1. Fracciones Taller de Matemáticas 3º ESO 2 1. Significado de fracciones 2. Representación decimal de una fracción 3. Representación y equivalencia 4. Productos y cocientes 5. Divisibilidad, mcd y mcm 6. Sumas y restas de fracciones 7. Operaciones combinadas 8. Resolución de problemas Fracciones 1. Significado de fracciones • PARTES DE LA UNIDAD a) Expresa en forma de fracción y de decimal la parte coloreada de las siguientes figuras: b) ¿Qué fracción del cuadrado global de la siguiente figura son las regiones A, B, C, D y E? c) Dibuja la parte que falta hasta llegar a la unidad: 3 Taller de Matemáticas 3º ESO • LOS CROMOS DE NICO a) Nico tiene en una caja 12 cromos y quiere hacer diferentes tipos de montones iguales. Si consideramos que la unidad es la caja con los 12 cromos, ¿qué fracción representa cada cromo respecto a la unidad? b) Si ahora hace grupos de 2 cromos, ¿qué fracción representa cada grupo respecto de la unidad? c) Si los grupos fueran de 3 cromos, ¿qué fracción representa cada grupo respecto de la unidad? d) Ahora decide hacer dos grupos iguales. ¿Cuántos cromos debe haber en cada grupo? ¿Qué fracción representa cada grupo respecto a la unidad? e) Representa gráficamente las situaciones anteriores. • DOS CLASES En dos clases de igual número de alumnos, al comparar las notas de una asignatura se observa que, en la primera, de cada 3 estudiantes, 2 eran aprobados, y en la segunda, 3 alumnos de cada 5. ¿En cuál de los dos cursos es proporcionalmente mayor el número de aprobados? • EDADES Dos hermanos tienen como edades los 2/5 y los 4/7 de la edad de su padre. a) ¿Cuál es el mayor? b) ¿Es necesario conocer la edad del padre para saberlo? ¿Por qué? • ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES Los 140 alumnos de 3º ESO de un instituto se distribuyen para realizar una serie de actividades: 1/7 está en el taller de fotografía; 1/4 se dedica al teatro; 2/5 participan en actividades deportivas; el resto está en el aula de informática. a) ¿Cuántos alumnos participan en cada una de las actividades? b) Escribe la fracción correspondiente a la parte del alumnado que se encuentra en el aula de informática. • DURACIONES Y TIEMPOS Observa la siguiente tabla, comprueba que las fracciones que hemos escrito son correctas y termínala: Segundo Minuto Segundo 1 Minuto 60 Hora 3600 Día 86400 Mes 2592000 Trimestre Semestre Año 4 1/60 Hora Día Mes Trimestre Semestre Año 1/3600 1/86400 1/2592000 1/7776000 1/15552000 1/31104000 Fracciones 2. Representación decimal de una fracción • DE FRACCIÓN A DECIMAL Expresa las siguientes fracciones como números decimales: a) 1 3 80 222 1345 , , , y 4 5 50 480 25 b) 8 15 7 65 405 , , , y 3 7 6 18 333 Todas las fracciones podemos considerarlas como divisiones indicadas. Cuando en una división, en el cociente hay un número determinado de decimales y el resto es 0, decimos que es una división exacta o decimal exacto. Hay números decimales que tienen un número de cifras que se repiten periódicamente, sin llegar nunca al final de la división. Decimos que son decimales periódicos. Cuando los decimales periódicos se repiten desde la primera cifra decimal, decimos que son decimales periódicos puros. Cuando en los decimales periódicos hay una primera parte decimal, llamada anteperiodo, que no se repite, decimos que son decimales periódicos mixtos. • ELABORACIÓN DE PAN En la elaboración de una barra de pan, se utilizan 0,24 kg de harina. ¿Cuántas barraa de pan se pueden fabricar con un saco de 45,6 kg de harina? • EL PRECIO DE LA TRUCHA Juan ha comprado una trucha que pesa 2,645 kg. ¿Cuánto ha pagado por ella si el kilo de trucha