Risikomaße
Stefan Huschens
2015
ii
Vorbemerkung
Das vorliegende Skript ist aus einer Lehrveranstaltung mit dem Titel Monet¨are Risikomaße“
”
hervorgegangen, die von mir seit mehreren Jahren an der Fakult¨at Wirtschaftswissenschaften
der TU Dresden gehalten wird. Mehrere fr¨
uhere Fassungen dieses Skripts, das h¨aufig u
¨berarbeitet und erweitert wurde, trugen den Namen Monet¨are Risikomaße (Auflagen 1 bis 7).
¨
Die einzelnen Kapitel enthalten in der Regel die drei abschließenden Abschnitte Ubungsauf”
gaben“, Beweise “und Erg¨anzung und Vertiefung“ mit Material zum jeweiligen Kapitel, das
”
”
nicht in der Vorlesung vorgetragen wird.
Hinweise auf Fehler bitte an [email protected]
iii
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu
¨ hrung
1.1 Risikoquantifizierung . . . . . . .
1.2 Risikomaßzahlen und Risikomaße
1.3 Gewinn- und Verlustvariablen . .
¨
1.4 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . .
1.5 Erg¨anzung und Vertiefung . . . .
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1
. 1
. 3
. 6
. 9
. 11
2 Inverse Verteilungsfunktion und Erwartungswert
2.1 Inverse Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
2.3 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . . . . . . .
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13
15
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16
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3 Gleichheit und Ordnung von Zufallsvariablen
3.1 Gleichheit von Zufallsvariablen . . . . . . . . .
3.2 Ordnung von Zufallsvariablen . . . . . . . . .
3.3 Implikationen zwischen den Ordnungen . . . .
3.4 Verteilungsgleiche Ersetzung . . . . . . . . . .
¨
3.5 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Stochastische Ordnung und Erwartungswert
27
4.1 Ordnung durch Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
¨
4.2 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Risikomaße
5.1 Wahrscheinlichkeitsfunktional
5.2 Verteilungsinvarianz . . . . .
5.3 Monotonie . . . . . . . . . . .
5.4 Risikomaß . . . . . . . . . . .
¨
5.5 Ubungsaufgaben
. . . . . . .
5.6 Beweise . . . . . . . . . . . .
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31
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35
36
37
vi
INHALTSVERZEICHNIS
5.7
Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Monet¨
are Risikomaße
6.1 Translations¨aquivarianz . .
6.2 Positive Homogenit¨at . . .
¨
6.3 Ubungsaufgaben
. . . . .
6.4 Beweise . . . . . . . . . .
6.5 Erg¨anzung und Vertiefung
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46
7 Quantile
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7.1 Obere und untere Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Value-at-Risk (VaR)
8.1 VaR-Definition . . . . . .
¨
8.2 Ubungsaufgaben
. . . . .
8.3 Beweise . . . . . . . . . .
8.4 Erg¨anzung und Vertiefung
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9 VaR-Sch¨
atzung
9.1 Parametrische VaR-Sch¨atzung . . . . .
9.1.1 Normalverteilung . . . . . . . .
9.1.2 Log-Normalverteilung . . . . . .
9.2 Nichtparametrische VaR-Sch¨atzung . .
9.2.1 Empirische Wahrscheinlichkeits9.2.2 Empirische Quantilfunktion . .
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und Verteilungsfunktion
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53
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63
63
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65
67
10 Maßzahlen fu
¨ r das Verteilungsende
69
11 Risikoaggregation und -diversifikation
11.1 Aggregation und Subadditivit¨at . . . .
11.2 Koh¨arenz . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Diversifikation und Konvexit¨at . . . . .
¨
11.4 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . .
11.5 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . .
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73
76
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77
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12 Conditional Value-at-Risk
12.1 Oberer und unterer Conditional Value-at-Risk
12.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
12.3 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
13 Average Value-at-Risk (AVaR)
13.1 Definition . . . . . . . . . . .
13.2 Interpretation . . . . . . . . .
13.3 Koh¨arenz des AVaR . . . . . .
13.4 Endlichkeit des AVaR . . . . .
13.5 Beweise . . . . . . . . . . . .
13.6 Erg¨anzung und Vertiefung . .
vii
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101
14 AVaR-Sch¨
atzung
14.1 Parametrische AVaR-Sch¨atzung . . . .
14.1.1 Normalverteilung . . . . . . . .
14.1.2 Log-Normalverteilung . . . . . .
14.2 Nichtparametrische AVaR-Sch¨atzung .
14.2.1 Substitutionssch¨atzung . . . . .
14.2.2 Substitutionssch¨atzer f¨
ur AVaR
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109
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. 120
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. 126
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15 Konvexe Mischung von Risikomaßen
15.1 Konvexkombination und konvexe Mischung
15.2 Konvexe Mischung und AVaR . . . . . . .
15.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . .
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16 Spektrale Risikomaße und Distorsionsrisikomaße
16.1 Spektrale Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Distorsionsrisikomaße . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
16.3 Ubungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Erg¨anzung und Vertiefung . . . . . . . . . . . . .
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17 Erg¨
anzende Bemerkungen
133
17.1 Zur Theorie der Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17.2 Zur Sch¨atzung von Risikomaßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A Grundbegriffe aus der Mathematik
141
B Wahrscheinlichkeit
143
B.1 Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C Risikobegriff
157
C.1 Zum umgangssprachlichen Risikobegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.2 Zum wissenschaftlichen Risikobegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
viii
INHALTSVERZEICHNIS
¨
D L¨
osungshinweise zu einigen Ubungsaufgaben
161
Literaturverzeichnis
169

Revbox Betriebsanleitung MK6.1

Allgemeine Geschäftsbedingungen für die

¨Ubungen zur Einführung in die Algebra: Galois Theorie – Blatt 4

Bilanzerstellung für Berufsanfänger und Mitarbeiter - Institut für

(Iphigenie, Physiker) (PDF

Diamantene Kommunion - 19.04.2015 - Lk 24, 35-48

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