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LCD Physique 1BC
20/09/14
A0 Mathématiques
A1 Grandeurs cinématiques
1
A. Cinématique et dynamique
A0. Resumé de mathématiques
a) Dérivée
f ( x  h)  f ( x)
h
x( t  t )  x( t )
Notations physiques pour x(t):
x' ( t )  lim t 0
t

x dx
devient
x  lim t 0

t
dt
Dérivée de f(x) au point x:
f ' ( x)  lim h0

Si x(t) représente l'évolution d'une coordonnée au cours du temps, la fonction dérivée x (t) se
calcule d'après les règles établies en mathématiques et correspond à l'évolution de la vitesse
instantanée au cours du temps.
Lors d'une étude expérimentale on n'obtient généralement pas la fonction x(t) pour t continu.
La série de mesures donne les valeurs pour x à des instants t=0, , 2,... discrets. On peut alors
calculer une valeur approchée de la vitesse instantanée (=point dérivée) par la formule:

x( t  )  x( t  ) x
v( t )  x( t ) 

2
t
Dans ces notations dx, dt désignent des variations infiniment petites et x, t des petites
variations qui restent mesurables avec une précision suffisante.

Dérivée seconde:
x''(t) = x 
d  dx  d 2 x
 
dt  dt  dt 2
x
Dérivée d'une fonction composée:
(y  x)'(t)  y(x(t))'  y'(x)  x'(t)
dy dy dx


notation physique:
dt dx dt
t
y
x(t)
y(x)
Exercice : x(t)=Asin(·t) et E(x)=½·k·x2
Calculer la dérivée dE/dt
Signification géométrique:
y=f(x)
y
La dérivée f ' au point x0 donne la pente a
de la tangente à la courbe y=f(x) au point
d'abscisse x0.
y=a·x+b
a=f '(x0)
Si on prend la même échelle sur les 2
axes Ox et Oy, la pente a peut s'exprimer
à l'aide de l'angle d'inclinaison 
a = y/x= tan 
a= y/x
y
x
O
x0
x
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b) Primitive
Parfois on connaît f(t) et on cherche une fonction F(t) tel que F'(t)=f(t). Dans ce cas F(t) est
une primitive de f(t). L'ensemble des primitives de f est formé par les fonctions F(t) + C. En
physique la constante C est déterminée par les conditions initiales à l'instant t=0.
On note: f ( t )  F'( t )  F( t )   f ( t )  dt
Intégration = rechercher la primitive = opération réciproque de la dérivation
Signification géométrique:
L'aire délimitée par la courbe
f(x) entre les points xA et xB
correspond à la variation de la
primitive entre ces points.
On note:
Aire  somme des aires
rectangulaires
y
Aire rectangulaire = f(x)·dx
xB
  f ( x)dx
xA
xB
Aire 
Aire totale= F(xB) - F(xA)
 f ( x)dx
xA
  F( x) x  F( x B )  F( x A )
xB
A
O
xA
xB
dx
TABLEAU des DERIVEES et PRIMITIVES utiles en PHYSIQUE
primitive F(t)
a·t
fonction f(t)
a
dérivée f '(t)
0
a·t + b
a
tn
n  t ( n 1)
- 1a  cos(a  t  b)
sin(a·t+b)
a·cos(a·t+b)
 sin(a  t  b)
cos(a·t+b)
-a·sin(a·t+b)
et
et
et
ln t
1
t

1
2
 a  t 2 + b·t+ C
1
n 1
1
a
 t n 1
1
t2
x
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Rappel 2e selon cours LRSL
A1
a) Repère cartésien
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b) Base de Frenet
(suite manuscrite : s abscisse curviligne, ⃗ en coordonnées de Frenet, ⃗ en coord. de Frenet)
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