Schulinternes Curriculum
zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe
Mathematik
1
Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben
Einführungsphase
Unterrichtsvorhaben I:
Unterrichtsvorhaben II:
Thema:
Thema:
Beschreibung der Eigenschaften von Funktio-
Von der durchschnittlichen zur lokalen Ände-
nen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)
rungsrate (E-A2)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Argumentieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Grundlegende Eigenschaften von linea-
•
Grundverständnis des Ableitungsbegriffs
ren, Potenz- und ganzrationalen Funktionen
Zeitbedarf: 12 Std.
Zeitbedarf: 8 Std.
Unterrichtsvorhaben III:
Unterrichtsvorhaben IV:
Thema:
Thema:
Entwicklung und Anwendung von Kriterien
Festigung der bisherigen analytischen Metho-
und Verfahren zur Untersuchung von Funktio-
den am Beispiel weiterer Funktionenklassen
nen (E-A3)
(E-A4)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Problemlösen
•
Modellieren
•
Argumentieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen
Zeitbedarf: 18 Std.
2
•
grundlegende Eigenschaften von Sinus-,
Exponential- und Wurzelfunktionen
Zeitbedarf: 8 Std.
Einführungsphase Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben V:
Unterrichtsvorhaben VI:
Thema:
Thema:
Den Zufall im Griff – Modellierung
von Zu-
Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang
fallsprozessen (E-S1)
mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Kommunizieren
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Mehrstufige Zufallsexperimente
•
Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwar-
•
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
tungswert
Zeitbedarf: 7 Std.
Zeitbedarf: 5 Std.
Unterrichtsvorhaben VII:
Thema:
Unterwegs in 3D – Punkte und Vektoren im
Raum (E-G1)
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Kommunizieren
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Koordinatisierung des Raumes
•
Vektoren und Vektorperationen
Zeitbedarf: 7 Std.
Summe Einführungsphase: 65 Stunden (à 60 min)
3
Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS
Unterrichtsvorhaben Q1-I :
Unterrichtsvorhaben Q1-II:
Thema:
Thema:
Funktionen beschreiben Formen – Modellieren
Optimierungsprobleme (Q-GK-A2)
von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A1)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Problemlösen
Inhaltsfelder:
Inhaltsfeld:
Funktionen und Analysis (A)
Funktionen und Analysis (A)
Lineare Algebra (G)
Inhaltliche Schwerpunkte:
•
Funktionen als mathematische Modelle
•
Lineare Gleichungssysteme
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Funktionen als mathematische Modelle
Zeitbedarf: ca.12 Std.
Zeitbedarf: ca. 7 Std.
Unterrichtsvorhaben Q1-III
Unterrichtsvorhaben Q1-IV:
Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-
Thema: Beschreibung von Bewegungen und
GK-A3)
Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)
Zentrale Kompetenzen:
•
Problemlösen
•
Werkzeuge nutzen
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und LineaInhaltlicher Schwerpunkt:
•
re Algebra (G)
Fortführung der Differentialrechnung
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Zeitbedarf: ca. 7 Std.
Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden)
•
Lagebeziehungen von Geraden
Zeitbedarf: ca. 12 Std.
4
Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS (Fortsetzung)
Unterrichtsvorhaben Q1-V:
Unterrichtsvorhaben Q1-VI :
Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur
Thema:
Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-
Skalarprodukt Polygone und Polyeder unter-
G2)
suchen (Q-GK-G3)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Problemlösen
•
Werkzeuge nutzen
•
Räume vermessen –
mit dem
Problemlösen
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
re Algebra (G)
re Algebra (G)
Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Darstellung und Untersuchung geometri-
•
Skalarprodukt
scher Objekte (Ebenen)
•
Lineare Gleichungssysteme
Zeitbedarf: ca.12 Std
Zeitbedarf: ca. 9 Std.
Unterrichtsvorhaben Q1-VII:
Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand
Thema: Von der Randfunktion zur Integral-
(Q-GK-A4)
funktion (Q-GK-A5)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Kommunizieren
•
Argumentieren
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Grundverständnis des Integralbegriffs
Zeitbedarf: ca. 9 Std.
•
Integralrechnung
Zeitbedarf: ca. 12 Std.
Summe Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS 80 Stunden
5
Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS
Unterrichtsvorhaben Q2-I:
Unterrichtsvorhaben Q2-II:
Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-
Thema: Von stochastischen Modellen, Zufalls-
tialfunktionen (Q-GK-A6)
größen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und
ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Fortführung der Differentialrechnung
•
Integralrechnung
•
Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zeitbedarf: 10 Std.
Zeitbedarf: 4 Std.
Unterrichtsvorhaben Q2-III:
Unterrichtsvorhaben Q2-IV :
Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexperi-
Thema: Modellieren mit Binomialverteilungen
mente und Binomialverteilung
(Q-GK-S3)
(Q-GK-S2)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Modellieren
•
Argumentieren
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
•
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Zeitbedarf: 9 Std.
Zeitbedarf: 9 Std.
6
Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben Q2-V:
Unterrichtsvorhaben Q2-VI
Thema: Von Übergängen und Prozessen
Thema: Strategieentwicklung bei Problemsitua-
(Q-GK-S4)
tionen und Beweisaufgaben
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Argumentieren
•
Problemlösen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfelder:
•
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Stochastische Prozesse
Zeitbedarf: ca. 9 Std.
Analytische Geometrie und Lineare
Algebra
•
Analysis
•
Stochastik
Zeitbedarf: ca. 13 Stunden
Summe Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS: 54 Stunden
7
Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS
Unterrichtsvorhaben Q1-I:
Unterrichtsvorhaben Q1-II:
Thema:
Thema:
Funktionen beschreiben Formen – Modellieren
Optimierungsprobleme (Q-LK-A2)
von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A1)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Problemlösen
Inhaltsfelder:
Inhaltsfeld:
Funktionen und Analysis (A)
Funktionen und Analysis (A)
Lineare Algebra (G)
Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltliche Schwerpunkte:
•
Funktionen als mathematische Modelle
•
Funktionen als mathematische Modelle
•
Lineare Gleichungssysteme
•
Fortführung der Differentialrechnung
Zeitbedarf: ca. 18 Std.
Zeitbedarf: ca.18 Std.
Unterrichtsvorhaben Q1-III:
Unterrichtsvorhaben Q1-IV:
Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und
Thema: Beschreibung von Bewegungen und
Logarithmus (Q-LK-A3)
Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Problemlösen
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Fortführung der Differentialrechnung
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden)
Zeitbedarf: ca.18 Std.
8
Zeitbedarf: ca.9 Std.
