Aufgabe 3 - Altes Gymnasium Bremen

Freie Hansestadt Bremen
Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Abitur 2014 - Grundkurs Mathematik
Schulnr.:
Kursbezeichnung:
Name:
TR
Aufgabe 3 - zum Themenbereich Analysis
Flugzeug
Beim Fliegen mit einem Flugzeug ist die Steiggeschwindigkeit eine wichtige Größe. Sie beschreibt, wie
schnell das Flugzeug seine Höhe über dem Erdboden durch vertikales Steigen bzw. Sinken verändert.
Im Folgenden werden bei Testflügen mit einem neuen Flugzeug die Steiggeschwindigkeiten aufgezeichnet
und untersucht.
a) Bei einem Testflug ergeben sich folgende Werte: Zehn Sekunden nach Beginn der Aufzeichnung beträgt
die Steiggeschwindigkeit sechs Meter pro Sekunde. 20 Sekunden nach Beginn der Aufzeichnung ergibt
sich das Maximum der Steiggeschwindigkeit.

Bestimmen Sie aus den Angaben eine ganzrationale Funktion g mit g (t )  at 2  bt , welche die
Steiggeschwindigkeit g (t ) (in Meter pro Sekunde) des Flugzeugs in Abhängigkeit von der Zeit t
(in Sekunden) beschreibt. t  0 entspricht dem Beginn der Aufzeichnung.
Eine anschließende Überprüfung, ob die von Ihnen bestimmte Funktion g die obigen Angaben erfüllt, ist nicht notwendig.
(5 Punkte)
Bei einem anderen Testflug beschreibt die Funktion f mit
f (t )  0,0002t 3  0,024t 2  0,64t mit 0  t  80
die Steiggeschwindigkeit f (t ) (in Meter pro Sekunde) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden).
b)

Bestimmen Sie die fehlenden Steiggeschwindigkeiten von f in der folgenden Tabelle:
Zeit t
(in Sekunden)
Steiggeschwindigkeit f (t )
(in Meter pro Sekunde)
0
10
15
4, 2
4,875
20
30
3
40
50
3
60
4,8
65
4,875
70
80
0

Bestimmen Sie die maximale Steiggeschwindigkeit.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f .

Beschreiben Sie den Verlauf der Steiggeschwindigkeiten kurz mit drei Angaben.

Geben Sie alle Stammfunktionen von f an.

Zeigen Sie mithilfe der Integralrechnung, dass das Flugzeug nach 80 Sekunden die gleiche Höhe
hat, wie zu Beginn der Aufzeichnung.
(4 Punkte)
(7 Punkte)
c)
(6 Punkte)
d)
e) In diesem Aufgabenteil wird ein anderer Verlauf der Steiggeschwindigkeiten betrachtet:
Die ersten zehn Sekunden verlaufen wie bei f und zum Zeitpunkt t  10 gehen die Steiggeschwindigkeiten knickfrei in eine Gerade über.

Zeigen Sie, dass h mit h(t )  0, 22t  2 die Tangente von f an der Stelle t  10 ist.

Skizzieren Sie den Graphen von h in das Koordinatensystem von c).
MAT-GK-TR-N
Aufgabe 3
(3 Punkte)
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Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Schriftliche Abiturprüfung 2014
Aufgabe 3
Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik
Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Lösungsskizze
a)
Bewertung
I
II
III
2
3
Mit f (17)  0 , f (17)  0,03  0 und f (17)  4,9 beträgt die maximale Steiggeschwindigkeit ungefähr 4,9 Meter pro Sekunde.
4
3
Mögliche Antworten:
In dem Zeitraum 0  t  40 steigt das Flugzeug. In dem Zeitraum 40  t  80 sinkt
das Flugzeug. In dem Zeitraum 0  t  20 nimmt die Steiggeschwindigkeit zu. Zu
den Zeitpunkten null, 40 und 80 Sekunden beträgt die Steiggeschwindigkeit null
Meter pro Sekunde. Dabei ist die Veränderung der Steiggeschwindigkeiten extremal.
2
4
1
2
1
1
1
1
10
13
2
Es ist g (t )  2at  b .
Aus dem Text ergibt sich g (10)  100a  10b  6 und g (20)  40a  b  0 .
100a  10b  6 
 erhält man a  0,02 und b  0,8
 40a  b  0 
Durch Lösen des LGS 
und damit g mit g (t )  0,02t 2  0,8t .
b)
Steiggeschwindigkeiten: f (0)  0 , f (20)  4,8 , f (40)  0 und f (70)  4, 2
Es ist f (t )  0,0006t 2  0,048t  0,64 und f (t )  0,0012t  0,048 .
Es gilt f (t )  0  0,006t 2  0, 48t  0,64  0  t  17  t  63 .
c)
d)
Es gilt: F (t )  0,00005t  0,008t  0,32t  c; c  
4
80
 f (t )dt   F (t )
80
0
3
2
 F  80   F (0)  0.
0
Die Änderung der Höhe des Flugzeugs in dem Intervall  0;80 ist gleich null. Somit
hat das Flugzeug nach 80 Sekunden die gleiche Höhe wie zu Beginn.
e)
Es gilt f (10)  h(10)  4, 2 und h(10)  f  (10)  0, 22 .
Also ist h die Tangente von f an der Stelle x  10 .
Skizze der Tangente h siehe b).
Verteilung der insgesamt 25 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche
MAT-GK-TR-N-L
Erwartungshorizont Aufgabe 3
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