ق ب ات
ا ا
"! ا#$ ، اق% و& '& ه، ها ا اق ب ات
!'4*وال ا+ ا2 وآ،!#
وال ا+ ا-
ب1 اق2 آ،')* ا#+,- !"#$ ،!./0
.!#ر0وا
!"#$ !% – ا1-2
B و>"=* *ة )& ا@ ( & أD '& ;"ق9 &' و داf & :1.1 !&'
/ / :#+ a,b ∈D
:هن+ا
:و* أن
( f ⋅ g )'
Fِ HI اF اJه
f ⋅g
:#+
( f ⋅ g )'( x) = f '( x)⋅ g ( x) + f ( x)⋅ g '( x), ∀x∈[a,b]
b
∫(
a
:نK
f ⋅ g )' ( x ) dx = [ f ( x ) ⋅ g ( x )] ba
b
= ∫ [ f '( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g '( x )] d x
a
b
b
a
a
= ∫ f '( x ) ⋅ g ( x ) dx + ∫ f ( x ) ⋅ g '( x ) dx
:أي أن
b
∫
a
b
f ( x ) g '( x ) dx = [ f ( x ) g ( x )] ba − ∫ f '( x ) g ( x ) dx
a
: FMJ
g ( x ) = Arctg ( x )
f '( x ) =1
د:اذ
1
∫
0
Arctg ( x ) dx
: اN
أ:1.1 ل
1
g '( x ) =
1+ x 2
f ( x ) = x
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 1
ق ب ات
ا ا
: 1P ،!./0 *ل اO و
1
∫
0
x
dx
2
0 1+ x
1
Arctg ( x ) dx =[ xArctg ( x )]10 − ∫
1
=1 . Arctg (1) − 0 . Arctg (0 ) − [ln( 1+ x 2 )]10
2
1
π 1
= Arctg (1) − ln 2 = − ln 2
2
4 2
1
∫ ln( 1 +
0
:FQP
x ) dx
: اN
أ:2.1 ل
1
g '( x ) =
1+ x
f ( x ) = x
g ( x ) = ln(1 + x )
f ' ( x ) =1
: 1P ،!./0 *ل اO و
1
∫ ln(1+ x ) dx = [ x
0
x
dx
0 1+ x
1
ln(1+ x )]10 − ∫
1 1
1
−1+1+ x
dx = ln 2 + ∫
dx − ∫ dx
0 1+ x
0 1+ x
0
1
= ln 2 − ∫
= ln 2 +[ln(1+ x) − x]10
= 2 ln 2−1
:FMJو
g ( x ) = ln
f '( x ) = 1
x >0
2
x
B& أ
∫ ln
2
xdx اN
أ:3.1 ل
2
g ' ( x ) = ln x
x
f ( x ) = x
: 1P ،!./0 *ل اO و
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 2
ق ب ات
ا ا
∫ ln
2
2
xdx = x. ln 2 x − ∫ .x. ln xdx
x
= x. ln 2 x − 2 ∫ ln xdx … (1)
:
g ( x ) = ln x
f '( x ) =1
⇒
x >0
B ∫ & أln xdx
: اN
1
1
g '( x ) =
x
f ( x ) = x
: 1P ,ىS! ًة أ./0 *ل اO و
∫ ln xdx = x. ln x − ∫
1
.xdx
x
= x. ln x − x + c … (2)
: 1P (2) ( و1) !9& ا
∫ ln
2
xdx = x. ln 2 x + 2 x.(1− ln x ) + c
:#+ ! ! :1.1 !'
ln
ln
!"
