Doppelintegral in Polarkoordinaten: Aufgaben 7­11
3­E
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Aufgaben 7­11
Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale und zeichnen
Sie den Integrationsbereich
Aufgabe 7:
I = ∬ 3 x  4 y 2  dx dy ,
A : y  0,
1  x2  y 2  4
A
Aufgabe 8:
I =∬
A
 4 − x 2 − y 2 dx dy ,
A : x 2  y 2  4,
x,y0
Aufgabe 9:
I = ∬ x2
A
 4 − x 2 − y 2 dx dy ,
A : x 2  y 2  4,
y0
Aufgabe 10:
I = ∬  x 2  y 2  dx dy ,
A : x 2  y 2  4,
y ∣x∣
A : x 2  y 2  1,
x,y0
A
Aufgabe 11:
− x 2  y 2 
I =∬ e
dx dy ,
A
3­A
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 7
Abb. L7: Darstellung des Integrationsbereiches A
I = ∫ 3 x  4 y 2  dx dy = 3
A
2

∫
cos  d 
= 0

=7
∫
 =0
3­1
r=1

cos  d   15
r 2 dr  4
∫
∫
= 0

sin 2  d 
∫
=0
sin 2  d  =
2
∫
r 3 dr =
r =1
15 
2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 8
Abb. L8: Darstellung des Integrationsbereiches A
A:
3­2a
x 2  y 2  4,
x,y 0
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 8
A:
x 2  y 2  4,
x,y0

2
I =∬
A
 4 − x 2 − y 2 dx dy = ∫
3­2b
r dr = −
r  2,
d
du
,
2

2
8
2
4
−
r
r
dr
=

∫
∫
3
r=0
4 − r2

2
0
2
=0
u = 4 − r2 ,
⇔
d=
=0
r dr = −
1
2
u
4

3
du
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 9
Abb. L9: Darstellung des Integrationsbereiches A
A:
3­3a
x 2  y 2  4,
y0
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 9
A:
I =∬ x
2
A
1
=
2

∫
x 2  y 2  4,
4 − x
2
3­3b
∫
2
4
∫
u =0
64
4 − u  u du =
15
r dr = −
0
2
cos  d 
= 0
=
u = 4 − r2 ,
r  2,
⇔

2
− y dx dy =
cos 2  d 
=0
y0
∫
r =0

r3
 4 − r 2 dr =
cos 2  d  =
∫
=0
32
 ≃ 6.702
15
du
,
2

r 3 4 − r 2 dr = −
1
4 − u
2
u
du
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 10
Abb. L10: Zur Bestimmung des Integrationsbereiches A
A:
3­4a
x 2  y 2  4,
y ∣x∣
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 10
Abb. L10: Darstellung des Integrationsbereiches A
A:
x 2  y 2  4,
I = ∬  x 2  y 2  dx dy =
A
3­4b
3

4
∫
=

4
y ∣x∣
2
d
∫
r=0
r 3 dr = 4
3

4
∫
=
d  = 2

4
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Doppelintegral in Polarkoordinaten: Lösung 11
Abb. L11: Darstellung des Integrationsbereiches A
A:
I = ∬ e−x
A
3­5
2
2
 y 
x 2  y 2  1,
3
2
dx dy =
∫
=
x,y0
1
d
∫
r=0
2
r e−r dr =

1 − e−1  ≃ 0.496
4
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

x - Prof. Dr. habil. Lubov Vassilevskaya, Math

6a - Prof. Dr. habil. Lubov Vassilevskaya, Math