FE-Modell

Gesundheitsökonomik
Effizienzmessung von
Krankenanstalten
Session 7: Paneldaten
Lehrveranstaltung Universität Graz
Philippe Widmer
[email protected]
Baslerstrasse 44
4600 Olten, Schweiz
Graz, 2015
Übersicht
 Unterschied zwischen Querschnitts- und Paneldaten
 Grundlagen der ökonometrischen Modellierung mit Paneldaten
 Berücksichtigung der zeitinvarianten Effekte
 Umgang mit Ineffizienz, die über die Zeit variiert
 Separierung der Heterogenität von der Ineffizienz
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Einschränkungen bei Querschnittsdaten
 Das Modell (Produktionsfunktion):
𝑌𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 − 𝑢𝑖 mit
– 𝑓 𝑥𝑖 = ? (Cobb-Douglas, Translog, etc.)
– 𝑣𝑖 ~N 0, 𝜎𝑣2
– 𝑢𝑖 ~ ? (Exponential, HNormal, TNormal, Gamma, etc.)
 Jede Beobachtung ist nur einmal im Datensatz enthalten
 Es müssen arbiträre Annahme zur Verteilung der Ineffizienz (𝑢𝑖 )
gemacht werden
 Die Ineffizienz darf nicht mit den erklärenden Variablen der
Technologiegrenze korreliert sein, 𝐶𝐶𝐶(𝑢𝑖 , 𝑥𝑖 ) = 0
 Ineffizienz kann nicht konsistent geschätzt werden
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Abgrenzung zu den Querschnittsdaten
 Erweiterung des Datensatzes für mehrere Jahre (Fallbeispiel
Schweizer Spitäler, 2005 bis 2008)
 Jede Beobachtung kommt mehrfach vor (balanced vs. unbalanced)
 Die Effizienz kann ohne Verteilungsannahmen bestimmt werden
(Fixed-Effects-Modell)
 Die Effizienz muss nicht mehr zwingend unkorreliert zur
Technologie sein
 Es können Entwicklungen über die Zeit geschätzt werden
 Es können unbeobachtbare Unterschiede zwischen den
Unternehmen und zwischen Zeitperioden ermittelt werden
 Damit dies möglich ist, müssen wir der Ineffizienz eine Struktur
vorgeben
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Beispiel für Paneldatensatz
DMU
Jahr
Y1
Y2
L
1
2008
2507
6747
172
…
56
1
2007
2595
6364
162
…
56
1
2006
2476
6383
155
…
56
2
2008
4792
9913
414
…
106
2
2007
4924
10642
434
…
149
2
2006
4396
8355
402
…
149
3
2008
1845
3422
132
…
45
3
2007
1726
3360
131
…
45
3
2006
1640
…
2198
…
112
…
…
44
Y1
Y2
L
…
…
N
Jahr
…
…
K
K
 Variablen sollten innerhalb und zwischen den Unternehmen
ausreichend variieren
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Bekannte ökonometrische Modelle
 Die beiden wichtigsten linearen Paneldatenmodelle sind das FixedEffects-Modell (FE) und das Random-Effects-Modell (RE)
– Pooled: 𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑣𝑖,𝑡
– FE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓 𝒙𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡
– RE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑢𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡 , 𝑢𝑖 ~𝑁(0, 𝜎𝑢2 )
 Wie unterscheidet sich 𝑎𝑖 von 𝑢𝑖 ?
– 𝐶𝐶𝐶(𝑢𝑖 , 𝑥𝑖,𝑡 ) = 0
– 𝐶𝐶𝐶(𝑎𝑖 , 𝑥𝑖,𝑡 ) ≠ 0
– Wann soll welches Modell berücksichtigt werden? (HausmanTest)
 Was wird in 𝑎𝑖 und 𝑢𝑖 berücksichtigt?