# ع0 ا1 2 – ب ا2-2
ـــــــHI اF* ب اــــــــ# &'"'" &#د+ &, ( وn !Bر+ود & ا+ '4 آ$% ,P
2 ،', آX9 وSY- !"# ا%ة ات وه+ !./0 !*اء اBK $% )*!+ ــ
.!'! ا0'[ & اP *& أن#
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 3
ق ب ات
ا ا
*# إذنn !Bر+ود & ا+ '4 آ/% \' ,: . /% )*!+ +C &' :1.2 !$
: أي, / F OP *"ر2 ! وذ$% )*!+
ب ا
01 2342!5 6/ 71 2342!5
:!'! ا9 ا+*P Q 9 x و''& ت
; ; … =
/
> 5
7 A* اN
أ:1.2ل
:\' > 5
7 A* /> A* : 1.2 !0' & ا#+
: `# O'! )*( و9 _*د ا2 وذa,b,c & \1, ، /> > /> /> > 5
7
/
2
> > 5
7
:إذن
:O' وa=-1 ,b=3, c=-4 :+0P !"*
> 5
7 A* > 3
4 A* :!''! اQ" اaMJ Jى آ* هS"! أ# $% )*!+ * ب# *• آ
!9 # $% )*!+ ن اK % E @ & ا$% F إذا آن ا:1.2 !34
!"
# F
/
G
H I
JI
KL !"
MN :!'ا
(1.2 ل4*ل ا
[ )ا4* اbP :2.2 ل
5
7
>
A*
O
G > 5
7 A* R
G /
G
* S AT*!U
د:اذ
A
G G
P
KQ A* /
AS AVW A* >*AT
boussayoud-ali.e-monsite.com
>
I
X O'و
Page 4
ق ب ات
> 5
7 A* > 3
4 A* X إذن
ا ا
YZ152 342 # , [\Y52 342 # ع0 ا1 2 ب ا-3-2
.!'! ا0'[ & اP ! أو./0 &'- آ،ع & اJ
ب ها ا1
ــــHI اF اـــــJ ه,: . ]^_(
`_ab(
)* +C &' :1.3 !$
F , / !P & "ر9P` إ, ] * ب# إذنsinβx ehi أوcosβx ehi :\' _ab(
)* *) (_^ أو
k/ l m "nMop" n mqpr"
s ^_2
A* '& ا9 N
أ:1.3 ل
:&'- !./0 ــــP :5! او7&8ا
f v x eAi
t
gx cos 2x
fx eAi g v x 2 sin 2x
s cos 2
A* 2 A* sin 2
x A* sin 2
f v x eAi
t
gx _ab 2x
fx eAi g v x 2 cos 2x
x sin2x A* 2 A* cos 2
s cos2
A* 2 A* sin 2
4 s
s
y z{
T
2_ab2
^_2
:FQP
:Oوــــــ
:ـــــ
:FـــــQP
:Oو'ــــ
:إذن
:Oوـــ
:!! ا7&8ا
s ^_2
A* ]^_2
`_ab2
A* د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 5
ق ب ات
ا ا
l]^_2
`_ab2
A* v eAi lλ 2µcos2x µ 2λsin2x
s
.] y z{
T
A
T
,` >
T
:ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ1P !"*
2_ab2
^_2
:Oو'ـــــــــــ
::% ا2&;+ !% ا-4-2
g :[α , β ] → [ a , b ] ً *ًا َو- f :[ a , b ]→ IR &' :1.4 !&'
ُ '1 [α , β ] g ( β ) = b َوg (α ) = a \
C1 @H & ً-
:#+ [ وa,b] ل0* *! ا9 t → f [ g (t )] g '(t ) F ٍ ا.+
β
∫
b
f [ g ( t )] g '( t ) dt = ∫ f ( x ) dx
α
a
[α , β ] ل0* * اt → f [ g ( t )] g '( t ) F ا:هن+ا
.ل0* اbP !* 9 J= و
~/ ــH أF- J هF o g Fن اK O [وa,b] f
ِ'ً ـHً أ-
F
ِ &'
:نI
( F o g )' ( t ) = ( F 'o g ). g ' ( t ) = ( f o g ). g '( t ), ∀ t ∈[α , β ]
: `# و
β
∫
α
f [ g ( t )] g '( t ) dt = ( F o g )( β ) − ( F o g )( α )
= F [ g ( β )] − F [ g (α )]
b
= F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx
a
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 6
ق ب ات
ا ا
4
∫
2
1
dx
x ln x
اN
أ:2.4 ل
t = ln x ⇒ x = e t = g (t ) ⇒ dx = e t dt
: FMJ
x = 2 → t = ln 2
x = 4 → t = ln 4
4
∫
2
ln 4 1
ln 4 1
1
4
dx = ∫ t e t dt = ∫ dt =[ln( t )] ln
ln 2
ln 2 te
ln 2 t
x ln x
= ln(ln 4 ) − ln(ln 2 ) = ln
2 ln 2
= ln 2
ln 2
π
2
3
∫ sin
0
π
π
2
2
0
0
:#+ نJ# O'و
xdx
: إذن
اN
أ2.4 ل
: I = ∫ sin 3 xdx = ∫ sin 2 x. sin xdx
π
2
= ∫ (1 − cos
2
x ) sin xdx
0
t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx
x = 0 → t =1
x=
π
2
: FMJ
→t=0
0
1
1
0
: O'و
I = − ∫ (1− t 2 ) dt = ∫ (1− t 2 ) dt
t3 1 2
= [t − ]0 =
3
3
: s : 3.4 ل
!y S{
y{
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 7
ق ب ات
ا ا
* * s
! S
:
: s * :
:
a
∫ f
−a
a
f
F( إذا آن ا1
:نK ً#د
f
F( إذا آن ا2
%ً و دور#دور
f
F( إذا آن ا3
0
a
∫ f
−a
a +T
∫
a
:نK ً'Bزو
( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
( x ) dx = 0
T
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
:نK
0
T
:هن+ا
a
∫ f
−a
0
a
−a
0
( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx :#+ (1
:+0P
0
∫ f
−a
0
a
a
0
x = −t
( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt
:نK B زوF-
a
∫
0
a
f ( − t ) dt = ∫ f (t ) dt ⇒
0
a
∫ f
−a
د:اذ
FMJ
a
∫ f
−a
f
و *أن
a
( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
0
0
a
−a
0
( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx : ـــــ#+ (2
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 8
ق ب ات
ا ا
:+0P
0
∫ f
−a
0
a
a
0
( x ) dx = − ∫ f ( − t ) dt = ∫ f ( − t ) dt
:نK ديF-
a
∫
0
FMJ
x = −t
a
f ( − t ) dt = − ∫ f ( t ) dt ⇒
0
a
∫ f
−a
( x ) dx =
a
∫
0
f ( x ) dx −
a
∫
0
f
و *أن
f ( x ) dx = 0
:#+ (3
a +T
∫
a
0
T
a
0
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx +
T +a
∫
T
f ( x ) dx
:+0P x = t + T FMJ
x =T ⇒ t = 0
x =T + a ⇒ t = a
T +a
∫
T
a +T
∫
a
a
a
0
0
: نK دوريF- f و* أن
f ( x ) dx = ∫ f (t + T ) dt = ∫ f (t ) dt
0
T
a
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx : و
0
a
=
T
∫
0
0
f ( x ) dx
:!& ! اا= ا-5-2
. l
!#
اFاJ ا"ة ا% ه
!70@? ار اA -1-5-2
:1.5 B&A
. *=- &'#ود+ &'- P,Q \'
د:اذ
*
*
>رة & ا, [ آ$P
* آP
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 9
ق ب ات
ا ا
:2.5B&A
J"Pل & ا Fا
ي
.degP<degQ
ل :1.5
!*
>iS !iA
*
*
أ OPآ
دي إذا آ XPدر P(x) !Bأ & 9در Q(x) !Bأي:
آ
دي ،
*>! *
* S A
آ
'iدي.
