頭の体操５０題希暮竜輔 1 問題一覧問題１夕方のニュース番組「every.」を見ていたら、丸岡さんの父親と陣内さんの母親の誕生日が「敬老の日」で一致しているそうである。そこで問題、「自分の両親の片方と相手の両親の片方の誕生日が一致する確率を求めよ。」問題２タレントの小森純さんはワールドカップの予選の日本戦３試合を得点まで当てたという。そこで、問題。この確率を求めよ。日本対カメルーンオランダ対日本デンマーク対日本１－０１－０３－１ただし、予想の範囲は０対０から３点差までとし、実力差は考えないものとする。問題３競馬で、枠連（枠番連勝複式）で１点買いで当たる確率を求めよ。ただし、レースは１８頭立てとし人気は考えないものとする。問題４学校の校庭に突然ミステリーサークル（真円）が出現しました。そこで正確な大きさを知るために半径を計ることにしました。あなたならどうやって計りますか。ただし当然円の中心など分からず、持っているものは３０ｃｍ定規と紐とそれを切るナイフだけです。問題５ひと月の内に５回目の金曜日と５回目の土曜日と５回目の日曜日がある確率を求めよ。問題６「私は自分が日蓮の魂を持った者・・・・と言われたので、何か心あたりはないかと、つらつら考えてみた。日蓮は気学で言うと、「四緑木星」で午年。私も昭和十七年生まれだから、「四緑木星」の午年である。しかし、この一致はあまり当てにならない。というのは、午年生まれは、私の他に万といるのだし、彼等も皆日蓮と同じという事になるからだ。しかしここでちょっと面白い事があるのである。十二支というのは、更に厳密に分類すると、それぞれ五種類に分けられるのである。例えば午年なら、甲午、丙午、戊午、庚午、壬午の五種類になる。私はその内の壬午なのである。日蓮は何午なのだろうかなあと思ってい 2 たが、しかし何ぶん昔の年代なので、分り様がない。で、諦めていたのであるが、ところが偶然、「日本神学」という雑誌のバックナンバーを読んでいたら、こんな記事が目に飛び込んできたのである。「日蓮上人と法難の由来」という武市安弘という方の文章で、それには、こんな記事が書いてあった。「・・・・知人の S 氏夫妻が『協同研究』への協力をされたので、大いに研究の資助となったが、それによると算命学で同じ星が回座するのは、２４０年目だという事である。算命塾へ電話しても教えてくれない上に、そんな昔の事は解らないという事だったので、自分で調べたというのだが、筆者は数字にうといので、そのまま採用して筆を進める。日蓮の生れ年１２２２年に２４０年を加え乍ら、一番新しい年を割り出すと、昭和１７年（壬午）がそれに該当する・・・・云々」とあるではないか。この文章が正しければ、日蓮はまぎれもなく壬午生れで、私と同じだったという事になる。２４０年目ごとにしか、同じ星が回座しないと言うのだから、１/２４０の確率で、同じ生れ年だったという事になる。」「あなたを変えるものは、間脳言語だ！！」常松三峯著より本当に１/２４０か検討せよ。問題７次の文章を検証せよ。「ここに面白いデータがある。「表なら表だけというように、同じ面だけを続けて５０回出すことのできる確率は？」というテーマのもとにある研究がなされ、次のような数字が導き出されたという。勝負者１００万人が６秒に１回の割合で週に４６時間コインを投げ続けたとしても、９００年に１度起こる確率だという。」「数学トリック」樺旦純著より問題８絹の反物を盗んで来た盗人たちが、盗んだ反物を何反ずつ分けるか相談しています。最初に８反ずつ分けた所、全員に分けるには７反足りませんでした。そこで７反ずつ分けた所、今度は８反余ります。盗人たちは何人で、盗んだ反物は何反でしょうか。（塵劫記の現代語訳）ただし、江戸時代の数学（和算）なので方程式は使わずに解け。