Lineare Algebra f¨ur Informatiker
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
28. April 2015
Vorlesung 6
Vektorraumhomomorphismen
Wiederholung (1)
V , W Vektorr¨aume u
¨ber K
ϕ : V → W ist K -Vektorraumhomomorphismus :⇔
I
f¨
ur v , v 0 ∈ V : ϕ(v + v 0 ) = ϕ(v ) + ϕ(v 0 )
I
ϕ(0) = 0
I
f¨
ur v ∈ V : ϕ(−v ) = −ϕ(v )
I
f¨
ur a ∈ K , v ∈ V : ϕ(av ) = a ϕ(v )
Hom(V , W ) := {ϕ ∈ Map(V , W ) | ϕ ist K -VRHom.}
Vektorraumhomomorphismen (2)
Definition
End(V ) := Hom(V , V )
Elemente von End(V ) heißen K -Vektorraumendomorphismen
von V
Definition
GL(V ) := End(V )× = {ϕ ∈ End(V ) | ϕ ist Isomorphismus}
Elemente von GL(V ) heißen K -Vektorraumautomorphismen von V
Bild und Kern (1)
Beispiel
a b
ϕ:
→
7→
c d
2a − 2b + c + 5d −a + b + 3c + d
Q2×2
Q1×3 ,
a−b−c +d
Bild und Kern (2)
a b
a b
Im ϕ = {ϕ(
)|
∈ Q2×2 }
c d
c d
= { 2a − 2b + c + 5d −a + b + 3c + d a − b − c + d | . . . }
= {a 2 −1 1 + b −2 1 −1 + c 1 3 −1 + d 5 1 1
| a, b, c, d ∈ Q}
= h 2 −1 1 , −2 1 −1 , 1 3 −1 , 5 1 1 i
Vereinfachen des Erzeugendensystems:



2 −1 1
7
0
−2 1 −1

 7→ . . . 7→ 
1
3
3 −1
5
1
1
0
0
0
2
0

2
0

0
0
⇒ Im ϕ = h 7 0 2 , 3 2 0 i = Q 7 0 2 + Q 3 2 0
Bild und Kern (3)
a b
a b
2×2
Ker ϕ = {
∈Q
| ϕ(
) = 0}
c d
c d
= {. . . | 2a − 2b + c + 5d −a + b + 3c + d a − b − c + d = 0}
 

 a
2 −2 1 5  
a b
b
2×2 
3 1 
={
∈Q
| −1 1
 c  = 0}
c d
1 −1 −1 1
d
L¨osen des LGS:




2 −2 1 5
1 −1 0 2
−1 1
3 1 7→ . . . 7→ 0 0 1 1
1 −1 −1 1
0 0 0 0
Bild und Kern (4)

2 −2
⇒ Sol(−1 1
1 −1
1
⇒ Ker ϕ = Q
0
 
 
1
−2
1 5
1
0

 
3 1 , 0) = Q 
0 + Q −1
−1 1
0
1
−2 0
1
+Q
0
−1 1

Fortsetzen von Vektorraumhomomorphismen
Es gibt genau einen Homomorphismus ϕ : Q2×2 → Q2×1 mit
1 0
1
0 1
0
ϕ(
)=
, ϕ(
)=
,
0 0
2
0 0
−1
0 0
0
0 0
2
ϕ(
)=
, ϕ(
)=
.
1 0
0
0 1
−2
F¨
ur a, b, c, d ∈ Q:
a b
1 0
0 1
0 0
0 0
ϕ(
) = ϕ(a
+b
+c
+d
)
c d
0 0
0 0
1 0
0 1
1
0
0
2
a + 2d
=a
+b
+c
+d
=
2
−1
0
−2
2a − b − 2d
Rang und Defekt
Beispiel
a b
ϕ:
→
7→
c d
2a − 2b + c + 5d −a + b + 3c + d a − b − c + d
I Im ϕ = Q 7 0 2 + Q 3 2 0 ⇒ rk ϕ = 2
1 1
−2 0
I Ker ϕ = Q
+Q
⇒ def ϕ = 2
0 0
−1 1
Q2×2
Q1×3 ,

Vorlesung 9

Vorlesung 2