ق ب ات ا ا "! ا#$ ، اق% و& '& ه، ها ا اق ب ات !'4*وال ا+ ا2 وآ،!# وال ا+ ا- ب1 اق2 آ،')* ا#+,- !"#$ ،!./0 .!#ر0وا !"#$ !% – ا1-2 B و>"=* *ة )& ا@ ( & أD '& ;"ق9 &' و داf & :1.1 !&' / / :#+ a,b ∈D :هن+ا :و* أن ( f ⋅ g )' Fِ HI اF اJه f ⋅g :#+ ( f ⋅ g )'( x) = f '( x)⋅ g ( x) + f ( x)⋅ g '( x), ∀x∈[a,b] b ∫( a :نK f ⋅ g )' ( x ) dx = [ f ( x ) ⋅ g ( x )] ba b = ∫ [ f '( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g '( x )] d x a b b a a = ∫ f '( x ) ⋅ g ( x ) dx + ∫ f ( x ) ⋅ g '( x ) dx :أي أن b ∫ a b f ( x ) g '( x ) dx = [ f ( x ) g ( x )] ba − ∫ f '( x ) g ( x ) dx a : FMJ g ( x ) = Arctg ( x ) f '( x ) =1 د:اذ 1 ∫ 0 Arctg ( x ) dx : اN أ:1.1 ل 1 g '( x ) = 1+ x 2 f ( x ) = x boussayoud-ali.e-monsite.com Page 1 ق ب ات ا ا : 1P ،!./0 *ل اO و 1 ∫ 0 x dx 2 0 1+ x 1 Arctg ( x ) dx =[ xArctg ( x )]10 − ∫ 1 =1 . Arctg (1) − 0 . Arctg (0 ) − [ln( 1+ x 2 )]10 2 1 π 1 = Arctg (1) − ln 2 = − ln 2 2 4 2 1 ∫ ln( 1 + 0 :FQP x ) dx : اN أ:2.1 ل 1 g '( x ) = 1+ x f ( x ) = x g ( x ) = ln(1 + x ) f ' ( x ) =1 : 1P ،!./0 *ل اO و 1 ∫ ln(1+ x ) dx = [ x 0 x dx 0 1+ x 1 ln(1+ x )]10 − ∫ 1 1 1 −1+1+ x dx = ln 2 + ∫ dx − ∫ dx 0 1+ x 0 1+ x 0 1 = ln 2 − ∫ = ln 2 +[ln(1+ x) − x]10 = 2 ln 2−1 :FMJو g ( x ) = ln f '( x ) = 1 x >0 2 x B& أ ∫ ln 2 xdx اN أ:3.1 ل 2 g ' ( x ) = ln x x f ( x ) = x : 1P ،!./0 *ل اO و د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 2 ق ب ات ا ا ∫ ln 2 2 xdx = x. ln 2 x − ∫ .x. ln xdx x = x. ln 2 x − 2 ∫ ln xdx … (1) : g ( x ) = ln x f '( x ) =1 ⇒ x >0 B ∫ & أln xdx : اN 1 1 g '( x ) = x f ( x ) = x : 1P ,ىS! ًة أ./0 *ل اO و ∫ ln xdx = x. ln x − ∫ 1 .xdx x = x. ln x − x + c … (2) : 1P (2) ( و1) !9& ا ∫ ln 2 xdx = x. ln 2 x + 2 x.(1− ln x ) + c :#+ ! ! :1.1 !' ln ln !" # ع0 ا1 2 – ب ا2-2 ـــــــHI اF* ب اــــــــ# &'"'" &#د+ &, ( وn !Bر+ود & ا+ '4 آ$% ,P 2 ،', آX9 وSY- !"# ا%ة ات وه+ !./0 !*اء اBK $% )*!+ ــ .!'! ا0'[ & اP *& أن# د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 3 ق ب ات ا ا *# إذنn !Bر+ود & ا+ '4 آ/% \' ,: . /% )*!+ +C &' :1.2 !$ : أي, / F OP *"ر2 ! وذ$% )*!+ ب ا 01 2342!5 6/ 71 2342!5 :!'! ا9 ا+*P Q 9 x و''& ت ; ; … = / > 5 7 A* اN أ:1.2ل :\' > 5 7 A* /> A* : 1.2 !0' & ا#+ : `# O'! )*( و9 _*د ا2 وذa,b,c & \1, ، /> > /> /> > 5 7 / 2 > > 5 7 :إذن :O' وa=-1 ,b=3, c=-4 :+0P !"