) :1.5 !CDا"
*! ا_(!#+'9
'& ) P(x),Q(xآ'4ي +ود & ، /
0 \'lإذن !'.j +BJ-و'+ة
. ; :["1- l
&
,و +.+ M(x) *
#اF
ا+1ودي /0ء ا a'1ا [$و 9, N(x) *
#ا"
*! ا_ .!#+9إذ *#ـــــــــ& آ O
;
ا>ــــــــــــ:
;
'\:
*
*
آ
دي.
'! #J1 :1.5آ Fدي إ آ دي J"Pم BKاء ا"
*! ا_ +1 !#+'9ا Iدر!B
ـ ) P(xا +1ا Iدر !Bـ )Q(x
ل :2.5أآ f(x) Nا>
و': O
>!** S A
&' :3.5 B&A
*
*
*
*
'\ :
>* V A>* S A*A
>!** S A
، 1إذن M(x)= x+1, N(x)=-4 :
*
*
=) f(xآ
[$Pدي و P,Qأو'ن '* '=*.
-1آـــــ Bــر ـ ) *
# P(xـ )f(x
-2آــــ Bـــر ـ ) N" *
# Q(xـ )f(x
"P -3ـــJل & a0أ N9) H =PاJا( ) & f(xدر n !Bإذا :["1-
$% 0, $%! 0
اJا:
ل ,P :3.5اF
Page 10
!*
/% 0, /%! 0
>!** S A
'\$
1, /
> 3
2 :
boussayoud-ali.e-monsite.com
اذ :د
ق ب ات
ا ا
.f(x) ب ــ9 أ2 ،1 و، f(x) F H & رة,(-1) أنmP
*A*
.ولI( اn*ع )اJ
'! & ا, اH
H
* اP :4.5 B&A
.ولIع اJ & اn'
.P4( اn*ع )اJ
'! & ا, اH (p2-4q<0) F
*!
iS !i!
.P4ع اJ & اn'
>
*A>V
F ا:4.5 ل
H
* اP :5.5 B&A
*!
* S A*!
F ا:5.5 ل
(!'
H آ
دي إ2'-) :1.5 !&'
:\ ـــــ'ــــd° $ ° / ـــــــــ,P
Q ( x ) = ( x − x1 )
m1
(x− x
2)
⋅(x 2
m2
L( x − xk )
+ p2 x+ q2 )
p2
mk
( x 2 + p1 x + q1 )
L (x 2 + ps x + qs )
p1
ps
1<j<s / > 4 0 : Fــــــ
: ا> اN# P [$ ٍ ا
ا.+
Q
A1 m
P (x)
A 11
A 12
1
=
+
+
L
L
+
2
m
Q ( x ) x − x1 ( x − x1 )
( x − x1 ) 1
+
A2m 2
A 21
A 22
+
+
L
L
+
m
x − x2 (x − x2 )2
(x − x2 ) 2
+L L L L L L L L L L L L L
+
+
د:اذ
A km k
Ak1
Ak 2
+
+
L
L
+
m
x − xk (x − xk )2
(x − xk ) k
M 1l x + N 1l
M 11 x + N 11
M 12 x + N 12
1
1
+
+
L
+
l
2
x 2 + p1 x + q1 ( x 2 + p1 x + q1 ) 2
( x + p1 x + q1 ) 1
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 11
ق ب ات
ا ا
+
M 2l2 x + N 2l2
M 21 x + N 21
M 22 x + N 22
+
+
L
+
l
x 2 + p2 x + q2 (x 2 + p2 x + q2 )2
(x2 + p2 x+ q2) 2
+LLLLLLLLLLLLLLLLLL
+
M sl x + N sl
M s1 x + N s1
M s2 x + N s2
s
s
+
+
L
+
2
2
2
l
2
x + psx+ qs (x + psx+ qs)
(x + psx+ qs) s
. M,N, A :
.!"* !"
ا\ اJ4''& ا- # :2.5!'
