Lösungen Grundschule April 2015

Lösung des
Problems des Monats
April 2015
Liebe Kinder,
Tim hat durch Wiegen mit einer Balkenwaage folgendes herausgefunden:
A
+
B
=
D
+
D
A
+
A
=
B
+
E
D
+
E
=
B
+
C
A
+
E
=
C
+
D
A
+
C
=
B
+
B
+
E
Wie Tim bei der zweiten Probe herausgefunden hat, wiegen zwei A-Pakete genauso viel
wie ein B- und ein E-Paket zusammen. Deshalb hätte man bei der fünften Probe auch das
B- und das E-Paket durch zwei A-Pakete ersetzen können:
A
+
C
=
B
+
A
+
A
Da auf beiden Seiten dann jeweils ein A-Paket liegt, kann man dieses auch wegnehmen,
ohne etwas am Gleichgewicht zu verändern, und wir erhalten:
C
•
=
B
+
A
Das bedeutet auch: Im C-Paket sind mehr Hasen als im B-Paket und mehr Hasen als
im A-Paket, denn man muss das B-Paket und das A-Paket zusammen auf die Waage
legen, damit sie mit dem C-Paket im Gleichgewicht sind.
Und: Man hätte überall, wo ein C-Paket vorkommt, auch stattdessen ein A- und ein BPaket zusammen auflegen können, z. B. auch bei der ersten Probe:
D
•
+
D
=
C
Im Paket mit der Aufschrift „C“ sind also doppelt so viele Osterhasen wie im Paket mit
der Aufschrift „D“. Das bedeutet auch, dass im C-Paket auf jeden Fall eine gerade
Anzahl von Osterhasen sein muss!
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Das sind die Mathematik-Kalender zum Schuljahr 2015/16
Ausverkauf der Restexemplare des Grundschulkalenders für das Schuljahr 2014/15 nur noch
1,00 € statt 5,00 € – allerdings nur im Zusammenhang mit der Bestellung eines anderen Kalenders.
Ersetzen wir noch das C-Paket bei der vierten Probe, dann ergibt sich:
A
+
E
=
B
+
A
+
D
Auch hier könnte man auf beiden Seiten ein A-Paket wegnehmen und erhält:
E
•
=
B
+
D
Hier lesen wir ab: Im E-Paket sind mehr Hasen als im B-Paket und mehr Hasen als im
D-Paket, denn man muss das B-Paket und das D-Paket zusammen auf die Waage
legen, damit diese im Gleichgewicht ist.
Ersetzt man in der zweiten Probe ein E-Paket durch ein B- und ein D-Paket, dann ergibt
sich:
A
+
A
=
B
+
B
+
D
Da auf der linken Seite eine gerade Anzahl von Osterhasen steht (zweimal das Paket mit
der Aufschrift „A“) und da auch in den beiden B-Paketen zusammen eine gerade Anzahl
von Osterhasen sein muss, muss auch die Anzahl der Hasen im D-Paket gerade sein.
Vergleichen wir jetzt noch die Anzahl der Osterhasen:
•
Im A-Paket sind mehr Hasen als im B-Paket, denn wenn man zwei A-Pakete mit zwei
B-Paketen vergleicht, dann muss man auf der Seite mit den beiden B-Paketen noch
ein D-Paket legen, damit die Waage ins Gleichgewicht kommt.
Wenn also im A-Paket mehr Hasen sind als im B-Paket, in beiden zusammen so viele
Hasen wie im C-Paket, im C-Paket aber doppelt so viele Hasen wie im D-Paket, dann
folgt: Im A-Paket sind mehr Hasen als im D-Paket und im D-Paket sind mehr Hasen als im
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B-Paket. Damit haben wir schon einmal eine Reihenfolge hinsichtlich des Gewichts (und
damit der Osterhasen-Anzahl) herausgefunden:
C
>
A
>
gerade
D
>
B
gerade
Da nun im E-Paket so viele Hasen sind wie im B- und im D-Paket zusammen, sind dies
weniger als im C-Paket, denn im C-Paket sind doppelt so viele Hasen wie im D-Paket und
im B-Paket sind weniger als im D-Paket, folgt: Im E-Paket sind weniger Hasen als im
C-Paket.