問題９上の図形を直線２本引いて面積を３等分せよ。因みに、この問題は「カラダのキモチ」と 3 いう健康番組で脳トレで出された問題。問題１０６円切手と７円切手を何枚かずつ使って（も）表せない最高金額を求めよ。（ある程度の金額になると全ての金額を表せる。）因みに、この問題は「天才カンパニー」という番組で、中学受験の進学塾で出された問題。問題１１次のような賭けの提案をあなたは受けますか？「２個のサイコロを振ってゾロ目が出たら６０００円もらえる。出なかったら１０００円払う。」問題１２行きは平均時速４０km で辿り着き、帰りは平均時速６０km で帰って来ました。この場合、往復の平均時速は５０km でしょうか。ＹＥＳかＮＯで答えよ。ただし、ちょっとぐらいは理由も付けて下さい。問題１３が成り立つ事を証明せよ。問題の意味さえ分かれば、小学生でも挑戦できる。つまり、と無限に分母を倍にして足していくと２になる理由を述べよという事。問題１４１０本のくじの中に３本の当たりくじがある場合と、２０本のくじの中に６本の当たりくじがある場合とがある。２本のくじを引いて、２本とも当たる確率は、どちらの場合の方が大きいか。（鹿児島経済大学）（①１０本のくじ ②２０本のくじ ③同じ）問題１５高校野球の甲子園出場校４８校のトーナメント戦は全部で何試合あるか答えよ。 4 問題１６正方形の折り紙を折って正三角形を作れ。問題１７ケーキやピザを３等分せよ。ただし、分度器や巻尺は持っていないものとする。問題１８ガダルカナル・タカがそれぞれお金の入った封筒ＡとＢを持っています。仮に一方が１円なら、他方にはその２倍の金額２円が入っています。でも、どちらが１円でどちらが２円かは、両方開けてみるまではわかりません。今ガダルカナル・タカが封筒Ａを開けてみると１万円が入っていました。封筒Ｂには半分の５千円か、その２倍の２万円が入っていることになります。ガダルカナル・タカは、そのままＡの封筒の１万円をもらう方がいいのでしょうか。それとも封筒Ｂと交換する方がいいのでしょうか。さて、どちらが得でしょうか。（たけしのコマ大数学科）問題１９ガダルカナル・タカが、無法松の前にトランプのカードを並べています。このゲームは、トランプの４種類のエースカード４枚をよくシャッフルし、表が見えないように並べ、参加者は４枚のうち２枚を同時にめくります。この時、ハートとダイヤ、スペードとクラブのように２枚が赤か黒の同じ色ならガダルカナル・タカの勝ち、赤と黒１枚ずつなら無法松の勝ちというルールです。負けたほうは勝ったほうの言うことを何でも聞くのが賞金です。さて、無法松はこのゲームに参加したほうがいいでしょうか。やめといたほうがいいでしょうか。（たけしのコマ大数学科）問題２０正三角形ＡＢＣに円が内接しています。さらにその円に正三角形ＰＱＲが内接している時、 5 △ＰＱＲは△ＡＢＣの何分の一の面積ですか。ただし、ルートは使ってはいけません。問題２１正方形ＡＢＣＤに円が内接しています。さらにその円に正方形ＰＱＲＳが内接している時、正方形ＰＱＲＳの面積は正方形ＡＢＣＤの面積の何分の一ですか。ただし、ルートは使ってはいけません。問題２２上図の中に三角形は何個ありますか。問題２３あなたはいろいろ考えたあげく、恋人と別れたほうがいいか、別れないほうがいいかを占ってもらうことにした。さて、次のような３人の占い師のうち、どの占い師に占ってもらうのがいいのだろう？Ａの占い師→当たる確率は９０％。見料は５０００円。Ｂの占い師→当たる確率は５０％。見料は３０００円。Ｃの占い師→当たる確率は１０％。見料は１０００円。「面白いほどよくわかる・確率」野口哲典著よりワンポイント数学の知識がなくても全く問題ない。クイズに挑戦するような気持ちで真剣に考えてみて 6 下さい。