Unterrichtsvorhaben Q1-V:
Unterrichtsvorhaben Q1-VI:
Thema:
Thema:
Die Welt vermessen – das Skalar-
Ebenen als Lösungsmengen von
produkt und seine ersten Anwendungen (Q-
linearen Gleichungen und ihre Beschreibung
LK-G2)
durch Parameter (Q-LK-G3)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Problemlösen
•
Argumentieren
•
Kommunizieren
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
re Algebra
re Algebra
(G)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Skalarprodukt
(G)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen)
Zeitbedarf: ca. 9 Std.
Zeitbedarf: ca. 10 Std.
Unterrichtsvorhaben Q1-VII:
Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:
Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprob-
Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK-
leme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-
G5)
LK-G4)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Argumentieren
•
Kommunizieren
•
Problemlösen
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und LineaInhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
re Algebra
(G)
re Algebra (G)
Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
•
Lagebeziehungen und Abstände (von
Geraden)
Zeitbedarf: 10 Std.
Lagebeziehung und Abstände (von Ebenen)
•
Lineare Gleichungssysteme
Zeitbedarf: 10 Std.
9
Unterrichtsvorhaben Q1-IX
Unterrichtsvorhaben Q1-X:
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand
Thema: Von der Randfunktion zur Integral-
(Q-LK-A4)
funktion (Q-LK-A5)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Kommunizieren
•
Argumentieren
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Grundverständnis des Integralbegriffs
Zeitbedarf: 10 Std.
•
Integralrechnung
Zeitbedarf: 20 Std.
Summe Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS 132 Stunden
10
Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS
Unterrichtsvorhaben Q2-I
Unterrichtsvorhaben Q2-II:
Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-
Thema: Von stochastischen Modellen, Zufalls-
tialfunktionen (Q-LK-A6)
größen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und
ihren Kenngrößen (Q-LK-S1)
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Fortführung der Differentialrechnung
•
Integralrechnung
•
Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zeitbedarf: ca. 20 Std.
Zeitbedarf: ca. 5 Std.
Unterrichtsvorhaben Q2-III:
Unterrichtsvorhaben Q2-IV:
Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexperi-
Thema: Untersuchung charakteristischer Grö-
mente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)
ßen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Werkzeuge nutzen
•
Problemlösen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Binomialverteilung
Zeitbedarf: ca. 8 Std.
•
Binomialverteilung
Zeitbedarf: 6 Std
11
Unterrichtsvorhaben Q2-V:
Unterrichtsvorhaben Q2-VI:
Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)
Thema: Signifikant und relevant? – Testen
von Hypothesen (Q-LK-S5)
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Problemlösen
•
Kommunizieren
•
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Normalverteilung
Zeitbedarf: ca. 8 Std.
•
Testen von Hypothesen
Zeitbedarf: 12 Std.
.
Unterrichtsvorhaben Q2-VII:
Unterrichtsvorhaben Q2-VII(:
Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-
Thema:
LK-S6)
tuationen und Beweisaufgaben
Zentrale Kompetenzen:
Zentrale Kompetenzen:
Strategieentwicklung bei Problemsi-
•
Modellieren
•
Modellieren
•
Argumentieren
•
Problemlösen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Linea-
Inhaltlicher Schwerpunkt:
re Algebra
•
(G), Analysis (A), Stochastik (S)
Stochastische Prozesse
Inhaltlicher Schwerpunkt:
•
Zeitbedarf: 12 Std.
Verknüpfung aller Kompetenzen
Zeitbedarf: 15 Std.
Summe Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS 86 Stunden
12
Übersicht über die Unterrichtsvorhaben
E-Phase
Unterrichtsvorhaben
Thema
Stundenzahl (à 60 min)
I
E-A1
12
II
E-A2
8
III
E-A3
18
IV
E-A4
8
V
E-S1
7
VI
E-S2
5
VII
E-G1
7
Summe:
65
Q1 Grundkurse
Unterrichtsvorhaben
Thema
Stundenzahl
I
Q-GK-A1
12
II
Q-GK-A2
7
III
Q-GK-A3
7
IV
Q-GK-G1
12
V
Q-GK-G2
9
VI
Q-GK-G3
12
VII
Q-GK-A4
9
VIII
Q-GK-A5
12
Summe:
80
Q2 Grundkurse
Unterrichtsvorhaben
Thema
Stundenzahl
I
Q-GK-A6
10
II
Q-GK-S1
4
III
Q-GK-S2
9
IV
Q-GK-S3
9
V
Q-GK-S4
9
VI
Q-GK-A6
12
VII
Q-GK-A7,G4,S5
13
Summe:
53
13
Q1 Leistungskurse
Unterrichtsvorhaben
Thema
Stundenzahl
I
Q-LK-A1
18
II
Q-LK-A2
18
III
Q-LK-A3
18
IV
Q-LK-G1
9
V
Q-LK-G2
9
VI
Q-LK-G3
10
VII
Q-LK-G4
10
VIII
Q-LK-G5
10
IX
Q-LK-A4
10
X
Q-LK-A5
20
Summe:
132
Q2 Leistungskurse
14
Unterrichtsvorhaben
Thema
Stundenzahl
I
Q-LK-A6
20
II
Q-LK-S1
5
III
Q-LK-S2
8
IV
Q-LK-S3
6
V
Q-LK-S4
8
VI
Q-LK-S5
12
VII
Q-LK-S6
12
VIII
Q-LK-A7,G6,G7
15
Summe:
86
Konkretisierte Unterrichtsvorhaben
Einführungsphase Funktionen und Analysis (A)
Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel vermittelt und
Die Schülerinnen und Schüler
diagnosegestützt geübt. Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf
•
wiederholen ihre Kenntnisse über lineare Funktionen aus der Sekundarstufe I
•
beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen
•
beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit natürlichen
Exponenten
•
•
•
von Schulformwechslern wird durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getragen.
Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und
Mitschüler (z. B. durch geschickte Schülerzusammenstellungen in PA/GA)
zu nutzen.
wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Potenzfunktionen an und deuten die zugehörigen Parameter
Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf die
beschreiben Graphen von ganzrationalen Funktionen (auch im Sachzu-
Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Soft-
sammenhang)
ware und des GTR gerichtet werden.
untersuchen ganzrationale Funktionen systematisch hinsichtlich des
Symmetrie- und Randverhaltens
•
Empfehlungen
Der entdeckende Einstieg in Transformationen kann etwa über geeignete
lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Variationen von Potenzfunktionen mithilfe von DGS oder GTR erfolgen.
15
Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen
Folgende Taschenrechnerfunktionen müssen verbindlich vermittelt werden:
lassen, ohne digitale Hilfsmittel
Umgang mit den Menüs 1, 5, und 7
Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 werden Gegenstand einer qualitati-
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Argumentieren (Vermuten)
Die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Vermutungen auf
•
unterstützen Vermutungen beispielgebunden
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
nutzen Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
16
ven Erkundung mit dem GTR, wobei Parameter gezielt variiert werden.
Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben
von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben. Die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle wird ebenfalls thematisiert.
Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Für den Einstieg ist ein Stationenlernen zu durchschnittlichen Änderungsra-
Die Schülerinnen und Schüler
ten in unterschiedlichen Sachzusammenhängen möglich, die auch im wei-
•
berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext
•
erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz-
•
deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten
teren Verlauf immer wieder auftauchen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse, Höhenprofil).
wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate wird die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittslokalen Änderungsrate
geschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät
•
deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangen- ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt.
Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext
tensteigung
•
beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs-
betrachtet werden.
funktion)
•
leiten Funktionen graphisch ab
Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software werden zur nume-
•
begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-
rischen und geometrischen Darstellung des Grenzprozesses beim Übergang
punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen
von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten
zur Tangenten (Zoomen) eingesetzt.
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Argumentieren (Vermuten)
Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründen der
17
Die Schülerinnen und Schüler
Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Vermutungen auf
in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer
•
unterstützen Vermutungen beispielgebunden
Aussagen angehalten werden.
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
… grafischen Messen von Steigungen
•
nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden
und Recherchieren, Berechnen und Darstellen
Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A3)
18
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Im Anschluss an Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) wird die Frage
Die Schülerinnen und Schüler
aufgeworfen, ob mehr als numerische und qualitative Untersuchungen in
•
beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion)
•
nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
•
•
der Differentialrechnung möglich sind. Für eine quadratische Funktion wird
der Grenzübergang bei der „h-Methode“ exemplarisch durchgeführt.
Empfehlung: Durch Variation im Rahmen eines Gruppenpuzzles vermuten
die Lernenden eine Formel für die Ableitung einer beliebigen quadrati-
wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an
schen Funktion. Dabei vermuten sie auch das Grundprinzip der Linearität
Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen
lyse des Rechenweges werden die Vermutungen erhärtet.
lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder (ggf. auch des Verhaltens bei Verschiebungen in x-Richtung). Durch Analassen, ohne digitale Hilfsmittel
verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriteri-
Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen die
um zur Bestimmung von Extrempunkten
Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen
•
unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich
näherungsweise zu tabellieren und zu plotten. Eine Beweisidee kann opti-
•
untersuchen ganzrationale Funktionen auf Globalverhalten und Symmet-
onal erarbeitet werden. Der Unterricht erweitert besonders Kompetenzen
rien
aus dem Bereich des Vermutens.
•
•
verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathemati-
Kontexte spielen in diesem Unterrichtsvorhaben eine untergeordnete Rolle.
schen Problemen
Quadratische Funktionen können aber stets als Weg-Zeit-Funktion bei Fallund Wurf- und anderen gleichförmig beschleunigten Bewegungen gedeutet
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
werden.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den
19
•
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)
Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Be-
•
erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden)
trachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichen-
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf
wechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und
Bekanntes) (Lösen)
Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Untersu-
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob-
chungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt.
•
lemlösung aus (Lösen)
Argumentieren
Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Krite-
Die Schülerinnen und Schüler
rien kann durch Multiple-Choice-Aufgaben vertieft werden, die rund um die
•
•
•
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-
Thematik der Funktionsuntersuchung von Polynomfunktionen Begründungs-
sichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
anlässe und die Möglichkeit der Einübung zentraler Begriffe bieten.
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet
für Begründungen (Begründen)
wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen
berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige/ hinreichende
sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So
Bedingung, Folgerungen [...]) (Begründen)
erzwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf der
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
Symmetrieachse.
werden können (Beurteilen)
•
erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurtei-
Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen können
len)
auch Tangentengleichungen bestimmt werden.
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Lösen von Gleichungen
20
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
Thema: Festigung der bisherigen analytischen Methoden am Beispiel weiterer Funktionenklassen (E-A4)
21
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Der Einstieg in die Exponentialfunktionen kann über ein geeignetes
Die Schülerinnen und Schüler
Beispiel (Zinseszinsrechnung, Bakteriumwachstum) erfolgen. Auf den
•
•
wiederholen die Potenzgesetze anhand von Potenzen mit rationalem
Logarithmus wird verzichtet, Exponentialgleichungen werden mit Hilfe
Exponenten
des GTR gelöst.
beschreiben die globalen Eigenschaften von
Exponential-, Sinus- und
quadratischen/ kubischen Wurzelfunktionen
•
Anhand der Sinusfunktion werden die Transformationen wiederholt,
beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen
•
verwenden am Graphen oder Term einer Exponentialfunktion ablesbare
die man Anfang des Schuljahres an den Potenzfunktionen erarbeitet
Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen
•
nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Vermutungen auf (Vermuten)
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
•
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente
für Begründungen (Begründen)
•
überprüfen, inwieweit Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
werden können (Beurteilen)
22
hat. Als ergänzende Vertiefung ist das Beispiel der „Sonnenscheindauer“ denkbar.
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
nutzen graphikfähige Taschenrechner und dynamische Geometriesoftware
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum...
... zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
... graphischen Darstellen von Funktionen
23
Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Thema: Unterwegs in 3D – Punkte und Vektoren im Raum (E-G1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Das dreidimensionale Koordinatensystem kann auch mithilfe des Kursrau-
Die Schülerinnen und Schüler
mes veranschaulicht werden.
•
•
•
wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung
eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum
Durch Operieren mit Vektoren werden einfache geometrische Problemstel-
stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordi-
lungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakteri-
natensystem dar
sierung
deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verbindungspfeile zwei-
Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität.
er Punkte und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren
•
stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren
dar
•
berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit
Hilfe des Satzes von Pythagoras
•
addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität
•
weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe
von Vektoren nach
24
von
Viereckstypen),
Auffinden
von
Mittelpunkten
(ggf.
auch
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
•
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
Kommunizieren (Produzieren)
Die Schülerinnen und Schüler
•
wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus
•
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen
25
Einführungsphase Stochastik (S)
Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Mehrstufige Zufallsexperimente einschließlich Pfad- und Summenregel wur-
Die Schülerinnen und Schüler
den in Klasse 8 behandelt. Hier ist eine Wiederholung mit Einführung der
•
deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente
•
simulieren Zufallsexperimente
•
verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen
Binomialkoeffizienten vorgesehen.
Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen – auch
•
stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbe- unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkulation) –
geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator).
trachtungen durch
•
beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln
Eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele ist zu
vermeiden. Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der Zufallsantwor-
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
Situation vor (Strukturieren)
•
26
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
ten bei sensitiven Umfragen.
Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert
werden im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zunehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft werden.
Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeitsvertei-
Modelle (Mathematisieren)
•
lungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen ver-
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö- wendet.
sung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Generieren von Zufallszahlen
… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
… Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
… Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
(Erwartungswert)
27
Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte das
Die Schülerinnen und Schüler
HIV-Testverfahren dienen
•
modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-oder
Mehrfeldertafeln
Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen werden
•
bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten
parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet.
•
[prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische
Unabhängigkeit]
Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstellungs-
bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. formen (Baumdiagramm, Vierfeldertafel) wechseln können und diese zur
Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
•
Modellieren
und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkei-
Die Schülerinnen und Schüler
ten nutzen können. Hier kann zur Veranschaulichung ein Doppelbaum
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
•
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
•
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
ren)
28
genutzt werden.
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend
komplexen mathematikhaltigen Texten […] (Rezipieren)
•
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produ-
zieren)
29
Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A)
Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Die Schülerinnen und Schüler
•
Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit
Hilfe der 2. Ableitung
•
•
•
•
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie
Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnah-
weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wen-
me der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ablei-
depunkten
tung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Betrachtung
bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die
von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassierungsprobleme
sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)
gewählt werden.
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare
Gleichungssysteme
Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines
wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-
weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktion
chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem
mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt.
Rechenaufwand lösbar sind
Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend von den Lernenden kritisch bewertet.
Prozessbezogene Kompetenzen:
30
Modellieren
An einem Beispiel werden in einem geeigneten Kontext (z. B. Fotos von
Die Schülerinnen und Schüler
Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktform
•
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
einer quadratischen Funktion angepasst. Anschließend werden aus gege-
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
benen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform auf-
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen gestellt.
Situation vor (Strukturieren)
•
•
•
•
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genom-
Modelle (Mathematisieren)
men werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationale
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö- Funktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte,
sung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
zur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Hier bieten sich nach einem
ren)
einführenden Beispiel offene Unterrichtsformen (z. B. Lerntheke) an.
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren)
•
•
Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validie- Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem,
ren)
Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren
reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-
und ggf. Veränderungen vorzunehmen.
men (Validieren)
Damit nicht bereits zu Beginn algebraische Schwierigkeiten den zentralen
Werkzeuge nutzen
Aspekt der Modellierung überlagern, wird empfohlen, den GTR zunächst
Die Schülerinnen und Schüler
als Blackbox zum Lösen von Gleichungssystemen und zur graphischen
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
Darstellung der erhaltenen Funktionen im Zusammenhang mit der Validie-
… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
rung zu verwenden und erst im Anschluss die Blackbox „Gleichungslöser“
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
zu öffnen, das Gaußverfahren zu thematisieren und für einige gut über-
31
•
nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden schaubare Systeme mit drei Unbekannten auch ohne digitale Werkzeuge
[…], Berechnen und Darstellen
32
durchzuführen.
Thema: Optimierungsprobleme (Q-GK-A2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Die Schülerinnen und Schüler
•
•
Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf
Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese
Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Es
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […] zur
wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a.
Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten
mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu
kommen.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
Situation vor.(Strukturieren)
•
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
Modelle (Mathematisieren)
•
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
•
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler
die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. „Glasscheibe“)
Ein
Anwendungsproblem
wird
unter
dem
Aspekt
der
Modellvalidie-
rung/Modellkritik untersucht.
Abschließend empfiehlt es sich, ein Problem zu behandeln, das die Schülerinnen und Schüler nur durch systematisches Probieren oder anhand des
Funktionsgraphen lösen können
.
Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen
33
•
ren)
geeigneter
Kontexte
(z. B.
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher
delle für die Fragestellung (Validieren)
Personaleinsatz)
thematisiert
Neuverschuldung
und
dabei
der
und
zweiten
Schulden
Ableitung
oder
eine
anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der
Problemlösen
Funktion verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt
Die Schülerinnen und Schüler
zunächst über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der
•
finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Er-
kunden)
•
wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle
…) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in
Teilprobleme, Verallgemeinern …) (Lösen)
•
setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein
(Lösen)
•
berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen)
•
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
•
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und
Gemeinsamkeiten (Reflektieren)
34
zweiten Ableitung).
Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-GK-A3)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens sollte eine Auffrischung der bereits in
Die Schülerinnen und Schüler
der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitsteilige
Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Präsenta-
•
wiederholen die Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsvorgänge
mithilfe funktionaler Ansätze und interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang
•
bilden die Ableitungen der natürlichen Exponentialfunktion
•
wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an
tion stehen (Wachstum und Zerfall).
Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zur Wiederholung des
Ableitungsbegriffs als Tangentensteigung. Exemplarisch erstellen die Schüler
für zwei Funktionen ( f ( x ) = 4 x
und
1
f ( x ) = ( ) x ) unter Zuhilfenahme
3
des GTR die Schaubilder der Ableitungsfunktionen.
Abschließend wird mit Geogebra noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich
quasi automatisch die Frage, für welche Basis Funktion und Ableitungs-
Prozessbezogene Kompetenzen:
funktion übereinstimmen.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
•
Im Zusammenhang mit der Modellierung von Wachstumsprozessen durch
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Prob-
natürliche Exponentialfunktionen mit linearen Exponenten wird die Kettenre-
leme (Erkunden)
gel eingeführt, um auch (hilfsmittelfrei) Ableitungen für die entsprechenden
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
Funktionsterme bilden zu können.
35
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches
Funktionen des Typs
Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme) (Lösen)
ben, um auch diese mithilfe der Kettenregel ableiten zu können.
•
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
•
variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflektie-
ren).
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
… grafischen Messen von Steigungen
•
entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer
Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus
•
nutzen […] digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen
36
f ( x ) = c ⋅ a x werden in f ( x ) = c ⋅ e kx umgeschrie-
Probieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A4)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb
Die Schülerinnen und Schüler
sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen
•
interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-
werden (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).
samtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe
•
deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
Der Einstieg kann über eine zu dokumentierende Erkundung in Gruppen
•
skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächenin-
erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Brei-
haltsfunktion
te an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand
geschlossen wird, erarbeiten.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
•
Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur
möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln
und vergleichen. Die entstehenden
Produktsummen werden als Bilanz
erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […] mathe-
über orientierte Flächeninhalte interpretiert.
matikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtex-
Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer
ten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)
Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Rand-
formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege funktionsgraphen skizzieren.
(Produzieren)
•
Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrpro-
wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren)
•
zess auf die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zur
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produ-
37
zieren)
•
dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)
•
erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)
Überleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden.
Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A5)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Schülerinnen und Schüler sollen hier (wieder-)entdecken, dass die Be-
Die Schülerinnen und Schüler
standsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist. Dazu kann das
•
erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von
der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
•
erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
•
nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen
•
bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
•
bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge
38
im vorhergehenden Unterrichtsvorhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte
numerische Näherungsverfahren auf den Fall angewendet werden, dass für
die Änderungsrate ein Funktionsterm gegeben ist.
Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die
Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und eines
Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen diesen
herstellen.
Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben
Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen.
Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Rand-
•
•
ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der
funktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integral-
Änderungsrate
funktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integral-
bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen
funktion im Hauptsatz formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag).
Prozessbezogene Kompetenzen:
Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerin-
Argumentieren
nen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsre-
Die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Vermutungen auf (Vermuten)
•
unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten)
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
•
stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)
geln selbstständig erarbeitet. (z. B. durch ein sog. Funktionendomino)
In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen
Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbeständen zur Verfügung.
Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch
Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen
Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwi-
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
GTR bestimmt.
nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation
und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen
und Darstellen
•
schen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem
Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und
Abszisse
Komplexere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabens
bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisherigen
Unterrichtsvorhaben (Funktionsuntersuchungen, Aufstellen von Funktionen
aus Bedingungen) herzustellen.
39
… Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals
40
Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-GK-A6)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Wird in Kürze erarbeitet
41
Q-Phase Grundkurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondens-
Die Schülerinnen und Schüler
streifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor be-
•
stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar
•
interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext
•
untersuchen die Lagebeziehungen von Geraden
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
•
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
Situation vor (Strukturieren)
•
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
Modelle (Mathematisieren)
•
42
Dabei
sollten
Modellierungsfragen
(reale
Geschwindigkeiten,
Größe der Flugobjekte, Flugebenen) einbezogen werden.
Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit zu
Prozessbezogene Kompetenzen:
•
schrieben.
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö-
variieren. In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als
Punktmenge
(z. B.
die
Flugbahn)
und
einer
Parametrisierung
dieser
Punktmenge als Funktion (von der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden.
Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frage
aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist.
Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie die
Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen sollen auch hilfsmit-
•
sung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
telfrei durchgeführt werden. Die Darstellung in räumlichen Koordinatensys-
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
temen sollte hinreichend geübt werden.
delle für die Fragestellung (Validieren)
•
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validie- Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Paral-
ren)
lel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet hier die zusätzliche Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann..
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
nutzen Geodreiecke […] geometrische Modelle und DynamischeGeometrie-Software
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und
Geraden
… Darstellen von Objekten im Raum
43
Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Als Einstiegskontext für die Parametrisierung einer Ebene kann eine
Die Schülerinnen und Schüler
Dachkonstruktion mit Sparren und Querlatten dienen. Diese bildet ein
•
stellen Ebenen in Parameterform dar
•
untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen
•
berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext
•
stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar
•
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare
schiefwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Damit wird die Idee der
Koordinatisierung aus dem Thema E-G2 wieder aufgegriffen.
Wenn genügend Zeit zur Verfügung steht, können durch Einschränkung
des Definitionsbereichs Parallelogramme und Dreiecke beschrieben und
auch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden, die über die
Kompetenzerwartungen des KLP hinausgehen.
Gleichungssysteme
•
interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen
indem sich heuristische Strategien bewusst gemacht werden (eine planeri-
Prozessbezogene Kompetenzen:
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle,
experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)
•
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
•
wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen)
44
In diesem Unterrichtsvorhaben werden Problemlösekompetenzen erworben,
sche Skizze anfertigen, die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt
beschreiben, geometrische Hilfsobjekte einführen, bekannte Verfahren zielgerichtet einsetzen und in komplexeren Abläufen kombinieren und unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt
vergleichen).
Punktproben sowie die Berechnung von Spurgeraden in den Grundebenen
und von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen führen zunächst noch
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungs-
zu einfachen Gleichungssystemen. Die Achsenabschnitte erlauben eine
wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten
Darstellung in einem räumlichen Koordinatensystem.
finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen)
Die Untersuchung von Schattenwürfen eines Mastes auf eine Dachfläche
•
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
z. B. motiviert eine Fortführung der systematischen Auseinandersetzung
•
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und
(Q-GK-A1)
Gemeinsamkeiten (Reflektieren)
Schreibweise und mit dem Gauß-Verfahren.
•
•
mit
linearen
Gleichungssystemen,
mit
der
Matrix-Vektor-
beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und
Effizienz (Reflektieren)
Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt, zentrale Werkzeug-
analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren)
kompetenz in diesem Unterrichtsvorhaben ist die Interpretation des angezeigten Lösungsvektors. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung
Werkzeuge nutzen
(Lagebeziehung) und der algebraischen Formalisierung sollte stets deutlich
Die Schülerinnen und Schüler
werden.
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
45
Thema: Räume vermessen – mit dem Skalarprodukt Polygone und Polyeder untersuchen (Q-GK-G3)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonalität aus einer
Die Schülerinnen und Schüler
Anwendung des Satzes von Pythagoras entwickelt. Durch eine Zerlegung
•
deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
•
untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
Prozessbezogene Kompetenzen:
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden)
•
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)
•
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten
finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen)
46
in parallele und orthogonale Komponenten kann der geometrische Aspekt
der Projektion betont werden. Dies kann zur Einführung des Winkels über
den Kosinus genutzt werden (alternativ zu einer Herleitung aus dem Kosinussatz).
Eine weitere Bedeutung des Skalarproduktes kann mit den gleichen Überlegungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlossen werden.
Bei hinreichend zur Verfügung stehender Zeit kann in Anwendungskontexten (z. B. Vorbeiflug eines Flugzeugs an einem Hindernis unter Einhaltung
eines Sicherheitsabstandes) entdeckt werden, wie der Abstand eines Punktes von einer Geraden u. a. als Streckenlänge über die Bestimmung
eines Lotfußpunktes ermittelt werden kann.
Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige
Anlässe für (im Sinne des Problemlösens offen angelegte) exemplarische
geometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte (z. B. Gebäu-
•
•
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob-
de) bezogen werden.
lemlösung aus (Lösen)
Dabei kann z. B. der Nachweis von Dreiecks- bzw. Viereckstypen (an-
beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und
knüpfend an das Thema aus der Einführungsphase) wieder aufgenommen
Effizienz (Reflektieren)
werden.
Wo möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Alternative aufgezeigt.
47
Q-Phase Grundkurs Stochastik (S)
Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Wird in Kürze ergänzt.
Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen (Q-GK-S2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
48
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Wird in Kürze ergänzt
49
Thema: Modellieren mit Binomialverteilungen (Q-GK-S3)
Zu entwickelnde Kompetenzen
•
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
wird in Kürze ergänzt
Thema: Von Übergängen und Prozessen (G-GK-S4)
Zu entwickelnde Kompetenzen
wird in Kürze ergänzt
50
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Q-Phase Leistungskurs Funktionen und Analysis (A)
Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Die Schülerinnen und Schüler
•
interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen
•
beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit
Hilfe der 2. Ableitung
•
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie
weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten
•
•
•
Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Betrachtung
von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassierungsprobleme
gewählt werden.
bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die
sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)
Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare
weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktion
Gleichungssysteme
mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt.
wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-
Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschlie-
chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem
ßend von den Lernenden kritisch bewertet.
Rechenaufwand lösbar sind
51
Prozessbezogene Kompetenzen:
An einem Beispiel werden in einem geeigneten Kontext (z. B. Fotos von
Modellieren
Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktform
Die Schülerinnen und Schüler
einer quadratischen Funktion angepasst. Anschließend werden aus gege-
•
•
•
•
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
benen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform auf-
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
gestellt.
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
Situation vor (Strukturieren)
Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genom-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
men werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationale
Modelle (Mathematisieren)
Funktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte,
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö- Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen
sung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
zur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Hier bieten sich nach einem
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
einführenden Beispiel offene Unterrichtsformen (z. B. Lerntheke) an.
ren)
•
•
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
Im Zusammenhang mit unterschiedlichen Kontexten werden aus ge-
delle für die Fragestellung (Validieren)
gebenen Eigenschaften (Punkten, Symmetrieüberlegungen, Bedingun-
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validie- gen an die 1. Und 2. Ableitung) Gleichungssysteme für die Para-
ren)
•
reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren)
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
52
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
meter ganzrationaler Funktionen entwickelt.
Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der
Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem,
Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren
und ggf. Veränderungen vorzunehmen.
•
… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
Damit nicht bereits zu Beginn algebraische Schwierigkeiten den zentralen
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
Aspekt der Modellierung überlagern, wird empfohlen, den GTR zunächst
nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden als Blackbox zum Lösen von Gleichungssystemen und zur graphischen
[…], Berechnen und Darstellen
Darstellung der erhaltenen Funktionen im Zusammenhang mit der Validierung zu verwenden und erst im Anschluss die Blackbox „Gleichungslöser“
zu öffnen, das Gaußverfahren zu thematisieren und für einige gut überschaubare Systeme mit drei Unbekannten auch ohne digitale Werkzeuge
durchzuführen.
Über
freie
Parameter
(aus
unterbestimmten
Gleichungssystemen)
werden Lösungsscharen erzeugt und deren Elemente hinsichtlich
ihrer Eignung für das Modellierungsproblem untersucht und beurteilt.
An innermathematischen „Steckbriefen“ werden Fragen der Eindeutigkeit der Modellierung und der Einfluss von Parametern auf den
Funktionsgraphen untersucht.
Zur Förderung besonders leistungsstarker Schülerinnen und Schüler
bietet es sich an, sie selbstständig über die Spline-Interpolation
forschen und referieren zu lassen.
53
Thema: Optimierungsprobleme (Q-LK-A2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
Die Schülerinnen und Schüler
•
•
•
führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf
Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Es
Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese
wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a.
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […] zur
mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu
Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten
kommen und dabei unterschiedliche Lösungswege zu entwickeln.
bilden die Ableitungen weiterer Funktionen (Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten)
•
•
führen Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe,
An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler
Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück
die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. „Glasscheibe“)
wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an
Ein
Anwendungsproblem
wird
unter
dem
Aspekt
der
Modellvalidie-
Prozessbezogene Kompetenzen:
rung/Modellkritik untersucht.
Modellieren
Abschließend empfiehlt es sich, ein Problem zu behandeln, das die Schü-
Die Schülerinnen und Schüler
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen
mit Blick auf die konkrete Fragestellung (Strukturieren)
•
54
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
lerinnen und Schüler nur durch systematisches Probieren oder anhand des
Funktionsgraphen lösen können
.
Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen
•
•
•
Situation vor.(Strukturieren)
geeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besucher-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
ströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personal-
Modelle (Mathematisieren)
einsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö- Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion
sung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst über
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung).
ren)
•
•
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
Im Zusammenhang mit geometrischen und ökonomischen Kontexten entwi-
delle für die Fragestellung (Validieren)
ckeln die Schülerinnen und Schüler die Ableitungen von Wurzelfunktionen
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
sowie die Produkt- und Kettenregel und wenden sie an.
delle für die Fragestellung (Validieren)
•
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validie-
ren)
•
reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren)
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Er-
kunden)
•
wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle
…) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in
55
Teilprobleme, Verallgemeinern …) (Lösen)
•
setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein
(Lösen)
•
berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen)
•
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
•
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und
Gemeinsamkeiten (Reflektieren)
Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Logarithmus (Q-LK-A3)
Zu entwickelnde Kompetenzen
56
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens sollte eine Auffrischung der bereits in
Die Schülerinnen und Schüler
der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitsteilige
Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Präsenta-
•
wiederholen die Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsvorgänge
mithilfe funktionaler Ansätze und interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang
•
bilden die Ableitungen der natürlichen Exponentialfunktion
•
wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an
•
nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion
•
bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:
o natürliche Exponentialfunktion
tion stehen (Wachstum und Zerfall).
Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zur Wiederholung des
Ableitungsbegriffs als Tangentensteigung. Exemplarisch erstellen die Schüler
für zwei Funktionen ( f ( x ) = 4 x
und
1
f ( x ) = ( ) x ) unter Zuhilfenahme
3
des GTR die Schaubilder der Ableitungsfunktionen.
Abschließend wird mit Geogebra noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich
quasi automatisch die Frage, für welche Basis Funktion und Ableitungsfunktion übereinstimmen.
o Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis
natürliche Logarithmusfunktion
Prozessbezogene Kompetenzen:
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
Umkehrprobleme im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunktion
werden genutzt, um den natürlichen Logarithmus zu definieren und damit
auch alle Exponentialfunktionen auf die Basis e zurückzuführen. Mit Hilfe
der schon bekannten Kettenregel können dann auch allgemeine Exponentialfunktionen abgeleitet werden.
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden)
Eine Vermutung zur Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion wird
•
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
graphisch geometrisch mit einem DGS als Ortskurve gewonnen und an-
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches
schließend mit der Kettenregel bewiesen.
57
Probieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf
Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme) (Lösen)
•
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
•
variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflektie-
ren).
