que se colocan en ellos y
por último la suma de todos los números situados en cada cubo.
1
∑(2k − 1) = 1 = 16
𝑘=1
empezando por la capa superior
8
∑(2k − 1) = 64 = 26
𝑘=1
empezando por la capa superior
62
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NÚMEROS
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27
∑(2k − 1) = 729 = 36
𝑘=1
64
∑(2k − 1) = 4096 = 46
𝑘=1
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63
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125
∑(2k − 1) = 15625 = 56
𝑘=1
...
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula siendo k y n números naturales:
n3
∑(2k − 1) = n6
𝑘=1
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
n3
∑(2k − 1) =
((2 · 1 − 1) + (2 · n3 − 1)) · n3 2 · n3 · n3
=
= n6
2
2
𝑘=1
Esta propiedad se puede deducir también a partir de la fórmula obtenida para las potencias de
exponente 2.
7. Potencias de exponente 7
Colocamos ahora todos los números impares seguidos según la distribución indicada a
continuación. Se completan cubos de arista n y a continuación se completan tres pirámides de base
cuadrada. En este apartado se estudiará únicamente la suma de los números impares situados en los
cubos. De la misma forma que sucedía en las potencias de exponente 5, se puede estudiar la suma de
64
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NÚMEROS
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los impares situados en las pirámides, pero el estudio realizado en este artículo se centra en el
resultado de los primeros.
1
∑(2k − 1) = 1 = 17
𝑘=1
se empieza completando el cubo y después cada una de las pirámides
La suma de los números impares situados en el cubo:
12
∑𝑘=5(2k − 1) = 128 = 27
se empieza completando el cubo y después cada una de las pirámides
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65
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La suma de los números impares situados en el cubo:
66
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54
∑𝑘=28(2k − 1) = 2187 = 37
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La suma de los números impares situados en el cubo:
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160
∑𝑘=97(2k − 1) = 16384 = 47
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68
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NÚMEROS
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375
∑𝑘=251(2k − 1) = 78125 = 57
La suma de los números impares situados en el cubo:
...
La sucesión formada por los límites inferiores de las sumas: 1, 5, 28, 97, 251, 541, .... , tiene
como término general:
𝑛4 − 𝑛3 + 2
2
La sucesión formada por los límites superiores de las sumas: 1, 12, 54, 160, 375, 756, ...., tiene
como término general:
𝑛4 + 𝑛3
2
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula, siendo k y n números naturales:
𝑛4 +𝑛3
2
∑
𝑘=
(2k − 1) = n7
𝑛4 −𝑛3 +2
2
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
El número de términos es:
𝑛4 + 𝑛3 𝑛4 − 𝑛3 + 2
−
+ 1 = 𝑛3
2
2
y la suma de los números impares:
𝑛4 +𝑛3
2
(2k − 1) =
∑
𝑘=
((2 ·
𝑛4 − 𝑛3 + 2
𝑛4 + 𝑛3
−
1)
+
(2
·
− 1)) · 𝑛3
2
2
𝑛4 −𝑛3 +2
2
=
2
=
((𝑛4 − 𝑛3 + 1) + (𝑛4 + 𝑛3 − 1)) · 𝑛3 2 · 𝑛4 · 𝑛3
=
= 𝑛7
2
2
8. Potencias de exponente 8
Es de suponer que a partir de aquí se necesitarían objetos geométricos de dimensión superior a
tres para disponer los números impares como se ha hecho en los apartados anteriores, por lo que no se
podrá ilustrar con un gráfico.
Se obtendrían las siguientes sumas:
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16
1
∑(2k − 1) = 1 = 1
8
∑(2k − 1) = 256 = 28
𝑘=1
𝑘=1
81
256
∑(2k − 1) = 6561 = 3
8
∑(2k − 1) = 65536 = 48
𝑘=1
𝑘=1
625
∑(2k − 1) = 390625 = 58
...
𝑘=1
De forma general, esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula, siendo k y n
números naturales:
n4
∑(2k − 1) = n8
𝑘=1
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
n4
((2 · 1 − 1) + (2 · n4 − 1)) · n4 2 · n4 · n4
=
= n8
∑(2k − 1) =
2
2
𝑘=1
Esta propiedad se puede deducir también a partir de la fórmula obtenida para las potencias de
exponente 2.
9. Potencias de exponente 9
Igual que sucede en el apartado anterior, no se pueden colocar los números impares en objetos
geométricos para poder ver la distribución que siguen.
Se obtendrían las siguientes sumas:
1
24
∑(2k − 1) = 1 = 1
9
∑(2k − 1) = 512 = 29
𝑘=1
𝑘=9
162
640
∑ (2k − 1) = 19683 = 3
9
𝑘=82
∑ (2k − 1) = 262144 = 49
𝑘=385
1875
∑ (2k − 1) = 1953125 = 59
...
𝑘=1251
La sucesión formada por los límites inferiores de las sumas: 1, 9, 82, 385, 1251, .... , tiene como
término general:
70
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NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturale
L. Barrios Calmaestra
𝑛5 − 𝑛4 + 2
2
La sucesión formada por los límites superiores de las sumas: 1, 24, 162, 640, 1875, ...., tiene
como término general:
𝑛5 + 𝑛4
2
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula, siendo k y n números naturales:
𝑛5 +𝑛4
2
∑
𝑘=
(2k − 1) = n9
𝑛5 −𝑛4 +2
2
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
El número de términos es:
𝑛5 + 𝑛4 𝑛5 − 𝑛4 + 2
−
+ 1 = 𝑛4
2
2
y la suma de los números impares:
𝑛5 +𝑛4
2
((2 ·
(2k − 1) =
∑
𝑛5 − 𝑛4 + 2
𝑛5 + 𝑛4
−
1)
+
(2
·
− 1)) · 𝑛4
2
2
2
𝑛5 −𝑛4 +2
𝑘=
2
=
((𝑛5 − 𝑛4 + 1) + (𝑛5 + 𝑛4 − 1)) · 𝑛4
2
=
=
2 · 𝑛5 · 𝑛4
= 𝑛9
2
10. Potencias de exponente 10
Se obtendrían las sumas:
1
32
10
∑(2k − 1) = 1 = 1
∑(2k − 1) = 1024 = 210
𝑘=1
𝑘=1
1024
243
∑(2k − 1) = 59049 = 3
∑ (2k − 1) = 1048576 = 410
𝑘=1
𝑘=1
10
3125
∑ (2k − 1) = 9765625 = 510
...
𝑘=1
Esta propiedad se puede expresar con la siguiente fórmula, siendo k y n números naturales:
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Los números impares y las potencias de los números naturales
L. Barrios Calmaestra
n5
∑(2k − 1) = n10
𝑘=1
Demostración.
Se aplica también la suma de los términos de una progresión aritmética:
n5
∑(2k − 1) =
((2 · 1 − 1) + (2 · n5 − 1)) · n5
2
=
2 · n5 · n5
= n10
2
𝑘=1
Esta propiedad se puede deducir también a partir de la fórmula obtenida para las potencias de
exponente 2.
11. Generalización
Observando por una parte las fórmulas obtenidas para las potencias de exponente par y por otra
la obtenida para las potencias de exponente impar, se aprecia que presentan cierta similitud y que
pueden agruparse cada grupo de ellas en una sola fórmula.
11.1. Potencias de exponente par
Las fórmulas obtenidas en estos casos:
𝑛
n2
n3
∑(2k − 1) = n2
∑(2k − 1) = n4
∑(2k − 1) = n6
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
n4
n5
∑(2k − 1) = n8
∑(2k − 1) = n10
𝑘=1
𝑘=1
...
se pueden resumir en:
nm
∑(2k − 1) = n2m
𝑘=1
con n y m números naturales.
Demostración.
Esta fórmula se puede demostrar con la fórmula de la suma de los términos de una progresión
aritmética:
nm
∑(2k − 1) =
((2 · 1 − 1) + (2 · nm − 1)) · nm 2 · nm · nm
=
= n2m
2
2
𝑘=1
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NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturale
L. Barrios Calmaestra
11.2. Potencias de exponente impar
Las fórmulas obtenidas en estos casos:
𝑛2 +𝑛
2
𝑛3 +𝑛2
2
(2k − 1) = n3
∑
𝑘=
∑
𝑛2 −𝑛+2
2
𝑘=
𝑛4 +𝑛3
2
𝑘=
𝑛3 −𝑛2 +2
2
𝑛5 +𝑛4
2
(2k − 1) = n7
∑
(2k − 1) = n5
∑
𝑛4 −𝑛3 +2
2
𝑘=
(2k − 1) = n9
𝑛5 −𝑛4 +2
2
...
se pueden resumir en:
𝑛𝑚 +𝑛𝑚−1
2
∑
𝑘=
(2k − 1) = n2m−1
𝑛𝑚 −𝑛𝑚−1 +2
2
con n y m números naturales y m>1.
Demostración.
También se puede demostrar esta fórmula con la fórmula de la suma de los términos de una
progresión aritmética:
El número de términos es:
𝑛𝑚 + 𝑛𝑚−1 𝑛𝑚 − 𝑛𝑚−1 + 2
−
+ 1 = nm−1
2
2
y la suma de los números impares:
𝑛𝑚 +𝑛𝑚−1
2
∑
𝑘=
((2 ·
(2k − 1) =
𝑛𝑚 − 𝑛𝑚−1 + 2
𝑛𝑚 + 𝑛𝑚−1
−
1)
+
(2
·
− 1)) · nm−1
2
2
𝑛𝑚 −𝑛𝑚−1 +2
2
=
2
=
((𝑛𝑚 − 𝑛𝑚−1 + 1) + (𝑛𝑚 + 𝑛𝑚−1 − 1)) · nm−1 2 · 𝑛𝑚 · 𝑛𝑚−1
=
= 𝑛2𝑚−1
2
2
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Los números impares y las potencias de los números naturales
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12. ¿Potencias de exponente 1?
Las fórmulas deducidas anteriormente empiezan con n2. En la última fórmula para potencias de
exponente impar, se especifica que m>1. ¿Qué sucede si m=1?
Para m=1 se obtiene:
𝑛+1
2
∑ (2k − 1) = n1
𝑘=
𝑛+1
2
Si n es par, los límites inferiores y superiores son fracciones iguales y entonces la expresión
"2k-1" no es un número impar.
Si n es un número impar, en la suma únicamente aparece un sumando que también es impar.
Queda la igualdad n=n. Cualquier número impar es igual a él mismo.
Bibliografía
Bodin A. & Grugnetti L. (April 19, 2001). Reference Levels in Mathematics in Europe at age 16.
European Mathematical SocietySociété Mathématique Européenne, pág. 22.
Luis Barrios Calmaestra. I.E.S. José de Mora, Baza, Granada. Natural de Torredonjimeno, Jaén.
Profesor de Secundaria y Bachillerato. Colaborador con el Proyecto Descartes. Tiene varias publicaciones
de materiales didácticos para el Proyecto Descartes y algunas unidades didácticas con calculadoras
gráficas CASIO.
Email: [email protected]
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 75-91
Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en
el Aula de Matemáticas
Nereida M. Santana (Las Palmas de Gran Canaria. España)
Nuria Climent (Universidad de Huelva. España)
Fecha de recepción: 18 de junio de 2014
Fecha de aceptación: 3 de diciembre de 2014
Resumen
Esta investigación se sitúa en el marco del conocimiento del profesor para la enseñanza
de la matemática, con la integración de recursos TD en el aula de Matemáticas. En
relación con el marco del conocimiento del profesor, se sitúa en el modelo Mathematics
Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK), que se está desarrollando en la Universidad
de Huelva. En cuanto a las TD, se ha elegido un software (Geogebra) con potencial
transformador para la enseñanza de la Matemática en Secundaria. Es un estudio de caso
de una profesora de matemáticas de secundaria que utiliza Geogebra en su aula.
Mediante la observación no participante de sesiones de clase y consiguientes
audiograbaciones, así como entrevistas, se indaga en el conocimiento especializado de la
profesora que sustenta su enseñanza en dichas sesiones.
Palabras clave
Geogebra, Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas, Geometría,
Educación Secundaria, Tecnología Digital.
Title
Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge for using Geogebra in Mathematics Classroom
Abstract
This research is integrated into the framework of teacher knowledge for teaching
mathematics, with the integration of ICT resources in the mathematics classroom. Our
framework of teacher knowledge is the Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge
(MTSK); model being developed at the University of Huelva. As ICT has chosen a software
(Geogebra) with transformative potential for teaching mathematics in high school. It is a case
study of a secondary mathematics teacher using Geogebra. By non-participant observation of
class sessions and subsequent audio recordings and interviews, we inquiry into the specialized
teacher’s knowledge that supports her teaching in these sessions.
Keywords
Geogebra, Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge, Geometry, Secondary School,
Digital Technology.
1. Introducción
Integrar una actividad de tecnología digital (TD) en el aula sin que llegue a entenderse como
algo excepcional y tenga un significado en la enseñanza de la materia para el docente y el alumnado
no es fácil. Tampoco se debe olvidar el planteamiento de si es necesaria la utilización de estas
herramientas para impartir la materia. La Unesco apuesta por el uso de TD en el aula para ayudar al
alumnado a adquirir una capacidad tecnológica y de comunicación, y destaca el papel del profesor
(Unesco, 2008).
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Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
N. M. Santana. N. Climent
Algunos de los contenidos de la asignatura de matemáticas que se imparten en Secundaria o
Bachillerato pueden parecer a los alumnos alejados de la vida cotidiana o no les ven utilidad. Por esta
razón, la utilización de un software o herramienta TD en el aula puede facilitar al alumnado la
comprensión del contenido, otra visión de la utilidad de los mismos, e incluso puede servir para dar
algunas orientaciones de posibles caminos profesionales. Sin embargo, esto no es una tarea fácil.
El conocimiento de la herramienta por parte del profesor es fundamental para poder diseñar
actividades y pensar en sus posibilidades en el aula. Pero también es necesario un conocimiento de la
materia a impartir y de sus posibilidades en el mundo laboral o el uso en otras asignaturas. Es más,
consideramos que ambos conocimientos se intersecan, en el sentido de que se necesita un
conocimiento de la herramienta para enseñar el contenido matemático, y que el conocimiento de la
herramienta incide en el conocimiento del objeto matemático y su enseñanza-aprendizaje. Por esta
razón esta investigación explora sobre el conocimiento especializado del docente (matemático y
didáctico del contenido) cuando utiliza Geogebra en el aula. El interés del estudio es el profesor,
específicamente su conocimiento profesional, en un contexto de uso de TD para la enseñanza de las
matemáticas. Nos interesa, además, que este contexto muestre una práctica en la que el alumno no sea
un mero receptor, caracterizada por la exploración del alumno de situaciones problemáticas. Hemos
elegido Geogebra, de entre otros posibles programas para trabajar matemáticas en Secundaria (como,
por ejemplo, Cabri o Derive), porque, como indican Saidón, Bertúa y Morel (2010), da pie a un
tratamiento integrado algebraico, analítico y geométrico, y actualmente también estadístico,
favoreciendo el trabajo en resolución de problemas y la comprensión de conceptos y procedimientos
matemáticos. Asimismo, es una herramienta con potencial para transformar el aula de matemáticas, en
el sentido de modificar la enseñanza de prácticas tradicionales a investigativas (en la línea de las
tendencias didácticas señaladas por Carrillo, 1998).
2. Marco Teórico
El Marco Teórico de esta investigación se basa en el Conocimiento Especializado del Profesor
de Matemáticas, en adelante MTSK (Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge) (Carrillo,
Climent, Contreras, y Muñoz-Catalán, 2013). Partiendo del conocimiento profesional establecido por
Shulman (1986, 1987) y más concretamente del modelo del Conocimiento Matemático para la
Enseñanza, en adelante MKT (Ball, Thames y Phelps, 2008), el MTSK se propone revisar el carácter
especializado del conocimiento necesario para la enseñanza de la matemática.
Partimos de la consideración de que en el conocimiento del profesor para la enseñanza de la
matemática más relativo al propio contenido matemático, se pueden considerar dos dominios
principales: conocimiento del contenido (en nuestro caso conocimiento matemático, en adelante MK)
y conocimiento didáctico del contenido (PCK) (en la línea de los trabajos de Shulman y Ball et al.,
antes referidos). Diferimos de la diferenciación del grupo de Ball de un conocimiento matemático
común y uno especializado (porque es poco clara en su definición, presenta dificultades de
delimitación de cara al análisis del conocimiento del profesor, y sus definiciones remiten a otros
profesionales o usuarios que usan la matemática y no son profesores –Flores, Escudero y Carrillo,
2013; Carrillo, Contreras y Flores, 2013). Nos interesa el carácter especializado del conocimiento del
profesor de matemáticas, entendiendo que no debe restringirse a un subdominio del conocimiento
matemático, sino a todos sus subdominios. En ese sentido, asociamos la especificidad de dicho
conocimiento a que se refiere a la enseñanza de la matemática, lo que debe reflejarse en el
conocimiento del profesor en su conjunto (de ahí que nos refiramos antes a que la especialización
afecta a todos los subdominios del modelo). En el MTSK nos ocupamos de ese conocimiento
especializado del profesor de matemáticas en su conjunto, diferenciando tres subdominios en cada
dominio (MK y PCK).
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NÚMEROS
Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
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Figura 1. Dominios y subdominios del MTSK
Subdominios referidos al Conocimiento Matemático (MK)
 Conocimiento de los temas (KoT– Knowledge of Topics1). Se refiere a un conocimiento
profundo y fundamentado del contenido matemático. Se trataría de conocer el contenido
concreto que se pretende aprendan los alumnos, con un nivel de profundización mayor.
Incluye el conocimiento de relaciones intraconceptuales, esto es, relativas a un mismo tema.
 Conocimiento de la estructura de las matemáticas (KSM – Knowledge of the Structure of
Mathematics). En este subdominio se incluye el conocimiento de las principales ideas y
estructura de la matemática, de las relaciones entre temas.
 Conocimiento de las Prácticas Matemáticas (KPM – Knowledge of Practices in
Mathematics). Es el conocimiento de cómo se procede cuando se hace Matemáticas, su
sintaxis; por ejemplo, cómo se define o cómo se demuestra.
Subdominios referidos al Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK)
 Conocimiento de las Características de Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM –
Knowledge of Features of Learning Mathematics). Parte de la necesidad que poseen los
profesores de entender cómo piensan sus alumnos al realizar actividades y cuestiones
matemáticas (dificultades de aprendizaje y modos de pensamiento) y está centrado en cómo
las matemáticas son aprendidas (Carrillo, Contreras et al., 2013). Puede ser un conocimiento
fundamentado, en teorías sobre el aprendizaje matemático o en la reflexión del profesor
sobre su experiencia.
1
Las siglas de los subdominios del MTSK provienen de sus nombres en inglés, de ahí que hayamos añadido en
cada subdominio la expresión correspondiente en dicho idioma.
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Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
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 Conocimiento de la enseñanza de las Matemáticas (KMT – Knowledge of Mathematics
Teaching). Son los conocimientos que posee el profesor sobre representaciones del
contenido de cara a su enseñanza. Incluye, entre otros, el conocimiento de ejemplos,
recursos, actividades, y su potencialidad.
 Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS – Knowledge
of Mathematics Learning Standards). Se refiere al conocimiento sobre lo que está estipulado
que aprenda un estudiante y con qué nivel de profundidad. Además del currículo
prescriptivo, puede provenir de otros documentos sobre estándares de aprendizaje (o las
medidas externas de exámenes o pruebas evaluadoras externas al centro, como podrían ser
las pruebas PISA) e investigaciones que aportan recomendaciones al respecto.
El uso de Geogebra es considerado en esta investigación como contexto en el que se desarrolla
la enseñanza de la matemática. Teniendo en cuenta que el foco de nuestro estudio es el conocimiento
de la profesora en este contexto, esperamos que el uso de la herramienta se refleje en conocimiento en
cada uno de los subdominios del MTSK. Nos centramos en elementos del MTSK del profesor
directamente relacionados con el uso de Geogebra.
3. Metodología
El objetivo en el que se centra esta investigación es identificar qué conocimiento respecto a los
subdominios del MTSK se evidencia en la práctica de una profesora que usa Geogebra en el aula de
matemáticas; en particular, qué conocimiento de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Esta investigación se puede clasificar dentro del paradigma de investigación interpretativo
porque se intenta describir, comprender e interpretar el conocimiento especializado de la docente
cuando utiliza Geogebra en el aula. La investigación es un estudio de caso porque estudia una
situación única, sin intención de generalizarla. Estudiamos siete sesiones en las que la profesora usa
Geogebra en el aula de informática del centro.
Los instrumentos de recogida de información usados han sido una entrevista inicial grabada en
vídeo, siete sesiones de clases también grabadas y notas de campo cogidas en las grabaciones.
El estudio del caso se ha llevado a cabo en las clases de matemáticas de un 3º de ESO en un
instituto de educación secundaria de Las Palmas de Gran Canaria. La docente fue elegida por su
trabajo con TD en el aula, en particular, con Geogebra. En sus más de quince años de experiencia en la
docencia ha realizado publicaciones sobre el uso de las TD en el aula. El uso de Geogebra en el aula
por la docente está integrado en los bloques de Geometría y Álgebra de la programación anual.
Se ha seleccionado a esta profesora por el uso transformador que hace de la TD2 en el aula, en
particular de Geogebra, porque realiza actividades específicas que organiza dentro la temporalización
de la programación, y en las sesiones con Geogebra los alumnos interactúan con el recurso y éste sirve
de herramienta para proponer y explorar problemas matemáticos. La actividad del aula (del alumno y
del profesor) viene configurada por el uso de la herramienta. Se da el caso de que, debido a la
2
Al centrar la investigación en las reflexiones y necesidades del profesor y atendiendo al uso que se hace de
Geogebra en la enseñanza como un caso particular de TD, se pueden diferenciar según el uso que se hace de las
TD en el aula (Hughes, 2005) los perfiles de: Reemplazo (la TD sustituye recursos y actividades sin modificar la
dinámica del aula), Amplificador (la TD es un complemento de las actividades realizadas, que amplía sus
posibilidades) y Transformador (la TD modifica sustancialmente las prácticas de enseñanza). Estos usos de la
TD sirven de sustento para seleccionar el caso de estudio.
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NÚMEROS
Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
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disponibilidad del aula de informática, la realización de las sesiones con Geogebra es independiente de
lo que se esté trabajando en el aula ordinaria (esto es, las sesiones con Geogebra pueden referirse a
contenidos que enlazan con otros tratados en sesiones anteriores desarrolladas en el aula ordinaria).