問題２４こづかいのアップを頼んだＡ君に対し、お父さんは今のまま毎月１０００円ずつのこづかいにするか、毎月、コイン投げをして表なら２０００円、裏なら５００円にするのと、どちらがいいか選ぶように言った。このような場合にはどちらの方法でこづかいをもらったほうがトクなのだろうか？「面白いほどよくわかる・確率」野口哲典著より問題２５ ① ②  ③ ④ { ⑤  }    「上の問題は、入試で数学を受験しなかった大学生の２割以上が、全問正解にこぎ着けられなかったそうです。ご自分でも試してみてください。（『分数ができない大学生』より」「頭がよくなる数学パズル」逢沢明著より問題２６図では、碁石３個が１列になった列が、３列あるのがわかります。では、碁石を１個だけ動かして、３個が１列になった列を、全部で４列にしてください。ワンポイントよくパズル問題は突飛な発想が必要で普通ではあまり解けないが、この問題は試行錯誤すれば必ず解ける。自分を信じて頑張ってみて下さい。問題２７次の計算をしなさい。（１）５２－２×（２５－２０÷５×４）＋１６ 7 （青山学院中）（２）９６÷｛３６－（３×９－２８÷４）｝（３）１００－（１１×２＋７０÷５）×２（京都女子中）（近大付属中）（算数なんかすっかり忘れている人のために。計算の順序。） ①かっこの中の×，÷の計算をする。 ②かっこの中の＋，－の計算をする。 ③×，÷の計算をする。 ④＋，－の計算をする。「わかる！できる！おもしろい！解いてみよう受験算数」ＭＰ算数研究会著より問題２８（１）３，７，１１，１５，１９，２３，〔〕，３１という数列がある場合、〔〕に入る数字は何でしょう。（２）２，９，２０，３５，〔〕，７７という数列がある場合、〔〕に入る数字は何でしょう。「２０１３年度版「すばやく解ける数的処理」判断推理・資料解釈」中村一樹・河野裕之著より問題２９Ａ，Ｂの２人がサイコロを１回ずつ交互に投げるゲームを行う。自分の出したサイコロの目を合計して先に６以上になった方を勝ちとし、その時点でゲームを終了する。Ａから投げ始めるものとし、以下の問いに答えよ。（１）Ｂがちょうど１回投げてＢが勝ちとなる確率を求めよ。（２０１３年度東北大学文系入試問題）解説この問題は、（１）～（３）ある問題のうちの（１）だが、大学入試問題なんだから解けるわけないよと考える人は絶対に解けないが、頭の体操なんだから小学生でも解けるかもしれないと考える人は解けるかもしれない。要は、Ａが１回で上がれず、Ｂが１回目で上がる確率を求めれば良い。因みに、ある人が魚座のＢ型である確率は、魚座である確率は１/１２（星座が１２個あるから）でＢ型である確率は単純に１/４（Ａ，Ｂ，Ｏ，ＡＢ）とすると、（１/１２）×（１ /４）＝１/４８とかけて求められる事は小学生でも知っているとする。 8 問題３０あみだくじは決してダブらない理由を説明せよ。（この問題は私のオリジナルなので大した解答がある訳ではないので、自由に思った事を述べてもらいたい。）ただし、暗黙の了解で、１ヶ所を選べばそれは１本道で１ヶ所のゴールに辿り着くものとする。問題３１２本のうち１本が当たりのくじがある。先に引いても後に引いても有利不利がない理由を述べよ。子供の頃から同じ確率に決まっていると思っていると思うが、先が５５％で後が４５％だっておかしくないよね（先手必勝で１０％ぐらい有利）。問題３２３本のうち１本が当たりのくじがある。１番目に引いても２番目に引いても３番目に引いても有利不利がない理由を述べよ。問題３３競馬で好きな馬を５頭選びました。この５頭で三連複ボックス買いをすると、買い目は何点になるでしょうか。注：三連複とは、三連勝複式馬券の略で１着，２着，３着を順位に関係なく当てる馬券。例えば、３頭選んだ馬が２着３着１着の順番でも当たりという事。