– Ineffizienz
– Heterogenität
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Fallbeispiel Schweizer Spitäler
 Schätze die durchschnittliche variable Kostenfunktion (CobbDouglas-Form):
𝑉𝑉
𝑃𝑃
ln( ) = l𝑛(𝑌1 ) + ln(𝑌2 ) + ln( ) + ln(K) + u + v
𝑃𝑃
𝑃𝑃
 Verwende dazu die folgenden drei Modelle
– Pooled: 𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑣𝑖,𝑡
– FE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓 𝒙𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡
– RE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑢𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡 , 𝑢𝑖 ~𝑁(0, 𝜎𝑢2 )
 Fragen:
– Welches ist das präferierte Modell?
– Wie stark variieren die einzelnen Kostenfunktionen?
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Schätzergebnisse zu den Kostenfunktionen
Variablen
Pooled
Coef. Std. Error
Konstante
Y1
Y2
PL/PM
K
0.443
0.746
0.019
0.437
0.274
0.096
0.023
0.003
0.019
0.025
FE
Coef. Std. Error
RE
Coef. Std. Error
0.715
0.003
0.400
0.179
0.582
0.765
0.007
0.404
0.253
0.031
0.002
0.017
0.028
Sigmav 2
0.002
Sigmau2
Abhängige Variable: VC/PM
0.013
0.107
0.021
0.002
0.015
0.023
 Gemäss Hausman-Test wird das FE-Modell präferiert
 Individuelle Effekte sind mit der Technologie korreliert
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8
30
20
10
0
Häufigkeit
40
Individuelle Achsenabschnitte (FE-Modell)
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Fixef
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SFA für Paneldaten
 Wir gehen erneut davon aus, dass wir für jede Firma i= 1,…, N zu
mehreren Jahren t= 1,…, T Beobachtungen haben
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖 , mit
𝑣𝑖,𝑡 als Störterm und
𝑢𝑖 > 0 als Ineffizienz (zeitinvariant)
 Im Unterschied zu den Modellen mit Querschnittsdaten werden
Subskripte für die Zeit t = 1,…, T eingeführt
 Im Unterschied zu den FE und RE-Modellen werden die
zeitinvarianten Unterschiede zwischen den Unternehmen als
Ineffizienz interpretiert
 Ansonsten gelten gleiche Bedingungen wie bei FE und RE
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SFA Modelle für Paneldaten
(Zeitinvariante Ineffizienz)
1. RE Modell (Pitt und Lee, 1981):
– Ermöglicht zeitinvariante Effekte in der Technologie
– Ineffizienz ist unkorreliert mit Technologie
– Annahmen zur Verteilung der Ineffizienz notwendig
2. FE Modell (Schmidt und Sickles, 1984):
– Einfache Methode (ähnlich wie COLS bei den
Querschnittsdaten)
– Keine Annahmen zur Verteilung der Ineffizienz notwendig
– Ineffizienz kann mit Technologie korreliert sein
– Mindestens ein Unternehmen ist effizient
– Keine zeitinvarianten Effekte in der Technologie möglich
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Pitt und Lee RE Modell
 Ähnlich zum RE-Modell wird eine Technologiegrenze mit den
folgenden Annahmen geschätzt.
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖
𝑣𝑖,𝑡 ~𝑁 0, 𝜎𝑣2
𝑢𝑖 ~𝑁 + (0, 𝜎𝑢2 )
𝑣𝑖,𝑡 und 𝑢𝑖 sind unabhängig voneinander und der Technologie
 Ineffizienz ist aber positiv verteilt vergleichbar zum Modell mit
Querschnittsdaten
 Vorgehen bei der Berechnung ist ähnlich zu den Querschnittsdaten
ausser, dass hier die Zeitstruktur mitberücksichtigt wird
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Schmidt und Sickles FE Modell
 Schätze eine Produktionsfunktion mit OLS (within Heterogenität)
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓 𝒙𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡
 Da die Ineffizienz als zeitinvariant angenommen wird, kann der
Achsenabschnitt wie folgt interpretiert werden,
𝑎i = 𝛽0 − 𝑢𝑖 (bei Kostenfunktion, 𝑎i = 𝛽0 + 𝑢𝑖 )
 Erhalte Ineffizienz durch Verschiebung der Schätzgerade zu den
effizienten Beobachtungen
– Kostenfunktion:
– Produktionsfunktion:
𝑢�𝑖 = 𝑎�𝑖 − min 𝑎�𝑖 > 0
𝑢�𝑖 = 𝑚𝑚 𝑥 𝑎�𝑖 − 𝑎�𝑖 > 0
 Die Farrell-Effizienz ergibt sich durch:
𝑇𝑇 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 = 𝑒𝑒𝑒 −𝑢�𝑖
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Fallbeispiel Schweizer Spitäler
 Schätze die variable Kostenfunktion (Cobb-Douglas-Form):
𝑉𝑉
𝑃𝑃
ln( ) = l𝑛(𝑌1 ) + ln(𝑌2 ) + ln( ) + ln(K) + u + v
𝑃𝑃
𝑃𝑃
 Berechne die Effizienz für die folgenden drei Modelle
– Pooled: 𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑣𝑖,𝑡
– FE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓 𝒙𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡
– RE:
𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑢𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡 , 𝑢𝑖 ~𝑁(0, 𝜎𝑢2 )
 Fragen:
– Welches ist das präferierte Modell?