Para la entrevista inicial se realizó un guión previo. Esta entrevista fue realizada a la docente
previamente a las grabaciones de sus sesiones. El objetivo de la misma era saber el uso que realiza de
Geogebra y el enfoque del tema para poder integrar dicho uso en el aula. Algunas de las preguntas que
se le hacen indagan sobre la utilización que hace de la herramienta y la utilidad y ventajas que le
encuentra. También se le pregunta por los tipos de actividades que realiza o si incluso lleva a cabo
proyectos o exámenes con el mismo. Un foco importante se situó en las dificultades que puede
encontrarse con el uso de Geogebra en el aula y las dificultades que pueden tener sus alumnos al
usarlo. Al centrar la entrevista en el uso y potencialidad de Geogebra, indaga sobre todo en los
subdominios del Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT) y del Conocimiento de las
Características de Aprendizaje de las Matemáticas (KFML). Fueron grabadas siete sesiones
desarrolladas en el aula de informática intercaladas a los largo de dos meses, donde la profesora utilizó
Geogebra. Se grabaron únicamente las sesiones en las que la profesora utilizaba Geogebra, dado que el
foco es el conocimiento que sustenta un uso transformador de la TD en el aula. Por la falta de
disponibilidad del aula de informática las grabaciones están espaciadas en el tiempo, ya que el aula
está a disposición de todos los profesores del centro. Las grabaciones fueron tomadas en el aula
enfocando principalmente a la profesora y a la pizarra táctil donde el cañón mostraba las explicaciones
de la docente con Geogebra. Los alumnos sólo fueron objeto de interés en cuanto a las interacciones
de la profesora con éstos, dado que el foco del estudio es el conocimiento de la profesora. Además, la
entrevista inicial (previa a las grabaciones) fue videograbada.
A lo largo de las siete sesiones de clase la profesora va explicando el bloque de geometría
realizando distintas actividades con Geogebra, partiendo del uso y reconocimiento de figuras
geométricas en el plano y en el espacio en la primera sesión, para terminar con los puntos y rectas
notables del triángulo en las últimas sesiones grabadas. En las distintas sesiones se intercalan las
actividades y tareas propuestas por la docente con distintas explicaciones en la pizarra y materiales
interactivos de Geogebra, donde se pueden apreciar distintos procedimientos. Estas siete sesiones son
primeramente analizadas para sacar los indicadores del MTSK. Y posteriormente se lleva a cabo un
segundo análisis más minucioso, únicamente con la segunda y la quinta sesión, las cuales fueron
seleccionadas por su riqueza en la utilización del software en el aula. En este segundo análisis se
volvieron a sacar nuevos indicadores que se añadieron a los anteriores.
Junto a las grabaciones de vídeos se tomaron algunas notas de campo para completar con las
mismas el análisis.
Los instrumentos de análisis de la entrevista realizada y las siete sesiones grabadas en el aula
son las categorías y subdominios del MTSK con los que se puede analizar el conocimiento
especializado que evidencia la profesora.
Para llevar a cabo el análisis de sesiones se transcribió literalmente la entrevista y se realizó un
esquema de cada una de las sesiones describiendo diferente niveles de mayor a menor concreción
(Schoenfeld, 2000). Posteriormente se escogieron las partes de cada una de las sesiones que
interesaban para el análisis por su contenido en MTSK de la profesora y se transcribieron literalmente.
A continuación se seleccionaron las unidades de significación, de la entrevista y de todas las sesiones,
y se empezaron a analizar creando los distintos indicadores del MTSK, agrupándolos por los distintos
subdominios. La observación de los descriptores de Sosa (2010) sirvió como ejemplo para definir los
distintos descriptores y agruparlos. Terminado un análisis previo, se volvió a llevar a cabo un análisis
más minucioso de las sesiones segunda y quinta, completando la transcripción literal e íntegra para su
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Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
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nuevo análisis. Estas dos sesiones fueron escogidas por su riqueza en el uso de Geogebra y, por tanto,
por su mayor número de unidades de significación. A continuación se encontraron nuevas unidades de
significación que fueron analizadas con nuevos indicadores y añadidas a la tabla creada previamente.
Finalmente se volvió a revisar la entrevista y las dos sesiones escogidas para cerciorarse de que no
quedara ninguna unidad de significación sin analizar en la tabla de indicadores.
4. Resultados
En las sesiones únicamente se han analizado las intervenciones de la profesora y de los alumnos
(estas últimas en relación con las intervenciones de la profesora y el MTSK que las sustentaba) en las
que trabajan con Geogebra o existe alguna definición o explicación que posteriormente sea utilizada
en Geogebra. No han sido analizadas las intervenciones que realiza la profesora para explicar a los
alumnos el uso de la herramienta si no se refieren a conceptos del tema o al uso que posteriormente
pueda hacer de dichas explicaciones en Geogebra.
Para poder hacer un análisis más profundo hemos seleccionado la entrevista previa a las
grabaciones de las sesiones y dos de las siete sesiones grabadas.
En la primera de estas sesiones (segunda sesión de grabación) la profesora con la ayuda de
Geogebra crea una recta al unir dos puntos3. De esta forma empieza a trabajar con Geogebra las rectas
en el plano y sus distintas posiciones según las posibles soluciones de los sistemas de ecuaciones4.
Este contenido ha sido trabajado en la sesión anterior en el aula (donde no disponen de ordenadores).
En esta sesión la profesora quiere que sus alumnos con la ayuda de Geogebra visualicen las distintas
posiciones de rectas en el plano dibujando las correspondientes a las ecuaciones dadas en sistemas de
ecuaciones resueltos manualmente en la sesión anterior. Los alumnos primero introducen en la vista
algebraica las ecuaciones del sistema de ecuaciones y ven en la vista gráfica su posición, como se
muestra en la figura 4 (epígrafe 4.2). Para terminar la clase los alumnos tienen que dibujar dos rectas
en la vista gráfica y con la ecuación de la recta que le da la vista gráfica resolver el sistema de
ecuaciones manualmente y comprobar que sale el mismo resultado.
En la segunda de las sesiones (quinta sesión de grabación) la profesora sigue trabajando con los
alumnos las rectas y puntos notables del triángulo con distintas actividades específicas para trabajar con
Geogebra, algunas de las cuales se muestran en las figuras 2 y 3 (epígrafe 4.1). Los alumnos tienen que
realizar sus actividades explorando con Geogebra. Mientras la profesora se ayuda de distintas
animaciones5 de las construcciones de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver dudas.
En el análisis del MTSK de las distintas sesiones y la entrevista se han detectado indicios de
conocimiento de todos los subdominios del Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK) y del
Conocimiento Matemático (MK) a excepción del Conocimiento de la Estructura de las Matemáticas
(KSM).
3
Geogebra posee una función que permite crear una recta como unión de dos puntos, dando también la ecuación
de la misma en su vista algebraica.
4
Al crear rectas como unión de dos puntos, Geogebra permite estudiar las distintas posiciones de las rectas en el
plano al mover un punto de cada una de las distintas rectas modificando de esta forma su expresión algebraica.
Geogebra también posee una función que permite dar el punto de intersección de dos rectas, pudiendo los
alumnos comprobar que este punto es la solución del sistema de ecuaciones creado con las dos ecuaciones de las
dos rectas.
5
Geogebra permite crear animaciones o apple con distintas construcciones geométricas como puede ser la
construcción de la bisectriz de un triángulo, que posteriormente se pueden repetir.
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Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
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De estos indicadores, los más relacionados con Geogebra corresponden a los subdominios del
Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT) y del Conocimiento de las Características
de Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM).
4.1. Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK)
Como hemos señalado, de los indicadores de MTSK extraídos de la observación de la profesora
de nuestro estudio, aquellos que se refieren directamente a la enseñanza con Geogebra se sitúan en los
subdominios KFLM y KMT. Estos indicadores encontrados se refieren al conocimiento de Geogebra
como recurso de enseñanza (sus limitaciones, potencialidades, actividades), a la identificación de
dificultades de aprendizaje asociados a la propia herramienta o donde la herramienta puede servir de
ayuda, y al conocimiento de actividades y/o ejemplos. Detallamos los indicadores de este
conocimiento en la tabla 1 y los explicamos a continuación por subdominio.
Indicadores
del MTSK
KFLM1
KFLM2
KMT1
KMT2
KMT3
KMT4
KMT5
KMT6
KMT7
Indicadores del subdominio específicos de Geogebra
Tipo de indicador
Identificar como dificultad de aprendizaje la necesidad del
alumno de manipular la geometría para entenderla
Identificar como dificultad de aprendizaje en el uso de Identificar dificultades de
aprendizaje
Geogebra, que el hecho de que el software realice de forma
automática ciertos procesos puede ir en detrimento de la
comprensión por parte del alumno de dicho proceso
Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra como
una herramienta de dibujo para el profesor
Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra como
una herramienta de dibujo para el alumno que le permite
combinar, construir y medir figuras y rectas
Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra de Conocer y saber utilizar
permitir a la vez trabajar con un registro algebraico y
la potencialidad de
geométrico
Geogebra
Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra como
herramienta que permite mostrar y trabajar con una
geometría dinámica
Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra para
posibilitar actividades de exploración del alumno
Conocer distintos tipos de actividades para llevar a cabo
Conocer distintas
con Geogebra: actividades de introducción, desarrollo y/o
actividades y/o ejemplos
evaluación
Saber darle una notación específica a un elemento
geométrico dentro de Geogebra para resaltar de esta forma
Otros
la importancia de la notación.
Tabla 1: Indicadores del dominio del Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK) específicos de Geogebra
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Conocimiento Especializado del Profesor para la utilización de Geogebra en el Aula de
Matemáticas
N. M. Santana. N. Climent
Conocimiento de las características de aprendizaje de las Matemáticas: KFLM
Los elementos que en estas dos sesiones se han encontrado en este subdominio son
exclusivamente sobre Identificar dificultades de aprendizaje. Es el caso del indicador KFLM1,
relativo a reconocer la necesidad del alumnado de manipular la geometría para entenderla. En la
unidad de información que sigue (E1.15), la profesora contesta en la entrevista previa a las
grabaciones cómo comprueba que sus alumnos consiguen dominar los contenidos mínimos con la
utilización de Geogebra y la importancia que da en sus clases a manipular la geometría (en esta unidad
también identificamos conocimiento de la profesora de la enseñanza de la matemática en relación con
Geogebra, que comentaremos en el apartado correspondiente).
(…) Profesora: “Sólo la particularidad es que los elementos necesarios en
vez de dibujarlo con papel y lápiz, lo tienen allí. Ellos lo pueden manipular.
Les pongo puntos móviles que ellos puedan ver, ¿qué pasa?, investigar un
poco. ¿O qué pasa? Pero hombre si tú has llegado ahí, sin necesidad de
manipularlo no puedes saber.” E1.156
Como otra posible dificultad que puede propiciar el uso del recurso, la profesora considera que
algunos procesos pueden ser aprendidos sin significado por parte del alumno, dado que la herramienta
los realiza de modo automático (KFLM2):
[En el aula de informática los alumnos están realizando en Geogebra las
actividades propuestas por la profesora para trabajar las rectas y puntos
notables del triángulo. En la siguiente unidad de información la profesora
está resolviendo las dudas surgidas al hacer la siguiente actividad que se
muestra en la figura 2. Para resolver las dudas la profesora muestra en la
pizarra digital una animación de Geogebra sobre la construcción de las
bisectrices de un triángulo. La profesora, tras haber comentado y visto con
sus alumnos la animación, se encuentra con que algunos alumnos siguen
teniendo dudas sobre cuál es la recta bisectriz del triángulo:]
(…) Alumna: “La bisectriz, ¿siempre es la del medio?
Profesora: La definición de bisectriz es la que me divide el ángulo en dos
partes iguales. Entonces siempre tiene que haber aquí dos partes iguales.
Alumna: Pero eso no son iguales, las dos partes no son iguales.
Profesora: Entonces no es una bisectriz. Lo repito (la profesora repite la
animación). Fíjate bien los vértices que selecciona el ángulo, ¿vale?” S5.12
6
La notación E1.15 de la unidad de información indica: con la letra E o S si pertenece a una entrevista o a una
sesión, con el número 1 que pertenece a la 1ª sesión y con el número 15 que corresponde a la 15ª unidad de
información.
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Figura 2. Ejercicio resuelto en la unidad de información S.5.12.
Además, preguntada en la entrevista inicial por posibles limitaciones del software para el
aprendizaje de los contenidos, indica:
(…) Profesora: “La limitación, así es como una ventaja, la limitación de este
software y de cualquier otro, como el word cuando te autocorrige, cuando la
mayoría de la construcción la hace él. Entonces hay cosas que ellos a lo
mejor no se dan cuenta que se hace y entonces tienes que insistir, e insistir,
las diferencias.”E1.25
En el análisis se han encontrados algunos indicadores del subdominio del conocimiento de las
características de aprendizaje de las matemáticas (KFML) referidos al contenido que se trata en las
sesiones y no ligadas a Geogebra agrupados como Identificar dificultades de aprendizaje. Algunas de
estas dificultades de aprendizaje encontradas son respecto a una visión general de la geometría al
referirse a la dificultad de los alumnos para diferenciar una figura tridimensional de una figura plana,
al no poseer visión espacial, y también, al no entender el concepto geométrico de lo que se pide.
También se han identificado dificultades en el conocimiento de tipos de rectas al no diferenciar los
tipos de rectas según la relación que posee con otras rectas, por no saber el alumno describir los tipos
de relaciones entre dos rectas que se pueden encontrar en los distintos polígonos. En el tópico de las
rectas y puntos notables de un triángulo parece que la profesora sabe que los alumnos no entienden sus
propiedades o no saber diferenciarlos ni dibujarlos. Otra dificultad que parece considerar la profesora
es que los alumnos no saben relacionar los elementos geométricos con las expresiones algebraicas que
los identifican (como, por ejemplo, un punto con sus coordenadas).
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Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas: KMT
Los trece indicadores obtenidos del conocimiento de la enseñanza de las matemáticas se pueden
clasificar en cuatro bloques: Conocer y saber utilizar estrategias de enseñanza, Conocer y saber
utilizar la potencialidad de Geogebra, Conocer distintas actividades y/o ejemplos y Otros. En el
último bloque se han clasificado los indicadores que no se han podido agrupar en los anteriores.
Los indicadores específicos de Geogebra corresponden con los bloques: Conocer y saber
utilizar la potencialidad de Geogebra, Conocer distintas actividades y/o ejemplos y Otros. Al realizar
el análisis sobre el conocimiento que sustenta el uso de Geogebra en el aula, uno de los indicadores
con más unidades asociadas es Conocer y saber utilizar la potencialidad de Geogebra. Un ejemplo
claro del conocimiento y la utilización de la potencialidad de Geogebra para permitir llevar a cabo a la
vez un estudio algebraico y geométrico (KMT3) se encuentra en la unidad de información siguiente,
extraída de la entrevista. La profesora comenta en la entrevista el objetivo que se ha propuesto
respecto a las sesiones en las que utilizará Geogebra en el aula al relacionar los contenidos
geométricos con los contenidos algebraicos utilizando la vista gráfica y algebraica del software7.
(…) Profesora: “Tiene una parte geométrica y otra parte algebraica. Yo
primero voy a trabajar sólo con la geométrica. De hecho les he dicho que
oculten la parte algebraica. Sólo la geométrica para que ellos construyan
cosas que por sentido común, incluso, o con la geometría euclídea básica, con
los axiomas básicos, puedan construir. Pero luego tenemos que relacionar con
la parte algebraica. ¿Por qué? Porque luego eso me dará a mí pie a trabajar
con funciones. O incluso poner las rectas como funciones.” E1.7
Otro ejemplo del conocimiento y la utilización de la potencialidad de Geogebra se puede ver en
la utilización que hace la profesora de Geogebra como una herramienta de dibujo (KMT1) en la
siguiente unidad de información. La profesora, utilizando Geogebra como una herramienta de dibujo y
con la ayuda de sus alumnos, explica con una aplicación o apple de Geogebra la construcción de la
altura de un triángulo.
[En esta unidad de información los alumnos están en el aula de informática
realizando en Geogebra las actividades propuestas por la profesora para
trabajar las rectas y puntos notables del triángulo, en particular la actividad
que se muestra en la figura 3 sobre las alturas del triángulo. Al surgir algunas
dudas sobre dicha actividad la profesora muestra en la pizarra digital una
animación de Geogebra sobre la construcción de la altura de un triángulo.
Mientras la profesora explica en la pizarra digital la construcción de la altura
del triángulo, los alumnos tienen abierto Geogebra en su ordenador y
comprueban y repiten la construcción. Entonces la profesora plantea distintas
preguntas a sus alumnos para que las contesten tras haber experimentado con
Geogebra:]
(…) Profesora: “La altura es una recta perpendicular a un lado que pasa por
el vértice opuesto. Ustedes qué creen, ¿que pasará por el punto medio?, ¿o
que no?
Alumnos: Que no.
7
Unas de las particularidades de Geogebra, como software matemático, es que se puede ver cualquier objeto o
contenido desde una vista algebraica y una vista geométrica, pudiendo incuso compararse las dos vistas a la hora
de trabajar con el alumnado.
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Profesora: ¿O a lo mejor sí? depende del triángulo. ¿En qué triángulo
piensan ustedes que una altura va a pasar por el punto medio?
Alumnos: Equilátero
Profesora: En un equilátero. Vale. Vamos a ver cómo se traza. Tenemos el
triángulo ya hecho. ¿Qué hay que trazar primero? Hay que buscar la recta.
No tiene que ser punto medio, tiene que ser perpendicular. ¿Lo ven? Lo que
se ha trazado es la recta perpendicular que pasa por este punto.” S.5.5
Figura 3. Ejercicio propuesto en relación con la unidad de información S.5.5.
En la unidad de información E1.15, vista en el apartado referido a KFLM, se pueden observar
indicios del conocimiento y la utilización de la potencialidad de Geogebra para posibilitar actividades
de exploración del alumno (al hacer referencia a que plantea una situación y les pide a los alumnos que
observen los cambios, manipulando la situación) (KMT5) y como una herramienta que permite
mostrar y trabajar con una geometría dinámica (KMT4). El uso que hace la profesora de Geogebra
como una herramienta para que el alumno explore la geometría refuerza la visión de Geogebra como
un uso transformador de la TD, citado anteriormente.
También se han encontrado en el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT) otros
indicadores referidos al contenido y no a Geogebra, como puede ser el conocimiento y la utilización
de estrategias de enseñanza, como partir de elementos arquitectónicos (en tres dimensiones) para
llegar al estudio de los elementos geométricos (en dos y una dimensión) que los compone. Algunos
otros indicadores son, por ejemplo, saber que ciertas actividades se pueden explicar de forma más
sencilla y rápida con la pizarra convencional que con Geogebra, o saber qué recurso utilizar (pizarra
convencional, ordenador con Geogebra, pizarra digital, presentación) para un ejemplo dado.
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4.2. Conocimiento Matemático (MK)
También se han identificado algunos indicadores del Conocimiento de los Temas (KoT) que
tienen relación con Geogebra, necesarios para poder sacarle un mayor partido a la herramienta.
Conocimiento de los temas: KoT
Los indicadores del KoT que parecen sustentar el uso de Geogebra en las sesiones observadas se
refieren a aspectos del contenido matemático relacionados con las posibilidades y reglas de
construcción del software. Es el caso de saber definir un punto en el plano como un elemento con dos
coordenadas (KoT2), donde por la peculiaridad de Geogebra (que permite definir un elemento de dos
formas distintas: geométrica y algebraica) los puntos son definidos de forma algebraica (como dos
coordenadas) y no sólo geométrica (un punto). O en saber los conceptos de los distintos tipos de rectas
según la relación que exista con otras rectas (KoT1), donde Geogebra permite ver que dos rectas que
se cortan en un punto (forma geométrica) tienen correspondencia con un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (forma algebraica).
Indicadores del MTSK
KoT1
KoT2
Indicadores del subdominio específicos de
Geogebra
Saber los conceptos de los distintos tipos de
rectas según la relación con otras rectas.
Saber definir un punto como un elemento con
dos coordenadas.
Tipo de indicador
Saber conceptos y
significados
Saber la definición de un
concepto
Tabla 2: Indicadores del dominio del Conocimiento Matemático (MK) que tienen relación con Geogebra
El Conocimiento de los Temas es el subdominio con mayor número de indicadores encontrados
entre todos los subdominios, dieciséis, los cuales se pueden agrupar en cinco bloques: Saber conceptos
y significados, Saber relacionar conceptos, Saber la definición de un concepto, Conocer el uso de
conceptos y Otros.
De estos, concretando en aquellos relacionados con Geogebra, el bloque donde se encuentra
mayor número de unidades de información se refiere a saber conceptos y significados (de, por
ejemplo, recta, pendiente de una recta, o tipos de rectas según la relación que posea con otras rectas).
Como ejemplo se expone la siguiente unidad donde se muestra “saber los conceptos de los distintos
tipos de rectas según la relación con otras rectas” (KoT1).
[En esta sesión los alumnos están delante de sus ordenadores con Geogebra
abierto y tienen que comprobar que los ejercicios resueltos en la última clase
están correctos. Uno de los sistemas de ecuaciones que deben comprobar se
muestra en la figura 4]
[La profesora explica en la pizarra digital las distintas posiciones relativas
que pueden tener dos rectas en un plano:]
(…) Profesora: “Esto es una recta. Resulta que el último sistema cuando lo
hicieron en Geogebra, ¿cómo estaban esas rectas?
Alumno1: Era la misma.
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Profesora: Era la misma. Entonces, ¿eran secantes? ¿La respuesta qué sería?
Alumnos: No.
Profesora: ¿Eran paralelas?
Alumnos: Tampoco.
Profesora: Entonces hay otra posición que no hemos considerado que es que
una esté encima de la otra. En ese caso se llaman coincidentes.” S.2.27
Figura 4. Pantalla de Geogebra relativa a la unidad de información S.2.27.
Otro ejemplo se muestra en “saber definir un punto como un elemento con dos coordenadas”
(KoT2) donde la profesora interpreta con Geogebra las coordenadas de los puntos que forman la figura
dibujada8.
[En esta unidad de información los alumnos están delante de sus ordenadores
con Geogebra explorando cómo dibujar puntos y rectas. La profesora explica
la definición de un punto como un elemento con dos coordenadas debido a
las dudas surgidas en clase sobre el significado del punto en la vista
algebraica, como se muestra en la figura 5]
(…) Profesora: “Yo en un punto, por ejemplo, yo puedo medir la distancia
que hay de aquí a aquí. Entonces yo del punto “A” voy a las propiedades y
muestro el nombre y su valor. Y miren qué me pone, ¿qué me pone?
8
Geogebra permite situar el cursor sobre un punto en una figura en la vista geométrica y ver las coordenadas de
ese punto en la vista algebraica.
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Alumnos: Cero coma cuatro.