因みに、三連単は三連勝単式の略で選んだ３頭が１着２着３着の順に入らなければ外れ。（ボックス買いは出来ない。）ボックス買いとは、例えば馬連の馬券（１着，２着を順位に関係なく当てる馬券）で３頭選んだら１－２，１－３，２－３と全ての可能性を買う馬券の事。問題３４ポイント２０％還元と現金値引き２０％ＯＦＦって同じこと？「菊川怜の数学生活のススメ」より 9 問題３５５個中に１個アタリが入ったくじを１回引くのと、５０個中に１個アタリが入ったくじを１０回引くのと、どっちが当たりやすいのかしら。「菊川怜の数学生活のススメ」より１．５個中１個の方が当たり易い２．同じ３．５０個中１個１０回の方が当たり易いただし、５０個中１個１０回の方は毎回くじは引いたら元には戻さない。３択にしてみました。理由も述べて下さい。問題３６方眼紙の格子点上に上図のように四角形ＡＢＣＤを描きました。正方形のように見えますが、正方形である理由を述べて下さい。注：正方形とは、四つの辺の長さが全て等しく、かつ、四つの角が全て９０°である。（前半だけだとひし形の可能性もあり、後半だけだと長方形の可能性もある。）問題３７勾配が３０度の山道を時速２ｋｍで３０分まっすぐ進んだときの高さは？「菊川怜の数学生活のススメ」菊川怜著よりヒント 10 要は、ＢＣの高さを求めれば良い。ところで、時速２ｋｍで３０分歩くと１ｋｍ進むのでＡＢ＝１ｋｍワンポイント頭の体操なので数学にこだわる必要はない。何でもありで答えてみて下さい。問題３８２本取り除いて、きれいな正方形を４つ作るにはどうすればいいですか。「解けますか？小学校で習った算数」浜田経雄監修よりワンポイントきれいな正方形とは小さい正方形。問題３９子どもの３人兄弟のうち１人がお菓子をつまみ食いしました。３人はこう言っています。長男「僕は食べてないよ」次男「三男が犯人じゃないよ」三男「僕が食べました」この３人のうち、２人がウソをついています。つまみ食いしたのは誰ですか？問題４０「少し遅めの夏休みをと、学生時代からの女性３人組がアジアを旅行しました。働き始めてからはちょっと贅沢な旅をなされてきたようですが、今回は学生気分でと、初日以外は宿の予約はなし、という旅です」「女って、わかんないっスよねえ。計画性ないっていうんスかぁ」「旅の最終日のホテルはネットで見つけたもので、なかなかにゴージャスながら１人１万円ぽっきり。ただし現金でということで、３人はフロントの男性に支払います。ところがその日はホテルのスペシャルデーで、３人で２５，０００円でした」「女って、それだけで人生得してまスよね、いいよなあ」「そうかもしれませんね。その時、フロントマンの頭にこんなアイディアが浮かびます。おつりを５，０００円渡すんじゃ、３人でおつりが割り切れない。それにもともとお客さんは１人１万円ずつ払うつもりだったんだから、少しでも安くなれば喜ぶだろう。月末だし、こづかいをいただいても悪くはあるまい、と」 11 「そうそう、男は体張って働いてるんですからねえ、たまにはご褒美あってもいいスよねえ」ママは聞こえないかのように続ける。「そこでフロントマンはお客様に、本日はスペシャルデーですから割引になりますと３，０００円だけを返し、２，０００円を懐へしまい込みます」「その、どこがスウガクなんスか？」「女性３人組は最初に１人１０，０００円ずつ払いました。３人で３０，０００円です。そして、計３，０００円のおつりが来たので１人当たり１，０００円バックされましたから、払ったお金は２７，０００円です。フロントマンがくすねたお金が２，０００円ですから・・・」「え、ちょっと待ってくださいよ。なんでそうなるんスか？計算あわないじゃないスか。３人組が払った金が２７，０００円で、フロントマンの懐に入ったのが２，０００円。でも、最初に払ったのが３０，０００円・・・。