Im E-Paket sind auch mehr Hasen als im A-Paket, denn wenn man beim Gleichgewicht
der zweiten Probe auf der linken Seite eines der beiden A-Pakete und auf der rechten
Seite das leichtere B-Paket wegnimmt,
A
+
A
=
B
+
E
dann neigt sich die Waage zur rechten Seite. Somit haben wir eine vollständige Reihenfolge herausgefunden:
C
>
E
>
A
gerade
>
D
>
B
gerade
Bevor wir mit konkreten Zahlen ausprobieren, wie viele Osterhasen wohl in den einzelnen
Paketen sind, prüfen wir, ob wir außer über die gerade Anzahl in den C- und den DPaketen etwas über die anderen Pakete sagen können:
C
=
B
+
A
Hieraus folgt, da links eine gerade Anzahl steht, dass die Anzahlen in den A- und BPaketen entweder beide gerade oder beide ungerade sind.
E
=
B
+
D
Hieraus folgt, da in den D-Paketen eine gerade Anzahl steht, dass die Anzahlen in den
B- und E-Paketen entweder beide gerade oder beide ungerade sind.
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Somit sind die Anzahlen in den A-, B- und E-Paketen entweder alle gerade oder alle
ungerade.
Jetzt können wir mit dem systematischen Probieren beginnen; dabei beachten wir, dass in
den C-Paketen doppelt so viele Osterhasen sind wie in den D-Paketen, und dass in den
D-Paketen eine gerade Anzahl Osterhasen enthalten ist.
In den D-Paketen können nicht 2 Osterhasen sein, denn zwischen den beiden geraden
Anzahlen von C und D müssen die Anzahlen von E und A passen, die beide entweder gerade oder beide ungerade sind.
In den D-Paketen müssen also mindestens 4 Osterhasen sein. Wenn das stimmt, dann
sind in den C-Paketen 8 Osterhasen. Zwischen 4 und 8 liegen die beiden ungeraden Zahlen 5 und 7, was Lösungen für die A- bzw. E-Pakete sein könnten. Und wenn man diese
Zahlen einsetzt, findet man heraus, dass in den B-Paketen 3 Osterhasen sein müssen.
Die Proben zeigen, dass dies Lösungen unseres Problems sind:
5
+
3
=
4
+
4
5
+
5
=
3
+
7
4
+
7
=
3
+
8
5
+
7
=
8
+
4
5
+
8
=
3
+
3
+
7
Es sind aber nicht die einzigen Lösungen, denn es könnten auch Vielfache der herausgefundenen Zahlen sein:
A
B
C
D
E
5
3
8
4
7
10
6
16
8
14
15
9
24
12
21
…
…
…
…
…
Um noch mögliche weitere Wiegungen herauszufinden, schaue man sich die zunächst die
angegebenen Wiegungen an: Bei der ersten Probe lagen auf beiden Seiten der Waage
8 Osterhasen (oder Vielfache davon), bei der zweiten Probe 10, bei der dritten 11, bei der
vierten 12 und bei der fünften 13 Osterhasen.
7 Osterhasen auf den beiden Seiten der Waage:
E
=
B
+
D
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8 Osterhasen auf den beiden Seiten der Waage:
C
=
B
+
A
D
+
D
=
C
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9 Osterhasen auf beiden Seiten der Waage zu legen, ist nur möglich, wenn man auf
beiden Seiten gleichartige Pakete legt:
A
+
D
=
A
+
D
10 Osterhasen auf beiden Seiten der Waage:
A
+
A
=
B
+
B
+
D
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11 Osterhasen auf beiden Seiten der Waage:
D
+
E
=
A
+
B
+
B
12 Osterhasen auf beiden Seiten der Waage:
D
+
D
+
D
=
B
+
B
+
B
+
B
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