Profesora: Vale, me pone dos coordenadas. Una será la distancia. Y vamos a
medir la distancia. (La profesora busca cómo medir distancia en Geogebra)”
S.2.13
Figura 5. Pantalla de Geogebra relativa a la unidad de información S.2.13.
En el conocimiento de los temas (KoT) también se han detectado otros indicadores referidos al
contenido y no a Geogebra, como pueden ser saber el concepto de recta, de pendiente de una recta, de
rectas y puntos notables del triángulo o saber el significado de coordenadas. Respecto al bloque saber
relacionar conceptos se encontraron saber relacionar conceptos como de una recta con el concepto de
función, o el eje de coordenadas con las coordenadas de un punto, o de pendiente de una recta con su
inclinación (identificamos todas estas relaciones como conexiones intraconceptuales, de ahí que lo
incluyamos en KoT). Otras relaciones interesantes que evidenció conocer la profesora fueron la
relación entre la posición geométrica de las rectas y la solución del sistema de ecuaciones que
compone dichas rectas, o la de una expresión algebraica con la figura geométrica que representa. En el
bloque Conocer el uso de conceptos se encontró conocimiento sobre el uso que se hace de las rectas,
las pendientes y los triángulos en el arte y que hacen los arquitectos en sus proyectos arquitectónicos.
Dentro de bloque Otros, situamos saber que la notación es importante para poder entenderse en
matemáticas, y poseer conocimiento de la estructura axiomática de la geometría plana.
El Conocimiento especializado de la profesora en relación con el uso de geogebra en su conjunto
Considerando en su conjunto el conocimiento especializado de la profesora comentado en los
anteriores epígrafes, podemos extraer lo que las sesiones observadas nos informan sobre en qué
conocimientos se basa su uso de Geogebra y a su vez, qué conocimientos produce y/o refuerza el uso
de la herramienta (sobre la propia herramienta y el propio contenido matemático).
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Por una parte, la importancia que otorga al uso de Geogebra parece basarse en un
reconocimiento de las dificultades de los alumnos para comprender la geometría en lo que se refiere a
la abstracción (sin visualizaciones concretas) y el papel en este sentido del uso de materiales concretos
que permitan visualizar y manipular (KFLM1). Atribuye a Geogebra, a su vez, algunas bondades
(algunas relacionadas con la dificultad anterior y otras no relacionadas): permite dibujar con precisión
(KMT1), mover las figuras, imponerles cambios y observar sus efectos (KMT4), y trabajar a la vez
con lenguaje algebraico y geométrico (lo que asocia a facilitar la transición de unos contenidos a otros,
como entre rectas desde un punto de vista geométrico y analítico –funciones-) (KMT3).
Por otra parte, parece que gracias a su uso de la herramienta, conoce algunas dificultades que
puede propiciar el uso de la herramienta, como aprender procedimientos sin significado (KFLM2).
Asimismo hay indiciosde que la profesora conoce actividades de exploración del contenido por
parte de los alumnos a través de Geogebra (KMT5).
Por último, el uso de Geogebra requiere de la profesora un conocimiento del contenido en lo
que se refiere a algunas reglas o posibilidades de la herramienta, que en los casos evidenciados
pone de manifiesto el conocimiento de relaciones intraconceptuales (distintos conceptos
relacionados o distintas perspectivas de un mismo concepto u objeto matemático). Es el caso de
conocer las relaciones entre una visión de los contenidos desde una perspectiva de la geometría
euclídea y desde una perspectiva de la geometría analítica (relacionado con KoT2), o relaciones
entre el estudio de una problemática desde un punto de vista geométrico (posiciones relativas de
una rectas) y desde un punto de vista algebraico (soluciones de los sistemas de ecuaciones
asociados a las rectas) (en relación con KoT1).
5. Conclusiones
Como respuesta al conocimiento que sustenta el uso transformador de Geogebra, en este estudio
se han obtenido evidencias relativas fundamentalmente al conocimiento didáctico del contenido, en
particular, en los subdominios del Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT) y del
Conocimiento de las Características de Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM). Asimismo, como
conocimiento ligado a Geogebra que está relacionado con el propio recurso y su sintaxis, hemos
encontrado algunos indicadores del Conocimiento de los Temas (KoT). La necesidad de conocimiento
en estos subdominios para el uso de Geogebra parece claro (conocimiento de la propia herramienta
como recurso de enseñanza y el aprendizaje ligado a ella, y el conocimiento del contenido ligado a
cómo se expresa y trabaja matemáticamente la herramienta). Por otra parte, apenas encontramos
indicadores del Conocimiento de las Prácticas Matemáticas (KPM) y no encontramos ninguno del
Conocimiento de la Estructura de las Matemáticas (KSM). Nos plantemos hasta qué punto la ausencia
de evidencias de estos subdominios es una cuestión específica de nuestro caso o refleja menor
necesidad respecto del uso de Geogebra.
Las mayores dificultades que encuentra el docente al usar Geogebra en el aula es el
conocimiento que posea del software y su potencialidad. El conocimiento de distintas actividades o
ejemplos en el que pueda emplear Geogebra se podría entender como el conocimiento que tenga de
distintos ejemplos o actividades en cualquier otro medio que no sea el digital si no tuviera la
limitación de poder transformar ese ejemplo al formato digital con el software, siendo por ello
necesario el conocimiento del uso del mismo. Una aportación de nuestro estudio son los indicadores
de los distintos subdominios del modelo MTSK que describen el conocimiento necesario para obtener
un uso transformador de la TD, en particular Geogebra, relativo a los contenidos estudiados
(posiciones relativas de rectas en un plano, y rectas y puntos notables en un triángulo).
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De la visión general del conocimiento especializado de la profesora evidenciado en nuestro
estudio, extraemos algunas implicaciones que podrían ser de interés en la formación continua e inicial
de profesores, en relación con el uso de Geogebra. Por una parte, el conocimiento de cómo aprenden
los estudiantes determinados contenidos matemáticos (en nuestro caso geométrico) y algunas de las
dificultades habituales (como en nuestro caso la dificultad para pensar en general, sin visualizaciones
concretas) puede motivar la necesidad de la herramienta y contribuir a apreciar sus ventajas. Por otro
lado, como parece obvio, el profesor debe conocer las potencialidades de la herramienta para poder
trabajar con ella en el aula de modo que le saque partido; asimismo debe conocer posibles dificultades
de aprendizaje que puede propiciar. Finalmente, y en relación con la variedad de lenguajes y
perspectivas que permite integrar Geogebra en relación con el abordaje de un problema, requiere del
profesor un conocimiento profundo de los contenidos y sus relaciones, incluyendo su conocimiento del
abordaje de un problema desde diferentes paradigmas (en la línea de los paradigmas geométricos
diferenciados por Houdement & Kuzniak, 1999, 2003, y considerados en la matemática en general en
la noción de Espacio de Trabajo Matemático –Kuzniak, 2011; Kuzniak & Richard, 2014). Además, el
uso de la herramienta puede reforzar ese conocimiento relacionado del profesor.
Como trabajo futuro, sería interesante poder comparar los resultados de este estudio con el de
otros estudios de caso, y sobre todo, poder hacer el seguimiento de un modo más continuado del
tratamiento de un contenido matemático con el uso de Geogebra, con el foco en el conocimiento que
sustenta la práctica del profesor. En ese sentido, una de las limitaciones que nos hemos encontrado es
el uso aislado de Geogebra en las sesiones de matemáticas, con lo que se dificulta el estudio en
profundidad respecto de un contenido. En general, vemos necesaria la profundización en el
conocimiento del profesor necesario para el uso transformador de TD en la enseñanza de la
matemática.
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Nereida María Santana Almeida. Profesora de Matemáticas de Enseñanza Secundaria. Colaboradora
del Instituto Geogebra Canarias. Las Palmas, Canarias, España.
Email: [email protected]
Nuria Climent Rodríguez. Profesora del área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Huelva, España.
Email: [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
91
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 93-103
Análisis competencial de una tarea de modelización abierta
César Gallart Palau (Colegio CEU-San Pablo y Universidad Cardenal Herrera -CEU. España)
Irene Ferrando (Universidad de Valencia. España)
Lluís M. García-Raffi (Universidad Politécnica de Valencia. España)
Fecha de recepción: 16 de julio de 2014
Fecha de aceptación: 4 de diciembre de 2014
Resumen
Según diversos autores, las actividades dirigidas al desarrollo conjunto de las
competencias matemáticas deben relacionarse con la realidad y los procesos de
modelización matemática. El objetivo del presente trabajo es describir, a partir de la
producción de un grupo de alumnos de tercer curso de ESO, las competencias que los
alumnos han de poner en juego para resolver una tarea genuina y completa de
modelización y que formarían parte de la propia competencia en Modelización.
Palabras clave
Alfabetización matemática; Competencias matemáticas; Proceso de modelización; Tareas
de modelización; Educación Secundaria
Title
Competence analysis of an open modelling task
Abstract
According to several authors, the activities that are focused to develop mathematical
skills should be related with real problems and the mathematical modeling processes. The
aim of this paper is to describe, analyzing the productions of a group of ninth grade’s
students, the competencies that they have to put into play in order to solve a genuine and
complete modeling task These competencies form part of the modeling competence.
Keywords
Mathematical Literacy; Mathematics Competencies; Modelling Process; Modelling Task;
Secondary Education
1. Introducción y marco teórico
El enfoque competencial en los sistemas educativos actuales tiene su referente en el informe
PISA de la OCDE. Este enfoque tiene como intención promover la alfabetización matemática
(“mathematical literacy” en el original en inglés), definida como la capacidad de “entender las
matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas
de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos
constructivos, comprometidos y reflexivos” (OCDE, 2006, p. 74), siendo uno de sus aspectos cruciales
encontrar nuevas formas de definir y describir las competencias que son necesarias desarrollar en los
alumnos a lo largo de las diferentes etapas educativas para que sean competentes en matemáticas
(Niss, 2003, p. 217). El informe PISA identifica ocho competencias matemáticas generales, similares a
las identificadas en el proyecto KOM (Blomhøj y Jensen, 2007, p. 47), que los estudiantes deben
poner en juego para resolver los problemas que plantean en las pruebas: Pensar y razonar;
Argumentar; Plantear y resolver problemas; Modelizar; Representar; Usar símbolos y formalismos;
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Análisis competencial de una tarea de modelización abierta
C. Gallart Palau. I. Ferrando Palomares. L. M. Garcia Raffi
Comunicar; Utilizar herramientas y recursos (TICs). Dicho informe también incide en la importancia
que, en los sistemas educativos actuales, debe tener el “aprender a matematizar”:
La evaluación de las matemáticas que hace PISA exige a los alumnos que se
enfrenten con problemas matemáticos que están basados en algún contexto
del mundo real, para lo cual los alumnos tendrán que, entre otras cosas,
activar las competencias matemáticas pertinentes para resolver el problema y
embarcarse en un proceso de matematización (Puig, 2006, p. 7).
Una forma de abordar el proceso al que se refiere Puig es a través de la resolución de tareas de
modelización. Este tipo de tareas promueve la matematización de situaciones reales, al tiempo que
lleva a los estudiantes a interpretar, reflexionar y validar los resultados matemáticos en la realidad,
todos ellos procesos esenciales en la resolución de problemas orientados a fomentar la alfabetización
matemática (Blum y otros, 2002, p. 151). En efecto, la resolución de una tarea de modelización, desde
un punto de vista normativo e idealizado (Borromeo, 2006), abarca una serie de fases (que pueden
variar de unos autores a otros, especialmente en las etapas iniciales correspondientes al mundo real)
que transitan, en un doble proceso de matematización vertical y horizontal (Treffers, 1987), entre el
mundo real y el mundo matemático. El ciclo de Blum y Leiβ (2007), en la Figura 1, nos ofrece un
marco de referencia a partir del cual describir el proceso de resolución de una tarea de modelización.
La representación del proceso completo de modelización mediante un ciclo tiene que ser visto como
un esquema simplificado e idealizado, y no como un algoritmo que se debe recorrer de forma lineal
(Maaβ 2006, p.115).
Figura 1. Ciclo de modelización de Blum y Leiβ (2007)
Se parte de una situación real que debe ser comprendida por el estudiante con el fin de formular
un problema (1). Para obtener un modelo de la realidad, ésta debe ser previamente simplificada y
estructurada (2). Mediante suposiciones, generalizaciones y formalizaciones se realiza la
matematización (3) de forma que, al identificar las matemáticas que subyacen en el modelo real, éste
se transforma en un modelo matemático. Una vez establecido el modelo matemático, se resuelve
matemáticamente (4), obteniendo una solución matemática, que tendrá que interpretarse (5) en la
situación real inicial, obteniendo así una solución real. Posteriormente se valida (6) todo el proceso
seguido y se comprueba que la solución real efectivamente resuelve el problema y que el modelo es el
adecuado, o por el contrario, que debe ser redefinido o refinado en una nueva vuelta por el ciclo.
Finalmente el proceso de resolución debe ser comunicado (7) (Blum y Niss, 1991, p. 38-39).
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NÚMEROS
Análisis competencial de una tarea de modelización abierta
C. Gallart Palau. I. Ferrando Palomares. L. M. Garcia Raffi
Blomhøj y Jensen (2003, p.129) definen la competencia en Modelizar como la capacidad de
afrontar correctamente y de forma autónoma todos los aspectos de un proceso de resolución de una
tarea de modelización en un contexto determinado. Por tanto, para recorrer este ciclo esquematizado
en la Figura 1, los estudiantes deben poner en juego los conocimientos, habilidades y actitudes que
conforman la competencia en Modelizar, que comprende las subcompetencias cognitivas necesarias
para llevar adelante cada una de las fases individuales del ciclo de modelización: comprensión,
simplificación, matematización, trabajo matemático, interpretación, validación, comunicación (Maaß,
2006, p. 116; Biccard y Wessels, 2011, p. 376-378). Estas subcompetencias, consideradas en su
aspecto productivo (Niss 2004, p. 9), se ponen en juego cuando el alumno lleva a cabo con éxito, de
forma activa y repetida, una acción, asociada con una de las transiciones que se dan entre las fases del
ciclo de modelización. Estas acciones, numeradas del (1)-(7), tal y como las hemos descrito
anteriormente y como quedan recogidas en la Figura 1, pueden reconocerse a través del análisis
cualitativo de la producción de los alumnos durante su proceso de modelización (Sol, Giménez y
Rosich, 2011, p.233).
2. Objetivo
El objetivo del presente trabajo es describir las competencias matemáticas que es necesario
activar para transitar con éxito por el ciclo de modelización durante el proceso de resolución de una
tarea completa de modelización, y que constituirán la competencia en Modelizar en su aspecto
cognitivo.
Para ello deberemos:
- Identificar, a partir del análisis del proceso de resolución seguido por un grupo de estudiantes,
las acciones que están involucradas en estas transiciones y que los estudiantes deben realizar
para moverse a lo largo del ciclo.
- Describir las competencias matemáticas que los alumnos han de poner en juego para realizar
estas acciones y que formarían parte de la propia competencia en Modelizar en el marco de
la resolución de este tipo de tareas.
- Establecer una identificación entre las competencias matemáticas y las subcompetencias
cognitivas que conforman la competencia en Modelizar.
3. Descripción de la experiencia
En el presente artículo centramos nuestra atención en el proceso de modelización llevado a cabo
por un grupo de tres alumnos de 3ºESO (13-14 años), en el marco de una actividad de modelización
realizada por un grupo completo de clase de 21 alumnos. Ninguno de ellos ha trabajado anteriormente
en actividades de este tipo, siguiendo, hasta el momento una enseñanza tradicional basada en los
problemas clásicos de los libros de texto, según la programación establecida por el currículo oficial.
La actividad se desarrolla a lo largo de tres sesiones de clase más una sesión final de presentación de
los trabajos y es supervisada por el investigador que es, asimismo, el profesor titular de la materia de
Matemáticas.
Durante la experiencia los alumnos deben asumir el papel protagonista y tomar el control del
proceso, trabajando de forma independiente en grupo. El profesor se limita a supervisar su trabajo, y
solo en caso de bloqueo y a petición del grupo, interviene, orientándolos a través de preguntas que les
lleven a reflexionar sobre su proceso de resolución.
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La tarea propuesta a este grupo de estudiantes, “La sombra en el patio de recreo” (ver Figura 2),
sigue los criterios establecidos en el LEMA-Project1, así como los principios de construcción de las
llamadas Modeling-Eliciting Activities (abreviadamente MEAs2).
Figura 2. Tarea “La sombra en el patio de recreo”, tal y como se presenta a los alumnos3
Esta tarea, según los indicadores competenciales desarrollados en el trabajo de Mora y Rosich
(2011), puede permitir a los estudiantes llegar a altos niveles de desarrollo de las competencias
matemáticas, ya que:
-
Implica nuevas estrategias de resolución y abre vías de investigación.
Permite utilizar diversas estrategias en contextos nuevos.
Implica una reflexión sobre los conocimientos necesarios en su resolución.
El proceso de resolución debe ser razonado y justificado.
Permite trabajar con objetos y representaciones no estándares.
Plantea el uso del lenguaje simbólico en contextos nuevos.
Precisa comunicar los resultados en una exposición pública al resto de la clase.
No es preciso el uso de herramientas pero se podrían utilizar en su resolución o comunicación.
4. Reconstrucción del proceso de modelización
A continuación describimos el proceso de resolución seguido por este grupo de alumnos, según
el ciclo propuesto en la Figura 1. Se detallan las acciones que han llevado a cabo para moverse a través
del ciclo así como las competencias matemáticas necesarias para implementar estas acciones y que
integrarían la competencia en Modelización. Para ello hemos analizado la documentación generada
1
Ver: http://www.lema-project.org/web.lemaproject/web/eu/tout.php
Ver: http://serc.carleton.edu/sp/library/mea/index.html
3
El picudo es un gorgojo que se hospeda en las palmeras. El único tratamiento efectivo contra esta plaga es la
tala de la palmera afectada.
2
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por el grupo de alumnos (diario del alumno, power-point de presentación) y por el profesorinvestigador (entrevistas, diario del profesor). Se incluyen, entrecomillados y en cursiva, los
comentarios originales de los alumnos.
4.1. Comprensión
Durante esta transición los alumnos deben entender y construir su propia imagen mental de la
situación real presentada. Esto les llevará a la formulación de un problema, lo que activa su
competencia en Plantear problemas, en el siguiente sentido. En algunas tareas los objetivos están
explícitamente establecidos en el propio enunciado: los alumnos deben entender y centrarse
únicamente en las cuestiones propuestas. En estos casos se hace difícil distinguir esta fase en el
proceso de resolución. Sin embargo, en otras tareas, como la que nos ocupa, los alumnos deben
formular un problema a partir de la situación real propuesta después de un proceso de reflexión sobre
el contexto en que se sitúa, su propia experiencia en este contexto y sus conocimientos en
matemáticas.
La observación de la sombra proyectada por la copa del árbol sobre el suelo lleva a los alumnos
a determinar que el problema real debe ser formulado en términos geométricos: “Coger las diferentes
formas geométricas [de las copas de los árboles] para ir probando cual genera una mayor sombra”.
4.2. Simplificación
Para obtener su modelo real, los alumnos deben identificar las variables relevantes de la realidad
que le permitan plantearse cuestiones propias de las matemáticas. Esto pertenece al dominio de la
competencia en Pensar y razonar. En esta transición, distinguimos dos tipos de tareas. Aquellas en
las que durante este proceso de simplificación los alumnos deben separar la información superflua de
la que es esencial, a partir de su conocimiento matemático y su propia experiencia, como ocurre en la
tarea propuesta, y aquellas en las que se dan de forma explícita diferentes variables que son claramente
identificables y donde tan solo se debe escoger un subgrupo de ellas (incluso en algunas tareas, tipo
MEAs, los datos se presentan directamente en tablas).
Nuestros alumnos consideran que el problema, tal y como ellos lo han planteado en la fase
anterior, puede resolverse estudiando el caso de un único árbol. El elemento importante es la sombra
que proyectará en el suelo en el momento del recreo. Además, estudian la sombra proyectada en un
momento determinado del año (en el mes de marzo) y del día (entre las 11.30 y las 12.00, durante el
recreo), lo cual supone también una simplificación del problema.
4.3. Matematización
Durante esta transición los alumnos deben relacionar los elementos que forman parte del
modelo real con los objetos matemáticos necesarios para construir lo que será su modelo matemático.
Para ello pueden valerse de diferentes tipos de representaciones (gráficos, diagramas, dibujos,…) que
junto al uso del lenguaje matemático, les ayude en esta transición. En este caso será necesario activar
la competencia en Representar y Usar símbolos y formalismos matemáticos.
En nuestra tarea, los alumnos utilizan formas geométricas (aquellas que conocen) para abordar
el problema geométrico del cálculo del área (la de la sombra proyectada). Construyen modelos en 2D
que son representaciones idealizadas de la sección plana de las copas de los árboles, mediante el
triángulo, el círculo y el rectángulo (ver Figura 3). El uso de estos modelos geométricos les da la
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posibilidad de trabajar con las formas geométricas y establecer relaciones de proporcionalidad entre
las áreas de estas formas y las de las sombras proyectadas, como veremos a continuación.
Figura 3. Modelos geométricos construidos por los alumnos
4.4. Trabajo matemático
Durante esta transición, los alumnos deben resolver el modelo matemático utilizando los
procedimientos matemáticos adecuados, activando su competencia en Resolver problemas. En
nuestro caso, los alumnos utilizan procedimientos geométricos para resolver su modelo matemático.
Calculan mediante las fórmulas correspondientes (círculo, triángulo y cuadrado) el área de las
secciones de las copas de sus modelos de árboles. Con sus maquetas van al patio del colegio, durante
el recreo, y proyectan sus sombras sobre un papel, marcando su contorno. Calculan las áreas de las
sombras utilizando de nuevo las fórmulas de las formas conocidas, en el caso de la copa circular,
aproximando su sombra, de forma más bien elíptica, a un círculo, de área conocida por ellos. Obtienen
así la razón entre el área de sus modelos y la de la sombra que proyectan. Sus resultados se recogen en
la Tabla 1.
Área de la figura
Área de la sombra
Razón
Círculo
Triángulo
Cuadrado
33,18 cm2
60,79 cm2
1,83
38,45 cm2
51,7 cm2
1,34
63,86 cm2
72,93 cm2
1,14
Tabla 1. Tabla presentada por los alumnos con sus resultados
4.5. Interpretación
Es necesario interpretar la solución matemática obtenida en la situación real, haciendo el
camino inverso desde el mundo de las matemáticas al mundo real. Como veremos, la traducción y
decodificación de la solución matemática a la realidad se apoyará en el uso y la interpretación correcta
de los elementos matemáticos (representaciones, gráficas, ecuaciones,...) y el lenguaje matemático
(que corresponde a las competencias de Representar y Usar símbolos y formalismos matemáticos),
junto con el activación de la competencia Pensar y razonar.