!8+ اC0 !&@? ار ادA !@ ق8 اH 2-5-2
% إ ا"'ت وهY0P 2 X9J! اMر وإJI ا+'"- ذي إp# ا*"ت+'J- 'نI ا
ا"'ت% هSY \' ،( ا*"ت+'J Y0P *& أن#) = Y0P "! ا#* ه ا. داX
' ا"'ت
.N
= ا= ا# ! آ4 ; أ
. رة & آ
دي, f(x) #+ ، *!* S
*!
= …
*A
¡
*A>
¢
*!
A*!>
ا2 :6.5 ل
:O' و، > 3
2 1
2 : أنmP
A= -(2/5) :+0P x=1 ض ـJP( وx-1) = بQP : Aد$&إ
B= 1/2:+0P x=2 ض ـJP( وx-2) = بQP : Bد$&إ
C=- (1/10):+0P x=-4 ض ـJP( وx+4) = بQP : Cد$&إ
.رة & آ
دي, f(x) #+ ،
*!
¡£
*AS
¡S
*A
… =
*!
*!*AS
ا2 :7.5 ل
: اJ1 ا2# f(x) نK O'و
.A= ½ :+0P x= -1 ض ـJP( وx+1) = بQP : Aد$&إ
.B1= 2 :+0P x=1 ض ـJP( وx-1)2 = بQP : B1د$&إ
B2=- A :.+ +0P !#=P r ول إp# x * !#= اS+P j x = بQP : B2د$&إ
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 12
ق ب ات
ا ا
B2=- A : +0P x=0 :4 @#! اJ*0 * ا- !*'" x ضJP B2 د0#_ ىS"! أ#$
.رة & آ
دي, f(x) #+ ، .
£
*A>V
S
*A>S
V
*A>
* S !
*A>V
ا2 :8.5 ل
: اJ1 ا2# f(x) نK O'و
A1=5, A2=4, A3=1 :+0P &'- x-2 x2+1 ! ــ#+9_اء ا"
*! اBK
.رة & آ
دي, f(x) #+ ، *A* S
* S !>*
=
*A
*!
* S !*!
!*!
: 9.5 ل
: اJ1 ا2# f(x) O' و، ∆ 3 0 #+ ىS=! أB &
A= 1 :+0P x= 1 ض ـJP( وx-1) = بQP : Aد$&إ
N=A 1P = x=0 ب ــQP : Nد$&إ
.M=1-A : .+ +0P !#=P r ول إp# x * !#= اS+P j x = بQP : Mد$&إ
(!C! ) ا;ا! ا70 ! ار ا-3-5-2
: اJ1 اFاJ- عJ*0 ; l
2# f(x) " أن#رأ
.ود+ '4 F- -1
.ولIع اJ '! & اH -2
.P4ع اJ '! & اH -3
.!"
! ا44ت اr1 !'HIوال ا+
ب ا1 PدJ"# f(x) ـــHI اF
ب ا1
' " ،!'P4و واI! ا1 !'HIوال ا+ول( ''! ب اI ا ا
[ )ا ا9- +9
.'ةSI! ا1 !'HIا! ا+ف آ''! ب اP ن أنtا
:#+ وـــــــــــــ،©, , ∈ : \'
©
د:اذ
>
∆ 0 G
: 2• ب ا
!¥!¦
*!
* S !§*!¨
©
!#
>*!§
* S !§*!¨
ª
* S !§*!¨
:#+
, F=N-p.E
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 13
ق ب ات
ا ا
>
&> ( > : > ا> ا !*& آ# :3.5 !'
>
0 1 'uء ا/0 " ا
√A∆
و
G
"'"1ء ا/0 ا4*# 4 A¥
G
: \'
:&' ـــــــ/*'ــــPو
n=1 * :Pأو
ة+"
` اP j ل4 SYP !1 ا% ه
*!
* S!*!dx اN
أ:10.5 ل
i!
