Von Studenten vorgeschlagene Integrationsbereiche
1­E1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
1­E2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Aufgaben
Bestimmen Sie die Integrationsgrenzen für das folgende
Doppelintegral
∬ f  x , y  dA
A


 x
,
2
2
Aufgabe 1:
A :
Aufgabe 2:
x2
g 1  x =
− 3,
4
−
0  y  2  sin x
g 2  x =
1
5
cos 2 3 x  
2
2
Aufgabe 3:
3
f 1  x = x  3,
2
x2
g  x =
−2
2
2
f 2  x = − x  3,
3
Aufgabe 4:

g 1  x  = 9 − x2 ,
1­A
g2  x =
x
,
y = 0,
x0
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 1
Abb. 1­1: Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen (innere Integration nach y),
vorgeschlagen von Michel Jürgensen
A :
−


 x ,
2
2
0  y  g  x ,
I = ∬ f  x , y  dx dy =
A
1­1a
 /2
2 sin x
∫
∫
x =−/ 2
g  x = 2  sin x
f  x , y dy dx
y =0
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 1
Abb. 1­2: Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen (innere Integration nach x)
A = A1  A2
I =
1
 /2
∫
∫
y =0 x =− / 2
1­1b
f  x , y  dx dy 
3
/ 2
∫
∫
f  x , y dx dy
y =1 x = arcsin  y − 2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 1
Abb. 1­3: Der Integrationsbereich der Aufgabe
f  x = 2  sin x
1­1c
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 2
Abb. 2­1: Der Integrationsbereich der Aufgabe, vorgeschlagen von Konstantin Lühe
1­2a
x2
g 1  x =
− 3,
4
g2  x  =
1
5
cos 2 3 x  
2
2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 2
Abb. 2­1: Der Integrationsbereich der Aufgabe
I =
1­2b
4
1
5
cos 2 3 x  
2
2
∫
∫
x =−4
y = x 2 / 4−3
f  x , y  dy dx
Integrationsgrenzen: Lösung 3
Abb. 3­1: Der Integrationsbereich der Aufgabe, vorgeschlagen von Thomas Nieber
1­3a
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 3
3
f 1  x = x  3,
2
x2
g  x =
−2
2
2
f 2  x = −
x  3,
3
f 1  x = g  x 
S 1 = −2, 0
f 1  x = f 2  x 
S 2 = 0, 3
f 2  x  = g  x
S 3 =  2.57, 1.29
Der Integrationsbereich der Aufgabe (innere Integration nach y)
A = A1  A2
I =
A1 :
− 2  x  0,
A2 :
0  x  2.57,
0
f 1 x
∫
∫
f  x , y  dx dy 
=
∫
∫
x =−2
1­3b
y=
x2
−2
2
3
∫
f 2 x
∫
f  x , y dx dy =
x =0 y =g x
1
0
g  x   y  f 2  x
xS
x = xS y = g x
3
x 3
2
g  x  y  f 1  x
2.57
f  x , y dy dx 
−
2
x 3
3
∫
x=0
∫
y=
x2
−2
2
f  x , y  dy dx
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 3
Abb. 3­2: Der Integrationsbereich der Aufgabe (innere Integration nach y)
1­3c
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 3
Abb. 3­3: Der Integrationsbereich der Aufgabe (innere Integration nach x)
1­3d
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 3
3
x3
2
f 1  x :
y=
f 2  x :
y =−
g  x :
2
x3
3
x2
y=
− 2,
2
I =
g 2  y 
∫
∫
2
y − 2,
3
x=
⇒
9
3
−
y,
2
2
9
3
f 2  y  = −
y
2
2
g2  y =  2 y  4
yS
f  x , y dy dx 
3
∫
g 2  y 
∫
f  x , y  dy dx 
y = 0 x = f 1  y 
y =−2 x = g 1  y 
yS

f  y
2
2
∫
y = yS
1­3e
2
f1  y  =
y−2
3
x = ±2 y  4
⇒
g1  y  = −  2 y  4 ,
0
x=
⇒
∫
3
f  x , y  dy dx
x = f 1  y
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 4
Abb. 4­2: Der Integrationsbereich der Aufgabe (innere Integration nach y), vorgeschlagen von Sebastian Stang

g 1  x = 9 − x 2 ,
xS
I =
1­4a
g2 x
∫ ∫
x = 0 y =0
f  x , y dy dx 
g2 x =
3
g 1  x
∫
∫
x = x S y =0
x
f  x , y dy dx
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 4
Abb. 4­1: Der Integrationsbereich der Aufgabe (innere Integration nach x)
g1  y =
I =
1­4b
 9 − y2 ,
0
g1  y 
∫
∫
g2  y = y2
f  x , y  dx dy
y = yS x = g 2  y 
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Integrationsgrenzen: Lösung 4
Zur Bestimmung des Schnittpunktes S

g 1  x = 9 − x 2 ,
g 1  x  = g 2  x
2
9 − x 
2
x1, 2 = −
xS = −
=
1
±
2
1

2

⇔
  x 2

1
9
4
g2 x =
 9 − x2
x
=
x
9 − x2 = x
⇔
⇔
x2  x − 9 = 0
⇒
1
−1   37
9 =
4
2
 x S  0
S =  x S , y S = g  x S 
1­4c
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

Doppelintegral in Polarkoordinaten: Aufgaben 711

6a - Prof. Dr. habil. Lubov Vassilevskaya, Math