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Los alumnos deben interpretar los resultados recogidos en la Tabla 1 en los términos del
problema real que ellos mismos han planteado: la mayor razón se corresponde con la forma
geométrica que producirá una mayor superficie de sombra. Llegan por tanto a la conclusión de que
deben seleccionar un árbol con una copa circular. El árbol escogido, tras consultar internet, es el
ombú, cuya copa, según ellos, se puede ajustar a un círculo (ver Figura 4). Recaban sus dimensiones
medias: altura de 10,15 metros y radio de la copa de 4,5 metros. La elección de este árbol se debe
únicamente a criterios de gusto personal, y los alumnos no entran en otras consideraciones tales como
su adecuación a nuestro clima, su coste, o factor de crecimiento. Obviamente, el hecho de no tener en
cuenta otros factores es una simplificación del problema.
Figura 4. Imagen presentada por los alumnos con el árbol escogido, el Ombú
Con estos datos, pueden dar respuesta a su pregunta inicial: Un ombú medio produce una
sombra de π×4,52 × 1,83 = 116,4 m2.
Pero este resultado no agota el problema. Deberán determinar que superficie del patio quieren
sombrear y cuántos de estos árboles necesitarán, lo que les llevará a una nueva vuelta por el ciclo: “La
sombra del edificio del Colegio cubría 552,5m2  10,24 % del patio. Únicamente debíamos
sombrear otro 10%, 510m2, para obtener un 20% de sombra, previamente acordado”
Tendrán que dividir el área del patio de recreo que quieren sombrear entre la sombra que
proyecta un ombú, lo que les dará la respuesta al número de árboles que necesitan. Este razonamiento
S
, donde N es el número de árboles necesarios
r C
para sombrear un área S, r es la razón entre la forma geométrica de la sección plana de la copa del
árbol y el área de sombra que proyecta (recogida en la Tabla 1) y C es el área de la copa del árbol.
les lleva a plantearse la expresión general: N 
Esta expresión se deriva de la identificación de la relación entre diferentes variables: el número
de árboles es directamente proporcional al área que debe ser sombreada e inversamente proporcional a
la sombra proyectada por un árbol, es decir, cuanto menor es el área de sombra proyectada por el
árbol, mayor será el número de árboles necesarios. Pero además, la obtención de esta fórmula les
permite generalizar su modelo a otras situaciones similares a la planteada inicialmente en el problema.
Finalmente, manipulan su expresión, para determinar el número de árboles, ombúes, necesarios
N
S
510

 4,383 . Esta solución debe interpretarse en la realidad: son necesarios
r  C 1,83  (  4,52 )
cinco ombúes, concluyen, para sombrear el mínimo de superficie propuesto.
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4.6. Validación
Validar el modelo implica pensar de manera crítica sobre el proceso de resolución seguido, los
argumentos y razonamientos aportados que respalden y justifiquen este proceso y la validez de la
solución aportada, lo que activa su competencia en Argumentar. En esta transición se ha observado
que los alumnos pueden utilizar argumentos y criterios que no son estrictamente matemáticos. En
algunas tareas la validación representa la ejecución directa de la solución en la realidad. En otras
tareas esto no es posible y, en consecuencia, se acepta la solución o no dependiendo de su viabilidad
y/o su grado de aproximación a la realidad, como en nuestro caso.
La solución aportada por nuestro grupo de alumnos, cinco árboles, parece un número razonable,
teniendo en cuenta el tamaño del patio de recreo. Pero además, la validación de este resultado les lleva
a plantearse nuevas cuestiones no consideradas hasta ahora, como a qué distancia de la base del árbol
se proyecta la sombra de su copa, para poder así distribuirlos en el patio de manera que no se
superpongan sus sombras: “Sabiendo ahora la altura del árbol (10,15m) necesitábamos saber a qué
distancia del tronco se proyectaría la sombra de la copa […] Con estos datos podemos realizar una
regla de tres para averiguar donde se proyectará la sombra del ombú (Objeto de 12cm alto – Sombra
de 13cm; Objeto de 1015cm alto – X sombra). Aproximadamente 11m de longitud sombra”. Los cinco
árboles deben situarse a 11 metros unos de otros.
4.7. Comunicación
Cada grupo expuso, con ayuda de diapositivas digitales y durante diez minutos, su trabajo al
resto de compañeros (ver Figura 5). Durante esta sesión se plantean preguntas, se intercambian ideas y
se establecen debates respecto a los distintos enfoques seguidos en la resolución de las tareas. La
finalidad de esta exposición pública es posibilitar la evaluación del trabajo mediante el contraste de
opiniones entre iguales, especialmente entre alumnos de distintos grupos que han realizado, de forma
independiente, la misma tarea. Esta presentación oral activa la competencia en Comunicar.
Figura 5. Un momento de la presentación
Durante la exposición, sus compañeros plantean la posibilidad de utilizar nuevas formas para las
copas de los árboles, como el rectángulo; comentan también los posibles errores de cálculo al idealizar
las formas de las secciones de las copas de los árboles así las limitaciones del modelo, que se
circunscribe a un momento del año y del día concreto. En este sentido, cabe destacar que la tarea de
modelización se finaliza cuando se considera que se ha llegado a una solución razonable o bien a
causa de las limitaciones de tiempo, pero esto no agota el problema, pues la resolución puede seguir
enriqueciéndose añadiendo nuevas variables o supuestos, como los planteados durante esta fase de
comunicación.
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5. Conclusiones
La identificación de las transiciones del ciclo de modelización con acciones y éstas con
competencias matemáticas, ejemplificada a través de la reconstrucción del proceso de resolución
realizado por este grupo de alumnos, nos permite concluir que todas las competencias matemáticas se
activan durante el proceso de modelización. Esta activación de las competencias establecidas en el
informe PISA se realiza de forma simultánea y combinada en algunas transiciones del ciclo de
modelización, lo que implica una necesaria interacción entre ellas para lograr el éxito en la resolución
de la tarea.
En la Tabla 2 resumimos este proceso, ayudándonos de una serie de preguntas que pueden
determinar si el alumno ha llevado a cabo con éxito la acción y la activación de la/s competencia/s
necesaria/s. Además de si la respuesta a esta pregunta es positiva o negativa, el que el que se trate de
una tarea abierta, compleja y rica, según los diferentes instrumentos expuestos, permitirá a los
profesores detectar qué elementos de la competencia matemática en general, y de la competencia en
modelización en particular, se han trabajado con éxito y cuales precisan de una mayor atención por su
parte en aras de romper y superar los bloqueos o dificultades que puedan surgir.
Competencias
matemáticas
M
Pregunta
Plantear
problemas
¿El problema ha sido formulado
correctamente?
Pensar y razonar
¿La correspondencia entre los
elementos de la realidad y los del
modelo matemático es adecuada?
O
D
E
L
I
Z
A
Representar
Usar símbolos y
formalismos
Resolver
problemas
R
Argumentar
Comunicar
¿Se usan representaciones
matemáticas para plantear y resolver
el modelo matemático de forma
adecuada?
¿Se utiliza el lenguaje matemático
de forma correcta?
¿Se utilizan los procedimientos y las
herramientas matemáticas adecuadas
para resolver matemáticamente el
modelo planteado?
¿Se dan argumentos que justifiquen
el proceso de resolución seguido y la
adecuación de los resultados
obtenidos a la situación real?
¿Se comunica de forma oral y
escrita el proceso de resolución de
forma clara y precisa?
Acción
Se simplifica y estructura la situación hasta
formular un problema, abordable desde su
conocimiento matemático: “Coger las
diferentes formas geométricas para ir
probando cual genera una mayor sombra”
Idealizan la copa de los árboles con formas
geométricas regulares: triángulo, rectángulo,
círculo.
Construyen modelos geométricos a escala
para simular la realidad.
Se utilizan maquetas, tablas e idealizaciones
geométricas para representar la realidad.
Se construyen expresiones algebraicas con las
que resolver el problema planteado.
Utilizan distinto contenido matemático en la
resolución del problema: Formas geométricas,
medida y cálculo de áreas, semejanza,
lenguaje algebraico.
Los alumnos reflexionan sobre la validez de
los primeros resultados obtenidos, lo que les
lleva a añadir nuevas variables a su modelo en
sucesivos ciclos
El debate entre los miembros del grupo está
presente en todo el proceso de resolución.
El producto final es expuesto finalmente al
resto de compañeros
Tabla 2. Resumen del proceso de modelización seguido por nuestros alumnos
El resultado de este análisis es extrapolable a otras tareas de modelización abiertas que permitan
que los estudiantes transiten a lo largo del ciclo completo de modelización, es decir, la Tabla 2 es una
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herramienta de trabajo que puede ayudar a analizar la resolución de los estudiantes. Además esta tabla
permite inferir que todas las competencias establecidas en el informe PISA no parecen estar al mismo
nivel, ya que la competencia en Modelizar se trabaja a través del resto. Por otra parte, el uso integrado
y combinado de la mayoría de las competencias matemáticas propuestas en el proyecto PISA, pone de
relieve la importancia de las tareas completas y genuinas de modelización en el fomento de la
alfabetización matemática en nuestros alumnos.
Agradecimientos
I. Ferrando agradece la ayuda del Ministerio de Economía y Competitividad (Spain) a través del
proyecto de investigación EDU2012-35638.
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César Gallart Palau es licenciado en Matemáticas por la Universitat de València. Es profesor del
Colegio CEU-San Pablo y profesor del Máster en Formación del Profesorado en la Universidad Cardenal
Herrera CEU. Actualmente está finalizando su tesis doctoral en el Departamento de Matemática Aplicada
de la Universidad Politécnica de Valencia, sobre el uso de la modelización en la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas en la educación secundaria.
Irene Ferrando Palomares es licenciada en Matemáticas por la Universitat de València (UV). Se
doctoró en Matemáticas por la Universidad Politécnica de Valencia en el año 2009. Durante dos años
trabajó como profesora de Educación Secundaria para la Conselleria d’Educació de València. Desde el
año 2012 ocupa una plaza de Ayudante Doctor en el Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la
UV y ha orientado su investigación hacía el uso de la modelización como herramienta de enseñanza de
las Matemáticas y las Ciencias en educación primaria y secundaria.
Lluís Miquel Garcia Raffi estudió CC. Físicas en la Facultat de Física de la Universitat de València. Se
doctoró en Física Nuclear en el Instituto de Física Corpuscular en 1995, año en el que pasó a la
Universitat Politècnica de València como profesor del Departament de Matemàtica Aplicada. Se doctoró
en Matemáticas en el año 2003 y en la actualidad es Catedrático de Universidad en el citado
departamento. Además de diversos trabajos en Física y Matemáticas, ha publicado artículos y libros
dedicados al uso de la modelización en la enseñanza de las Matemáticas y las Ciencias Básicas.
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de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
103
http://www.sinewton.org/numeros
E
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 105-113
X
Código WhatsApp
P
Sergio Darias Beautell (Instituto de Enseñanza Secundaria Teobaldo Power. España)
E
D
“El álgebra es muy generosa. Siempre nos dice más
de lo que le preguntamos.”
S
1. Introducción
A
Algebra, algebraic expressions, equations, PDI, Classroom experience.
I
Keywords
C
The boom and proximity of WhatsApp´s symbols are used, in this activity, to make a
brief introduction to algebraic expressions. The challenge is to find out a secret message
hidden behind some WhatsApp´s symbols. We have a sequence of activities to guide
students using the interactive whiteboard and at the same time filling a worksheet in. In
the last two lessons students will be able to find the secret message by solving nine
WhatsApp equations by dragging symbols in the interactive whiteboard.
N
Abstract
E
Álgebra, lenguaje algebraico, ecuaciones, PDI, Experiencia de aula
I
Palabras clave
R
En esta actividad se aprovecha el auge y la cercanía de los símbolos del WhatsApp para
hacer una breve introducción al lenguaje algebraico. El reto consiste en esconder detrás
de una serie de símbolos de WhatsApp un mensaje secreto que deberán descifrar a lo
largo de las sesiones. Para ello tendremos una secuencia de actividades manipulativas
para la pizarra digital interactiva (PDI) y una ficha de trabajo. La resolución del mensaje
secreto no llegará hasta las últimas dos sesiones en las que se abordará la resolución de 9
ecuaciones (WhatsApp) que nos darán las sílabas escondidas detrás de los 9 símbolos y
que servirán para decodificar el mensaje.
Coordinador: Sergio Darias Beautell
Resumen
D'Alembert
U
L
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
A
El objetivo de la experiencia coincide con las directrices que nos da el criterio de evaluación
cuatro de 1ºESO (12 años) en el currículo español (DECRETO 127/2007, de 24 de mayo, por el que
se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad
Autónoma de Canarias). Se pretende que el alumnado sea capaz de percibir aquello que es común y
expresar algebraicamente las regularidades percibidas, manejando letras y símbolos con cierta soltura.
E
La introducción del lenguaje algebraico presenta especial dificultad en el aprendizaje de las
matemáticas. La experiencia nos dice que no es sencillo que el alumnado adquiera el grado de
abstracción necesario para trabajar con comodidad y gusto con estas expresiones que esconden un
valor. La utilización de los símbolos de WhatsApp responde simplemente al intento de acercar este
lenguaje al entorno del alumnado creando un contexto amigable donde entendemos el icono como la
incógnita. En cualquier caso, se trabajará también intercalando actividades donde introducimos letras
(x, y, z, t,…) que nos indicarán el valor desconocido en la expresión.
Código WhatsApp
En este nivel educativo deben comenzar a construir el “puente” que les permita llevar expresiones del
lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y viceversa.
Por otro lado, la utilización de la Pizarra digital interactiva (PDI) nos permitirá la manipulación
en pantalla de las ecuaciones, acercándonos así a la idea de ecuación como balanza y afianzando
manipulativamente las reglas propias de la resolución de ecuaciones que vendrán a continuación.
Digamos que funcionará como un andamio que facilitará a los estudiantes el proceso de abstracción.
Otro aspecto importante es procurar en todo momento que los alumnos y las alumnas verbalicen
los procesos, exponiendo continuamente los resultados y las conclusiones ante el grupo, dando pie al
debate y al razonamiento colectivo. Debemos intentar no adelantar las respuestas sino que sean ellos
los que lleguen a ella. Ahí proponemos al docente, mantener un rol aparentemente secundario, de
dinamizador y facilitador de los nuevos conceptos que afloran en el aula. Lanzamos la propuesta, el
alumnado trabaja individualmente o en pareja y a continuación se exponen los resultados.
2. Material
El alumnado va a centrar su trabajo en la Ficha 1, razonando las actividades en pequeño
grupo/gran grupo, y rellenándola posteriormente de forma individual. Al mismo tiempo, la
presentación en la PDI nos permitirá interactuar con los iconos y resolver las distintas actividades a la
vista de todo el grupo.
 Ficha de trabajo individual para imprimir (Ficha_1_SA_CodigoWasap.doc)
https://dl.dropboxusercontent.com/u/71178261/SA/Ficha_1_SA_CodigoWasap.doc
 Ordenador y PDI
 Presentación para la PDI (CodigoWasap.notebook)
https://dl.dropboxusercontent.com/u/71178261/SA/CodigoWasap.notebook
(Nótese que para poder ver esta presentación hay que descargarse Smart NoteBook 10)
Les facilitamos también la versión en pdf pero lógicamente sin interactividad:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/71178
261/SA/CodigoWasap_Presentacion.pdf
 Recursos Educaplus:
http://www.educaplus.org/play-15-Puzzlealgebraico.html
http://www.educaplus.org/play-13Ecuaciones-visuales.html
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Por último, decir que hemos tenido la suerte de desarrollar esta experiencia con dos grandes
profesionales como son Alicia Domínguez Perdomo y Ruth Rodríguez Pérez. En el curso 20132014 nos distribuimos cuatro grupos de 1º ESO del IES Santa Ana (Candelaria, Tenerife) y a través
del proyecto de docencia compartida (ProIdeac1) trabajamos juntos en el aula.
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Figura 1
1
ProIDEAC Programa de Integración del Diseño y Evaluación de los Aprendizajes Competenciales de la
Consejería de Educación, Universidades y Sostenibilidad del Gobierno de Canarias.
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Código WhatsApp
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3. Temporalización
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A continuación se muestra una tabla con una propuesta temporal que comienza con una sesión
de presentación, cinco de trabajo con lenguaje algebraico y las dos últimas de desenlace la situación de
aprendizaje.
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Tabla 1
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4. Desarrollo de la experiencia
C
4.1. Primera sesión
I
Código secreto. Introducción.
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Figura 2
A
Se le presentará a continuación la tarea final que consiste en
descifrar la frase secreta escondida detrás de una serie de símbolos de
WhatsApp (figura 3). Para poder hacerlo será necesario resolver
nueve ecuaciones, con estos símbolos, que se les darán más adelante.
En ese momento, también se les facilitará la clave de decodificación.
S
En esta primera sesión se presenta la experiencia comenzando
con una breve actividad de iniciación en la que se propone al grupo
que encuentre los dos refranes y las dos películas que se esconden en
esta secuencia de símbolos de WhatsApp (figura 2). La presentación
de la PDI CodigoWasap.notebook nos servirá de guía a lo largo de
las sesiones. De forma paralela el alumnado irá trabajando en la ficha
Ficha_1_SA_CodigoWasap.doc. En general, se trabajará en pareja,
contestando individualmente en dicha ficha y exponiendo las
conclusiones al gran grupo.
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Figura 3
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Código WhatsApp
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4.2. Sesiones de segunda a sexta
1. Se comienza por una serie de cuadrados mágicos con iconos que permitan al alumnado
resolverlos sin mucha dificultad y en el que debemos intentar que expliquen el procedimiento que
han seguido para su resolución.
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Aprendemos otro lenguaje.
También hacemos algunos de otro tipo insistiendo en verbalizar el
razonamiento seguido. Se puede finalizar esta sesión haciendo que los
alumnos y las alumnas se inventen un cuadrado mágico con los iconos
anteriores y se lo propongan a su pareja que debe traerlo resuelto para el
siguiente día.
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Figura 4
2. A continuación se trabajará el paso del lenguaje cotidiano al algebraico y también se les hará
reflexionar, con imaginación, sobre el camino inverso que lleva de una expresión algebraica a una
situación inventada de la realidad. En estas sesiones se aprovechará para introducir algunas
definiciones (Lenguaje algebraico, Lenguaje numérico, incógnita,…) y afianzar las expresiones
más comunes como: la suma de dos números, el doble, el triple, el cuadrado, la diferencia, la
mitad, etc.
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Figura 5
Mostramos algunos ejemplos de este tipo de actividades extraídas de la presentación de PDI:
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Figura 7
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Código WhatsApp
Con los ejemplos anteriores el alumnado debe trabajar el paso de lenguaje ordinario a lenguaje
algebraico. En el último apartado también calculará el valor numérico de algunas expresiones. En el
ejemplo que vemos a continuación el alumnado debe inventar historias que puedan surgir a raíz de las
expresiones escritas.
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3. El paso siguiente consiste en trabajar con patrones visuales y numéricos, dando las expresiones
generales y a continuación algunos valores numéricos. Por ejemplo, en esta secuencia con el
icono de la flor hacemos preguntas del tipo:
 ¿Cuántas flores tendrá el Paso 12? ¿Y el paso n?
 ¿Cuántos iconos tendrá el Paso 9? ¿Y el paso n?
 ¿Cuántas hojas tendrá el Paso 9? ¿Y el paso n?
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Figura 9
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Un ejemplo de actividad con un patrón de tipo numérico sería el siguiente, con las compañías
telefónicas.
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Figura 10
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Y terminaríamos esta sección con una actividad contextualizada en las temperaturas, en ella
deberán pasar de grados Kelvin o Fahrenheit a grados Centígrados para poder comparar (valor
numérico).
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Figura 11
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4.3. Sesiones de séptima y octava
En estas dos últimas sesiones se trata de resolver (manipulando en la PDI) las 9 ecuaciones que
nos darán la pista del mensaje secreto. Podrán poner (sumar) y quitar (restar) en los dos lados
(miembros) manteniendo el equilibrio (igualdad), también agruparán en partes iguales (dividir) para
obtener el valor del icono (incógnita). Insistimos en que es muy importante que el alumnado verbalice
delante de la clase su razonamiento.
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Resolvemos ecuaciones de WhatsApp
A medida que los estudiantes vayan encontrando el número que esconde cada icono tendrán que
utilizar la clave para ver a que sílaba corresponde. Es el momento de descifrar el mensaje y ponerlo en
común ante la clase. Finalmente, para evaluar la actividad, recogemos la ficha de trabajo individual.
Con esta y con las anotaciones de las intervenciones en el aula tendremos la información necesaria
para la evaluación de la experiencia.
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Figura 12
Figura 13
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5. Conclusiones
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Por otro lado, el trabajo conjunto de dos docentes en el aula ha ayudado mucho a poder atender
a las necesidades del alumnado y sobre todo a tener una visión más amplia en la planificación, puesta
en práctica y evaluación de la experiencia. En este sentido me gustaría dar las gracias a mis
compañeras Alicia Domínguez Perdomo y Ruth Rodríguez Pérez sin las cuales no estaría
escribiendo este artículo. También a Cristo Alvárez Suárez, Ana Beatriz Quintela Rendo, Carlos
Felipe Alberto, Felipe Rodríguez, Ana Foronda y Rosi Cano, por su trabajo y la recopilación de
materiales que me han ayudado para esta propuesta.
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En este trabajo, un detalle tan simple como utilizar los iconos de WhatsApp como incógnitas
nos ha permitido realizar la introducción del lenguaje algebraico de manera más atractiva. Además,
también ha ayudado en este sentido tener la guía visual de la Pizarra Digital Interactiva (PDI), donde
el alumnado manipula los símbolos de forma muy natural. Este contexto nos ha facilitado el camino
hacia la consolidación de nociones y conceptos abstractos propios del álgebra que en otras ocasiones
habíamos abordado con más dificultad.
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Bibliografía
N
Por último y para hacerse una idea más completa del trabajo se recomienda ver el vídeo en los
materiales anexos.
I
Botella, L., Millán, L., Pérez, P., Cantó, J. (2007). Matemáticas 1º ESO. Editorial Marfil
Barbero Corral, E. et al (2009). Matemáticas 1ºESO. Recuperado el 01 de marzo de 2015 de
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/
A
Anexo
S
En el siguiente enlace mostramos un vídeo resumen con intervenciones del alumnado y que
puede ayudar al lector a hacerse una idea más completa de la experiencia.
http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/sdarbea/2014/06/18/algebra-con-el-whatsapp/
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Sergio Darias Beautell, Instituto de Enseñanza Secundaria Teobaldo Power, Santa Cruz de Tenerife.