vale 5,20 euros? • PULSERAS Y RELOJES Calcula el valor total de 9 pulseras de oro de 76,20 euros cada una y 5 relojes de 40,90 euros cada uno. • LA NOTA DE UN EXAMEN Un examen consta de 25 preguntas. Cada respuesta correcta puntúa 0,4 y cada error resta 0,15. Un alumno contesta 20 preguntas, de las cuales 12 son correctas. ¿Qué nota obtiene? • MÁQUINA DE COSER Compramos una máquina de coser que vale 671,50 euros pagando 241,50 euros al contado y el resto en 10 mensualidades iguales. ¿A cuánto ascenderá cada mensualidad? • ABRIGO Y ZAPATOS Un abrigo cuesta 297,10 euros y unos zapatos 5 veces menos. ¿Cuántos euros vale más el abrigo que los zapatos? 5 Taller de Matemáticas 3º ESO • DOMINÓ DE DECIMALES En la siguiente figura tienes un modelo de dominó de decimales y áreas. Juega algunas partidas con este dominó. 6 Fracciones • DE DECIMAL A FRACCIÓN La fracción asociada a un número decimal se llama fracción generatriz. Veamos algunos ejemplos de cálculo de la fracción generatriz. Ejemplo 1.- Halla la fracción generatriz de 0’75. Respuesta: 0'75 = 75 3 = 100 4 ) Ejemplo 2.- Halla la fracción generatriz de 0'4 = 0'4444... Hacemos x=0’44444... Multiplicamos por 10: 10x=4’44444... 10x−x=4 → 9 x = 4 → x= Restamos: 4 9 ) 4 0'4 = 9 Luego: Ejemplo 3.- Halla la fracción generatriz de 0’36666... Hacemos Multiplicamos por 10 ( la coma estará junto al período): Multiplicamos por 10: Restamos: De donde: x = 0’36666... 10 x = 3’6666... 100 x = 36’6666... 100 x – 10 x = 36 – 3 33 11 = 90 x = 33 → x = 90 30 ) 11 0'36 = 30 Luego: Calcula las fracciones que generan los siguientes decimales: a) 2’45 b) 0’038 c) 0’ 3 d) 0’ 9 e) 3’125 f) 1’2 7 g) 13’ 125 h) 0’1 3 3. Representación y equivalencia • PAPEL CUADRICULADO Y RECTA NUMÉRICA En el papel cuadriculado hemos representado la fracción 3/5. Después, con ayuda de la regla y el compás, hemos representado la fracción 3/5 en la recta numérica. 7 Taller de Matemáticas 3º ESO Representa en el papel cuadriculado y en la recta numérica las siguientes fracciones: 2/3 2/4 2/5 5/2 5/4 7/3 5/7 5/3 5/12 12/5 • JUEGO DE LOS TRES EN RAYA Es un juego para dos jugadores. Se necesita una calculadora y una regla graduada de 0 a 1. Reglas del juego: • El primer jugador elige dos números de forma que al dividirlos entre sí (se puede usar la calculadora) el resultado esté comprendido entre 0 y 1. Si se consigue, el número obtenido se representa en la recta graduada. Si no se consigue, el turno pasa al siguiente. • A continuacion, el segundo jugador procede de igual forma. • Gana el primer jugador que consiga tener representados tres puntos en la recta sin que entre ellos haya ninguno del otro jugador. 8 Fracciones • JUEGO DE FRACCIONES EQUIVALENTES Es un juego para dos jugadores. Se necesita un dado cúbico numerado de color rojo: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (numerador) y un dado cúbico numerado de color azul: 2, 4, 6, 8, 10, 12 (denominador) Reglas del juego: • Salida a mayor puntuación. • Tiradas alternas. • Cada jugador elige previamente una fracción. • Se tiran los dos dados y se anota la fracción resultante: numerador / denominador. • Gana quien, a las 10 jugadas, haya conseguido más fracciones equivalentes a la elegida. • DOMINÓ DE FRACCIONES En la siguiente figura tienes un dominós de fracciones y áreas. Localiza las fichas dobles y juega algunas partidas con un compañero. 9 Taller de Matemáticas 3º ESO • DOMINÓS DE FRACCIONES EQUIVALENTES En las siguientes páginas tienes dos modelos de dominós de fracciones, para estudiar la equivalencia entre fracciones, decimales y áreas. Juega algunas partidas con cada uno de ellos. 