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
… grafischen Messen von Steigungen
•
entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer
Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus
•
nutzen […] digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen
58
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-LK-A4)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Hinweis: Auch im Leistungskurs bilden eigene anschauliche Erfahrungen
Die Schülerinnen und Schüler
ein gutes Fundament für den weiteren Begriffsaufbau. Deshalb hat sich
•
interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe
•
deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
•
skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion
die Fachkonferenz für einen ähnlichen Einstieg in die Integralrechnung im
Leistungskurs entschieden wie im Grundkurs. Er unterscheidet sich allenfalls durch etwas komplexere Aufgaben von der Einführung im Grundkurs.
Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb
werden hier Kontexte, die schon dort genutzt werden, wieder aufgegriffen
Prozessbezogene Kompetenzen:
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
ben kann die Konstruktion einer Größe (z. B. physikalische Arbeit), bei
der es sich nicht um die Rekonstruktion eines Bestandes handelt, thematisiert werden.
erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […] mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)
•
(Geschwindigkeit - Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge). Dane-
formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege
(Produzieren)
•
wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren)
•
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produ-
Der Einstieg kann über eine zu dokumentierende Erkundung in Gruppen
erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand
geschlossen wird, erarbeiten. Außer der Schachtelung durch Ober- und
Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eigenständig weitere
59
zieren)
unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Be-
•
dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)
rechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entstehenden
•
erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)
Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.
Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer
Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren.
Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrprozess auf die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zur
Überleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden.
Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-LK-A5)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Schülerinnen und Schüler sollen hier selbst entdecken, dass die Integral-
Die Schülerinnen und Schüler
funktion Ja eine Stammfunktion der Randfunktion ist. Dazu wird das im
•
erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von
der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
•
60
vorhergehenden Unterrichtsvorhaben entwickelte numerische Näherungsverfahren zur Rekonstruktion einer Größe aus der Änderungsrate auf eine
kontextfrei durch einen Term gegebene Funktion angewendet und zur
erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunk- Konstruktion der Integralfunktion genutzt (Verallgemeinerung).
Die Graphen der Randfunktion und der genäherten Integralfunktion können
tion
•
deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktio-
die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe
einer Tabellenkalkulation und
nen
eines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen
•
nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen
diesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht wer-
•
begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter
den kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen.
Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs
•
bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
Um diesen Zusammenhang zu begründen, wird der absolute Zuwachs
•
bestimmen Integrale numerisch […]
Ja(x+h) – Ja(x) geometrisch durch Rechtecke nach oben und unten abge-
•
ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der
schätzt. Der Übergang zur relativen Änderung mit anschließendem Grenz-
Änderungsrate oder der Randfunktion
übergang führt dazu, die Stetigkeit von Funktionen zu thematisieren, und
bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die
motiviert, die Voraussetzungen zu präzisieren und den Hauptsatz formal
Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und
exakt zu notieren.
•
uneigentlichen Integralen
Hier
bieten sich Möglichkeiten zur inneren Differenzierung:
Prozessbezogene Kompetenzen:
Formalisierung der Schreibweise bei der Summenbildung,
Argumentieren
Einschachtelung mit Ober- und Untersummen, formale Grenzwertbetrach-
Die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Vermutungen auf (Vermuten)
•
unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten)
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
exemplarische
tung, Vergleich der Genauigkeit unterschiedlicher Abschätzungen.
In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen
Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Produktsummen
zur Verfügung.
•
stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)
•
verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten (Begründen)
Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch
•
erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise
Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen
(Begründen)
Kurven) thematisiert werden.
61
•
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
werden können (Beurteilen)
Bei der Berechnung der Volumina wird stark auf Analogien zur Flächenberechnung verwiesen. (Gedanklich wird mit einem „Eierschneider“ der
Werkzeuge nutzen
Rotationskörper in berechenbare Zylinder zerlegt, analog den Rechtecken
Die Schülerinnen und Schüler
oder Trapezen bei der Flächenberechnung. Auch die jeweiligen Summen-
•
nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation
formeln weisen Entsprechungen auf.)
und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen
•
und Darstellen
Mit der Mittelwertberechnung kann bei entsprechend zur Verfügung ste-
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum …
hender Zeit (über den Kernlehrplan hinausgehend) noch eine weitere
… Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und
wichtige Grundvorstellung des Integrals erarbeitet werden. Hier bieten sich
Abszisse
… Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals
62
Vernetzungen mit dem Inhaltsfeld Stochastik an.
Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-LK-A6)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
wird in Kürze bearbeitet
63
Q-Phase Leistungskurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondens-
Die Schülerinnen und Schüler
streifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor be-
•
stellen Geraden in Parameterform dar
•
interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext
•
stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar
•
untersuchen Lagebeziehungen von Geraden
Prozessbezogene Kompetenzen:
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
•
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen
Situation vor (Strukturieren)
•
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische
Modelle (Mathematisieren)
64
schrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebenen) einbezogen werden.
Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit
mittels einer Funktion zu variieren, z. B. zur Beschreibung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (hier die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als
Funktion (von der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden.
Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frage
aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist.
•
•
•
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lö- Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
sierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Durch Einschränkung
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-
des Definitionsbereichs werden Strahlen und Strecken einbezogen. Punkt-
delle für die Fragestellung (Validieren)
proben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validie- erlauben die Darstellung in räumlichen Koordinatensystemen. Solche Dar-
ren)
stellungen sollten geübt werden.
Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Parallel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet die zusätzliche
Werkzeuge nutzen
Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann.
Die Schülerinnen und Schüler
•
nutzen Geodreiecke, geometrische Modelle und Dynamische-GeometrieSoftware
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und
Geraden
… Darstellen von Objekten im Raum
65
Thema: Die Welt vermessen – das Skalarprodukt und seine ersten Anwendungen (Q-LK-G2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonalität aus einer
Die Schülerinnen und Schüler
Anwendung des Satzes von Pythagoras entwickelt. Durch eine Zerlegung
deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
in parallele und orthogonale Komponenten wird der geometrische Aspekt
•
untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Si- der Projektion betont. Dies wird zur Einführung des Winkels über den
Kosinus genutzt.
tuationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
•
bestimmen Abstände zwischen Punkten und Geraden [...]
Eine weitere Bedeutung des Skalarproduktes kann mit den gleichen Über-
•
Prozessbezogene Kompetenzen:
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
•
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden)
•
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)
•
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
•
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und
Gemeinsamkeiten (Reflektieren)
legungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlossen werden.
Die formale Frage nach der Bedeutung eines Produktes von zwei Vektoren sowie den dabei gültigen Rechengesetzen wird im Zusammenhang mit
der Analyse von typischen Fehlern (z. B. Division durch einen Vektor)
gestellt.