>i!
iS !i! dx > iS!i! dx √ = lnx > x 1 >
:!9 # !#
G !¥!¦
√
S
√V
S¬J£
!
√V
:#+
>i!
arctan R
√
W cte
> اSY# وايP4ع اJ & اn'
, ا ا:1.5 ;ة7ا
#
2N Mp
2
>
lnx
px
q
b
µ ´
2
G ¥ ¦
√∆
√∆
9.5 ل4* !'HIا! ا+ ا+B أو:7+8A ل
1
1
> 2
1
> 1
1
> 1
¶b|
1| 2
√3
b ´
2
1
√3
µ
n>1 * :T
ي0P !#
G !¥!¦
> اSY# وايP4ع اJ & اn'
,
ب ا ا1 :2.5 ;ة7ا
:!'! ا9 ا1 x=& ( : ا*)' ا#+,-
#
1
Mβ N
dt
G ¥ ¦ 2n 1 G ¥ ¦AI
α>9A
t > 19
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 14
ق ب ات
ا ا
:-t آx%A وx% &' !9 1 x% !./0 P j ، x% S » :FQP
º !
x% ¹º
1
2b 3x%A L ¼: x arctan F >
2b 1 1%A
s S
: اN
أ:11.5 ل
i !>i!S
iA¹i
½ # : ! اا= ا&! ــ-6-2
! ــ#
آFاJ- ! ودة & ا> * ¾ إ+1*' اi ب اتQ# ه أ+#P
* ')* ا#+,- *ل
O¿ * وÀ * :FQP
!y { ! *
!
ln Á
!
Á
:Oو
* :FQP
:1.6ل
إذن
*
ln1 * ln
1 *
*
!y {
*
y S{!
:2.6ل
1 1
1
1
ln||
ln|4 > | >*
>
>
4
4 4 4 4
4
8
ln4 >*
Ã
:!% ! اا= ا-7-2
رة ا, ضJP و
*
>
1 >
cos ,
1 >
د:اذ
')* ا#+,- 'نI اNi
* أP FاJ ا% ه4 !*
:!'ت ا9 وsin وcos : *ا
sin 2
2 ,
1 >
1 >
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 15
ق ب ات
ا ا
:!أ
1- ÄÅ9 *
*
2- ÈÉÄ *
*
S ÆÇ
£JÇS
SÇ
£JÇS
S ÆÇ
£JÇS
£zÇS
£JÇS
>
ln|| A S
A
!
ln Á
!
A
1 R W
2
ln Ê
Ê 1 R2W
Á MopË pr # ع0 ا1 2 ب ا-1-7-2
:&' /'*P ن1'1H دان+ Ì وb
\' ^_ Í _ab%
ب ا1
:!''! ا44*! ا9
* اP 'نB زوÌ وb -1
sin> cos > 1 cos 2
2
1 cos 2
2
N YZ1 أوN [\Y : ا*)'ا#+,- *
P PK B زوStه* دي و ا+ إذا آن أ-2
sin> AÈÉÄ >*
I cos > sin> اN
أ:1.7ل
cos > >
!ÈÉÄ >*
>
#+
1
1 1
1 cos 4
1
I 1 cos > 2
´
µ 1 cos 4
4
4 2
2
8
cos > 2
R
!ÈÉÄ *
I
د:اذ
Ã
R
ÄÅ9 *
W boussayoud-ali.e-monsite.com
>
W
: ــــــ أنP
:Oوــــــــــــ
Page 16
ق ب ات
ا ا
I cos sin> cos > sin> cos :2.7ل
cos ÏÐÀ sin s 1 > > > :FـــــــQP
T
sin sinT 3
5
3
5
YZ1 Ñ YZ1 Ò # \[ وY Ñ [\Y Ò # \[ وY Ñ YZ1 Ò #
ع0 ا1 2 ب ا-2-7-2
:!''! ا44*! ا9
* اP !1 ا% ه
1
cos sin sin sin 2
1
cos cos cos cos 2
1
sin sin cos cos 2
:!4أ
1- cos 5
sin 3
sin 8
sin 2
>
ÈÉÄ >*
ÈÉÄ Ã*
Ó
2- cos 2
cos 4
cos 6
cos 2
sin 6
sin 2
>
>
:!&رV$ ! اا= ا8-2
عB إر-Y# *' أو'! و! ىFاJ- ! إ#ر0 اFاJ ع آ! اتB' ا**& إرi & OPإ