10 Fracciones Dos fracciones son equivalentes si tienen la misma expresión decimal. Por ejemplo, las 2 6 10 26 84 = = = = = 0,66666... = 0, 6 son equivalentes. Dos fracciones 3 9 15 39 126 a c si los productos cruzados coinciden: a×d=b×c. Compruébalo en son equivalentes = b d fracciones el caso anterior. 11 Taller de Matemáticas 3º ESO 4. Productos y cocientes • TABLETA DE CHOCOLATE Ana ha repartido una tableta de chocolate entre sus tres amigos, dándole a cada uno 1/5 de la tableta. ¿Qué fracción de chocolate ha repartido en total? • DE CASA AL INSTITUTO Nico recorre en cada minuto las 2/9 partes de la distancia que hay desde su casa al instituto. ¿Qué distancia llevará recorrida al cabo de 2 minutos? ¿Y cuando transcurran 3 minutos? ¿Y cuando pasen 4 minutos? • MULTIPLICACION DE FRACCIONES Hemos dividido un lado de un cuadrado en site partes iguales y otro en 5. Estas divisiones determinan el rectángulo sombreado en la siguiente figura. ¿Qué fracción del lado del cuadrado representa el lado mayor del rectángulo? ¿Y el lado menor del rectángulo? ¿Qué fraccion del cuadrado está sombreada? Calcula el área del rectángulo sombreado, multiplicando los dos lados. Lado mayor x Lado menor = Fracción sombreada 6 4 24 × = 7 5 35 El producto de dos o más fracciones es una fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 12 2 5 × 3 7 b) 7 5 × 3 14 c) 9 8 × 4 15 d) 6 2 × 5 4 Fracciones • FRACCIÓN DE FRACCIÓN a) A Nico le han correspondido 2/5 de una bolsa de caramelos, y ha querido regalar a su hermano 3/10 de su premio. ¿Qué fracción de la bolsa de caramelos se ha llevado el hermano de Nico? Multiplicamos la fracción de los caramelos de Nico por la de su hermano: 2 3 6 3 × = = 5 10 50 25 Para hallar una fracción de fracción hay que multiplicar las dos fracciones. b) Los 2/3 de los alumnos de una clase son chicas y, del total de estas, a la mitad le gusta el baloncesto. ¿Qué fracción indica el numero de chicas de cla clase a las que les gusta el baloncesto? • DIVISIÓN DE FRACCIONES a) Un rectángulo tiene de área 24/25 y de altura 4/5. ¿Cuánto mide su base? Hemos dividido un lado de un cuadrado en siete partes y el otro en cinco. Con ello, el rectángulo sombreado tiene de área 24/25 y su altura es 4/5. Vemos en la figura que su base es 6/7. Como ÁREA = BASE × ALTURA, resulta que BASE= ÁREA / ALTURA 24 4 6 ÷ = 35 5 7 13 Taller de Matemáticas 3º ESO Este resultado también lo puedes obtener reduciendo las dos fracciones a común denominador y dividiendo los numeradores. Así: 24 24 24 4 35 35 24 4 × 6 6 ÷ = = = = = 28 28 4 × 7 7 4 35 5 35 5 b) ¿Cuántas botellas de 1/5 de litro podemos llenar con 4/5 de litro? También puedes aplicar los siguientes algoritmos: 1) Reducir a común denominador y dividir los numeradores. 4 4 1 5 4 ÷ = = =4 5 5 1 1 5 2) El método del caramelo o de los productos cruzados. 4 1 4 × 5 20 ÷ = = =4 5 5 5 ×1 5 3) Multiplicar el dividendo por la fraccion inversa del divisor. 4 1 4 5 20 ÷ = × = =4 5 5 5 1 5 c) En un tramo de carretera cuya longitud es de 6/8 de km, se quiere señalizar poniendo un pivote cada 3/16 de km. ¿Cuántos pivotes se necesitan? d) Un depósito contiene 30000 litros de agua. ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se podrán llenar con el contenido del depósito? 14 Fracciones • DIVISIÓN DE FRACCIONES USANDO BOLAS Ejemplo 1: ¿Cuál es el resultado de la división 1 ÷3? 3 Tenemos que dividir un tercio de las bolas en tres partes iguales: El resultado es una bola de un total de nueve, es decir, 1/9. Por tanto: 1 1 ÷3 = 3 9 3 3 ÷ ? 