* > 5 7 A* > 3 4 A* :!''! اQ" اaMJ Jى آ* هS"! أ# $% )*!+ * ب# *• آ !9 # $% )*!+ ن اK % E @ & ا$% F إذا آن ا:1.2 !34 !" # F / G H I JI KL !" MN :!'ا (1.2 ل4*ل ا [ )ا4* اbP :2.2 ل 5 7 > A* O G > 5 7 A* R G / G * S AT*!U د:اذ A G G P KQ A* / AS AVW A* >*AT boussayoud-ali.e-monsite.com > I X O'و Page 4 ق ب ات > 5 7 A* > 3 4 A* X إذن ا ا YZ152 342 # , [\Y52 342 # ع0 ا1 2 ب ا-3-2 .!'! ا0'[ & اP ! أو./0 &'- آ،ع & اJ ب ها ا1 ــــHI اF اـــــJ ه,: . ]^_( `_ab( )* +C &' :1.3 !$ F , / !P & "ر9P` إ, ] * ب# إذنsinβx ehi أوcosβx ehi :\' _ab( )* *) (_^ أو k/ l m "nMop" n mqpr" s ^_2 A* '& ا9 N أ:1.3 ل :&'- !./0 ــــP :5! او7&8ا f v x eAi t gx cos 2x fx eAi g v x 2 sin 2x s cos 2 A* 2 A* sin 2 x A* sin 2 f v x eAi t gx _ab 2x fx eAi g v x 2 cos 2x x sin2x A* 2 A* cos 2 s cos2 A* 2 A* sin 2 4 s s y z{ T 2_ab2 ^_2 :FQP :Oوــــــ :ـــــ :FـــــQP :Oو'ــــ :إذن :Oوـــ :!! ا7&8ا s ^_2 A* ]^_2 `_ab2 A* د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 5 ق ب ات ا ا l]^_2 `_ab2 A* v eAi lλ 2µcos2x µ 2λsin2x s .] y z{ T A T ,` > T :ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ1P !"* 2_ab2 ^_2 :Oو'ـــــــــــ ::% ا2&;+ !% ا-4-2 g :[α , β ] → [ a , b ] ً *ًا َو- f :[ a , b ]→ IR &' :1.4 !&' ُ '1 [α , β ] g ( β ) = b َوg (α ) = a \ C1 @H & ً- :#+ [ وa,b] ل0* *! ا9 t → f [ g (t )] g '(t ) F ٍ ا.+ β ∫ b f [ g ( t )] g '( t ) dt = ∫ f ( x ) dx α a [α , β ] ل0* * اt → f [ g ( t )] g '( t ) F ا:هن+ا .ل0* اbP !* 9 J= و ~/ ــH أF- J هF o g Fن اK O [وa,b] f ِ'ً ـHً أ- F ِ &' :نI ( F o g )' ( t ) = ( F 'o g ). g ' ( t ) = ( f o g ). g '( t ), ∀ t ∈[α , β ] : `# و β ∫ α f [ g ( t )] g '( t ) dt = ( F o g )( β ) − ( F o g )( α ) = F [ g ( β )] − F [ g (α )] b = F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx a د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 6 ق ب ات ا ا 4 ∫ 2 1 dx x ln x اN أ:2.4 ل t = ln x ⇒ x = e t = g (t ) ⇒ dx = e t dt : FMJ x = 2 → t = ln 2 x = 4 → t = ln 4 4 ∫ 2 ln 4 1 ln 4 1 1 4 dx = ∫ t e t dt = ∫ dt =[ln( t )] ln ln 2 ln 2 te ln 2 t x ln x = ln(ln 4 ) − ln(ln 2 ) = ln 2 ln 2 = ln 2 ln 2 π 2 3 ∫ sin 0 π π 2 2 0 0 :#+ نJ# O'و xdx : إذن اN أ2.4 