Profesor de Enseñanza Secundaria (Matemáticas)
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 115-126
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las
parábolas definidas por la expresión 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
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Parameter, Stretching, Shrinking, Reflection, Quadratic Function, GeoGebra
O
Keywords
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In this paper we describe a sequence to characterize "stretching" and "reflection"
transformations in families of parabolas defined by g(x)=ax^2 with GeoGebra. This
sequence consists of three stages in which we establish the ranges of variation of the
parameter a to conduct the analysis, observe the properties of the curves g(x) when the
parameter takes different values, and characterize the families of curves corresponding to
each interval. This scaffolding of the process favors the development of skills to
coordinate the graph and symbolic representations of real functions as the studied in this
paper. In this way, we believe that this proposal may improve the practice of those
mathematics teachers in Secondary Education who show interest in the use of digital
technologies.
G
Abstract
O
Parámetro, Deformación, Reflexión, Función cuadrática, GeoGebra
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Palabras clave
N
En este trabajo describimos una secuencia para caracterizar las transformaciones
“deformación” y “reflexión” en familias de parábolas definidas por 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 ,
utilizando el GeoGebra. Esta secuencia se desarrolla en tres momentos en los que se
busca establecer los intervalos de variación del parámetro 𝑎 para llevar a cabo el análisis,
observar las características de las curvas de 𝑔(𝑥) mientras el parámetro cambia de valor
y caracterizar las familias de curvas correspondientes a cada intervalo. El paso por estos
tres momentos favorece el desarrollo de destrezas para coordinar las representaciones
gráfica y simbólica de funciones reales como la abordada en este trabajo. De este modo,
creemos que esta propuesta puede potenciar la práctica de los profesores de Matemática
que laboran en Educación Media y que sienten interés en el uso de entornos tecnológicos.
Coordinador: Carlos Ueno Jacue
Resumen
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Rafael E. Gutiérrez
Juan Luis Prieto
(Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática; Universidad del Zulia. Venezuela)
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de Profesores de Matemáticas
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Algunos investigadores relacionan la comprensión de un objeto matemático con la actividad de
coordinación de sus múltiples representaciones en situaciones de resolución de problemas (Borba,
1993; Borba y Villareal, 2005; Duval, 1996). Desde este enfoque cognitivo, un desafío para la
enseñanza media consiste en promover el desarrollo de las capacidades del alumno para coordinar las
diversas representaciones de una misma noción matemática (NCTM, 2000, pp. 303-304). Entre los
contenidos que resultan provechosos para lograr este propósito destaca el tema de las transformaciones
de funciones reales, dada la variedad de representaciones desde las cuales es posible su abordaje. Sin
embargo, en los últimos años, la enseñanza de las funciones se ha caracterizado por un tratamiento de
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1. Introducción
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
Este tipo de enseñanza ha traído como consecuencia que los alumnos presenten serias
dificultades al momento de enfrentarse a situaciones en las que deben establecer relación entre las
representaciones gráficas y simbólicas de una función real en particular (Guzmán, 1998). No obstante,
estas dificultades podrían ser superadas por medio de las tecnologías digitales, cuyos usos especiales
favorecen el desarrollo de habilidades para la coordinación de las representaciones gráficas,
simbólicas y tabulares de las funciones, potenciando así las capacidades de exploración, visualización
y simulación matemática de los alumnos (Artigue, 2012, pp. 43). Una de estas tecnologías es el
GeoGebra, un software libre de matemática dinámica a través del cual es posible que los alumnos
observen, comparen e interaccionen con las funciones reales a partir de sus distintas representaciones
simultáneamente, lo que ha llevado a este software a ser utilizado por profesores e investigadores en
todo el mundo (González, 2011; Diković, 2009; Hohenwarter, 2006).
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los contenidos bajo un enfoque más algebraico, dejando de lado el trabajo con las representaciones
gráficas y tabulares en muchos de los casos (Rezende, Pesco y Bortolossi, 2012, pp. 75).
Algunas evidencias de lo provechoso que resulta el utilizar al GeoGebra para abordar este
tópico se ven reflejadas en investigaciones que dan cuenta de una mejoría en la comprensión de las
características de las funciones cuadráticas en alumnos que basan sus razonamientos en la
coordinación de las representaciones gráfica y simbólica de esta familia, tras participar en secuencias
instruccionales apoyadas en el software (Darmawan y Iwan, 2011). Por esta razón, creemos necesario
que el profesor se apropie del GeoGebra y sea capaz de integrarlo eficientemente en su práctica
profesional, lo que supone, por ejemplo, que éste conozca y desarrolle formas de analizar las
relaciones entre la variación de los parámetros de la fórmula que define a una función real y las
gráficas correspondientes, desde un punto de vista profesional (como docente) y que se apoyen en
entornos tecnológicos como el que ofrece GeoGebra.
Atendiendo a esta necesidad, en este trabajo se describe una secuencia para caracterizar las
transformaciones geométricas “deformación” y “reflexión” en distintas familias de parábolas definidas
por la expresión 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , a partir de las relaciones entre los valores que toma el parámetro 𝑎 y las
curvas asociadas mediante el GeoGebra. Esta propuesta representa un aporte al desarrollo de destrezas
para la coordinación de representaciones de las funciones reales en entornos tecnológicos. Finalmente,
vale destacar que esta secuencia es parte de un análisis más detallado que el Grupo TEM llevó a cabo
sobre los efectos asociados a expresiones más generales de una función cuadrática, tales como
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, y que se han reseñado en trabajos previos (Gutiérrez, Araujo y Prieto, 2012).
2. Transformaciones de funciones
Desde un punto de vista geométrico, la transformación de una función 𝑓(𝑥) es otra función
𝑔(𝑥) cuya gráfica presenta algún “cambio” en relación a las cualidades (forma o posición) que posee
la gráfica de la primera función; visto así, 𝑓(𝑥) actúa como referente de 𝑔(𝑥) para la transformación
aplicada. En cuanto a lo algebraico, estos efectos geométricos se relacionan con los cambios en los
valores de los parámetros contenidos en la expresión algebraica que define a 𝑓(𝑥). Ejemplos de lo
anterior se tienen al sumar o multiplicar un valor real 𝑘 no nulo (𝑘 ∈ ℝ∗) a la fórmula de una función
𝑓(𝑥), obteniendo así las nuevas funciones 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑘 y ℎ(𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥), respectivamente. En
cada caso se obtiene una transformación distinta y, por tanto, gráficas que han sufrido algún cambio
respecto a su referente.
En algunos casos, la gráfica de la función referente 𝑓(𝑥) es el resultado de otra transformación
más simple. En los demás casos 𝑓(𝑥) no admite lo anterior, dando cabida a la existencia de un
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Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
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conjunto de funciones que no resultan de transformación alguna y que se denominan funciones
prototipo (Confrey y Smith, 1991). En el contexto de este estudio, las funciones prototipo son
consideradas como representantes de las diferentes clases de funciones. Algunos ejemplos de
funciones prototipo son las siguientes: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥 , ℎ(𝑥) = cos 𝑥.
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2.1. Transformaciones rígidas
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En general, las transformaciones de funciones se clasifican en dos tipos, a saber, rígidas y no
rígidas (Larson, Hostetler y Edwards, 2008):
La transformación de una función real es rígida cuando su gráfica ha cambiado sólo de posición
en el plano cartesiano, con respecto a la posición ocupada por su referente. De las posibles
transformaciones rígidas que existen nos centraremos en las siguientes:
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2.1.1. Traslación
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Se dice que la gráfica de una función 𝑔(𝑥) es la traslación de su referente 𝑓(𝑥) si cada punto de
la primera es homólogo de algún punto de la gráfica de la segunda función según un vector de
traslación determinado. Las traslaciones de funciones pueden darse en las direcciones vertical,
horizontal u oblicua.
2.1.2. Reflexión
G
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Se dice que la gráfica de una función 𝑔(𝑥) es la reflexión de 𝑓(𝑥) si cada uno de sus puntos es
el simétrico de algún punto de la gráfica de la segunda función (su referente), con respecto a un eje de
simetría. Cuando el eje de simetría coincide con el eje x, la gráfica de 𝑔(𝑥) es la reflexión de la gráfica
de 𝑓(𝑥) si ocurre que 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥). Análogamente, cuando el eje de simetría coincide con el eje y,
la gráfica de 𝑔(𝑥) es el reflejo de la gráfica de 𝑓(𝑥) si ocurre que 𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
2.2. Transformaciones no rígidas
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2.2.1. Deformación vertical
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Esta deformación se produce al multiplicar la expresión algebraica de una función prototipo
𝑓(𝑥) por un número real positivo 𝑘 (con 𝑘 ≠ 1), obteniendo así otra función 𝑔(𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥). Una
comparación entre las imágenes de ambas funciones para cada valor del dominio conlleva a una
clasificación de la deformación vertical en dos tipos: dilatación y contracción. Por un lado, se dice que
la deformación vertical es una dilatación si para todo 𝑡, con 𝑓(𝑡) no nulo (𝑓(𝑡) ∈ ℝ∗ ) ocurre que el
valor absoluto de su imagen en 𝑔(𝑥) es mayor al valor absoluto de su imagen en 𝑓(𝑥), esto es
|𝑔(𝑡)| > |𝑓(𝑡)|. Por otro lado, se dice que la deformación vertical es una contracción si para todo 𝑡,
con 𝑓(𝑡) no nulo (𝑓(𝑡) ∈ ℝ∗ ) ocurre que el valor absoluto de su imagen en 𝑔(𝑥) es menor al valor
absoluto de su imagen en 𝑓(𝑥), esto es |𝑔(𝑡)| < |𝑓(𝑡)|. En ambos casos, se tiene que 𝑔(𝑡) es 𝑘 veces
mayor o menor que 𝑓(𝑡), según el valor que tome 𝑘. En este sentido, cabe preguntarse: ¿para qué
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de Profesores de Matemáticas
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La transformación de una función real es no rígida cuando su gráfica sólo ha experimentado
alguna distorsión (cambio) en su forma, con respecto a aquella que posee la gráfica de su referente.
Debido a su naturaleza, se admite la mención a este tipo de transformaciones como una
“deformación”. Cabe destacar los siguientes dos tipos de transformaciones no rígidas:
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
valores de 𝑘 la función 𝑔(𝑥) es una dilatación o contracción vertical de 𝑓(𝑥)? Esta interrogante es
respondida a lo largo de la propuesta.
Esta deformación se produce cuando la variable independiente de la función prototipo 𝑓(𝑥) se
multiplica por un número real positivo 𝑘 (con 𝑘 ≠ 1), obteniendo de esta manera una nueva función
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑘. 𝑥). Al igual que el caso anterior, la deformación horizontal puede ser de dos tipos:
dilatación y contracción.
3. Consideraciones del análisis
3.1. En cuanto al objeto matemático
Dada la naturaleza de la función determinada por la expresión 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 (con 𝑎 ∈ ℝ∗ ), la
cual es el foco de este análisis y que da origen a una familia particular de parábolas (aquellas con
vértice en el origen del Sistema de Coordenadas Cartesiano), la secuencia que se propone tiene en
cuenta dos tipos de transformaciones geométricas: deformación y reflexión, las cuales se relacionan
con los cambios en los valores del parámetro 𝑎 de 𝑔(𝑥). En el caso de la deformación, la curva
referente es aquella correspondiente a 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , denominada parábola canónica. En el caso de la
reflexión, cada curva reflejada tiene su propio referente y sólo una de ellas es la reflexión de la
parábola canónica (cuando 𝑎 = −1). Más aún, las curvas restantes pueden considerarse como la
reflexión de parábolas previamente deformadas.
Añadido a lo anterior, se tuvieron en cuenta los siguientes elementos asociados a las parábolas
de la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 :
 Eje de simetría: recta que divide a la parábola en dos porciones simétricas. En este caso, tal
recta coincide con el eje y.
 Vértice: punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En este caso, dicho
punto es aquel de coordenadas (0,0).
 Eje de reflexión: recta perpendicular al eje de simetría que pasa por el vértice. En este caso,
la recta en cuestión coincide con el eje x.
 Concavidad: ubicación de todos los puntos de la parábola con respecto a los semiplanos
determinados por el eje de reflexión.
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2.2.2. Deformación horizontal
3.2. En cuanto al GeoGebra
Para representar las transformaciones de deformación y reflexión en el GeoGebra, la secuencia
considera el uso de un deslizador, herramienta del software que posibilita al usuario la vinculación, en
tiempo real, de intervalos de valores continuos o discretos a parámetros que son parte de expresiones
algebraicas más complejas, realizar los ajustes necesarios sobre los extremos del intervalo y visualizar
dinámicamente los cambios que sufren las expresiones involucradas y sus representaciones análogas
(p.e., las curvas, en el caso de las funciones) mientras el parámetro toma distintos valores.
La construcción de un deslizador en el entorno del Geogebra requiere tener en cuenta dos
cuestiones de la herramienta: el tipo de deslizador y los valores mínimo y máximo. En relación a lo
primero, el software permite construir deslizadores de tipo: (i) número, usados para realizar
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Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J.L. Prieto
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Finalmente, es preciso comentar la manera en que se asocia el deslizador correspondiente a la
expresión 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 . Para ello, lo primero es utilizar la herramienta “Deslizador” para crear un
deslizador tipo número. Lo segundo es introducir la expresión 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 en el “Campo de Entrada”
del GeoGebra. Al hacer esto se puede apreciar una parábola en la vista gráfica, la cual cambia de
forma con cada valor que toma el deslizador construido previamente. Vale resaltar un par de opciones
que son de mucha utilidad en el desarrollo de la secuencia: Animación activada y Rastro activado. La
primera se utiliza para variar automáticamente el deslizador, mientras que la segunda se utiliza para
observar el rastro que va dejando la curva que se transforma a medida que el deslizador varía.
M
variaciones entre números reales, (ii) ángulo, propicios para realizar variaciones entre valores
angulares, y (iii) entero, los cuales se utilizan para realizar variaciones entre números enteros. Al crear
el deslizador el GeoGebra le asocia un rótulo, por lo general una letra minúscula, que puede
renombrarse fácilmente. En relación a lo segundo, los valores mínimo y máximo del deslizador son
aquellos que representan los extremos del intervalo de variación del parámetro. Dada la naturaleza de
los valores que toma 𝑎 en la función 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , la secuencia que sigue hace uso de un deslizador de
tipo número, de rótulo 𝑎 y cuyos valores mínimo y máximo cambian de acuerdo a las necesidades del
análisis.
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3.3. En cuanto al procedimiento de análisis
G
E
Dado que la variación del parámetro 𝑎 produce dos tipos de transformaciones sobre las
parábolas asociadas a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , la secuencia propone un análisis de la deformación y reflexión por
separado. En ambos casos, este análisis consiste en: (i) establecer los intervalos en los cuales el
parámetro debe variar para hacer posible la visualización de uno u otro efecto, (ii) ajustar el deslizador
para cada intervalo, (iii) observar las características de las parábolas representadas en la vista gráfica
tras la variación del deslizador, y (iv) caracterizar las familias de parábolas. El desarrollo de este
proceso permite apreciar las relaciones entre los valores que toma el parámetro en cada momento y las
cualidades de las curvas deformadas y reflejadas mostradas en el GeoGebra.
O
G
4. Secuencia de análisis
E
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La secuencia que sigue consta de tres momentos. El primer momento consiste en establecer los
intervalos de variación del parámetro para los cuales es posible caracterizar las transformaciones de
deformación y reflexión asociadas a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 . El segundo momento es dedicado al análisis de la
deformación. En éste se realizan los ajustes convenientes al deslizador 𝑎, se hace variar el mismo para
visualizar el efecto y se caracterizan las parábolas asociadas en relación a éste. El tercer momento se
desarrolla de manera análoga al momento anterior, caracterizando esta vez el efecto de reflexión.
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4.1. Momento 1
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Definir los intervalos de variación del parámetro de 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 es el primer paso para el
establecimiento de relaciones entre las representaciones gráfica y simbólica de esta función en el
entorno del GeoGebra. Esto supone tener en cuenta los valores que puede tomar el parámetro según el
tipo de función que se trate. En este caso 𝑎 es un número real no nulo (𝑎 ∈ ℝ∗), lo que hace al 0 un
valor “crítico” para el análisis en cuanto determina dos intervalos de variación del parámetro donde
este valor es uno de los extremos: (−∞, 0) y (0, ∞). Luego de esto, es importante conocer los cambios
de forma o posición de las parábolas que resultan de la variación del parámetro en cada uno de estos
intervalos, utilizando el GeoGebra. Una forma de visualizar lo anterior es a través del establecimiento
de un intervalo que contenga valores de (−∞, 0) y (0, ∞) a la vez. Por ejemplo, si se considera el
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
Posteriormente, se activa la animación sobre el deslizador para observar el comportamiento de
la curva dibujada en la vista gráfica. En la medida que el deslizador toma valores distintos del
intervalo [−43, 25] se aprecian cambios de concavidad en esta curva, siendo cóncava hacia arriba
cuando 0 < 𝑎 ≤ 25 y cóncava hacia abajo cuando −43 ≤ 𝑎 < 0. Si estas situaciones se acompañan
de la activación del rastro a la curva, es posible apreciar con más detalle las dos clases de parábolas
mostradas (ver Figura 1). Se concluye entonces que las parábolas cóncavas hacia arriba, exceptuando a
la canónica, son objeto de una deformación vertical, mientras que aquellas parábolas cóncavas hacia
abajo son el resultado de una reflexión. Una explicación más detallada de estas conclusiones se hace
en los momentos 2 y 3 de la secuencia.
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intervalo [−43, 25], se deben ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en −43 y 25
respectivamente.1
Figura 1. Cambios de concavidad de la curva asociada a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 tras la variación de 𝑎 en [−43, 25].
4.2. Momento 2
Para estudiar el efecto de deformación en las curvas de la función 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 con el
GeoGebra, sin que intervenga la reflexión, el parámetro 𝑎 de 𝑔(𝑥) debe variar en un intervalo
comprendido en (0, +∞). En este intervalo el 1 representa otro valor crítico del análisis, ya que al ser
representado en el deslizador se obtiene una gráfica de 𝑔(𝑥) igual a la parábola canónica y, por lo
tanto, imposible de entender como una curva deformada por los aprendices. La existencia de este valor
divide al estudio de la deformación en dos casos asociados con los intervalos (0, 1) y (1, +∞).
4.2.1. Caso 1: Contracción en el intervalo (𝟎, 𝟏)
El análisis de la deformación producida en el intervalo (0, 1) se inicia con el ajuste de los
valores mínimo y máximo del deslizador 𝑎 en 0 y 1, respectivamente. Luego de esto, se activan las
opciones “Rastro activado” a la parábola y “Animación activada” al deslizador para apreciar algunas
Aunque el 0 pertenece al intervalo [−43, 25], éste no incide sobre el análisis como se muestra más adelante.
1
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expresión g(x)=ax2
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curvas deformadas que corresponden a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 y que se ubican en la región del plano
comprendida entre el eje x y la parábola canónica (ver Figura 2).
M
U
N
D
O
Figura 2. Familia de parábolas contraídas asociadas a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , con respecto a la parábola canónica.
G
E
O
Todas las curvas de 𝑔(𝑥) que presentan esta particularidad son objeto de una contracción dado
que |𝑔(𝑥)| < |𝑓(𝑥)| (𝑥 ≠ 0) para todo valor de 𝑎 comprendido en el intervalo (0, 1). Desde un punto
de vista geométrico, la relación entre estas imágenes puede tener sentido al representarlas como
segmentos paralelos al eje y, que van desde un valor 𝑥 del dominio hasta las curvas que corresponden
a 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) para cualquier valor de 𝑎 en el intervalo (0, 1), observándose con ello que el primer
segmento tiene menor longitud que aquel vinculado a la parábola canónica (ver Figura 3).
G
E
B
R
A
Figura 3. Relación entre las imágenes de 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) en (0, 1) desde un punto de vista geométrico.
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expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
A
Otra conclusión de observar la deformación sobre esta familia de curvas es que la contracción se
hace más notable sobre una parábola cuando el valor del parámetro 𝑎 se aproxima al mínimo del
intervalo. En otras palabras, las ramas de las parábolas asociadas a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 tienden a ser más
próximas al eje x en la medida que 𝑎 se aproxima a 0. Contrariamente, en la medida que 𝑎 se aproxima
al máximo del intervalo, las ramas de las parábolas de 𝑔(𝑥) tienden a ser más próximas a las ramas de
la parábola canónica, por lo cual la contracción que se produce se hace cada vez menos evidente.
Para observar la deformación producida en el intervalo (1, +∞), lo primero es ajustar los
valores mínimo y máximo del deslizador en 1 y cualquier valor mayor que éste, respectivamente. Pero,
¿cuán mayor debe ser el máximo? Por ejemplo, si se ajusta el máximo del deslizador en 25, utilizando
las opciones “Rastro activado” y “Animación activada” es posible apreciar algunas parábolas
correspondientes a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 que se localizan entre las ramas de la curva canónica (ver Figura 4). Si
el valor máximo seleccionado se aumenta, por ejemplo a 100, la cantidad de parábolas mostradas en la
vista gráfica también aumenta considerablemente. En este sentido, la elección de un valor máximo
para el deslizador queda sujeta a la necesidad que tenga el docente de hacer notar más elementos de la
familia de parábolas estudiadas.
M
U
N
D
O
G
E
O
G
E
B
R
4.2.2. Caso 2: Dilatación en el intervalo (𝟏, +∞)
Figura 4. Familia de parábolas dilatadas asociadas a 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , con respecto a la parábola canónica.
Volviendo al caso del intervalo (1, 25], todas las curvas de 𝑔(𝑥) que muestra el GeoGebra son
objeto de una dilatación ya que |𝑔(𝑥)| > |𝑓(𝑥)| para todo valor de 𝑥 ≠ 0 del dominio de ambas
funciones. Análogamente a la contracción, la desigualdad anterior puede mostrarse geométricamente a
través de segmentos paralelos al eje y que representan a las imágenes de ambas funciones y que se
dibujan desde un valor 𝑥 del dominio (sobre el eje x) hasta cada curva 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥), observando con
ello que el segmento asociado a 𝑔(𝑥) tiene mayor longitud que aquel vinculado a 𝑓(𝑥) (ver Figura 5).
Para una mejor apreciación de la dilatación se sugiere tomar valores del dominio próximos al origen
del sistema.
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expresión g(x)=ax2
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O
Figura 5. Relación entre las imágenes de 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) en (1, +∞) desde un punto de vista geométrico.
