問題10 球座標の連続の式
CVに対して６つの方向の→を描き，その量を数式で表現する
球座標のCV
各面の面積を確認しよう
r + dr の面の面積
(r + dr)2 sinθ dθ dφ
(r + dr)sinθ dφ
r + dr
θ の面の面積
rsinθ drdφ
θ の面を通過する質量
ρ (θ )vθ (θ )rsinθ dtdrdφ
(r + dr)dθ
φ + dφ の面を通過する質量
ρ (φ + dφ )vφ (φ + dφ )rdtdrdθ
rdrdθ
dr
rsinθ dφ
r
θ
r + dr の面を通過する質量
ρ (r + dr)vr (r + dr)(r + dr)2 sinθ dtdθ dφ
rdrdθ
rdθ
φ + dφ
θ + dθ の面の面積
θ + dθ φ
rsin(θ + dθ )drdφ
r の面の面積
2
rsin(θ + dθ )dφ
r sinθ dθ dφ
φ の面を通過する質量
ρ (φ )vφ (φ )rdtdrdθ
θ + dθ の面を通過する質量
ρ (θ + dθ )vθ (θ + dθ )rsin(θ + dθ )dtdrdφ
r
ρ (r)vr (r)r 2 sinθ dtdθ dφ
dt時間でのCVに対する質量の収支を考える
ここではまず 密度は一定でない と考えておく
2
ρ(t)r 2 sinθdrdθdφ
（最初(t=t)のCVの質量）
r sinθ drdθ dφ
（CVの体積： ）
（ｒ方向の出入り）
ρ(r)v r (r)r 2 sinθdtdθdφ
ρ (r + dr)vr (r + dr)(r + dr)2 sinθ dtdθ dφ
€
（θ方向の出入り）
ρ (θ )vθ (θ )sinθ rdtdrdφ
ρ(θ + dθ )vθ (θ + dθ )sin(θ + dθ )rdtdrdφ
（φ方向の出入り）
€
ρ (φ + dφ )vφ (φ + dφ )rdtdrdθ
ρ (φ )vφ (φ )rdtdrdθ
ρ (t + dt)r 2 sin€θ drdθ dφ
（dt時間経過後(t=t+dt)の質量）
それぞれの微小量に対してテーラー展開を適用する
（ｔに関して）
（ｒに関して）
ρ (t + dt) = ρ (t)+
∂ρ
dt
∂t
（θに関して）
ρ (r + dr)vr (r + dr)(r + dr)2 = ρ (r)vr (r)r 2 +
∂(ρ vr r 2 )
dr
∂r
ρ(t)r 2 sinθdrdθdφ
収支式に代入して同じ項
を消去する。
2
ρ(r)v r (r)r sinθdtdθdφ
ρ (θ )vθ (θ )sinθ rdtdrdφ
€
€
ρ (φ )vφ (φ )rdtdrdθ
∂(ρ vθ sinθ )
dθ
∂θ
∂(ρ vφ )
ρ (φ + dφ )vφ (φ + dφ ) = ρ (φ )vφ (φ )+
dφ
∂φ
ρ (θ + dθ )vθ (θ + dθ )sin(θ + dθ ) = ρ (θ )vθ (θ )sinθ +
（φに関して）
2
"
%
2 ∂( ρ vr r )
dr ' sinθ dtdθ dφ
$ ρ (r)vr (r)r +
∂r
#
&
!
∂(ρ vθ sinθ ) $
dθ & rdtdrdφ
# ρ (θ )vθ (θ )sinθ +
"
%
∂θ
"
∂(ρ vφ ) %
dφ ' rdtdrdθ
$ ρ (φ )vφ (φ )+
∂φ
#
&
"
∂ρ % 2
$ ρ (t)+ dt ' r sinθ drdθ dφ
#
∂t &
式を整理する
−
∂(ρ vφ )
∂(ρ vr r 2 )
∂(ρ vθ sinθ )
∂ρ
drsinθ dtdθ dφ −
dθ rdtdrdφ −
dφ rdtdrdθ = dtr 2 sinθ drdθ dφ
∂r
∂θ
∂φ
∂t
r 2 sinθ drdθ dφ dt
で両辺を割る
−
1 ∂(ρ vr r 2 )
1 ∂(ρ vθ sinθ )
1 ∂(ρ vφ ) ∂ρ
−
−
=
2
r
∂r
rsinθ
∂θ
rsinθ ∂φ
∂t
移項して整理して球座標の連続の式を得る
∂ρ 1 ∂(ρr 2 vr )
1 ∂(ρ vθ sinθ )
1 ∂(ρ vφ )
+ 2
+
+
=0
∂t r
∂r
rsinθ
∂θ
rsinθ ∂φ
密度が一定とすると
1 ∂(r 2 vr )
1 ∂(vθ sinθ )
1 ∂vφ
+
+
=0
2
r ∂r
rsinθ ∂θ
rsinθ ∂φ

∂ ∂y = 0 Fx = 0 ∂P ∂x = −ΔP L ∂ ∂x = 0 vx = 0 at z = H ∂ ∂z2

三角関数の合成

解答例（必須分）