4 5 Tomamos tantas bolas como indica el producto de los denominadores, es decir, 20. Hay que dividir tres cuartos de las 20 bolas (es decir, 15 bolas) entre los 3/5 de 20=12 bolas. Ejemplo 2: ¿Cuál es el resultado de la división Por tanto, el resultado de la división es 15/12 = 5/4 de las bolas. Así: Ejemplo 3: ¿Cuál es el resultado de la división 2 ÷ 3 3 15 5 ÷ = = 4 5 12 4 3 ? 5 Tenemos que dividir 2 entre los 3/5 de 1. Pero como 1 no es divisible entre 5, necesitamos que la unidad esté formada por un número de bolas múltiplo de 5. Vamos a suponer que dicha unidad está formada por 5 bolas. Entonces, los 3/5 de 1 serán los 3/5 de 5 bolas, es decir, 3 bolas. Por tanto, hay que dividir 2 unidades (=10 bolas) entre los 3/5 de 1 unidad (=3 3 10 . bolas). El resultado de la división es 2 ÷ = 5 3 15 Taller de Matemáticas 3º ESO Observa que para dividir una fracción entre un número entero hay que multiplicar el denominador por el entero: a a ÷c = b b×c . Para dividir dos fracciones, basta multiplicar la primera por la inversa de la segunda: a c a d a×d : = × = b d b c b×c Para dividir un número entero entre una fracción hay que multiplicar el entero por el denominador de la fracción y el resultado dividirlo entre el numerador: a÷ b a×c = c b Usando el modelo de bolas, haz las siguientes divisiones: a) 1 1 3 1 5 1 ÷ ; b) ÷ ; c) 5 ÷ ; d) ÷ 5 2 5 4 3 2 2 5. Divisibilidad, mcd y mcm • DIVISORES Escribe debajo de cada número todos sus divisores: 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Fracciones Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Los números que tienen solo dos divisores, ellos mismos y la unidad, se llaman números primos. Cuando dos números sólo tienen de divisor común la unidad, decimos que son primos entre sí. • DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Para descomponer en factores primos el número 60 construimos un diagrama en árbol: Por tanto: 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 También puedes hallar la descomposición factorial haciendo uso de los criterios de divisibilidad: • • • • • • • • • Un número es divisible por 2 si acaba en 0 ó cifra par Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 ó 5. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. Un número es divisible por 8 si es divisible por 2 y 4. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Un número es divisible por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de lugar par y las de lugar impar es siempre 0 ó múltiplo de 11. Para descomponer en factores primos el número 60 usando estos criterios usamos la siguiente técnica: En la columna de la derecha se sitúan los divisores primos en orden creciente y en la columna de la izquierda los respectivos cocientes. Descompón en factores primos los números 330, 255, 360, 3705 y 1248. 17 Taller de Matemáticas 3º ESO • MÁXIMO COMÚN DIVISOR Para hallar el máximo común divisor de 45 y 60, mcd(45, 60), procedemos así: Número Divisores 45 1, 3, 5, 9, 15 y 45 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30 y 60 1º. Buscamos los divisores de cada uno. 2º Señalamos los divisores comunes: 1, 3, 5, 15 3º. Elegimos el mayor: 15. Por tanto, mcd(45, 60)=15. Si los números son grandes, para obtener el máximo común divisor, hay que: 1º Descomponer los números en factores primos. 2º Hacer el producto de los factores comunes con los exponentes menores. Por ejemplo, para hallar el máximo común divisor de 648 y 300: Por tanto, mcd(648, 300)=2×2×3= 2 2 × 3 =12 Calcula el máximo común divisor de los siguientes números: a) mcd(45, 70) • b) mcd(720, 890, 125) c) mcd(3705, 1248) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Para hallar el mínimo común múltiplo de 15 y 10, mcm(15, 10), procedemos así: Número Múltiplos 15 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ... 