えーと、えーと、どうしても１，０００円合わない。１，０００円はどこへ消えたって言うんでス？スウガクって、スパッと明快に答えがでるもんですよね？なんで？」「ウケる数学！眠れないほど面白い数学の話」筑波大学名誉教授・名取亮監修よりワンポイントこれは別に数学の問題ではなく、正しく論理的思考が出来ていれば理由を指摘出来る。ただ、別に出来なくても全然構わない種類の問題。問題４１１０００円札と２０００円札と５０００円札の３種類の紙幣を使って合計金額を１００００円にする方法は何通りあるか。ただし、使わない種類の紙幣があっても良いものとする。（２０１３年都立西高校）ワンポイント共通の都立入試問題を使わない上位高の数学の入試問題なんて解ける訳ないよと考える人は絶対に解けないだろう。先入観を持たずに挑む人は小学生でも解けるチャンスがあるだろう。問題４２ある数に６をかけて６を足して６で割って６を引いたら６になりました。ある数は何ですか。ワンポイント「笑っていいとも！」で見た問題。因みに、パンサーの向井さんは算数の解法で見事に解いていたが、この問題小学生の夏休みの宿題なのに「ある数をｘとして式を作ってある数を求めよ」という続きがあった。つまり、中１の方程式の問題。どんな小学校なんだろう。 12 問題４３ある規則によって、分数が次のように並んでいます。はじめから数えて７番目の分数を求めなさい。ワンポイントこの問題も「笑っていいとも！」で見た問題。小学生の夏休みの宿題だそうである。問題４４東京，名古屋，京都，新大阪の４ヶ所に停車する「ひかり号」の、発駅と着駅を示した片道切符は何種類あるか。ワンポイントこれは、大分県立高校入試の問題だが、出来るはずだという自信があれば普通の小学生でも解ける。問題４５２７４×１２４－２７３×１２５＋２７７×１２７－２７８×１２６を計算せよ。ワンポイントこれは修道高校の入試問題で普通に計算したら時間がかかるので、中３で習う分配法則を使うのが模範解答だが、工夫次第でマイナス計算が出来れば解ける中１レベルの解答が作れる。問題４６朝の情報番組「朝ズバッ！」を見ていたら、お笑いコンビ「パックンマックン」のパックンがコメンテーターとして「うるう年の２月２９日生まれの人どうしが結婚する確率」を求めていた。そこで、これを求めよ。問題４７歩くと３０分、自転車だと１８分の距離を歩いたり自転車に乗ったりしたら２４分でした。歩いた時間と自転車に乗った時間はそれぞれ何分ずつですか。問題４８次の文章を解説せよ。「現存するパピルス、たとえば、現在は大英博物館に所蔵されている紀元前約１６５０年に記された有名なアーメス・パピルスには、単純な方程式の解が示されている。一例として、アーメス・パピルスの問題２４は、その７分の１を加えると１９になるような「塊」 13 の値を求めよ、というものである。アーメスには、すなわち１６．６２５という答えが示されているが、今日のわれわれなら、という方程式を解くことでそれを求めることになる。」「デカルトの暗号手稿」アミール・Ｄ・アクゼル著よりワンポイント方程式は中１の知識があれば解けるが、頭の体操なので算数で解けないか考えて貰いたい。問題４９ポーカーで、配られた手札がスペードの６，スペードの７，スペードの８，ハートの９，スペードのＪである時、スペードのＪを交換してストレート狙いとハートの９を交換してフラッシュ狙いではどちらの方が出来易いか。役の強さではフラッシュだが。問題５０１～９の数字を使った３次の魔方陣（３行３列の９マスの縦，横，斜めの数字の和（合計）を同じにする遊び）の１列の和は１５である事とど真ん中の数字は５である事を確認せよ。 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