ل : I = ∫ sin 3 xdx = ∫ sin 2 x. sin xdx π 2 = ∫ (1 − cos 2 x ) sin xdx 0 t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx x = 0 → t =1 x= π 2 : FMJ →t=0 0 1 1 0 : O'و I = − ∫ (1− t 2 ) dt = ∫ (1− t 2 ) dt t3 1 2 = [t − ]0 = 3 3 : s : 3.4 ل !y S{ y{ د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 7 ق ب ات ا ا * * s ! S : : s * : : a ∫ f −a a f F( إذا آن ا1 :نK ً#د f F( إذا آن ا2 %ً و دور#دور f F( إذا آن ا3 0 a ∫ f −a a +T ∫ a :نK ً'Bزو ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx ( x ) dx = 0 T f ( x)dx = ∫ f ( x)dx :نK 0 T :هن+ا a ∫ f −a 0 a −a 0 ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx :#+ (1 :+0P 0 ∫ f −a 0 a a 0 x = −t ( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt :نK B زوF- a ∫ 0 a f ( − t ) dt = ∫ f (t ) dt ⇒ 0 a ∫ f −a د:اذ FMJ a ∫ f −a f و *أن a ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx 0 0 a −a 0 ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx : ـــــ#+ (2 boussayoud-ali.e-monsite.com Page 8 ق ب ات ا ا :+0P 0 ∫ f −a 0 a a 0 ( x ) dx = − ∫ f ( − t ) dt = ∫ f ( − t ) dt :نK ديF- a ∫ 0 FMJ x = −t a f ( − t ) dt = − ∫ f ( t ) dt ⇒ 0 a ∫ f −a ( x ) dx = a ∫ 0 f ( x ) dx − a ∫ 0 f و *أن f ( x ) dx = 0 :#+ (3 a +T ∫ a 0 T a 0 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + T +a ∫ T f ( x ) dx :+0P x = t + T FMJ x =T ⇒ t = 0 x =T + a ⇒ t = a T +a ∫ T a +T ∫ a a a 0 0 : نK دوريF- f و* أن f ( x ) dx = ∫ f (t + T ) dt = ∫ f (t ) dt 0 T a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx : و 0 a = T ∫ 0 0 f ( x ) dx :!& ! اا= ا-5-2 . l !# اFاJ ا"ة ا% ه !70@? ار اA -1-5-2 :1.5 B&A . *=- &'#ود+ &'- P,Q \' د:اذ * * >رة & ا, [ آ$P * آP boussayoud-ali.e-monsite.com Page 9 ق ب ات ا ا :2.5B&A J"Pل & ا Fا ي .degP<degQ ل :1.5 !* >iS !iA * * أ OPآ دي إذا آ XPدر P(x) !Bأ & 9در Q(x) !Bأي: آ دي ، *>! * * S A آ 'iدي. ) :1.5 !CDا" *! ا_(!#+'9 '& ) P(x),Q(xآ'4ي +ود & ، / 0 \'lإذن !'.j +BJ-و'+ة . ; :["1- l & ,و +.+ M(x) * #اF ا+1ودي /0ء ا a'1ا [$و 9, N(x) * #ا" *! ا_ .!#+9إذ *#ـــــــــ& آ O ; ا>ــــــــــــ: ; '\: * * آ دي. '! #J1 :1.5آ Fدي إ آ دي J"Pم BKاء ا" *! ا_ +1 !#+'9ا Iدر!B ـ ) P(xا +1ا Iدر !Bـ )Q(x ل :2.5أآ f(x) Nا> و': O >!** S A &' :3.5 B&A * * * * '\ : >* V A>* S A*A >!