4.3. Momento 3
E
O
4.3.1. Caso 1: Reflexión en el intervalo (−∞, −𝟏)
A
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Dado que el mínimo del deslizador debe ajustarse en un valor cualquiera menor que −1, se
considera pertinente observar la reflexión que presentan las curvas de 𝑔(𝑥) a medida que el parámetro
𝑎 varía en intervalos donde este valor mínimo es cada vez menor. La animación sobre el deslizador
permite observar que las ramas de las parábolas reflejadas se aproximan al eje y cuando el valor del
parámetro se acerca al mínimo del intervalo, aproximándose más en la medida que este valor sea más
pequeño. Este comportamiento adquiere sentido debido a la relación de simetría que se establece entre
las parábolas reflejadas y las dilatadas que sirven de referentes.
G
Para observar la reflexión vinculada al intervalo (−∞, −1) es necesario ajustar los valores
mínimo y máximo del deslizador en cualquier valor menor que −1 y éste, respectivamente. Por
ejemplo, ajustando el mínimo del deslizador en −18 y utilizando las opciones “Rastro activado” y
“Animación activada” es posible apreciar una familia de parábolas de 𝑔(𝑥) que se ubican en la región
del plano comprendida por las ramas de la curva que es el reflejo de la parábola canónica, esto es,
aquella obtenida cuando 𝑎 = −1 (ver Figura 6). Todas las curvas de 𝑔(𝑥) que se localizan en esta
región del plano poseen la cualidad de ser el reflejo de alguna curva que se ha dilatado previamente,
donde el eje de reflexión coincide con el eje x.
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G
Para estudiar el efecto de reflexión en las parábolas de 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 por medio del GeoGebra y
sin que intervenga la deformación, es necesario hacer variar el parámetro 𝑎 en un intervalo
comprendido entre (−∞, 0). Un valor crítico del análisis en este intervalo es el −1 ya que, cuando el
deslizador se posa sobre éste, la gráfica de 𝑔(𝑥) que se muestra en la vista gráfica es el reflejo de
𝑓(𝑥), la parábola canónica. Atendiendo a este valor, se establecen los intervalos (−∞, −1, ) y (−1, 0)
que dividen al estudio de la reflexión en dos casos:
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
E
B
R
A
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4.3.2. Caso 2: Reflexión en el intervalo (−𝟏, 𝟎)
En este caso, el estudio de la reflexión que se produce en el intervalo (−1, 0) requiere de los
valores mínimo y máximo del deslizador 𝑎 en −1 y 0, respectivamente. Tras usar las opciones “Rastro
activado” y “Animación activada”, el GeoGebra muestra en la vista gráfica el conjunto de parábolas
reflejadas de 𝑔(𝑥), ubicadas entre el eje x y el reflejo de la parábola canónica (ver Figura 7). Todas las
curvas de 𝑔(𝑥) que presentan esta particularidad poseen la característica de ser el reflejo de una curva
que se ha contraído previamente, donde el eje de reflexión coincide con el eje x.
M
U
N
D
O
G
E
O
G
Figura 6. Familia de parábolas reflejadas en el intervalo (−∞, −1).
Figura 7. Familia de parábolas reflejadas en el intervalo ( −1, 0).
De la animación anterior puede observarse que las ramas de las parábolas reflejadas tienden a
ser más próximas al eje x en la medida que el parámetro 𝑎 toma valores cada vez más cercanos al
máximo del deslizador, es decir, al 0. Similarmente, las ramas de las curvas de 𝑔(𝑥) tienden a ser más
próximas a las ramas de la parábola que es reflejo de la canónica cuando 𝑎 toma valores más próximos
al mínimo del deslizador, es decir, al −1. Desde un punto de vista geométrico este hecho adquiere
sentido ya que las parábolas contraídas y las estudiadas en este caso son simétricas con respecto al eje
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expresión g(x)=ax2
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x, por lo cual se cumple que un punto cualquiera de una parábola de esta familia y su homólogo (punto
sobre la parábola que sirve de referente) equidistan del eje x (ver Figura 8).
M
U
N
D
O
Figura 8. Relación de simetría entre las curvas de 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥).
5. Conclusiones
G
A
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G
Finalmente, la secuencia descrita representa una forma de abordaje de contenidos matemáticos
con tecnologías digitales que hace un aporte directo a la práctica del profesor, en tanto facilita la
integración eficiente de tales tecnologías en el aula. Consideramos que su aprehensión y puesta en
práctica coloca al profesor en condiciones distintas para impartir la enseñanza de este tópico,
facilitando así la comprensión de sus estudiantes. Creemos que sería interesante ampliar esta propuesta
didáctica al análisis de otras funciones reales, tales como las racionales, logarítmicas, exponenciales y
trigonométricas, entre otras.
O
Lo anterior es evidencia de la capacidad que algunos autores le atribuyen al GeoGebra de
conectar dos de las principales representaciones de las funciones, a saber, las fórmulas algebraicas y
las gráficas, favoreciendo con ello la caracterización de la deformación y de la reflexión en el caso de
las parábolas (Bayazit y Aksoy, 2010; Castillo, Gutiérrez y Prieto, 2013; Hohenwarter, 2006). Más
aún, si se considera que la comprensión de un objeto matemático viene dada por la actividad de
coordinar sus múltiples representaciones, entonces el GeoGebra constituye un medio potente para
desarrollar y/o reorganizar el pensamiento en torno a las características de distintas familias de
funciones cuadráticas, mediante un abordaje visual y algebraico respecto a este objeto matemático de
manera simultánea (Borba y Villareal, 2005).
E
En este trabajo se ha descrito una secuencia para caracterizar las transformaciones geométricas
deformación y reflexión en distintas familias de parábolas definidas por la expresión 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , a
partir de las relaciones entre los valores que toma el parámetro 𝑎 y las curvas asociadas en el entorno
de GeoGebra. Mediante el uso de un deslizador fue posible observar dinámicamente las relaciones
entre las representaciones gráfica y simbólica de la función 𝑔(𝑥) al variar el parámetro 𝑎 en intervalos
establecidos convenientemente, lo que permitió caracterizar los efectos geométricos abordados en la
secuencia.
Deformación y reflexión de funciones con GeoGebra. El caso de las parábolas definidas por la
expresión g(x)=ax2
R. Gutiérrez, J. L. Prieto
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M
U
N
D
O
G
E
O
G
E
B
R
A
Bibliografía
Rafael E. Gutiérrez. Estudiante de la Licenciatura en Educación Mención Matemáticas y Física de la
Universidad del Zulia (Zulia, Venezuela). Coordinador Académico del Grupo TEM: Tecnologías en la
Educación Matemática. Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), Universidad del Zulia.
Venezuela. E-mail: [email protected]
Juan Luis Prieto. Profesor Agregado de la Universidad del Zulia (Zulia, Venezuela). Licenciado en
Educación Mención Matemáticas y Física (LUZ). Máster en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la
Educación (IUP, España). DEA en Didáctica de la Matemática (UA, España). Coordinador General del
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Centro de Estudios Matemáticos y Físicos
(CEMAFI), la Universidad del Zulia. Venezuela. E-mail: [email protected]
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Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 127-140
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
A
Methodology Problem Solving; Unsolvable problems; Olympiads math problems;
Reverse numbers; Mathemagic.
M
Keywords
E
Solutions to the exercises in the previous NUMBERS, with special emphasis on the
methodology of resolution when no solution. Comments on proposed problems in
mathematical Olympiads tournaments and published in the Valencian Society journal "AlKhwarizmi" Olympic Problems. Also solve the problem of reverse numbers next to the
comment sent by comrade Carlos Ueno to the solution given in the previous article the
problem of numerical series. And one of the problems Tournament Canaria Society,
reviewed, once again, the process of solving problems with its consecutive phases. And,
of course, readers will propose new challenges: an exercise appeared in the Portuguese
magazine "Educação e Mathematics" and other of International Olympics related with
Mathemagic.
L
Abstract
B
Metodología de la Resolución de problemas; Problemas sin solución; Problemas de
Olimpiadas matemáticas; Números reversos; Matemagia.
O
Palabras clave
R
Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia
en la metodología de su resolución cuando no hay solución. Comentarios sobre
problemas propuestos en Torneos y Olimpiadas matemáticos publicados en la revista
valenciana de la Sociedad “Al-Khwarizmi”, Problemas Olímpicos. También la solución
del problema de números reversos junto al comentario enviado por el compañero Carlos
Ueno a la solución dada en anterior artículo al problema de series numéricas. Y con uno
de los problemas del Torneo de la Sociedad Canaria, se repasa, una vez más, el proceso
de resolución de problemas, con sus consecutivas fases. Y, como no, se proponen a los
lectores nuevos desafíos: un ejercicio aparecido en la revista portuguesa “Educação e
Matemática” y otro de Olimpiada Internacional relacionado con la Matemagia.
P
Resumen:
En nuestro anterior artículo presentamos dos problemas para ser resueltos por nuestros lectores.
S
Veamos el primero de ellos. Recordamos que lleva el título de Triángulo numérico y tiene su
origen en NOMBRES EN TRIANGLES, de la revista Problemas Olímpicos Nº 71, octubre 2013, de la
Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana “Al-Khwarizmi”. Está clasificado
dentro de los Problemas de Nivel A (Primer Ciclo de Secundaria), correspondiente a la Fase
Autonómica – Prueba de Velocidad.
Con este primer problema vamos a reflexionar un poco sobre lo que sucede si proponemos a los
alumnos un problema que no tiene solución. Y, claro está, la subsiguiente propuesta de adaptación que
permita encontrar al menos una solución.
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
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¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Triángulo numérico
En los círculos de este triángulo coloca las nueve cifras del uno al
nueve, sin repetirlas, de forma tal que la suma de cada lado sea 22.
Proceso de Resolución
COMPRENDER
Figura 1
S
Datos: Un triángulo con nueve círculos sobre sus lados, cuatro en
cada uno. Las cifras del 1 al 9 para colocar en los círculos. La suma de los cuatro números de cada
lado debe ser 22.
Objetivo: Colocar los números en los círculos.
A
Relación: Hay tres números (los colocados en los vértices) que figuran en dos sumas.
E
M
Diagrama: El propio de la figura que ilustra el problema.
PENSAR
Estrategias: Ensayo y Error. Organizar la Información.
O
B
L
EJECUTAR
Es evidente que por Ensayo y Error se puede trabajar. Pero siempre es muy largo y complicado
para este tipo de problemas; hay demasiadas combinaciones numéricas para garantizar que se prueban
todas. Y, en este caso, imposible, ya que se parte del supuesto que hay solución.
Trabajemos organizando la información.
P
R
La suma de los números del 1 al 9 es 45: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
El total de las tres sumas de los lados del triángulo es 66: 22 x 3 = 66.
La diferencia 66 – 45 = 21 ha de ser igual a la suma de los tres números situados en los vértices
del triángulo, ya que cada uno de ellos interviene en dos sumas.
Las únicas combinaciones posibles son 4 + 8 + 9 = 5 + 7 + 9 = 6 + 7 + 8 = 21, que aparecen
representadas en las figuras 2, 3 y 4 respectivamente.
Figura 2
Figura 3
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Figura 4
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¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
En el primer triángulo, en el lado inferior, la suma 8 + 9 = 17 se ha de completar necesariamente
con suma 5, lo que sólo es posible con suma 2 + 3 o 1 + 4; tendrá que ser 2 + 3, ya que la combinación
1 + 4 no es posible por estar el 4 en el tercer vértice.
Nos quedan las cifras 1, 5, 6, 7 por colocar.
Al intentar completar la suma 8 + 4 = 12, del lado de la izquierda, se ha de hacer con suma 10,
que sólo puede realizarse con 3 + 7, pero que también resulta imposible ya que el 3 se ha utilizado en
la suma considerada en primer lugar. Estaba claro que con las cifras disponibles (1, 5, 6, 7) no se podía
lograr.
En el segundo triángulo, procediendo de igual manera, la suma 7 + 9 = 16 sólo se puede
completar con 2 + 4, y la suma 5 + 9 = 14, sólo con 2 + 6. Habría que repetir el 2. No es posible
completar tampoco.
P
R
En el tercer triángulo el 9 no se puede colocar en ninguno de los tres lados, porque la suma del
lado elegido excedería de 22.
Por consiguiente, este problema no tiene solución.
O
Solución: Es imposible, no tiene solución.
B
RESPONDER
L
Comprobación:
E
No es necesario comprobar nada. Sí es importante el razonamiento realizado en la Fase de
Ejecutar. Sólo se puede afirmar que el problema es imposible cuando se ha probado fuera de toda
duda.
M
Análisis:
A
Se trata de un problema sin solución. Algo que no suele plantearse a los alumnos.
Respuesta:
S
El problema es imposible de resolver en las condiciones indicadas en el mismo.
Este problema está bien diseñado, como tal problema irresoluble, para trabajar con niños de
Secundaria Obligatoria. Si queremos plantearlo para Tercer Ciclo de Primaria tendríamos que
simplificar el problema dando los vértices ya colocados. Ejemplo en la figura 5:
Es importante que los alumnos vean que hay problemas que no tienen
solución. Y que en ese caso la respuesta consiste en justificar
adecuadamente por qué estamos seguros de que no la tiene.
Figura 5
Nuestros alumnos están acostumbrados a encontrar toda la matemática
hecha y todos los problemas con solución. Es muy educativo que ellos
puedan “hacer” o “descubrir” una parte de la matemática que tienen que
aprender; hacer pequeñas investigaciones en clase da mayor comprensión de
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¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
las matemáticas y de su utilidad. Asimismo, pensar e intentar resolver problemas que no tienen
solución da un mayor nivel al trabajo de resolución de problemas.
Pero hay una fase subsiguiente que debemos afrontar para que nuestros alumnos no queden
frustrados al encontrarse con esa respuesta. ¿Cómo modificar el problema para que sí tenga solución?
La adaptación más simple es la de cambiar el valor de la suma de cada lado. En ese caso es
posible encontrar varias soluciones.
Ejemplos:
Figura 6
Si queremos que la suma de cada lado sea 20:
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Si queremos que la suma de cada lado sea 17 (figura 6)
Figura 7
¿Habrá más soluciones? ¿Y para otras sumas?
Veamos, ahora, el segundo de los problemas propuestos. Viene a cuento de los números
reversos, vistos en el problema propuesto por Luis Blanco en un artículo anterior, y que está adaptado
de Math Tricks, 134.
Números reversos
Hallar los números de tres cifras tales que la suma de sus cifras multiplicada por 11, es igual a la
diferencia entre dicho número y su “reverso”.
La solución del problema puede llegar con un planteamiento empírico o uno algebraico, pero
también por una combinación de ambos.
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¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Hagamos primero la búsqueda de una solución usando el álgebra.
Sea abc el número buscado, y por tanto es cba su reverso. Conforme al enunciado, se debe
cumplir que:
100a + 10b + c + 11(a + b + c) = 100c + 10b + a, de donde: 10a + b – 8c = 0
Así pues, b = 8c – 10a, con a, b y c naturales, por lo que c > 1, pues de lo contrario b podría ser
negativo y c ≠ a para evitar los números capicúas, reversos triviales. Y además a < c.
Veamos primero cuando c – a = 1
2
1
6
162
3
2
4
243
4
3
2
324
5
4
0
405
6
5
<0
--
7
6
>10
--
8
7
>10
--
9
8
<0
--
P
c
a
b
abc
R
Y ahora cuando c – a = 2
4
2
>10
--
5
3
10
--
6
4
8
486
7
5
6
567
8
6
4
648
9
7
2
729
B
3
1
>10
--
O
c
a
b
abc
4
1
>10
--
5
2
>10
--
6
3
>10
--
7
4
>10
--
8
5
>10
--
9
6
>10
--
E
c
a
b
abc
L
Para c – a = 3, podemos comprobar que, lógicamente, no hay valores que cumplan:
M
Existen ocho números de tres cifras que cumplen con las condiciones:
A
162, 243, 324, 405, 486, 567, 648 y 729
Vamos a comprobarlo con el primero de ellos.
S
261 – 162 = 99 = 11*9 = 11* (1 + 6 + 2), cifras de 162
Y con el último.
927 – 729 = 198 = 11*18 = 11 * (7 + 2 + 9)
Las sumas de las cifras son, en todos ellos, un múltiplo de 9.
Podemos darnos cuenta desde un principio, fijándonos en los números reversos, que se
diferenciarán en 99 o 198, por lo que esta sería otra vía para encontrarlos.
Supongamos que buscamos una generalización del problema y planteamos este otro enunciado:
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¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Hallar los números de tres cifras tales que la suma de sus cifras multiplicada por 5, es igual a la
diferencia entre dicho número y su “reverso”.
Planteamos una ecuación similar a la del caso anterior:
100a + 10b + c + 5(a + b + c) = 100c + 10b + a.
Y operando llegamos a la expresión: b = 5c – 6a, con c > 1 y c ≠ a.
Tabulemos los distintos valores posibles.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
c
a
b
abc
2
1
4
142
3
2
3
233
3
1
9
193
4
3
2
324
4
2
8
284
4
1
>10
--
5
4
1
415
Etc.
Vamos a comprobarlo:
Para el primero, 241 – 142 = 99 = 11*9, que no es múltiplo de 5. Luego no cumple la condición
del enunciado. ¿Lo hacen el resto de valores? En la siguiente hoja de cálculo hemos resumido los
resultados y vemos que no, no cumplen con la ecuación:
c
2
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
a
1
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
5
b
4
9
3
14
8
2
-4
19
13
7
1
-5
abc
142
193
233
1144
284
324
4-44
1195
2135
375
415
5-55
cba
241
391
332
482
423
573
514
cba-abc
99
198
99
198
99
198
99
c
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
a
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
b
24
18
12
6
0
-6
29
23
17
11
5
-1
34
28
abc
1246
2186
3126
466
506
6-66
1297
2237
3177
4117
557
6-17
1348
2288
cba
664
605
755
cba-abc
198
99
198
c
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
a
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b
22
16
10
4
-2
39
33
27
21
15
9
3
-3
-9
abc
3228
4168
5108
648
7-28
1399
2339
3279
4219
5159
699
739
8-39
9-99
996
297
937
198
cba
cba-abc
846
198
No tiene solución. Y de nuevo comprobamos que los reversos de tres cifras se diferencian en 99 o 198.
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de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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132
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Hemos recibido un correo de uno de nuestros lectores. Se trata de Carlos Ueno, socio de la
Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, en Gran Canaria, y uno de los más
activos en nuestra Sociedad.
Lo reproducimos como imágenes, respetando así totalmente el original, e intercalando nuestros
comentarios. Nos dice:
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Sociedad Canaria Isaac Newton
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133
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Tal y como expone nuestro lector, elevando unos cuantos escalones el nivel de las respuestas, la
solución está relacionada con las ecuaciones diofánticas, y en particular con la ecuación de Pell, como
soluciones enteras positivas de la ecuación x2 – dy2 = 1.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Las soluciones son pares de números enteros (xn, yn) que se relacionan así:
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Vol. 88
marzo de 2015
134
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Carlos hace ahora hincapié en los polinomios, sean simétricos o no, para calcular el número de
soluciones posibles.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
de 2015
135
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Se puede encontrar más información
sobre series de números enteros en la
Enciclopedia On-line de Secuencias de
Números Enteros (OEIS.org).
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Vol. 88
marzo de 2015
136
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Ahora vamos a recordar el proceso de resolución, paso a paso, con este bonito y sencillo
problema aparecido en el último Torneo de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de
Matemáticas.
La servilleta
Jugando al dominó, teníamos colocadas ya sobre la
mesa nueve fichas distintas con esta disposición en forma de
cruz, cuando se cayó una servilleta, (representada por el
rectángulo) que cubrió parte de la cruz. Las fichas están
colocadas según las reglas del juego, es decir, 1 es adyacente
al 1, 2 es adyacente al 2, etc.
P
¿Es posible determinar cuántos puntos hay en la
casilla negra?, y si fuere posible, ¿cuántos puntos hay?
R
Figura 8
Proceso de Resolución
O
COMPRENDER
Datos
B
Cinco fichas conocidas: 5-1, 6-2, 3-0, 4-1 y 2-1.
L
Objetivo
E
Determinar los puntos del cuadradito negro central.
Las fichas están colocadas según las reglas de juego del dominó (garrafiña o garrafina):
cuadraditos adyacentes tienen el mismo valor.
Un 1
Diagrama
S
El de la figura que ilustra el problema.
A
Éste es el objetivo
Un 4, ¿no?
PENSAR
Estrategia
Organizar la Información.
EJECUTAR
Bastará con buscar primero las fichas de las que
sabemos su valor, debido a las reglas del dominó. Son
las fichas adyacentes a las que vemos.
Un 3
Un 2, ¿verdad?
Figura 9
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
M
Relación
Vol. 88
de 2015
137
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Y ahora, trataremos de pensar que valores irán en las tres caras (dejamos aparte la cara objetivo
para el último razonamiento) desconocidas que completan las fichas de arriba, de abajo y de la
izquierda
Un 4, ¿no?
0, 1, 3, 6
Éste es el objetivo
Un 1
Veamos primero la ficha de
arriba. No vale el 2 porque la 1-2 ya
está colocada; no vale el 4 porque la
1-4 ya está colocada; no vale el 5
porque la 1-5 ya está colocada.
S
De la misma forma para la
ficha de abajo. No vale el 0 porque
la 0-3 ya está colocada.
A
E igualmente para la ficha de
la izquierda. No vale el 1 porque la
1-4 ya está colocada.
M
0, 2, 3, 4, 5, 6
Un 3
E
Un 2, ¿verdad?
1, 2, 3, 4, 5, 6
Si observamos ahora esos
número podemos pensar en que la
cara central objetivo debe ser única,
es decir, el número que vaya en ella
debe estar en las tres series
analizadas.
L
Figura 10
Este es el objetivo: un 3
Evidentemente, el 6 no puede ser
porque la 6-2 ya está colocada.
Nos queda solamente un valor
posible para la cara de la ficha central: el 3.
R
O
B
En conclusión, debe ser el 3 o el 6.
P
Solución: Figura 11
RESPONDER
Comprobación
Figura 11
Ver que, al colocar el 3 en la cara central del diagrama y los valores del resto de las fichas
desconocidas, se cumplen las reglas del dominó.
Análisis
La solución es única.
Hay una versión interactiva del problema en el Blog de las familias del Proyecto Newton:
http://www.eltanquematematico.es/proyectoNEWTON/laservilleta/laservilleta_p.html
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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138
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Respuesta
Ha sido perfectamente posible determinar el valor de la casilla oculta y dicho valor es 3
Y ahora nos corresponde hacer la propuesta de problemas para
pensar en el interludio entre número y número de la revista.
El primero de ellos sale, como en otras ocasiones de la sección O
PROBLEMA DESTE NÚMERO, a cargo de JOSÉ PAULO VIANA,
en la revista portuguesa “Educação e Matemática”, Nº 126,
correspondiente a Enero/Febrero de 2014.
