Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse
Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik
und Geophysik — Stochastische Prozesse
Yannik Behr
Yannik Behr – Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik — Stochastische Prozesse – 21. Mai 2015
Stochastische Prozesse
Gliederung
1 Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Yannik Behr – Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik — Stochastische Prozesse – 21. Mai 2015
Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Stochastische Prozesse
Ein stochastischer Prozess ist ein Ph¨
anomen, dessen zeitliche Entwicklung
durch die Komplexit¨
at der zugrundeliegenden Gesetze und durch Unw¨
agbarkeit
verschiedener Faktoren nicht exakt, sondern nur innerhalb gewisser Grenzen
bestimmt werden kann.
Stochastischer Prozess {Xt }: Folge von Zufallsvariablen Xt
Eine beobachtete Zeitreihe xn ist nur eine einzelne Realisierung des
Prozesses Xt
Eigenschaften des zugrunde liegenden Prozesses Xt k¨
onnen nicht direkt
beobachtet, sondern nur aus xn gesch¨
atzt werden.
Notation muss bei entsprechenden statistischen Gr¨
ossen (Mittelwert,
Varianz, Kovarianz) unterschieden werden.
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Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
“When you see a random variable, you should think ’a value selected from a
distribution’.”
Think Stats, Allen B. Downey
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Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Beispiel: Flugh¨
ohe
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Definitionen
Beispiele
Stochastische Prozesse
Definitionen
Mittelwert einer Zeitreihe:
x¯ =
N−1
1 X
xn
N n=0
Mittelwert des Zufallsprozesses:
Z
∞
µt = E [xt ] =
xt pt (x) dx
−∞
Erwartunsgwert u
oglichen Realisierungen.
¨ber alle m¨
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Definitionen
Beispiele
Beispiel: Flugh¨
ohe
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Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Definitionen
Varianz einer Zeitreihe:
Var(xn ) = σx2 =
N−1
1 X
(xn − x¯)2
N n=0
Varianz des zugrunde liegenden Prozesses:
Z ∞
Var(xt ) = E [(xt − µt )2 ] =
(xt − µt )2 pt (x) dx
−∞
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Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Beispiel: Flugh¨
ohe
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Definitionen
Beispiele
Definitionen
Autokovarianz einer Zeitreihe:
Rxx (k) =
N−1−k
1 X
(xn+k − x¯)(xn − x¯), mit k = 0, . . . , M und M ≤ N − 1.
N n=0
Autokovarianz des Zufallsprozesses:
γ(s, t) = γx (s, t) = Cov[xs , xt ] = E [(xs − µs )(xt − µt )] .
Erwartungswert u
oglichen Realisierungen der Werte xs und xt
¨ber alle m¨
Autokorrelation des Zufallsprozesses:
ρ(s, t) = p
γ(s, t)
γ(s, s)γ(t, t)
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Definitionen
Beispiele
Definitionen
Ergodische Prozesse erlauben die Sch¨
atzung des Ensemble-Mittelwerts
µ und der Ensemble-Autokovarianzfunktion aus einer einzigen Zeitreihe.
Nur station¨
are Prozesse sind modellierbar. Ein Prozess ist
mittelwertstation¨
ar wenn µt = µ konstant ist,
varianzstation¨
ar wenn σt2 = σ 2 konstant ist und
kovarianzstation¨
ar wenn γ(s, t) = γ(τ ), d.h. wenn die Kovarianz
nur vom Abstand (oder lag ) τ = s − t abh¨
angt. In diesem Fall ist
auch die Autokorrelation
ρ(τ ) = γ(τ )/γ(0).
Ein schwach station¨
arer Prozess erf¨
ullt alle drei Bedingungen.
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Beobachtete Zeitreihe
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Beispiele
Beschreibung durch eine Gerade
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Beispiele
Beschreibung durch einen random walk
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Beispiele
Stochastische Prozesse
Beispiele
White-Noise Prozesse
Reiner Zufallsprozess: besteht aus einer Folge von identisch verteilten,
voneinander unabh¨
angigen Zufallsvariablen wt .
Oft definiert als Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz σw2
Autokovarianz
γw (s, t) =
σw2 ,
0,
s=t
s 6= t
White-Noise Prozessse sind station¨
ar.
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Definitionen
Beispiele
MA (Moving-Average) Prozesse
Linearkombination von White-Noise Variablen:
xt = a0 wt + a1 wt−1 + a2 wt−2 + · · · + aq wt−q .
Konvolution von weissem Rauschen wt mit MA Operator an
Bezeichnung als MA(q) Prozess.
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Definitionen
Beispiele
AR (auto-regressive) Prozesse
Linearkombination von fr¨
uhren Werten und einer White-Noise Variable:
xt = a0 wt − b1 xt−1 − b2 xt−2 − · · · − bp xt−p .
Bezeichnung als AR(p) Prozess.
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Definitionen
Beispiele
ARMA Prozesse
Kombination eines MA und AR Prozesses:
xt = a0 wt + a1 wt−1 + · · · + aq wt−q − b1 xt−1 − · · · − bp xt−p .
Bezeichnung als ARMA(p, q) Prozess.
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Definitionen
Beispiele
ARIMA Prozesse
Mit linearem Trend u
¨berlagerter ARMA Prozess:
yt = β0 + β1 t + xt
Mittelwert abh¨
angig von t - Zeitreihe ist nicht station¨
ar.
Umwandlung in station¨
aren Prozess durch Bildung der Differenz
∆yt = yt − yt−1 = β1 + xt − xt−1 = β1 + ∆xt .
Vorgehen wird bei h¨
oheren Ordnungen wiederholt
Bezeichnung als ARIMA(p, d, q) Prozess mit Ordnung d der Integration
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Stochastische Prozesse
Definitionen
Beispiele
Pr¨
ufung
28. Mai 2015, 10:15 – 12:00, HG G5
¨
Pr¨
ufungsstoff sind das Skript, die Vorlesungen und die Ubungen
Skript und andere Unterlagen sind zul¨
aessig
Elektronische Ger¨
ate (laptop, smartphone, etc.) sind nicht zugelassen
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