** S A ، 1إذن M(x)= x+1, N(x)=-4 : * * =) f(xآ [$Pدي و P,Qأو'ن '* '=*. -1آـــــ Bــر ـ ) * # P(xـ )f(x -2آــــ Bـــر ـ ) N" * # Q(xـ )f(x "P -3ـــJل & a0أ N9) H =PاJا( ) & f(xدر n !Bإذا :["1- $% 0, $%! 0 اJا: ل ,P :3.5اF Page 10 !* /% 0, /%! 0 >!** S A '\$ 1, / > 3 2 : boussayoud-ali.e-monsite.com اذ :د ق ب ات ا ا .f(x) ب ــ9 أ2 ،1 و، f(x) F H & رة,(-1) أنmP *A* .ولI( اn*ع )اJ '! & ا, اH H * اP :4.5 B&A .ولIع اJ & اn' .P4( اn*ع )اJ '! & ا, اH (p2-4q<0) F *! iS !i! .P4ع اJ & اn' > *A>V F ا:4.5 ل H * اP :5.5 B&A *! * S A*! F ا:5.5 ل (!' H آ دي إ2'-) :1.5 !&' :\ ـــــ'ــــd° $ ° / ـــــــــ,P Q ( x ) = ( x − x1 ) m1 (x− x 2) ⋅(x 2 m2 L( x − xk ) + p2 x+ q2 ) p2 mk ( x 2 + p1 x + q1 ) L (x 2 + ps x + qs ) p1 ps 1<j<s / > 4 0 : Fــــــ : ا> اN# P [$ ٍ ا ا.+ Q A1 m P (x) A 11 A 12 1 = + + L L + 2 m Q ( x ) x − x1 ( x − x1 ) ( x − x1 ) 1 + A2m 2 A 21 A 22 + + L L + m x − x2 (x − x2 )2 (x − x2 ) 2 +L L L L L L L L L L L L L + + د:اذ A km k Ak1 Ak 2 + + L L + m x − xk (x − xk )2 (x − xk ) k M 1l x + N 1l M 11 x + N 11 M 12 x + N 12 1 1 + + L + l 2 x 2 + p1 x + q1 ( x 2 + p1 x + q1 ) 2 ( x + p1 x + q1 ) 1 boussayoud-ali.e-monsite.com Page 11 ق ب ات ا ا + M 2l2 x + N 2l2 M 21 x + N 21 M 22 x + N 22 + + L + l x 2 + p2 x + q2 (x 2 + p2 x + q2 )2 (x2 + p2 x+ q2) 2 +LLLLLLLLLLLLLLLLLL + M sl x + N sl M s1 x + N s1 M s2 x + N s2 s s + + L + 2 2 2 l 2 x + psx+ qs (x + psx+ qs) (x + psx+ qs) s . M,N, A : .!"* !" ا\ اJ4''& ا- # :2.5!' !8+ اC0 !&@? ار ادA !@ ق8 اH 2-5-2 % إ ا"'ت وهY0P 2 X9J! اMر وإJI ا+'"- ذي إp# ا*"ت+'J- 'نI ا ا"'ت% هSY \' ،( ا*"ت+'J Y0P *& أن#) = Y0P "! ا#* ه ا. داX ' ا"'ت .N = ا= ا# ! آ4 ; أ . رة & آ دي, f(x) #+ ، *!* S *! = … *A ¡ *A> ¢ *! A*!> ا2 :6.5 ل :O' و، > 3 2 1 2 : أنmP A= -(2/5) :+0P x=1 ض ـJP( وx-1) = بQP : Aد$&إ B= 1/2:+0P x=2 ض ـJP( وx-2) = بQP : Bد$&إ C=- (1/10):+0P x=-4 ض ـJP( وx+4) = بQP : Cد$&إ .رة & آ دي, f(x) #+ ، *! ¡£ *AS ¡S *A … = *! *!*AS ا2 :7.5 ل : اJ1 ا2# f(x) نK O'و .A= ½ :+0P x= -1 ض ـJP( وx+1) = بQP : Aد$&إ .B1= 2 :+0P x=1 ض ـJP( وx-1)2 = بQP : B1د$&إ B2=- A :.+ +0P !#=P r ول إp# x * !#= اS+P j x = بQP : B2د$&إ د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 12 ق ب ات ا ا B2=- A : +0P x=0 :4 @#! اJ*0 * ا- !