.! .* ا*)'ا#+,- ا! ا*لJ 2! وذ#
ت دوال آ- ! إ#ر0 ات ا
∫ f ( x, x
p1 / q1
,
x
p2 / q2
,K , x
pn / qn
) dx :2W ا1 ات-1-8-2
!'',$ اد+ أq1,p1,q2,p2………,qn,pn \' !"$P ! داf&
x= tk :FQP
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
∀ i = 1,K , n ; q
i
≠ 0
:\
ُ '
Page 17
ق ب ات
ا ا
pn
p 2 p1
,K K ,
,
qn
q 2 q1
رJ
ا*"م ا*>كJ هk \
ُ '
( q , K K , q , q ) ِـــHI@ ا*>ك اQ* اJ هk ) أي
n
2
1
ا اN
أ:1.8ل
1
dx
x +3 x
I= ∫
1
6
dx = 6 t 5 dt ( وt = x ) x = t 6 :FــــــــــــــــــــــــQP
: & ا>ــــــــa,# و ا
I =6∫
t5
t3+ t
2
dt = 6 ∫
t3
dt = 6 ∫ t
t+1
2
− t +1−
1
dt
t+1
=6
t3
t2
−6
+ 6 t − ln 1 + t + c , c ∈ IR
3
2
=2
x − 3 3 x + 6 6 x − ln 1 + 6 x + c
ax + b p 1 / q 1 ax + b p 2
,
∫ f x ,
cx + d
cx + d
/ q2
ax + b
,K ,
cx + d
pn / qn
dx
:2W ا1 ات- 2-8-2
: !'',$ اد+ أq1,p1,q2,p2………,qn,pn \' !"$P ! داf&
ُ '
∀ i = 1 , K , n ; q i ≠ 0 :\
ax + b
=t
cx + d
k
:FـــــــQP
pn
p
p رJ
ا*"م ا*>كJه
,KK , 2 , 1
qn
q 2 q1
ُ '
k :\
.( q , K K , q , q ) ِـــHI@ ا*>ك اQ* اJ هk ) أي
n
2
1
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 18
ق ب ات
ا ا
: ا اN
أ:2.8ل
1
2 x −1 −
I= ∫
4
dx
2 x −1
dx = 2 t 3 dt و ــــــt 4 = 2 x − 1
:FــــــQP
:> ــــــــــ اa,# اO و
t2
1
2t 3
dt = 2 ∫ t + 1 +
dt
=
2
dt
I=∫ 2
∫
t −1
t −1
t −t
= ( t + 1 ) 2 + 2 ln t − 1 + c , c ∈ IR
(
= 1+
4
2 x −1
) + ln (
2
ُ '
a ≠ 0 F !'"'" اد+ أa , b , c \
4
2 x −1 −1
) +c
2
∫ f (x, ax2 +bx+c)dx :2W ا1 ات-3-8-2
(Euler) رrام )'ات أو+u !"$P ! دا- د إ ب#
ب ها ا
:FـــــــMJ a > 0 إذا آن:رP أو2&;ـــ+ 5! او7&8( ا1
ax 2 + bx + c = ±
a x+t
:+0P ا*
واة$ F'
bx + c = ± 2
a xt + t 2 ⇒ x =
t2−c
bm 2 at
: ا ا, :3.8ل
I= ∫
x2
9+ x2
dx
9 + x 2 = − 1.x + t
FQP , a =1> 0 *أن
t 2 − 9 : 1P O و
t2 +9
و
x=
dx =
dt
2t
2t 2
:2ـــــــ آــــــ#+
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 19
ق ب ات
ا ا
9+ x2 =−x+t=
t2+9
2t
:> & اa,# و ا
(t 2 − 9 ) 2
2
2
1 18 81
t2 +9
1 (t + 9 )
4t 2
dt = ∫ t −
+ 3 dt
I=∫
dt
=
∫
3
2
2
4
t
t
t
4
t +9
2t
2t
=
=
1 t4 −3
2 4t2
1 t2 −3
2
2t
=
2
.