10 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ... 1º. Buscamos los múltiplos de cada uno. 2º Señalamos los múltiplos comunes: 30, 60, 90. 3º. Elegimos el menor: 30. Por tanto, mcm(15, 10)=30. Si los números son grandes, para obtener el máximo común divisor, hay que: 1º Descomponer los números en factores primos. 2º Hacer el producto de los factores comunes y no comunes con los exponentes mayores.. 18 Fracciones Por ejemplo, para hallar el mínimo común múltiplo de 648 y 300: Por tanto, mcm(648, 300)= 2 3 × 3 4 × 5 2 =16200 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) mcm(45, 70) • b) mcm(720, 890, 125) c) mcm(3705, 1248) BALDOSAS Queremos embaldosar el suelo de una habitación de 855 cm de largo y 675 cm de ancho, con baldosas cuadradas del mayor lado posible. ¿Cuánto ha de medir el lado de cada baldosa? • AUTOBUSES En una línea de autobuses, uno pasa cada 15 minutos, otro cada 12 minutos, y un tercero cada 18 minutos. Si se juntan los tres a las 10 horas, ¿a qué hora volverán a juntarse? • RUEDAS DENTADAS Dos ruedas dentadas de un reloj tienen 35 y 77 dientes, respectivamente. Al coincidir los dos dientes que tienen una marca, ¿cuántas vueltas darán cada una de las ruedas para que vuelvan a coincidir esos dos dientes? • SEMÁFOROS La salida de una autovía se divide en tres direcciones. El acceso a dichas direcciones está regulado por tres semáforos de alta precisión con períodos para los vehículos de luz verde de 65, 42 y 30 segundos y períodos de luz roja de 35, 30 y 25 segundos respectivamente. Los tres tienen un intervalo de 3 segundos de luz ámbar en los cambios de rojo a verde, y viceversa. El día de la inauguración, a las doce en punto de la mañana, se pusieron simultáneamente los tres semáforos en verde. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los tres semáforos vuelvan a estar en verde simultáneamente? 6. Sumas y restas de fracciones • SUMA Y RESTA Ejemplo 1: ¿Cuánto suman las partes coloreadas? ¿ 1 1 + =? 2 3 19 Taller de Matemáticas 3º ESO Para averiguarlo, dividimos cada círculo en 2×3=6 partes iguales. Vemos que 1 1 3 2 5 + = + = 2 3 6 6 6 Ejemplo 2: Resta las superficies coloreadas. ¿ 2 1 − =? 3 9 Para averiguarlo dividimos los cuadrados en 9 partes iguales. Vemos que 2 1 6 1 5 − = − = 3 9 9 9 9 Para sumar (o restar) dos fracciones de igual denominador, se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con distintos denominadores buscamos otras fracciones equivalentes a las mismas, pero con los mismos denominadores. Efectúa de forma similar las siguientes sumas y restas: a) • 3 2 + 4 5 b) 3 5 + 7 9 c) 3 2 − 4 5 d) 5 3 − 9 7 LA PAGA SEMANAL a) Esta es la distribución que Nico hace de su paga semanal. ¿Qué fracción gasta en el cine? ¿Qué fracción gasta en libros? ¿Qué fracción ahorra? 20 Fracciones b) Esta es la distribución que hace Eva de su paga semanal. ¿Qué fraccion gasta en el cine? ¿Qué fracción gasta en libros? ¿Qué fracción gasta en regalos? ¿Qué fracción gasta en chucherías? ¿Qué fracción ahorra? c) Si juntan las dos pagas semanales, ¿qué fracción gastarían entre los dos en el cine? d) ¿Quién gasta más dinero en libros? ¿Cuánto más? En el apartado c) hay que sumar las fracciones 3/5 y 2/7. Para ello hay que hallar fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador. Esto se puede conseguir multiplicando numerador y denominador de cada una por el denominador de la otra: 3 3 × 7 21 2 2 × 5 10 3 2 21 10 31 = = = + = ; = . Por tanto: + = 5 5 × 7 35 7 7 × 5 35 5 7 35 35 35 En el apartado d) hay que restar las fracciones 