*'" x ضJP B2 د0#_ ىS"! أ#$ .رة & آ دي, f(x) #+ ، . £ *A>V S *A>S V *A> * S ! *A>V ا2 :8.5 ل : اJ1 ا2# f(x) نK O'و A1=5, A2=4, A3=1 :+0P &'- x-2 x2+1 ! ــ#+9_اء ا" *! اBK .رة & آ دي, f(x) #+ ، *A* S * S !>* = *A *! * S !*! !*! : 9.5 ل : اJ1 ا2# f(x) O' و، ∆ 3 0 #+ ىS=! أB & A= 1 :+0P x= 1 ض ـJP( وx-1) = بQP : Aد$&إ N=A 1P = x=0 ب ــQP : Nد$&إ .M=1-A : .+ +0P !#=P r ول إp# x * !#= اS+P j x = بQP : Mد$&إ (!C! ) ا;ا! ا70 ! ار ا-3-5-2 : اJ1 اFاJ- عJ*0 ; l 2# f(x) " أن#رأ .ود+ '4 F- -1 .ولIع اJ '! & اH -2 .P4ع اJ '! & اH -3 .!" ! ا44ت اr1 !'HIوال ا+ ب ا1 PدJ"# f(x) ـــHI اF ب ا1 ' " ،!'P4و واI! ا1 !'HIوال ا+ول( ''! ب اI ا ا [ )ا ا9- +9 .'ةSI! ا1 !'HIا! ا+ف آ''! ب اP ن أنtا :#+ وـــــــــــــ،©, , ∈ : \' © د:اذ > ∆ 0 G : 2• ب ا !¥!¦ *! * S !§*!¨ © !# >*!§ * S !§*!¨ ª * S !§*!¨ :#+ , F=N-p.E boussayoud-ali.e-monsite.com Page 13 ق ب ات ا ا > &> ( > : > ا> ا !*& آ# :3.5 !' > 0 1 'uء ا/0 " ا √A∆ و G "'"1ء ا/0 ا4*# 4 A¥ G : \' :&' ـــــــ/*'ــــPو n=1 * :Pأو ة+" ` اP j ل4 SYP !1 ا% ه *! * S!*!dx اN أ:10.5 ل i! >i! iS !i! dx > iS!i! dx √ = lnx > x 1 > :!9 # !# G !¥!¦ √ S √V S¬J£ ! √V :#+ >i! arctan R √ W cte > اSY# وايP4ع اJ & اn' , ا ا:1.5 ;ة7ا # 2N Mp 2 > lnx px q b µ ´ 2 G ¥ ¦ √∆ √∆ 9.5 ل4* !'HIا! ا+ ا+B أو:7+8A ل 1 1 > 2 1 > 1 1 > 1 ¶b| 1| 2 √3 b ´ 2 1 √3 µ n>1 * :T ي0P !# G !¥!¦ > اSY# وايP4ع اJ & اn' , ب ا ا1 :2.5 ;ة7ا :!'! ا9 ا1 x=& ( : ا*)' ا#+,- # 1 Mβ N dt G ¥ ¦ 2n 1 G ¥ ¦AI α>9A t > 19 د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 14 ق ب ات ا ا :-t آx%A وx% &' !9 1 x% !./0 P j ، x% S » :FQP º ! x% ¹º 1 2b 3x%A L ¼: x arctan F > 2b 1 1%A s S : اN أ:11.5 ل i !>i!S iA¹i ½ # : ! اا= ا&! ــ-6-2 ! ــ# آFاJ- ! ودة & ا> * ¾ إ+1*' اi ب اتQ# ه أ+#P * ')* ا#+,- *ل O¿ * وÀ * :FQP !y { ! * ! ln Á ! Á :Oو * :FQP :1.6ل إذن * ln1 * ln 1 * * !y { * y S{! :2.6ل 1 1 1 1 ln|| ln|4 > | >* > > 4 4 4 4 4 4 8 ln4 >* à :!% ! اا= ا-7-2 رة ا, ضJP و * > 1 > cos , 1 > د:اذ ')* ا#+,- 'نI اNi * أP FاJ ا% ه4 !* :!'ت ا9 وsin وcos : *ا sin 2 2 , 1 > 1 > boussayoud-ali.e-monsite.com Page 15 ق ب ات ا ا :!أ 1- ÄÅ9 * * 2- ÈÉÄ * * S ÆÇ £JÇS SÇ £JÇS S ÆÇ £JÇS £zÇS £JÇS > ln|| A S A ! ln Á ! A 1 R W 2 ln Ê Ê 1 R2W Á MopË pr # ع0 ا1 2 ب ا-1-7-2 :&' /'*P ن1'1H دان+ Ì وb \' ^_ Í _ab% ب ا1 :!''