¨ Ubung 7 Robuste Statistik 20.05.15 Prof. Dr. Christine M¨uller Dipl.-Math. Christoph Kustosz ¨ Ubungen zur Vorlesung Robuste Statistik Blatt 7 Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei y = (y1 , ..., yN ) ein Datensatz mit yi 6= y j f¨ur alle i 6= j. Zeigen Sie, dass der Bruchpunkt der Streuungssch¨atzfunktion Q nach Definition 4.1.1.2 gegeben ist durch 1 N ∗ ε (Q, y) = . N 4 Beweisen Sie also Satz 4.2.9. der Vorlesung. Aufgabe 21 (6 Punkte) Ein Positionsmessger¨at erh¨alt bei 9 Messungen eines Ortspunktes die folgenden Daten im R2 : (3.43, 0.55), (3.77, 2.22), (5.56, 1.36), (4.07, 1.40), (7.07, 4.95), (5.72, 0.44), (4.46, 2.79), (2.73, 1.50), (3.31, −0.97). Dabei befindet sich das Ger¨at konstant in einem Punkt µ = (µ1 , µ2 )> ∈ R2 und wird nicht bewegt. a) Sch¨atzen Sie µ durch den komponentenweisen Mittelwert, komponentenweisen Median und l1 -Median. Was f¨allt auf? b) Sei d ˆ Q(µ, µ(y)) := ∑ (µd − µˆ d (y))2 i=1 ˆ eine Qualit¨atsfunktion eines Sch¨atzers µ(y) ∈ R2 f¨ur y ∈ Rd×n , µ ∈ Rd . Betrachten Sie y˜ festgelegt durch y und einer hinzugef¨ugten Beobachtung (c, c) und plotˆ y)) ten Sie Q(µ, µ( ˜ als Funktion in c mit c ∈ [−15, 15] und Schrittweite 0.01 f¨ur die drei Sch¨atzer aus a). Nehmen Sie dabei an, dass das wahre µ den Wert (4, 1) hat. Interpretieren Sie die Ergebnisse. 1 Verwenden Sie f¨ur die Berechnung des Medians die Standardeinstellung von R Abgabe: Di, 26.05.15; 12:15 Uhr - BK 134