2/7 y 1/5. Para ello hay que hallar fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador de cada una por el denominador de la otra. Así: 2 2 × 5 10 1 1 × 7 7 2 1 10 7 3 = = = − = ; = . Por tanto: − = 7 7 × 5 35 5 5 × 7 35 7 5 35 35 35 Podemos obtener fracciones equivalentes a las dadas multiplicando el numerador y el denominador de cada una por los denominadores de las demás. • COMÚN DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, es necesario reducirlas a común denominador. Para ello, una forma es utilizar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Éste será el nuevo denominador y los numeradores se obtienen multiplicando cada fracción por el mínimo común múltiplo. Ejemplo: Queremos hallar la suma de fracciones m.c.m.(4, 18, 12) = 22 ⋅32 =36. tengan denominador 36. 3 11 5 . Procedemos de esta forma: + + 4 18 12 Entonces hemos de transformar las fracciones para que 3 ? 3 27 = hemos multiplicado 4 por 9. Por tanto hay que multiplicar 3 por 9 .→ = 4 36 4 36 11 ? 11 22 = = hemos multiplicado 18 por 2. Por tanto hay que multiplicar 11 por 2→ 18 36 18 36 5 ? 5 15 = = hemos multiplicado 12 por 3. Por tanto hay que multiplicar 5 por 3.→ 12 36 12 36 Entonces: 3 11 5 27 22 15 64 + + = + + = 4 18 12 36 36 36 36 21 Taller de Matemáticas 3º ESO Efectúa las siguientes operaciones, utilizando el mínimo común múltiplo: 1 4 2 + + 6 5 3 • 1 1 5 + + 2 6 12 1 4 7 + + 3 9 18 1 1 1 + + 5 3 15 LA FIESTA DE EVA Eva quiere dar una fiesta en casa y, según sus cálculos, necesita por lo menos 20 litros de refescos. Va al supermercado y compra latas de 1/3 de litro: 14 de naranja, 16 de limón, 25 de cola y 15 de sabores combinados. Con ayuda de sus tres amigos lo llevaron todo a casa. Al llegar se tomó cada uno dos latas, pues Eva sabía que llevaba más de 20 litros en total. a) ¿Cuántos litros de refresco compró Eva? b) ¿Cuántos litros se tomaron al llegar a casa? c) ¿Cuántos litros quedaron para la fiesta? • LA FIESTA DE NICO A Nico le encantó la fiesta de Eva y dos semanas después quiso repetirla en su casa. La cantidad de refresco que necesitaban era la misma, pero había un “lote oferta” que por cada cuatro latas de 1/3 regalaban dos tetrabrick, uno de 1/5 y otro de 1/4 del mismo refresco. Nico lo pensó un poco y se llevó 3 “lotes oferta” de refresco de limón, 2 de naranja, 5 de cola y 4 de sabores surtidos. También le ayudaron sus tres amigos y, al llegar a casa, se tomaron cada uno un tetrabrick de 1/4 y otro de 1/5. a) ¿Cuántos litros de refresco compró Nico? b) ¿Cuántos litros se tomaron al llegar a casa? c) ¿Cuántos litros quedaron para la fiesta? • EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas formado por siete piezas, con las que se puede formar un cuadrado. a) Si el cuadrado es la unidad, ¿qué fracción del cuadrado representa cada una de las siguientes figuras? b) Construye y dibuja, con las piezas del tangram chino, figuras equivalentes a las siguientes 1 4 5 8 11 12 14 fracciones: , , , , , , 16 16 16 16 16 16 16 22 Fracciones • DOMINÓ DE FRACCIONES En la siguiente figura tienes un dominó de operaciones con fracciones. Localiza las fichas dobles de este dominó y juega algunas partidas con un compañero. 