! ا44*! ا9 * اP 'نB زوÌ وb -1 sin> cos > 1 cos 2 2 1 cos 2 2 N YZ1 أوN [\Y : ا*)'ا#+,- * P PK B زوStه* دي و ا+ إذا آن أ-2 sin> AÈÉÄ >* I cos > sin> اN أ:1.7ل cos > > !ÈÉÄ >* > #+ 1 1 1 1 cos 4 1 I 1 cos > 2 ´ µ 1 cos 4 4 4 2 2 8 cos > 2 R !ÈÉÄ * I د:اذ à R ÄÅ9 * W boussayoud-ali.e-monsite.com > W : ــــــ أنP :Oوــــــــــــ Page 16 ق ب ات ا ا I cos sin> cos > sin> cos :2.7ل cos ÏÐÀ sin s 1 > > > :FـــــــQP T sin sinT 3 5 3 5 YZ1 Ñ YZ1 Ò # \[ وY Ñ [\Y Ò # \[ وY Ñ YZ1 Ò # ع0 ا1 2 ب ا-2-7-2 :!''! ا44*! ا9 * اP !1 ا% ه 1 cos sin sin sin 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 :!4أ 1- cos 5 sin 3 sin 8 sin 2 > ÈÉÄ >* ÈÉÄ Ã* Ó 2- cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 sin 6 sin 2 > > :!&رV$ ! اا= ا8-2 عB إر-Y# *' أو'! و! ىFاJ- ! إ#ر0 اFاJ ع آ! اتB' ا**& إرi & OPإ .! .* ا*)'ا#+,- ا! ا*لJ 2! وذ# ت دوال آ- ! إ#ر0 ات ا ∫ f ( x, x p1 / q1 , x p2 / q2 ,K , x pn / qn ) dx :2W ا1 ات-1-8-2 !'',$ اد+ أq1,p1,q2,p2………,qn,pn \' !"$P ! داf& x= tk :FQP د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com ∀ i = 1,K , n ; q i ≠ 0 :\ ُ ' Page 17 ق ب ات ا ا pn p 2 p1 ,K K , , qn q 2 q1 رJ ا*"م ا*>كJ هk \ ُ ' ( q , K K , q , q ) ِـــHI@ ا*>ك اQ* اJ هk ) أي n 2 1 ا اN أ:1.8ل 1 dx x +3 x I= ∫ 1 6 dx = 6 t 5 dt ( وt = x ) x = t 6 :FــــــــــــــــــــــــQP : & ا>ــــــــa,# و ا I =6∫ t5 t3+ t 2 dt = 6 ∫ t3 dt = 6 ∫ t t+1 2 − t +1− 1 dt t+1 =6 t3 t2 −6 + 6 t − ln 1 + t + c , c ∈ IR 3 2 =2 x − 3 3 x + 6 6 x − ln 1 + 6 x + c ax + b p 1 / q 1 ax + b p 2 , ∫ f x , cx + d cx + d / q2 ax + b ,K , cx + d pn / qn dx :2W ا1 ات- 2-8-2 : !'',$ اد+ أq1,p1,q2,p2………,qn,pn \' !"$P ! داf& ُ ' ∀ i = 1 , K , n ; q i ≠ 0 :\ ax + b =t cx + d k :FـــــــQP pn p p رJ ا*"م ا*>كJه ,KK , 2 , 1 qn q 2 q1 ُ ' k :\ .( q , K K , q , q ) ِـــHI@ ا*>ك اQ* اJ هk ) أي n 2 1 د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 18 ق ب ات ا ا : ا اN أ:2.8ل 1 2 x −1 − I= ∫ 4 dx 2 x −1 dx = 2 t 3 dt و ــــــt 4 = 2 x − 1 :FــــــQP :> ــــــــــ اa,# اO و t2 1 2t 3 dt = 2 ∫ t + 1 + dt = 2 dt I=∫ 2 ∫ t −1 t −1 t −t = ( t + 1 ) 2 + 2 ln t − 1 + c , c ∈ IR ( = 1+ 4 2 x −1 ) + ln ( 2 ُ ' a ≠ 0 F !'"'" اد+ أa , b , c \ 4 2 x −1 −1 ) +c 2 ∫ f (x, ax2 +bx+c)dx :2W ا1 ات-3-8-2 (Euler) رrام )'ات أو+u !"