Vorlesung270415

Inhalt
System von Massepunkten
Kurs 17062 T1p: Lecture 3
H. Ruhl
Computational and Plasma Physics, LMU Munich, Germany
April 27, 2015
Zweik¨
orperproblem
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System von Massepunkten
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• Systeme von Massepunkten.
• Zweik¨
orperproblem.
Zweik¨
orperproblem
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System von Massepunkten
Zweik¨
orperproblem
System von Massepunkten
Gilt f¨
ur alle Kr¨
afte ~
Fi auf den i-ten Massepunkt
~
~ i V (~
Fi = −∇
x1 , ..., ~
xn ) ,
(1)
so folgt f¨
ur die Gesamtenergie
E =
X mi ~
xi2
+V ,
2
i
(2)
dass sie erhalten ist. Ein Beispiel f¨
ur ein System von Massepunkten, die wie ein Massepunkt behandelt werden
k¨
onnen, ist die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne. Es gilt f¨
ur die Gesamtkraft auf die Erde
o
~
F =
wobei M die Masse der Erde ist.
~
~
X −GMS mi ~
xi
R X
R
≈ −GMS
mi = −GMS M
,
|~
xi |3
R3 i
R3
i
(3)
Inhalt
System von Massepunkten
Zweik¨
orperproblem
Zweik¨orperproblem
Wir betrachten ein abgeschlossenes System von zwei Massepunkten mit nur inneren Kr¨
aften, die sich aus einem
Potential ableiten lassen, welches nur vom Abstand der beiden Massepunkte abh¨
angt
~ 1 V (|~
m1~
x¨1 = −∇
x1 − ~
x2 |) ,
(4)
~ 2 V (|~
m2~
x¨2 = −∇
x1 − ~
x2 |) .
(5)
Durch Addition der beiden Bewegungsgleichungen folgt
(m1 + m2 )
d 2 m1~
x1 + m2~
x2
dt 2
m1 + m2
¨
=M~
R = 0,
˙
~
P = 0,
~
P = const ,
(6)
wobei m1 + m2 = M gilt. Wir f¨
uhren die Relativkoordinate ~r ein
~r = ~
x1 − ~
x2 ,
r = |~r | .
(7)
Wir formen um
~ 1 V (|~
m1~
x¨1 = −∇
x1 − ~
x2 |) /m1 ,
~ 2 V (|~
m2~
x¨2 = −∇
x1 − ~
x2 |) /m2 .
und ziehen die zweite der Gleichungen von der ersten ab.
(8)
(9)
Inhalt
System von Massepunkten
Zweik¨
orperproblem
Zweik¨orperproblem
Wir erhalten
¨
~
r =−
1
m1
+
1
m2
~r dV
r dr
,
¨
µ~
r =−
~r dV
r dr
,
µ=
m1 m2
m1 + m2
.
(10)
Es l¨
asst sich der Drehimpuls der Relativbewegung definieren
~l = µ~r × ~r˙ ,
(11)
der erhalten ist, weil sich die Relativkraft aus einem Potential ableitet. Die Bahnkurve definiert somit eine Ebene,
die senkrecht zum Drehimpuls ~l steht. Dieser Umstand legt die Einf¨
uhrung von Zylinderkoordinaten nahe, so dass
~l k ~
ez . In Zylinderkoordinaten gilt
~r = r ~
er ,
(12)
˙ eφ ,
~r˙ = r˙ ~
er + r φ~
1 d 2 2
2
¨
¨ + 2˙r φ˙ ~
~
~
~
r = ¨
r − r φ˙
er + r φ
eφ = ¨
r − r φ˙
er +
r φ˙ ~
eφ .
r dt
(13)
(14)
Durch Vergleich der vektoriellen Gr¨
ossen erhalten wir
dV
2
¨
r − r φ˙
=−
,
dr
1 d 2 r φ˙ = 0 .
r dt
µ
(15)
(16)
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System von Massepunkten
Zweik¨
orperproblem
Zweik¨orperproblem
Durch einfache Integration folgt
µ 2
2 2
r˙ + r φ˙
+ V (r ) ,
2
l
2
.
l = µ r φ˙ → φ˙ =
µr 2
E =
(17)
(18)
Es folgt
µ¨
r =
l2
µr 3
dV
−
dr
=−
dVeff
dr
,
(19)
wobei
Veff (r ) = V (r ) +
l2
,
2µr 2
E =
µ 2
r˙ + Veff (r ) .
2
(20)
Wir betrachten
V (r ) = −
α
r
,
α > 0.
F¨
ur kleine r taucht die sogenannte Drehimpulsbarriere im effektiven Potential auf. F¨
ur E > 0 liegt eine
ungebundene Bewegung vor.
(21)

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