23 Taller de Matemáticas 3º ESO 7. Operaciones combinadas • JERARQUÍA DE OPERACIONES Analiza y resuelve las siguientes operaciones dando prioridad a las operaciones: Operación Analizo Resuelvo 4×7−8×3+2×5= 9×(9−3)+5×(8+4)= 6 × ( 10 − 4 × 2 ) − ( 15 − 7 ) = 2 × ( 15 − ( 5 + 1 ) + 8 × 4 − 6 ) = • OPERACIONES Analiza y resuelve las siguientes operaciones sacando factor común: Operación Analizo Saco factor común Resuelvo 5×3−5×2+5×7= 9+6×9−2×9+9×3= 3×2−3+4×7−2×4+3×5= 2×9−2×6+2−4×5+8= • NUMERIGRAMAS a) En la primera figura completa las casillas en blanco, escribiendo los signos de sumar, restar, multiplicar y dividir: b) En la segunda figura completa las casillas en blanco, escribiendo los números adecuados: 24 Fracciones • DOMINÓ DE OPERACIONES Te proponemos un juego de dominó en donde debes demostrar tus habilidades para realizar operaciones. a) Busca las 7 fichas dobles que contiene. b) Cuando conozcas las fichas, formar equipos de cuatro y jugar unas cuantas partidas. 25 Taller de Matemáticas 3º ESO • BARAJA DE NÚMEROS CON SIGNO En las siguientes páginas encontrarás una baraja de cartas con números enteros, positivos y negativos. Con ella te proponemos dos juegos: A) EL CERO GANA Es un juego para 4 personas. Se reparten todas las cartas y se dejan 4 sobre la mesa, boca arriba. Cuando te llega el turno, comprueba si alguna de tus cartas suma cero con alguna o algunas de la mesa; si es así, te llevas la tuya junto con las que sumen 0. Si no tienes ninguna, pones una carta y pasa el turno. Gana quien más cartas tenga al finalizar el juego. 26 Fracciones B) LA MONA Se quita el cero y el −18, y se reparten todas las cartas menos una, que se deja boca abajo sobre la mesa. Cada cual se descarta de todas las parejas que tenga, entendiendo por pareja el mismo número, pero con distinto signo. Por turnos, se ofrecen las cartas empezando por la derecha, para que se elija una sin verla, y trate de formar pareja con las que tiene; si la forma, se descarta de las dos, y le ofrece las suyas al siguiente para que coja una. Gana quien se quede sin cartas. −19 −18 −17 −16 −14 −13 −12 −11 −9 −8 −7 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 27 Taller de Matemáticas 3º ESO −15 −10 −5 0 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17 18 19 5 10 15 20 28 Fracciones • JUGANDO CON LOS SIGNOS Partiendo de esta jugada, ¿cómo podría ganar 4 puntos más? Se puede hacer de dos maneras: poniendo la carta +4 o quitando la carta −4. Esto indica que sumar +4 es lo mismo que restar −4. Es decir: −(−4)=+(+4) a) ¿Cuál ha sido la variación de temperatura si las temperaturas que señala el termómetro por la mañana y por la tarde son las que se indican en la siguiente tabla? Mañana Tarde Primer caso +15ºC +23ºC Segundo caso +15ºC +12ºC Tercer caso −5ºC 9ºC Cuarto caso −8ºC −1ºC Variación b) Con esta carta gano 2 puntos. ¿Cuántos puntos ganaré haciendo 4 jugadas iguales más? +2 29 Taller de Matemáticas 3º ESO c) Con esta carta pierdo 2 puntos. ¿Cuántos puntos tenía más que ahora si he obtenido esta carta en las 4 últimas extracciones? −2 d) Con esta carta pierdo 2 puntos. ¿Cuántos puntos perderé haciendo 4 jugadas iguales más? −2 e) Con esta carta gano 6 puntos. ¿Cuántos puntos tenía menos que ahora hace 3 jugadas? +6 f) Con esta carta gano 3 puntos. ¿Cuántas jugadas iguales a ésta necesitaré para ganar 15 puntos más? +3 g) Con esta carta pierdo 3 puntos. ¿Cuántas jugadas iguales a ésta haré para perder 15 puntos? −3 h) Con esta carta pierdo 3 puntos. ¿Cuántas jugadas iguales a ésta hace que tenía 15 puntos más que ahora? −3 i) Con esta carta gano 2 puntos. ¿Cuántas jugadas, iguales a ésta, hace que tenía 12 puntos menos que ahora? +2 REGLA DE LOS SIGNOS 30 PRODUCTO COCIENTE + por + = + + dividido por + =+ + por − = − + dividido por − = − − por + = − − dividido por + = − − por − = + − dividido por − = − Fracciones • OPERACIONES COMBINADAS CON ENTEROS Operación Analizo Resuelvo 3 × ( − 7 ) − 72 ÷ ( − 4 ) + 630 ÷ ( − 9 ) = 5 × ( − 6 + 8 × ( − 5 + 7 ) − ( − 268 ) ÷ 4 ) × ( − 9 ) = ( − 7 ) × ( 9 × ( − 12 ) + 76 ÷ ( − 8 ) − 3 × ( − 5 ) ) = − ( − 126 ) ÷ 4 − 6 × ( ( − 28 ) × ( − 6 ) + 51 + ( − 9 ) × 46 ) = − 720 ÷ ( − 4 ) ÷ 18 × ( − 63 ) × 15 ÷ ( − 450 ) = • EL MEJOR CAMINO Es un juego para dos jugadores. Se necesita el tablero de juego y una calculadora. Reglas del juego: • El juego consiste en llegar a la meta con el resultado más alto posible. • Partiendo de 10 cada jugador, por turnos, elige un camino haciendo en cada tramo la operación indicada. De esta manera se procederá alternativamente, sin retroceder ni repetir ningún segmento, hasta llegar a la meta. 31 Taller de Matemáticas 3º ESO • OPERACIONES MISTERIOSAS Sitúa en los cuadros en blanco las operaciones que debe haber para que el resultado sea el que se indica. Intenta hacerlo mentalmente y, después, comprueba con la calculadora. Incluye paréntesis cuando sea necesario. • CUADRADOS MÁGICOS Completa los siguientes cuadrados mágicos, de forma que en cada uno, todas las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo. 0,26 0,3 0,27 0,28 0,09 0,15 0,5 0,29 0,24 0,17 0,1 0,22 0,23 0,24 0,13 0,19 0,08 0,14 0,20 0,26 0,32 • COMPLETANDO ENTEROS Grupos de 4 alumnos. Se necesita una baraja para cada equipo. Se trata de completar enteros (1, 2, 3, …) usando las fracciones que contienen varias cartas. Se reparten todas las cartas. Cada jugador roba una carta al anterior e intenta completar un número entero. Si lo consigue, deja las cartas que use sobre la mesa. Gana el primer jugador que se queda sin cartas. 32 Fracciones • OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES Realiza las siguientes operaciones: Operación Analizo Resuelvo 2 ⎛5 − 6 3⎞ ×⎜ + + ⎟= 7 ⎝ 8 10 4 ⎠ ⎛ − 5 3⎞ ⎛ 6 4 − 3⎞ + ⎟×⎜ − + ⎜ ⎟= 4 ⎠ ⎝ 7 5 10 ⎠ ⎝ 8 − 5 ⎛ − 8 − 14 35 ⎞ ×⎜ + + ⎟= 3 ⎝ 7 9 63 ⎠ 3 ⎞ ⎛ − 8 7 − 11 ⎞ ⎛−7 − + + ⎟= ⎟×⎜ ⎜ 6 10 ⎠ ⎝ − 2 − 4⎠ ⎝ 5 8. Resolución de problemas • DEPÓSITO a) Se han vaciado las 3/8 partes de un deposito que contenía 2400 litros de agua. ¿Cuántos litros se han extraído? b) En otro depósito se han extraido 1900 litros de agua, que son los 3/5 del depósito. ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito lleno? • PERFUME Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de 3/4 de litro? • LA TARTA Jacinto se come los 2/7 de una tarta y Gabriela los 3/5 del resto. ¿Qué fracción de la tarta se ha comido Gabriela? ¿Qué fraccion queda? • GASTOS DOMÉSTICOS Eva gasta sus ingresos de la siguiente manera: • • • 2/5 de sus ingresos son para los impuestos 2/3 los gasta en comida, alquiler de la casa y transporte. El resto lo dedica a comprar ropa y actividades de ocio. ¿Qué fracción de sus ingresos gasta en ropa y en ocio? 33 Taller de Matemáticas 3º ESO • LIBROS En una biblioteca, los 2/9 de los libros que hay son de matemáticas, 3/5 son de literatura, 1/7 son de ciencias sociales y el resto, de idiomas. ¿Qué fracción de libros son de idiomas? Ordena las diferentes asignaturas por el número de volúmenes que encontramos en la biblioteca. • ORDENADOR Una amiga me pidió que le pasase un trabajo a ordenador. El primer día pasé 1/4 del trabajo total, el segundo 1/3 de lo restante, el tercero 1/6 de lo que faltaba y el cuarto lo concluí, pasando 24 folios. ¿Puedes averiguar cuántos folios tenía el trabajo? • ATLETISMO Una atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer los 1500 metros (3 vueltas y 3/4 de vuelta)? • PARCELAS El propietario de un solar ha decidido venderlo en parcelas para obtener una mejor rentabilidad. Vendió primero 3/7 del mismo, luego la mitad de lo restante y aún le quedaron 244 metros cuadrados sin vender. Calcula la superficie del solar. 34
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