1
x
2
t
− 9 ln t + c
4
2
+3
2t
2
− 9 ln t + c
x2+9 −
9
ln x +
2
x 2 + 9 + c , c ∈ IR
:FMJ c > 0 إذا آن:رP أو2&; !! ا7&8( ا2
ax 2 + bx + c = xt ±
c
:+0P ا*
واة$ F'
ax
2
+ bx = x 2 t 2 ± 2
c xt ⇒ x [ x ( a − t 2 ) m 2
⇒ x=
c t + b ]= 0
± 2 ct−b
(a − t 2 )
: ا اN
أ:4.8ل
I= ∫
1
x
2
dx
+1
x 2 + 1 = xt −
1 = x .t − 1
FQP c = 1> 0 *أن
x 2 + 1 = x 2 .t 2 − 2 xt + 1 ⇒ x 2 (1 − t 2 ) + 2 xt = 0
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
:Oو
Page 20
ق ب ات
ا ا
x=0∨ x=
2t
t −1
:أي
2
:+SYP ً .+
x =
2t
t2 +1
⇒
dx
=
−
2
t 2 −1
(t 2 − 1)
2
dt
:2 آ#+
x
2
+ 1 =
t
t
2
2
+ 1
− 1
:> & اa,# و ا
I = − 2 ∫
t
t
2
2
−1
t2 +1
. 2
+ 1 (t − 1)
2
dt = − 2 ∫
t+1
=
t−1
x
2
x
2
t
2
1
t+1
dt = ln
+ c
t−1
−1
+1 +1+ x
= x +
x
2
:*أن
+1
+1 +1− x
: 1P
I = ln x +
x
2
+ 1 + c , c ∈ IR
:رP أو2&; !! ا7&8( ا3
ax
2
+ bx + c = 0
:!ران "'"'ن *دB α , β إذا آن
ax
2
+ bx + c = a ( x − α )( x − β ) :أي
:FQP
ax 2 + bx + c = ( x − α ) t
:+0P ا*
واة$ F'
a β −α t 2
ax + bx + c = a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t ⇒ x =
a−t2
2
د:اذ
2 2
boussayoud-ali.e-monsite.com
Page 21
ق ب ات
ا ا
: ا ا, :5.8ل
I = ∫
1
( x + 1)
x
2
dx
+ 2 x
α = 0 , β = − 2 :*ران و هB ,"- x 2 + 2 x = 0 :!ا*د
(
x 2 + 2 x = ( x + 2 ).t )أو
x 2 + 2 x = x .t
x 2 + 2 x = x .t ⇒ x =
FQP
:أي
2
,
t 2 −1
:+0P ً .+
dx =
− 4t
dt
( t − 1) 2
2
:2 آ#+
x
2
+2x =
2t
t 2 +1
,
x
+
1
=
t 2 −1
t 2 −1
:> & اa,# و ا
I=∫
t 2 −1 t 2 −1
− 4t
1
.
. 2
dt = − 2 ∫ 2
dt = − 2 Arctgt
2
2
t + 1 2 t ( t − 1)
t +1
= − 2 Arctg
د:اذ
boussayoud-ali.e-monsite.com
(
x
2
+c
+2x
) + c , c ∈ IR
x
Page 22
© Copyright 2026 ExpyDoc