Las edades de las vecinas
P
R
Padre: — «Acabo de encontrar a nuestras nuevas vecinas, una
señora y sus dos hijas. Voy a proponerte un problema
para descubrir que edades tienen ellas.»
Hijo: — «¡Bravo! Ya sabes que me gustan los desafíos.»
O
Padre: — «El producto de sus edades es 2450.»
¿Les recuerda algo?
Hijo: — «Eso por sí solo no es suficiente.»
B
Padre: — «La suma de las tres edades es el cuádruplo de la tuya.»
Hijo (después de pensar un momento): — «Todavía no puedo.»
L
Padre: — «Soy más joven que la madre de las niñas.»
Hijo (que sabe la edad del padre): — «¡Ah, entonces ya lo sé!»
E
¿Qué edades tienen los cinco personajes de esta historia?
M
El truco de las tarjetas numeradas repartidas en tres cajas
Propón y estudia otras variantes del problema.
Propuesto por Hungría en la 41ª Olimpiada Matemática Internacional, celebrada en Taejon (Corea
del Sur) en Julio de 2000 y citado por el profesor Pedro Alegría en su “La Matemagia desvelada”.
Referencia de las Olimpiadas Internacionales, con los problemas propuestos se pueden ver en
http://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=245&zw=211834
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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139
S
¿De cuántas maneras se pueden distribuir todas las tarjetas en las cajas de modo que este
truco siempre funcione?
A
Un mago tiene cien tarjetas numeradas, del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una blanca, una
roja y una azul, de tal manera que cada caja contiene por lo menos una tarjeta. Un espectador
selecciona dos de las tres cajas, extrae una tarjeta de cada una y anuncia a la audiencia la suma de los
números de las dos tarjetas elegidas. Al conocer esta suma, el mago identifica la caja de la cual no se
ha elegido ninguna tarjeta.
¿Y si el problema no tiene solución? Problemas Comentados XXXIX
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Y ya está bien. Habrá un próximo artículo donde veremos la respuesta a estos últimos
problemas y plantearemos algunos nuevos, además de dedicar nuestra atención a las comunicaciones
suyas que nos lleguen. ¿Han visto las últimas de Carlos y Luis? Pues esperamos la de todos ustedes.
Insistimos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los
alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas
propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el
problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y
también al resto de lectores. Vamos, anímense…
S
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
P
R
O
B
L
E
M
A
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
140
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 141-157
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz (Club Matemático1)
Se analiza sistemáticamente, sin aporte informático, como ejemplo de análisis en clase de
un problema espacial y de cómo representar las posiciones de las piezas, las soluciones al
cubo de Lola. Lo destacamos por su vinculación con el proyecto del arquitecto
ecuatoriano Edmundo Daniel Quezada Feijo sobre Arquitectura modular basada en la
Teoría de Policubos, usando piezas de algunos de los cubos presentados en nuestro
artículo, también citados por Serrentino y Molina (2008). Presentamos el cubo Bucólico,
reconstrucción de un cubo incompleto a partir de 3 piezas policúbicas iguales.
Palabras clave
Disección de cubos. Policubos. Cubo de Lola. Cubo Bucólico. Análisis de soluciones de
recomposición de cubos. Arquitectura modular con policubos. Problemas espaciales.
Abstract
Systematically analyzed, without contribution computer as an example of analysis of a
space class problem and how to represent the positions of the parts, the solutions Lola
cube. The highlight for their involvement with the project architect of Ecuadorian
Edmundo Daniel Quezada Feijo on modular architecture based on the Theory of
polycubes, using pieces from some of the cubes presented in our article, also cited by
Serrentino and Molina (2008). Introducing the Bucolic cube, incomplete reconstruction
from 3 equal pieces policúbicas cube.
Keywords
Dissection of cubes. Polycubes. Lola Cube. Bucolic Cube. Analysis of solutions
recomposition of cubes. Modular architecture with polycubes. Spatial problems.
J
Resumen
U
E
G
O
Nos conocimos en las JAEM de Castellón, hace ya muchos años, y desde
entonces estuvimos siempre en contacto, unidos. Volvimos a coincidir
físicamente en el curso de Formador de Formadores en Barcelona y allí se
cimentó aún más nuestra amistad.
Fue el invitado principal de nuestra primera Exposición de Juegos y Puzles.
Nos sorprendió cuando se presentó con su humor de siempre, junto a su
querida esposa Pili, disfrazados ambos de chinos para ofrecer un magistral
taller sobre el Tangram.
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
Cuando ya teníamos avanzada la redacción de este artículo nos ha
sobrecogido una noticia tristísima: nuestro querido amigo gallego Coque
(Manuel Pazos Crespo) había fallecido el 24 de diciembre. No podemos
dejar de reconocer su figura de maestro ejemplar y de amigo incondicional.
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Asistimos, por invitación expresa suya, a sus famosas Xornadas de
Matemática Recreativa en La Coruña. ¡Los paseos vespertinos por las calles
de su amada ciudad! ¡Aquellas queimadas al final de las cenas!
Intercambios de ideas, de proyectos…
Era un hombre apasionado por encima de todo. Por su familia, por su
profesión, por las educación matemática, por las matemáticas recreativas,
por sus amigos. Sigue en nuestros oídos su grito de guerra: ¡Oye, hermano!
Era la alegría hecha humanidad, con su abierta sonrisa. Siempre lo
tendremos presente así: fuerte, alegre, vital, apasionado, familiar y amistoso.
Amigo de sus amigos. Coque, ¡contigo siempre nuestro recuerdo! Te
añoramos desde Canarias.
Hemos pensado y decidido que en este artículo vamos a ofrecerles un análisis detallado de las
soluciones del Cubo de Lola.
Los arquitectos argentinos Roberto H Serrentino y Hernán Molina, en su artículo Serrentino R.
y Molina H. 2008. Arquitectura Modular basada en la Teoría de Policubos, extraído de
http://cumincades.scix.net/data/works/att/8a44.content.pdf, exponen que “la Arquitectura modular se
refiere al diseño de sistemas compuestos por elementos separados que pueden conectarse preservando
relaciones proporcionales y dimensionales. La belleza de la arquitectura modular se basa en la
posibilidad de reemplazar o agregar cualquier componente sin afectar al resto del sistema.”
Y después de hablar de los policubos indican que “a partir del carácter volumétrico y modular
de los policubos, es posible establecer correspondencias con formas tridimensionales de uso
arquitectónico, constituyendo una poderosa herramienta en los procesos de diseño asistido, para:
U
E
G
O
S
Y ello porque dicho cubo ha resultado una disección del cubo en policubos sumamente
interesante.
J



ser utilizados como disparadores creativos en la realización de diseños arquitectónicos
ampliar las posibilidades de los sistemas CAAD explorando agrupamientos modulares
complejos
desarrollar un procedimiento simplificado de enseñanza-aprendizaje de la forma
arquitectónica.”
A partir de esta idea inicial el arquitecto ecuatoriano Edmundo Daniel Quezada Feijoó presenta
su trabajo de fin de titulación, dirigido por el arquitecto Xavier Burneo de la Universidad Católica de
Loja, con el título “Arquitectura modular basada en la Teoría de Policubos” donde aplica y desarrolla
las propuestas de Serrentino y Molina.
http://cumincades.scix.net/data/works/att/sigradi2012_84.content.pdf
Lo curioso es que toma como modelos los policubos utilizados en disecciones del cubo que ya
hemos comentado en artículos anteriores y, naturalmente, el Cubo de Lola, aunque no cita el artículo
donde aparece mencionado. De hecho utiliza como referencia nuestros artículos sobre disecciones del
cubo.
Este es el colorido cuadro donde resume las disecciones que analiza (figura 1).
142
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
J
U
E
Figura 1.
Construida inicialmente en 1922 y reconstruida por el estudio checo Atellier 8000. Se trata de
un albergue de montaña con forma de cubo inclinado y que incluye un restaurante, depósito de esquí
con motos para la nieve y hospedaje para aficionados al senderismo. El cubo está recubierto de placas
de aluminio y placas solares de forma que se convierte en una construcción ecológica y autosostenible.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
143
S
Figura 2.
O
Se trata de la cabaña Kezmarska, ubicada en la zona montañosa de Eslovaquia, en las montañas
de Tatras (figura 2).
G
Esta curiosa arquitectura basada en el uso del cubo como elemento básico no es demasiado
moderna, sino que hay ejemplos conocidos, algunos de los cuales se pueden apreciar en los artículos y
trabajos mencionados anteriormente. Como curiosidad decir que el excelente amigo Pepe Muñoz, en
el blog que coedita con Jesús Fernández bajo el nombre de “Algo más que números”
(http://algomasquenumeros.blogspot.com.es/), nos presenta una de esas singulares edificaciones.
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Análisis del Cubo de Lola
Descripción
Creado por Muñoz y Hans (Grupo Azarquiel) y dedicado a Dolores de la Coba; este cubo se
encuentra formado por siete piezas policúbicas: tres tricubos (2 en forma de V y uno en forma de I),
dos tetracubos y dos pentacubos.
Piezas
1
2
6
G
O
S
5
E
4
7
3
J
U
Figura 3. Piezas del Cubo de Lola
Piezas clave
En nuestro trabajo sobre los puzles siempre explicamos a nuestros alumnos que deben clasificar
las piezas por su dificultad de encaje. En este caso, por su tamaño, consideramos piezas fáciles la 1, la
2, la 3 y la 4, ya que pueden ser colocadas ocupando posición en uno o dos pisos del cubo;
consideramos de tipo intermedio las piezas 5 y 6, ya que ocupan uno, dos o tres pisos; y, finalmente,
compleja la 7 ya que siempre ocupará dos o tres pisos (figura 3).
Estrategias
La estrategia más simple consiste en colocar dos o tres piezas complejas formando la base del
cubo de manera compacta. Y a partir de esas tratar de encajar el resto para formar el cubo.
Para simplificar el estudio hemos decidido tomar las piezas 6 y 7 como referencia básica y
colocarlas de todas las maneras posibles. Una vez establecidas esas posiciones, tratar de completar
cada una de ellas y ver si existe o no la solución para cada una de ellas. Y, si es posible, estudiar si hay
más de una solución en cada caso.
144
Vol. 88
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NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Códigos
Usamos varias maneras de representar las posiciones de las piezas en la construcción del cubo.
Primero utilizaremos una plantilla donde se observen los tres planos (pisos INFERIOR,
INTERMEDIO y SUPERIOR) paralelos del cubo, en un diagrama que rellenaremos con las piezas,
indicando cada una de ellas con su número y un color diferente para cada una: UNO, DOS, TRES,
CUATRO, CINCO, SEIS y SIETE. La plantilla puede ser plana o mostrar los pisos a diferente altura,
pero sigue siendo una cara plana del cubito unitario.
Base para el diagrama
Piso intermedio
Piso superior
J
Piso inferior
U
Figura 4.
Una solución:
E
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
S
6 3 3
5 3 1
5 2 1
O
6 3 7
5 4 4
2 2 1
G
6 7 7
5 4 7
5 4 7
Figura 5.
Soluciones
Para el análisis de las distintas soluciones, podemos partir de la posición relativa de las piezas 6
y 7. Se pueden colocar en paralelo, ocupando ambas tres pisos, o de forma transversal, ocupando la 6
un piso y la 7 tres pisos. El código utilizado será del tipo 6P7N, para la posición en paralelo, y 6T7N
para la posición transversal. La letra N simboliza, en orden alfabético, las distintas posiciones que
puede tomar la pieza 7 una vez colocada la 6.
Esquemáticamente, con el tricubo de la pieza 7 paralelo a la pieza 6 sería:
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Vol. 88
marzo de 2015
145
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
J
U
E
G
O
S
Figura 6. Esquema de una solución
Para cada posición ofreceremos algunas de las soluciones ya encontradas por nosotros. Otras las
dejaremos como reto a nuestros lectores, con la única condición de construirse un cubo de Lola con
cubitos de madera para “jugar” a la búsqueda todas las soluciones posibles.
Para facilitar la búsqueda y clasificación, así como la representación de las diversas posiciones,
hemos numerado la cara inferior del cubo tal como vemos en el primer cuadrado de la siguiente figura
(“cara guía“), comenzando en la esquina superior izquierda y en espiral hasta el centro de la cara. Los
cubitos que pertenecen al tricubo de la pieza 7, en verde, aparecen en un tono más oscuro que el resto
de los cubitos de esta pieza que están
1 2 3
6 7 7 6 7 7 6
6
7
en contacto con la superficie inferior.
8 9 4
7
7
7 7
7 7
Y, por último, hemos ordenado las
posiciones relativas, deletreándolas,
7 6 5
7
A
B
C
D
de las piezas 6 y 7, colocando el
6
6
6
6
6
tricubo del 7 siguiendo el orden de la
cara guía inicial.
7 7
7
7
7
7
7 7
7 7
E
6 7
7 7
F
6
7 7
7
J
K
7 7
7 7
G
H
6
7 7
7
6 7
7 7
7 7
7 6
M
N
L
6 7
7 7
6
7 7
7
6
O
P
Q
R
7 6
7 7
6
7 7
7
6
7 7
7
U
V
W
6
7
7 7
T
7
7 7
6
7
7 7
7
I
6
7
7 7
S
6
7 7
7
X
Posiciones paralelas:
La pieza 6 puede estar
colocada en un vértice, en el centro
de una arista o en el centro de la cara
inferior. Cualquier otra posibilidad es
transformable por rotaciones y
simetrías en cualquiera de ellas. A
partir de cada una de las tres
colocaremos la pieza 7 en todas las
posiciones posibles.
En la figura 1 vemos ejemplos
de la pieza 6 en un vértice de la cara
inferior y la pieza 7 apoyada sobre el
tricubo que la sustenta:
Figura 7
146
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Con la pieza 6 en la posición del centro de la arista de la cara inferior; en esta posición sólo hay
un caso: el N.
Contempladas en perspectiva se verían así algunas de las posiciones. Como ejercicio
complementario, ¿pueden dibujar las otras distribuciones? Y, basándose en ellas, ¿algunas soluciones
completas?
J
U
E
G
Figura 8.
O
6
6P7C
6
6P7D
S
6
6P7E
7
7
7
Piso superior
Piso superior
6
Piso superior
6
6
7
7
7
Piso intermedio
6
Piso intermedio
6
7
7 7
Piso inferior
Piso intermedio
6
7 7
7
Piso inferior
7
7 7
Piso inferior
Figura 9.
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Vol. 88
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147
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Posiciones transversales:
TRIMINOS TRANSVERSALES, EL 7 EN LA BASE DEL CUBO
Con la pieza 6 de pie, ocupando
tres pisos, y la pieza 7 acostada sobre su
parte más larga en la cara inferior del
cubo (desde A hasta J), y con la pieza 6
en el centro de una arista, (desde K
hasta R). Con la pieza 6 en el centro de
la cara inferior están las posiciones S y
T.
6 7 7
7
7
6 7 7
7
7
6
7 7 7
7
6
7
7 7 7
A
B
C
D
Debajo
presentamos
alguna
solución completa, en el sistema de
representación de los tres pisos del
cubo.
E
6 7
7
7 7
6
7
7
7 7
6
7 7 7
7
F
G
6 7
7
7 7
S
O
K
E
G
6
7 7 7
7
H
J
6 7
7
7 7
6 7
7 7 7
L
6
7
7 7 7
M
N
6
7 7 7
7
6
7
7 7 7
P
Q
R
7 7 7
7 6
7 7 7
6 7
S
T
7 6
7
7 7
J
U
O
7
7 7 7
6
7
7 7 7
I
7 6
7 7 7
6
Figura 10.
6 7 7
5 7 1
5 7 1
6 7 4
5 3 1
3 3 2
6 4 4
5 4 2
5 3 2
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 11.
148
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6 7 7
2 2 7
2 4 7
6 3 7
1 1 4
1 4 4
6 3 3
5 3 5
5 5 5
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 12.
Esta es una segunda solución para la misma disposición:
6 3 3
5 3 1
5 2 1
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
U
6 3 7
5 4 4
2 2 1
J
6 7 7
5 4 7
5 4 7
6
O
S
Piso inferior
6
7
G
6
7 7 7
7
E
Figura 13.
Piso intermedio
Piso superior
Figura 14.
6
7 7 7
7
Piso inferior
6
6
7
Piso intermedio
Piso superior
Figura 15.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
149
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6 2 7
7 7 7
5 5 5
6 2 1
3 2 7
5 4 5
6 1 1
3 3 4
3 4 4
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 16.
O
S
Esta es otra solución para la misma disposición:
6 2 7
7 7 7
3 5 5
6 2 2
3 4 7
3 3 5
6 1 1
4 4 1
4 5 5
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
G
Figura 17.
J
U
E
6T7f
6 3 3
2 3 7
7 7 7
6 3 4
2 1 1
2 1 7
6 4 4
5 4 5
5 5 5
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 18.
6 7
7
7 7
Piso inferior
6
6
7
Piso intermedio
Piso superior
Figura 19.
150
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6
7
7
7 7
Piso inferior
6
6
7
Piso intermedio
Piso superior
Figura 20.
Con la pieza 6 en el centro de una arista:
6
Piso intermedio
Piso superior
7
U
Piso inferior
6
J
7 6
7 7 7
6
6
Piso intermedio
Piso superior
7
O
S
Piso inferior
G
6
7 7 7
7
E
Figura 21.
Figura 22.
6
7
7 7 7
Piso inferior
6
6
Piso intermedio
Piso superior
7
Figura 23.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
151
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Con la pieza 6 en el centro de la cara inferior; en esta posición sólo hay un caso:
7 7 7
7 6
Piso inferior
7
6
6
Piso intermedio
Piso superior
Nos queda finalmente considerar la
posición con la pieza 6 de pie, ocupando
tres pisos, y la pieza 7 acostada sobre su
parte más larga en la cara intermedia del
cubo. El cuadrado más oscuro con el 7 es
el que está en la parte inferior del cubo,
junto a la cara del 6.
G
O
S
Figura 24.
TRIMINOS TRANSVERSALES , EL 7 EN EL PISO MEDIO DEL CUBO
6 7 7
7
7
6 7 7
7
7
6
7 7 7
7
6
7
7 7 7
A
B
C
D
6 7
7
7 7
E
6
7
7
7 7
F
G
E
6 7
7
7 7
U
6
7 7 7
7
J
K
6
7 7 7
7
O
7
7 7 7
H
6
7
7 7 7
I
7 6
7 7 7
6
J
6 7
7
7 7
6 7
7 7 7
L
6
7
7 7 7
M
N
6
7 7 7
7
6
7
7 7 7
P
Q
R
7 7 7
7 6
7 7 7
6 7
S
T
7 6
7
7 7
Figura 25.
152
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6
Piso inferior
6 7 7
7
7
Piso intermedio
6 7
Piso superior
Figura 26.
6
Piso inferior
6 7 7
7
7
Piso intermedio
6
7
Piso superior
J
Figura 27.
G
Piso intermedio
6
7
E
Piso inferior
6
7 7 7
7
U
6
Piso superior
Piso inferior
6
7 7 7
7
Piso intermedio
6
S
6
O
Figura 28.
7
Piso superior
Figura 29.
6 3 3
5 3 5
5 5 5
6 3 7
7 7 7
4 4 2
6 1 1
4 1 7
4 2 2
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 30.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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153
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6
6
6
7
7 7 7
Piso inferior
Piso intermedio
7
Piso superior
Figura 31.
6
6 7
7
7 7
S
Piso inferior
Piso intermedio
6
7
Piso superior
O
Figura 32.
6
7
7
7 7
E
G
6
U
Piso inferior
Piso intermedio
6
7
Piso superior
J
Figura 33.
Con la pieza 6 en el centro de una arista:
6
Piso inferior
7 6
7 7 7
Piso intermedio
6
7
Piso superior
Figura 34.
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NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
6
Piso inferior
6
7 7 7
7
Piso intermedio
6
7
Piso superior
Figura 35.
6
6
7
7 7 7
Piso intermedio
7
Piso superior
J
Piso inferior
6
Figura 36.
U
Con la pieza 6 en el centro de la cara inferior; en esta posición sólo hay un caso:
6
O
Piso intermedio
7
G
Piso inferior
E
6
7 7 7
7 6
Piso superior
S
Figura 37.
Las soluciones encontradas de cualquier otra manera deberán comprobarse con respecto a los
modelos anteriores, mediante rotaciones del cubo hasta encontrar la posición base de las dos piezas
privilegiadas.
La solución que vemos a continuación ¿es equivalente a alguna de las ya estudiadas?
3 7 7
3 3 7
6 6 6
5 4 7
3 1 2
5 1 2
5 4 7
5 4 4
5 1 2
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 38.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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155
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Para decidirlo bastará con hacer una, dos o tres rotaciones de esa solución para llevarla a una
cualquiera de las ya analizadas. O no; en cuyo caso estaremos ante una solución diferente. Veámoslo
con la anterior. Se trata de una posición transversal. Hagamos un giro de 90 0 hacia la derecha. Se
colocan las tres columnas de la derecha en el piso inferior, las tres columnas centrales en el piso
intermedio y las tres columnas de la izquierda en el piso superior. Nos queda la posición 6T7b con una
simetría simple de eje sobre la fila central:
7 7 7
7 2 4
6 2 2
7 4 4
3 1 4
6 1 1
3 5 5
3 3 5
6 5 5
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
J
U
E
G
O
S
Figura 39.
Siempre se puede explorar un poco más sobre las cosas conocidas. El Cubo de Lola tiene
muchas soluciones, lo hemos visto. Eso nos indica que es de un tipo muy similar al Cubo Soma; al
menos en el sentido de que podemos formar otras figuras con sus piezas y no solamente el Cubo.
Este es un ejemplo de ellas, muy sencilla, similar a
otra que se realiza con el Cubo Soma. La podemos llamar
CASTILLO CON POZO (tiene patio central y tres torres).
En un próximo artículo podríamos explorar qué
figuras son posibles y hacer un catálogo con ellas. Aquí sería
inestimable la colaboración de nuestros lectores. Fabríquense
un Cubo de Lola pegando cubitos unitarios para formar sus
piezas; luego investiguen con creatividad y envíen a la
dirección de la revista los hallazgos que hayan obtenido.
Prometemos, como siempre, que daremos los nombres de los
autores de cada figura.
Figura 40
Pueden usar nuestra plantilla para escribir las
soluciones. Éste es el modelo:
Piso inferior
Piso intermedio
Piso superior
Figura 41
Pero queremos también ofrecerles una de las últimas adquisiciones del Komando Matemático.
Una disección muy curiosa del cubo en policubos, que ha tenido en jaque a nuestros habituales
156
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Algunas cosas más sobre el Cubo de Lola
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
visitantes. Tanto en la Feria de las Vocaciones de La
Laguna como en la Feria de la Ciencia de La Orotava
ha sido la sensación.