– Wie stark variieren die einzelnen Kostenfunktionen
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Schätzergebnisse zu den Kostenfunktionen
Variablen
Pooled
Coef. Std. Error
RE
Coef. Std. Error
FE
Coef. Std. Error
Konstante
Y1
Y2
PL/PM
K
0.383
0.744
0.019
0.439
0.276
0.143
0.773
0.010
0.422
0.271
0.170
0.715
0.003
0.400
0.179
Sigmav 2
0.017
Sigmau2
0.005
Mean EFF
94.5
Abhängige Variable: VC/PM
0.111
0.023
0.003
0.019
0.025
0.089
0.021
0.002
0.014
0.022
0.178
0.031
0.002
0.017
0.028
0.056
0.054
82.3
61.8
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15
30
Sensitivität in den Effizienzwerten
20
15
10
5
0
Dichte
25
Pooled
FE
RE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Effizienz (u)
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Ein Problem der Heterogenität?
 Die zeitinvarianten Modelle absorbieren zwei Effekte
– Ineffizienz
– Heterogenität
 Nicht berücksichtigt wird dagegen die zeitvariante Ineffizienz
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Erweiterung der Modelle für unbeobachtbare
Heterogenität
 Die Ausgangslage bildet wieder das folgende Modell:
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖
– Entweder FE oder RE wird angewendet
– 𝑢𝑖 berücksichtigt alle zeitinvarianten Effekte auch wenn es sich
um Heterogenität handelt
 Zwei Modelle zur Berücksichtigung der Heterogenität auf dem
Achsenabschnitt
– True RE Modell
– True FE Modell
 Weiterführende Modelle
– Random Parameter Frontier Modelle (RPFM)
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Ein True RE Modell
 Random Paremeter Modell auf dem Achsenabschnitt (𝑎𝑖 )
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖,𝑡
𝑣𝑖,𝑡 ~𝑁 0, 𝜎𝑣2
𝑢𝑖,𝑡 ~𝑁 + (0, 𝜎𝑢2 )
𝑎𝑖 ~𝑁(0, 𝜎𝑎2 )
 𝑎𝑖 ist unkorreliert mit der Technologie, 𝑣𝑖,𝑡 und 𝑢𝑖,𝑡
 Weiterführende Z-Variablen können im Modell berücksichtigt
werden
 Zeitinvariante Ineffizienz wird als Heterogenität interpretiert
(Überschätzung der Effizienz)
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Ein True FE Modell
 Gleiche Ausgangslage wie beim RE Modell
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖,𝑡
𝑣𝑖,𝑡 ~𝑁 0, 𝜎𝑣2
𝑢𝑖,𝑡 ~𝑁 + (0, 𝜎𝑢2 )
 Dieses Modell entspricht dem Normal-Halbnormal Modell für
Querschnittsdaten
 𝑎𝑖 wird hier vergleichbar zum FE Modell mit fixen Grössen bestimmt
(z. B. Dummy-Variable für jedes Unternehmen)
 Es gelten die gleichen Einschränkungen wie beim FE Modell
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Fallbeispiel Schweizer Spitäler (II)
 Geschätzt wird eine variable Kostenfunktion mit der Cobb-Douglas
Form für eine normale SFA (SFM), True RE Modell (RIFM) und ein
Random Parameter Frontier Modell (RPFM):
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Schätzergebnisse zur Kostenfunktion