Anknüpfend an das Thema E-G2 werden Eigenschaften von Dreiecken
und Vierecken auch mithilfe des Skalarproduktes untersucht. Dabei bieten
sich vorrangig Problemlöseaufgaben (z. B. Nachweis von Viereckstypen)
an.
Ein Vergleich von Lösungswegen mit und ohne Skalarprodukt kann im
Einzelfall dahinterliegende Sätze transparent machen wie z. B. die Äquiva-
66
lenz
der
zum
Nachweis
und
einer
Raute
benutzten
Bedingungen
für die Seitenvektoren
und
eines Parallelogramms.
In Anwendungskontexten (z. B. Vorbeiflug eines Flugzeugs an einem Hindernis unter Einhaltung eines Sicherheitsabstandes) wird entdeckt, wie der
Abstand eines Punktes von einer Geraden u. a. über die Bestimmung
eines Lotfußpunktes ermittelt werden kann. Hierbei werden unterschiedliche
Lösungswege zugelassen und verglichen. Eine Vernetzung mit Verfahren
der Analysis zur Abstandsminimierung bietet sich an.
Thema: Ebenen in verschiedenen Darstellungsformen (Q-LK-G3)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Als erste Darstellungsform wird die Parameterform der Ebenengleichung
Die Schülerinnen und Schüler
entwickelt. Als Einstiegskontext kann eine Dachkonstruktion mit Sparren
•
stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar
•
stellen Ebenen in Parameter- und Koordinatenform dar
•
deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
•
und Querlatten dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensystem
in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisierung aus der Einführungsphase wieder aufgegriffen. Durch Einschränkung des Definitionsbe-
stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung reichs werden Parallelogramme und Dreiecke beschrieben. So können
auch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden.
im Raum
67
•
bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Durch Multiplikation der Parameterform mit einem Normalenvektor ergibt
sich die Normalen- und Koordinatenform.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober-/Unterbegriff)
(Begründen)
•
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente
für Begründungen (Begründen)
•
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
werden können (Beurteilen)
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren)
•
Die unterschiedlichen Darstellungsformen der Ebenengleichung und ihre
jeweilige geometrische Deutung (Koordinatenform, Parameterform, Normalenform) werden gegenübergestellt, verglichen und in Beziehung gesetzt. Dabei intensiviert der kommunikative Austausch die fachlichen Aneignungsprozesse.
Vertiefend (und über den Kernlehrplan hinausgehend) kann bei genügend
zur Verfügung stehender Zeit die Lösungsmenge eines Systems von Koordinatengleichungen als Schnittmenge von Ebenen geometrisch gedeutet
werden. Dabei wird die Matrix-Vektor-Schreibweise genutzt. Dies bietet
weitere Möglichkeiten, bekannte mathematische Sachverhalte zu vernetzen.
Die Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra wird in Q-LK-G4 weiter
vertieft.
formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege
(Produzieren)
•
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produ-
zieren)
Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprobleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4)
68
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Als Anwendung des Themas „Abstand Punkt – Ebene“ bietet sich
Die Schülerinnen und Schüler
die Berechnung von Körperhöhen an.
•
•
berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext
Die Berechnung des Abstands zweier Flugbahnen kann für den
bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Vergleich
unterschiedlicher
Lösungsvarianten
für
die
Berechnung
windschiefer Geraden genutzt werden.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
•
stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober-/Unterbegriff)
(Begründen)
•
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente
für Begründungen (Begründen)
•
berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige/hinreichende
Bedingung, Folgerungen/Äquivalenz, Und-/Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen) (Begründen)
•
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
werden können (Beurteilen)
69
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren)
•
verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang (Produzieren)
•
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produ-
zieren)
•
erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)
•
vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer
Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)
70
Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK-G5)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige
Die Schülerinnen und Schüler
Anlässe für offen angelegte geometrische Untersuchungen und können auf
•
stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar
•
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare
Gleichungssysteme
•
wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an
reale Objekte bezogen werden. Wo möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Alternative aufgezeigt Die Bestimmung von
Längen und Winkeln setzt das Thema Q-LK-G2 direkt fort. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene erlauben Rückschlüsse auf ihre
Lagebeziehung.
•
interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen
•
stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar
Abstände von Punkten zu Geraden und zu Ebenen ermöglichen es z. B.,
•
untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen
die Fläche eines Dreiecks oder die Höhe und das Volumen einer Pyra-
•
berechnen (Schnittpunkte von Geraden sowie) Durchstoßpunkte von
mide zu bestimmen.
Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext
•
untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Si- In diesem Unterrichtsvorhaben wird im Sinne einer wissenschaftspropädeutischen Grundbildung besonderer Wert gelegt auf eigenständige Lernprotuationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
•
bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
zesse sowie bei der Lösung von problemorientierten Aufgaben.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Problemlösen
71
Die Schülerinnen und Schüler
•
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden)
•
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)
•
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
•
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten
finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [...]) (Lösen)
•
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen)
•
beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und
Effizienz (Reflektieren)
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
•
formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren)
•
verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in
angemessenem Umfang (Produzieren)
•
dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)
•
erstellen Arbeitsanleitungen und präsentieren sie (Produzieren)
•
vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich
ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)
72
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
•
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
… Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen
73
Q-Phase Leistungskurs Stochastik (S)
Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen
(Q-LK-S1)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Wird in Kürze nachgereicht
Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
wird in Kürze nachgereicht
Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)
74
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Wird in Kürze nachgereicht
75
Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Wird in Kürze nachgereicht
76
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Thema: Signifikant und relevant? – Testen von Hypothesen (Q-LK-S5)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
wird in Kürze nachgereicht
77
Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-LK-S6)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
wird in Kürze nachgereicht
Thema: Strategieentwicklung bei geometrischen Problemsituationen und Beweisaufgaben (Q-LK-G6)
Zu entwickelnde Kompetenzen
Wird in Kürze nachgereicht
78
Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
79

Phase Schwerpunkte Was ist zu beachten? Kontakt- aufnah- me

schulinterner Lehrplan Sek II

An alle Kundinnen und Kunden der Brütsch/Rüegger Werkzeuge

Entwurf - Gymnasium Zitadelle Jülich

Was sind Triton-Systainer ? - Triton Tools

Newsbericht - Euromicron Werkzeuge GmbH

SCHULINTERNER LEHRPLAN FRANZÖSISCH

Erlebnistage 25./26. April Sa./So. 11 – 17 Uhr

Unternehmensbroschüre

Peter Fleissner Wie die Technik unser Leben verändert und was sie

Was unterscheidet einen "e" Was unterscheidet einen "e"-Trainer

Schulinternes Curriculum Deutsch für die Qualifikationsphase