LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques A1 Grandeurs cinématiques 1 A. Cinématique et dynamique A0. Resumé de mathématiques a) Dérivée f ( x h) f ( x) h x( t t ) x( t ) Notations physiques pour x(t): x' ( t ) lim t 0 t x dx devient x lim t 0 t dt Dérivée de f(x) au point x: f ' ( x) lim h0 Si x(t) représente l'évolution d'une coordonnée au cours du temps, la fonction dérivée x (t) se calcule d'après les règles établies en mathématiques et correspond à l'évolution de la vitesse instantanée au cours du temps. Lors d'une étude expérimentale on n'obtient généralement pas la fonction x(t) pour t continu. La série de mesures donne les valeurs pour x à des instants t=0, , 2,... discrets. On peut alors calculer une valeur approchée de la vitesse instantanée (=point dérivée) par la formule: x( t ) x( t ) x v( t ) x( t ) 2 t Dans ces notations dx, dt désignent des variations infiniment petites et x, t des petites variations qui restent mesurables avec une précision suffisante. Dérivée seconde: x''(t) = x d dx d 2 x dt dt dt 2 x Dérivée d'une fonction composée: (y x)'(t) y(x(t))' y'(x) x'(t) dy dy dx notation physique: dt dx dt t y x(t) y(x) Exercice : x(t)=Asin(·t) et E(x)=½·k·x2 Calculer la dérivée dE/dt Signification géométrique: y=f(x) y La dérivée f ' au point x0 donne la pente a de la tangente à la courbe y=f(x) au point d'abscisse x0. y=a·x+b a=f '(x0) Si on prend la même échelle sur les 2 axes Ox et Oy, la pente a peut s'exprimer à l'aide de l'angle d'inclinaison a = y/x= tan a= y/x y x O x0 x LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques A1 Grandeurs cinématiques 2 b) Primitive Parfois on connaît f(t) et on cherche une fonction F(t) tel que F'(t)=f(t). Dans ce cas F(t) est une primitive de f(t). L'ensemble des primitives de f est formé par les fonctions F(t) + C. En physique la constante C est déterminée par les conditions initiales à l'instant t=0. On note: f ( t ) F'( t ) F( t ) f ( t ) dt Intégration = rechercher la primitive = opération réciproque de la dérivation Signification géométrique: L'aire délimitée par la courbe f(x) entre les points xA et xB correspond à la variation de la primitive entre ces points. On note: Aire somme des aires rectangulaires y Aire rectangulaire = f(x)·dx xB f ( x)dx xA xB Aire Aire totale= F(xB) - F(xA) f ( x)dx xA F( x) x F( x B ) F( x A ) xB A O xA xB dx TABLEAU des DERIVEES et PRIMITIVES utiles en PHYSIQUE primitive F(t) a·t fonction f(t) a dérivée f '(t) 0 a·t + b a tn n t ( n 1) - 1a cos(a t b) sin(a·t+b) a·cos(a·t+b) sin(a t b) cos(a·t+b) -a·sin(a·t+b) et et et ln t 1 t 1 2 a t 2 + b·t+ C 1 n 1 1 a t n 1 1 t2 x LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques Rappel 2e selon cours LRSL A1 a) Repère cartésien A1 Grandeurs cinématiques 3 LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques A1 Grandeurs cinématiques 4 LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques A1 Grandeurs cinématiques 5 LCD Physique 1BC 20/09/14 A0 Mathématiques A1 Grandeurs cinématiques b) Base de Frenet (suite manuscrite : s abscisse curviligne, ⃗ en coordonnées de Frenet, ⃗ en coord. de Frenet) 6
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