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Schätzergebnisse zu den Effizienzwerten
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Zusammenfassung
 Die Panelstruktur kann zur Bestimmung der Effizienzwerte
verwendet werden
 Die Effizienz wird dabei als zeitinvariant angenommen
 Beim FE Modell können Effizienzwerte ohne Verteilungsannahmen
der Ineffizienz bestimmt werden
 Heterogenität, die zeitinvariant ist, wird als Ineffizienz beurteilt
 Die Heterogenität kann zum Teil berücksichtigt werden, was aber
sehr zeit- und rechenintensiv ist (beobachtbare, unbeobachtbare
Heterogenität)
 Zeitinvarianz bei der Ineffizienz ist für lange Zeitreihen nicht
realistisch
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Zeitvariante Ineffizienz
 Restriktive Annahme, dass die Ineffizienz zeitinvariant ist
 Bei langen Zeitreihen ist es wahrscheinlich, dass die Ineffizienz
über die Zeit variiert
– Gibt es einen generellen Trend über die Zeit?
– Haben die Unternehmen einen unterschiedlichen Verlauf der
Ineffizienz?
 Die Erweiterung für zeitvariante Effizienzwerte lässt sich auf die FE
und RE Modelle übertragen
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Modellierung der Ineffizienz über die Zeit
 Das Ausgangsmodell :
𝑌𝑖,𝑡 = 𝑓 𝑥𝑖,𝑡 + 𝑣𝑖,𝑡 − 𝑢𝑖,𝑡
 Erweitere das Modell im Ineffizienzterm um eine zeitliche
Komponente , 𝑢𝑖,𝑡 = 𝛾 𝑡 ∗ 𝑢𝑖
– Kumbhakar (1990)
– Battese und Coelli (1992)
 𝜙 = Schätzparameter
𝛾 𝑡 = 1 + exp 𝜙𝜙 + 𝜙𝑡 2
𝛾 𝑡 = exp(−𝜙(𝑡 − 𝑇)
2
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Fallbeispiel Schweizer Spitäler
 Schätze die variable Kostenfunktion (Cobb-Douglas-Form) für die
Jahre 2005 bis 2008:
𝑉𝑉
)
𝑃𝑃
ln(
𝑃𝑃
)+
𝑃𝑃
= l𝑛(𝑌1 ) + ln(𝑌2 ) + ln(
ln(K) + u + v
 Berechne die Effizienz für das folgende RE Modell
– 𝑦𝑖,𝑡 = 𝑓(𝒙𝑖,𝑡 ) + 𝑢𝑖𝑡 + 𝑣𝑖,𝑡
– 𝑢𝑖,𝑡 = 𝛾 𝑡 ∗ 𝑢𝑖
– 𝛾 𝑡 = exp(−𝜙 𝑡 − 𝑇 , t = 1, 2,3,4 mit T=4
 Fragen:
– Wie hoch ist die durchschnittliche Effizienz in den einzelnen
Jahren?
– Nimmt die Effizienz über die Zeit zu oder ab?
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5
Schätzergebnisse zu den Effizienzwerten
3
2
1
0
Dichte
4
2005
2006
2007
2008
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Effizienz (u)
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Zusammenfassung
 Es ist wahrscheinlich, dass die Effizienz über die Zeit variiert
 Zeitvariante Effizienzwerte können mit dem Pooled Modell
geschätzt werden. Dabei verliert man aber die Vorteile der
Panelstruktur
 Für das RE und FE Modell lassen sich zeitvariante Effizienzwerte
schätzen, wenn zusammen mit der Ineffizienz ein systematischer
Zeittrend geschätzt wird
 Die zeitinvariante Heterogenität zwischen den Unternehmen wird
aber immer noch grösstenteils als Ineffizienz interpretiert
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