集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
集合
計算基礎論
数学的準備
「もの」の集まり
{a, b, c, d}
a ∈ A,
元，要素，element，member
b∈
/B
部分集合 A ⊆ B ，真部分集合 A ⊂ B
.
普遍集合 (全体集合) U
.
宮野 英次
.
[email protected]
∅
空集合
有限集合
無限集合
2009 年
可算集合，非可算集合
濃度
和集合 A ∪ B ，積集合 A ∩ B ，補集合 A = U \ A
集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
特別な集合
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
列と組
列，sequence
「もの」をある順序で並べたもの (2, 5, 8)
実数集合 R
非負実数集合 R+
整数集合 Z
非負整数集合 Z+
自然数集合 N
有理数集合 Q
複素数集合 C
組，tuple
対，pair (a, b)
3 個組，3-tuple (name, sex, bloodtype)
べき集合，power set
A = {0, 1}，2A = {{}, {0}, {1}, {0, 1}, }
直積，Cartesian 積
A = {a, b}，B = {x, y, z}
A × B = {(a, x), (a, y), (a, z), (b, x), (b, y), (b, z)}
A × B × A，Ak = A × A × · · · × A なども同様
|
{z
}
k
集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
グラフ
関数と関係
Boole 論理
定義，定理，証明
関係
関数，写像，function，mapping
f (a) = b,
文字列と言語
k 項関係，k-ary relation
R : A × A × · · · × A → {TRUE, FALSE}
f :R→R
2 項関係，binary relation
定義域，domain
R : A × A → {TRUE, FALSE}
値域，range
2 項関係の性質
反射律，relaxive law
すべての x について xRx
対称律，symmetric law
すべての x と y について xRy ならば yRx
推移律，transitive law
すべての x, y, z について xRy かつ yRz ならば，xRz
反対称律，antisymmetirc law
すべての x と y について xRy かつ yRx ならば x = y
引数，argument
k 項関数，k-ary function
unary function, binary function, ...
f (x1 , x2 , · · · , xk )
=
a,
f : N × N × ··· × N → R
|
{z
}
k
述語，predicate
値域が {TRUE, FALSE} であるもの
集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
グラフ
無向グラフ，有向グラフ
文字列と言語
アルファベット (alphabet)，文字 (symbol)
文字 0 と 1 からなるアルファベット Σ1 = {0, 1}
アルファベット上の文字列 (string)
次数，degree
Σ2 = {a, b, c} 上の文字列 aabacccab
部分グラフ，subgraph
長さ，length: 文字数
パス，path
空列，empty string: 記号 ε
連結成分，connected component
部分文字列
木，tree
根，root
葉，leaf
Boole 論理
文字列と言語
頂点，vertex，node
辺，edge，arc
グラフ
連結
言語
文字列の集合 L1 = {apple, banana, cherry, · · · }
問題
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
集合
列と組
関数と関係
Boole 論理
グラフ
文字列と言語
論理式
Boole logic
和積標準形論理式
TRUE, FALSE
f = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
Boole 演算，Boolean operation
否定，negation, ¬x または x
積和標準形論理式
論理積，conjunction, x ∧ y
g = xyz + xyz + xyz
論理和，disjunction, x ∨ y
集合
列と組
Boole 論理
関数と関係
グラフ
文字列と言語
Boole 論理
定義，定理，証明
定義，定理，証明
定義: definition
「もの」や概念を規定する
数学的命題: mathematical statement
「もの」がある特定の性質をもつことを示す
証明: proof
命題が真であることを納得させる論理的な議論
定理: theorem
真と証明された命題
補題: lemma
重要な命題の証明を助けるための補助命題
系: corollary
定理やその証明から，真であることが容易に示せる
関連した命題
定義，定理，証明
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