El Cubo Bucólico
Consta de tres piezas iguales, formadas por 7
cubitos unitarios cada una, y el objetivo es formar un
cubo con 6 huecos, que totalizarían los 27 cubitos del
cubo de 3x3x3.
Es
un
diseño
de
Yasuhiro
Hashimoto presentado al IPP Design Competition del
año 2013. Y tal y como lo describen en algún blog:
Figura 42
“El objetivo de reunir a las tres piezas idénticas en un cubo de 3x3x3 suena simple, pero en
realidad es un poco difícil! Se aprovecha de una tendencia natural que la mayoría de la gente tiene en
la resolución de este tipo de rompecabezas.”
J
E
G
sencillez del diseño está en
relación inversa con la
dificultad para resolverlo:
el ideal de cualquier puzle que se precie.
U
En este sentido, al igual que ocurre con otros puzles como
la T de cuatro piezas, esa
tendencia natural conduce a
intentar que el prisma
sobresaliente encaje en el
hueco de otra de las piezas y
esto imposibilita el colocar
la tercera. Así que la
Figura 44
O
S
Figura 43
Permite plantear ¿cuántos huecos hay que dejar? Que
dada la igualdad de las tres piezas, ¿cómo se repartirán esos huecos en sus seis caras?
Se podría considerar derivado del diseñado por Bram Cohen con el nombre de Best 9. Consta de
cinco tetracubos como el de la figura
tres bicubos
y un cubo unitario
. Tiene
una única solución.
Y, también, les exhortamos a usar los juegos con sus alumnos en clase o con su familia en casa.
Es divertido y educativo. Las estrategias de resolución de problemas y el uso del análisis de las figuras
está al alcance de todos y su utilización mejora enormemente la competencia matemática.
Hasta el próximo
pues. Un saludo.
El Club Matemático
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
157
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 159-165
Matemáticas y code.org
Carlos Tejera Bonilla
(Instituto de Educación Secundaria Andrés Bello. Santa Cruz de Tenerife. España)
La organización code.org promueve la implantación de la programación informática en
el currículo de la Enseñanza Primaria. Su iniciativa La Hora del Código ha tenido una
enorme repercusión mundial. Desde su página web los estudiantes pueden realizar
cursos con diferentes niveles de dificultad y sus maestros gestionar su aprendizaje.
Palabras clave
Primaria, programación, código.
Abstract
Code.org promotes the inclusion of computer science classes in the school curriculum.
Its initiative The Hour of Code has had a global impact. Through its website students can
take courses of different levels of difficulty and their teachers can manage students’
learning.
Keywords
School, programming, code.
Figura 1. Eventos organizados (https://code.org/about/2014)
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
R E D
En el año 2013 Ali y Hadi Partovi crearon code.org, una organización sin ánimo de lucro cuyo
objetivo es promover la integración de la enseñanza de la programación informática en los planes de
estudio de la Enseñanza Primaria. Su campaña La Hora del código ha tenido un enorme éxito de
participación y una notable repercusión mediática.
L A
1. La programación informática en Primaria
E N
Resumen
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
Fue a través de esta iniciativa como descubrimos code.org en el I.E.S. Andrés Bello. Los
departamentos de Tecnología y Matemáticas realizamos conjuntamente La Hora del Código. La
acogida en el alumnado fue muy satisfactoria. Son muchos los factores que a mi juicio ayudan a captar
el interés de los estudiantes. Entre ellos destacaría: el uso de entornos gráficos de videojuego (Angry
Birds, Plants vs Zombies,...), el empleo de programación visual por bloques (similar al usado por
Scratch), la graduación incremental del grado de dificultad de las tareas, el aprendizaje basado en el
método de ensayo-error y la inclusión de vídeos donde famosos animan a aprender a programar.
2. Explorando Code Studio
En el apartado Explora Code Studio de la página web code.org http://code.org/ nos encontramos
con enlaces a:
E N
L A
R E D
En la Unión Europea también se han desarrollado proyectos con objetivos similares como La
Semana Europea de la Programación (http://blog.codeweek.eu/). La Comisión Europea ha promovido
varias iniciativas para potenciar la competencia digital en nuestros jóvenes y así facilitarles su futura
incorporación al mundo laboral. Neelie Kroes, Vicepresidenta de la Comisión Europea y responsable
de la Agenda Digital durante el período 2010-2014, ha sido una de las principales impulsoras de estos
proyectos (https://www.youtube.com/watch?v=LOCyoRejkLo).
Figura 2. Explora Code Studio
 Cursos elementales. Incluye cursos de iniciación destinados a niños que aún están
aprendiendo a leer y cursos de introducción de previstos para desarrollar en 20 horas.
 Hora del código. En este curso, a través de los personajes Anna y Elsa de la película Frozen
producida por Disney, se realizan construcciones geométricas a partir de desplazamientos y
giros. También nos muestra las instrucciones javascript equivalentes a las instrucciones de
bloque empleadas en la resolución de cada una de las 20 actividades.
160
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marzo de 2015
NÚMEROS
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
 Código de Flappy. En este curso, a través de 10 actividades, se enseña a crear juegos del tipo
Flappy Bird.
 Hecho para los maestros. Este enlace nos llevará a la URL code.org/educate/k5
E N
L A
Figura 3. http://code.org/educate/k5
3. Creando una cuenta de maestro
Pulsando en el botón Iniciar Sesión se nos pedirán nuestros datos de usuario y contraseña. Si no
los poseemos podremos crear una cuenta.
Figura 4. http://studio.code.org/users/sign_in
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
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161
R E D
Como indicamos anteriormente, los docentes pueden hacer un seguimiento de la evolución del
aprendizaje de los estudiantes. Para ello sólo es necesario crear una cuenta de profesor y agregar un
identificativo de nuestros estudiantes.
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
L A
R E D
Una vez introduzcamos nuestros datos accederemos a nuestra página de inicio
E N
Figura 5. Página de inicio del maestro
A través del botón naranja de bienvenida se despliegan algunas opciones propias de nuestra
cuenta: regresar a la página de inicio del maestro, ver nuestro propio progreso, actualizar los datos de
nuestra cuenta o cerrar la sesión en code.org
3.1. Secciones
Por medio del enlace Cuentas de estudiantes y sus progresos podemos gestionar la creación y
edición de grupos (secciones), la inclusión y administración de estudiantes, seguir su progreso, etc.
Figura 6. Secciones
162
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
Cuando pulsemos el botón de Nueva Sección, deberemos especificar el método de inicio
(matriculación) que utilizará el alumnado para acceder. Si elegimos word, el sistema asignará un
código a nuestra sección que será el que utilicen para matricularse en nuestro curso.
La elección de grado se basa en la escala K1 (de 6 a 7 años) a K12 (de 17 a 18 años) del sistema
educativo estadounidense y los cursos que en enero de 2015 están disponibles son: 20-hour, course1,
course2, course3, playlab, artista, course4, frozen, hourofcode y flappy. Está prevista la incorporación
de nuevos cursos.
E N
L A
R E D
Figura 7. Recursos para profesores
Uno de estos cursos CS in Math: Bootstrap http://code.org/curriculum/msm. Se podría utilizar
en los cursos de Bachillerato y vincula la creación de juegos y las matemáticas. Aunque todavía está
en fase de desarrollo y aún no ha sido traducido al castellano, ofrece abundante información
organizada por temas, incluyendo documentos pdf y vídeos.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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163
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
3.2. Creando una cuenta de estudiante
L A
R E D
Aunque muchos de los recursos de code.org se pueden utilizar sin necesidad de registrarse, es
necesario que nuestros estudiantes dispongan de una cuenta para poder ser vinculados a nuestra
sección y así seguir su aprendizaje. En el proceso de creación de una cuenta se solicita la
formalización del siguiente cuestionario:
Figura 8. Formulario de inscripción de estudiante
E N
Los estudiantes menores de 13 años deberán contar con autorización paterna. Las condiciones
de uso de code.org están publicadas en http://code.org/tos y en http://code.org/privacy.
Una vez el estudiante accede con su cuenta, podrá introducir el código que le haya suministrado
su profesor para integrarse en la sección.
3.3. Cuentas de estudiantes y sus progresos
Pulsando en el enlace Ver progreso podremos acceder a la página que nos muestra la evolución
de los estudiantes matriculados, donde de forma muy visual (Figura 9) tenemos acceso al grado de
consecución que cada estudiante ha conseguido en cada una de las actividades que se propone en la
secuencia elegida.
Cada vez que un estudiante completa correctamente un curso tiene la opción de descargarse un
diploma acreditativo.
La pestaña Ver estadísticas nos informa de los niveles completados y el número de líneas de
código empleadas. A través de la pestaña Administrar alumnos podremos editar la información de
nuestros alumnos, añadir nuevos estudiantes a la sección o eliminarlos.
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NÚMEROS
Matemáticas y code.org
C. Tejera Bonilla
E N
Figura 9. Ver progreso
4. Conclusión
L A
Esta experiencia ha sido muy bien recibida por el alumnado del centro. Muchos estudiantes
continuaron su formación de manera autónoma. Creo que La Hora del Código tendría una acogida
similar en cualquier centro de Primaria o Secundaria. Estoy convencido de que code.org seguirá
ofertando nuevos cursos vinculados a la enseñanza de las Matemáticas.
5. Enlaces
La hora del codigo http://hourofcode.com/es
European Coding Initiative – code.org http://eu.code.org/
Why coding? http://codeweek.eu/code/
Resources and guides http://codeweek.eu/resources/
Programamos.es http://programamos.es/
Euractiv special report EU Code Week 2014
http://www.euractiv.com/files/euractiv_special_report_-_eu_code_week_2014.pdf
Carlos J. Tejera Bonilla. Profesor de Matemáticas e Informática en el Instituto de Educación
Secundaria Andrés Bello de Santa Cruz de Tenerife. Canarias. España.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 20152
165
R E D
A continuación se muestra una lista de enlaces que están relacionados con esta iniciativa y que
pueden resultar de interés para profundizar en este tema.
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 167-168
Cálculo Mental en el Aula en Educación Secundaria Obligatoria
L
María Ortiz Vallejo
E
E
R
M
A
T
M
Serie: EDUCADORES
E
EDITORIAL CCS
ISBN: 9788490231845
160 páginas
Á
Año 2014
T
S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
A
Este último libro “Cálculo Mental en el Aula de en Educación Secundaria Obligatoria” (de 12 a
14), María Ortiz Vallejo se centra en el cálculo mental para en la E.S.O. (concretamente en los cursos
de 1º, 2º y 3º de E.S.O.)
C
Este libro es el último de una serie con el que culmina el proceso iniciado con la publicación de
“Cálculo Mental en el Aula” en 2011; seguido por tres libros más entre el 2012 y 2013: “Cálculo
Mental en el Aula en el primer ciclo de Primaria” (de 6 a 8 años), “Cálculo Mental en el Aula en el
segundo ciclo de Primaria” (de 8 a 10 años) y “Cálculo Mental en el Aula en el tercer ciclo de
Primaria”
I
María Ortiz Vallejo es licenciada en Ciencias Físicas por la Universidad Autónoma de Madrid.
Doctora en Matemáticas por la Universidad de Valladolid. Catedrática de Didáctica de las
Matemáticas en la Escuela Universitaria de Educación de Palencia.
Cálculo mental en el aula en Educación Secundaria Obligatoria. María Ortiz Vallejo
Reseña: M. C. Prieto Puigbó
Las ventajas del cálculo mental, según la autora, se basan en la exploración y reflexión del que
lo practica, siendo este algo práctico y motivador que respeta a su vez la autonomía de cada individuo.
S
Además, trabajar el cálculo mental en el aula, contribuye al desarrollo de algunas competencias:
A
C



La Competencia Matemática: se tiene que razonar y profundizar en los conocimientos
matemáticos con los que se trabaje en cada momento.
En la Competencia Lingüística puesto que en su metodología es muy importante la expresión
oral de los procesos y razonamientos seguidos.
La Autonomía e iniciativa personal ya que el alumno, según su criterio, utiliza diferentes
estrategias.
Aprender a Aprender desde el momento que planifica y evalúa su comportamiento.
La Competencia Social y Ciudadana ya que valora los puntos de vista ajenos comparándolos
con los propios, como forma alternativa de abordar una situación.
En este libro, se parte de la base de que el alumnado no ha trabajado el cálculo mental
anteriormente; por tanto, perseguimos dos objetivos: 1º introducirles en las bases del cálculo mental
(tanto aditivo como multiplicativo) y 2º habituarles a usar este cálculo en todas las situaciones
posibles.
M
Á
T

I

2. Práctica del cálculo mental para cada uno de los tres primeros cursos de E.S.O., en los que
se aborda la resolución de ejercicios y problemas relacionados con cada curso.
Puesto que en el cálculo mental no podemos utilizar lápiz ni papel, hay ciertas limitaciones en el
desarrollo de los ejercicios y problemas propuestos. En ellos se intenta ser cercano a la realidad del
alumnado y que se encuentre en su vida diaria, con lo que se estaría trabajando la competencia en el
Conocimiento y la Interacción con el Mundo Físico.
3. Juegos y fichas para los tres cursos, cuyo objetivo en estas actividades lúdicas es seguir
aplicando el Cálculo mental de una manera más atractiva, que motiva y suaviza la dificultad
del aprendizaje.
L
E
E
R
M
E
T
1. Teoría del cálculo mental, en este capítulo se desarrollan los contenidos teóricos que se
consideran básicos para trabajar el cálculo mental; con distintas actividades que dependen del
curso en el que se esté trabajando (conocimiento del número, dominio de las operaciones,
estrategias de resolución y el trabajo de aproximación y estimación).
A
El libro, que tiene una estructura perfectamente organizada, consta de tres capítulos:
El libro va dirigido tanto al profesorado como a las familias, con una propuesta práctica de gran
utilidad que además de servir de herramienta de trabajo, anima para seguir investigando en el campo
de la Didáctica de las Matemáticas.
Animo a todo el profesorado que trabaja a diario en el aula, intentando mejorar el proceso de
enseñanza aprendizaje del cálculo mental, a que lea las más de 1000 actividades propuestas por María
Ortiz Vallejo. Enhorabuena por el trabajo realizado a lo largo de todo el libro.
M. C. Prieto Puigbó (Instituto de Enseñanza Secundaria Andrés Bello. España)
168
Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, páginas 169-171
CUÉNTAMEMATES
L
Hilario Barrera Rodríguez
E
E
Ilustraciones: Leonor Barrera Rodríguez
R
M
A
T
E
Á
Colección: El mundo es matemático
M
BEGINBOOK EDICIONES
ISBN: 978-84-938124-2-1
T
118 páginas
I
Año 2012
C
A
Cuéntamemates es un libro que se presenta con una estructura de diez cuentos cortos, adecuado
para lectores del 3º ciclo de Primaria y 1º ciclo de Educación Secundaria. En cada uno de los cuentos
se presentan conceptos propios del currículo de matemáticas de estos niveles, siendo la historia de
cada cuento el elemento por el cual se relacionan las matemáticas con situaciones propias de la vida,
dando sentido a unas matemáticas no desconectadas de la realidad del alumnado.
S
En el primer capítulo, "Un día de excursión" un grupo de alumnos y alumnas junto con su
profesor visitan la cueva pintada de Gáldar y a partir del descubrimiento de un sistema de conteo por
medio de "palitroques" el profesor aprovecha para explicar los diferentes tipos de sistemas de
numeración, aditivos y posicionales.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Cuéntamemates. Hilario Barrera Rodríguez
En el segundo capítulo, "Surcando el océano", Laura y su padre Honorio bucean por la playa de
Las Canteras, descubriendo infinidad de pececillos, lo que introduce en la necesidad de utilizar la
notación científica basada en potencias de 10 como uso abreviado de utilización de números muy
grandes, a la vez que recuerdan cómo se opera con potencias y raíces cuadradas, sugiriendo el uso de
calculadoras en el caso de cálculos complejos.
En el tercer capítulo, "Preparando la acampada", un grupo de chicos y chicas va a organizar una
acampada en Máguez, Lanzarote. La organización en cajas de los huevos que necesitarán para comer
les genera un problema en el que entran en juego el cálculo de divisores de un número y la utilización
del máximo común divisor para resolver problemas de optimización del empaquetado de los huevos.
Por otro lado, el desplazamiento de los chicos desde diferentes municipios y la sincronización para
llegar al destino a la misma hora es el motivo para iniciar a los lectores en el cálculo de los múltiplos
de un número y del mínimo común múltiplo.
"Números rojos" es el cuarto capítulo, en el cual, en casa de Andrés tras escuchar las noticias de
la televisión, comentan que últimamente llegan a fin de mes en números rojos. Esta es la ocasión que
aprovechan los padres de Andrés para explicarle la existencia de números positivos y números
negativos, y como se opera con ellos.
En el quinto capítulo, "Cuarto creciente, cuarto menguante" nos trasladamos a los montes de La
Palma, entre Garafía y la Caldera de Taburiente en donde Pedro y su padre, pastores de Fuencaliente
observan por la noche la luna, ocasión que aprovecha el padre de Pedro para explicarle el concepto de
fracciones.
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Reseña: L. A. Blanco Fernández
"Extra, Extra" es el título del sexto capítulo, en el que a partir de la noticia de un famoso ciclista
al que fue encontrada una ínfima cantidad de sustancia dopante, da pie para introducirnos en el mundo
de los números decimales y las operaciones con este tipo de números.
Nos trasladamos en el séptimo capítulo a un centro comercial en Puerto del Rosario. En este
capítulo, titulado "De compras", con la escusa de devolver algunas compras y adquirir otros productos,
los personajes de esta historia descubren los conceptos de porcentajes, descuentos, proporcionalidad y
otros tipos de ofertas propios de los centros comerciales (4X3, lleve cuatro y pague tres).
En el octavo capítulo, "Abracadabra", el Gran Circo Mundial llega a la isla de El Hierro. Entre
las múltiples actuaciones, un mago hace las delicias de los espectadores adivinando números pensados
por el público a los que les invita a realizar operaciones con ellos. Con este cuento se explican las
relaciones entre las operaciones aritméticas y el autor introduce la mecánica de la resolución de
ecuaciones algebraicas sencillas.
En el noveno capítulo, "Ron, ron, ron, la botella de ron", una historia de piratas y la búsqueda de
un tesoro nos introduce en el tema de la interpretación de planos, las escalas y la localización de
puntos en el plano por medio de las coordenadas cartesianas.
En el décimo y último capítulo, "Campeones, campeones", el periodista Manolo Lama tiene la
ocasión de entrevistar a dos de las figuras más representativas de la Liga de Campeones, Lionel Messi
y Cristiano Ronaldo. A lo largo de la entrevista se habla de los resultados de los equipos de ambos
jugadores, introduciendo así el estudio de diferentes tipos de diagramas de barras, sectores y lineales,
así como una iniciación al cálculo de probabilidades.
Al final de cada capítulo el escritor sugiere al lector una serie de actividades que tratan sobre la
comprensión del texto, ampliación de vocabulario, investigación y ampliación de conocimientos sobre
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Vol. 88
marzo de 2015
NÚMEROS
Cuéntamemates. Hilario Barrera Rodríguez
Reseña: L. A. Blanco Fernández
cada uno de los contextos de los cuentos, tratamiento de la información, utilización de las TIC,
emisión de juicios y valores argumentando su opinión sobre aspectos basados en contenidos
transversales. En conjunto, cada uno de los capítulos ofrece una serie de actividades destinadas a
favorecer la adquisición de las competencias básicas.
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Luis Ángel Blanco Fernández (Centro de Profesores Norte de Tenerife. España)
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El libro en sí no es un tratado de contenidos matemáticos si no que busca más bien acercar las
matemáticas a la realidad del alumnado lector, contextualizando los conocimientos matemáticos e
intentando vencer la animadversión que en ocasiones provoca el estudio de las matemáticas al no
encontrar una finalidad a las mismas.1
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En la URL:
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/5/WebDGOIE/WebCEP/scripts/default.asp?W=14&P=1385&S=1818
se puede conseguir más información sobre el Proyecto Cuéntamemates, con el cual se pretende trabajar las
competencias básicas de forma interdisciplinar a través de los cuentos del libro, proponiendo además de las
actividades al final de cada capítulo, otras actividades específicas de la materia de matemáticas.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 88
marzo de 2015
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzode 2015, páginas 173-174
Congresos
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Fecha: Del 28 al 29 de Marzo del 2015.
Lugar: Évora. Portugal.
Convoca: Associação de Professores de Matemática.
Información: http://www.apm.pt/
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Fecha: Del 3 al 7 de Mayo del 2015.
Lugar: Tuxtla Gutiérrez. Chiapas. México.
Convoca: El Comité Interamericano de Educación Matemática.
Información: http://xiv.ciaem-iacme.org/
N
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Fecha: Del 21 al 26 de Junio de 2015.
Lugar: Portland. Oregon. USA.
Convoca: Portland State University.
Información: http://mescommunity.info./
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Fecha: Del 5 al 8 de Julio del 2015.
Lugar: Cartagena. Murcia. España.
Convoca: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. (FESPM)
Organiza: Sociedad de Educación Matemática de la Región de Murcia (SEMRM).
Información: http://17jaem.semrm.com/
Fecha: Del 19 al 26 de Agosto de 2015.
Lugar: Brest. Francia.
Organiza: Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques (ARDM) de Francia.
Información: http://www.ardm.eu/contenu/les-ecoles-d-ete
VIII Conferencia
Internacional de
Matemática y Computación
XIV Congreso Nacional de la Sociedad de
Matemática y Computación
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XVII Jornadas de Enseñanza
y Aprendizaje de las
Matemáticas
Fecha: Del 25 al 27 de Noviembre 2015.
Lugar: Universidad de las Ciencias Informáticas. La Habana. Cuba.
Convoca: Sociedad Cubana de Matemáticas y Computación (SCMC).
Información: http://www.uci.cu/Compumat2015
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Vol. 88 marzode 2015
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
L O S
A U T O R E S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
P A R A
1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]
3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de
revisión o publicación en ninguna otra revista.
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electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de
evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.
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de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha
de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.
 Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;
también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.
 Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.
 Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar
el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.
 Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.
 Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de
texto (no enviarlas por separado).
 Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el
autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).
 Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New
York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de
colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.
Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios
propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado
que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.
N O R M A S
ISSN: 1887-1984
Volumen 88, marzo de 2015, página 175

CÓMO EVALUAR ACTIVIDADES CONSTRUIDAS EN GEOGEBRA

mecánica analíticatica uno

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VIII CONCURSO “CUENTOS DE CIENCIA”

Afiche del Concurso Público 01-2015

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