$P ! دا- د إ ب# ب ها ا :FـــــــMJ a > 0 إذا آن:رP أو2&;ـــ+ 5! او7&8( ا1 ax 2 + bx + c = ± a x+t :+0P ا* واة$ F' bx + c = ± 2 a xt + t 2 ⇒ x = t2−c bm 2 at : ا ا, :3.8ل I= ∫ x2 9+ x2 dx 9 + x 2 = − 1.x + t FQP , a =1> 0 *أن t 2 − 9 : 1P O و t2 +9 و x= dx = dt 2t 2t 2 :2ـــــــ آــــــ#+ د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com Page 19 ق ب ات ا ا 9+ x2 =−x+t= t2+9 2t :> & اa,# و ا (t 2 − 9 ) 2 2 2 1 18 81 t2 +9 1 (t + 9 ) 4t 2 dt = ∫ t − + 3 dt I=∫ dt = ∫ 3 2 2 4 t t t 4 t +9 2t 2t = = 1 t4 −3 2 4t2 1 t2 −3 2 2t = 2 . 1 x 2 t − 9 ln t + c 4 2 +3 2t 2 − 9 ln t + c x2+9 − 9 ln x + 2 x 2 + 9 + c , c ∈ IR :FMJ c > 0 إذا آن:رP أو2&; !! ا7&8( ا2 ax 2 + bx + c = xt ± c :+0P ا* واة$ F' ax 2 + bx = x 2 t 2 ± 2 c xt ⇒ x [ x ( a − t 2 ) m 2 ⇒ x= c t + b ]= 0 ± 2 ct−b (a − t 2 ) : ا اN أ:4.8ل I= ∫ 1 x 2 dx +1 x 2 + 1 = xt − 1 = x .t − 1 FQP c = 1> 0 *أن x 2 + 1 = x 2 .t 2 − 2 xt + 1 ⇒ x 2 (1 − t 2 ) + 2 xt = 0 د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com :Oو Page 20 ق ب ات ا ا x=0∨ x= 2t t −1 :أي 2 :+SYP ً .+ x = 2t t2 +1 ⇒ dx = − 2 t 2 −1 (t 2 − 1) 2 dt :2 آ#+ x 2 + 1 = t t 2 2 + 1 − 1 :> & اa,# و ا I = − 2 ∫ t t 2 2 −1 t2 +1 . 2 + 1 (t − 1) 2 dt = − 2 ∫ t+1 = t−1 x 2 x 2 t 2 1 t+1 dt = ln + c t−1 −1 +1 +1+ x = x + x 2 :*أن +1 +1 +1− x : 1P I = ln x + x 2 + 1 + c , c ∈ IR :رP أو2&; !! ا7&8( ا3 ax 2 + bx + c = 0 :!ران "'"'ن *دB α , β إذا آن ax 2 + bx + c = a ( x − α )( x − β ) :أي :FQP ax 2 + bx + c = ( x − α ) t :+0P ا* واة$ F' a β −α t 2 ax + bx + c = a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t ⇒ x = a−t2 2 د:اذ 2 2 boussayoud-ali.e-monsite.com Page 21 ق ب ات ا ا : ا ا, :5.8ل I = ∫ 1 ( x + 1) x 2 dx + 2 x α = 0 , β = − 2 :*ران و هB ,"- x 2 + 2 x = 0 :!ا*د ( x 2 + 2 x = ( x + 2 ).t )أو x 2 + 2 x = x .t x 2 + 2 x = x .t ⇒ x = FQP :أي 2 , t 2 −1 :+0P ً .+ dx = − 4t dt ( t − 1) 2 2 :2 آ#+ x 2 +2x = 2t t 2 +1 , x + 1 = t 2 −1 t 2 −1 :> & اa,# و ا I=∫ t 2 −1 t 2 −1 − 4t 1 . . 2 dt = − 2 ∫ 2 dt = − 2 Arctgt 2 2 t + 1 2 t ( t − 1) t +1 = − 2 Arctg د:اذ boussayoud-ali.e-monsite.com ( x 2 +c +2x ) + c , c ∈ IR x Page 22
© Copyright 2024 ExpyDoc