UNIVERSITE FHB – UFR SEG -LICENCE 2 -2013 2014
STATISTIQUE ET PROBABILITES / TRAVAUX DIRIGES Fiche N° 1
Lois discrètes
1. Une machine fabrique des pièces qui sont défectueuses 5 fois sur 100. Quelle est la
probabilité que, dans un lot de 10 pièces prises au hasard et numérotées de 1 à 10, on ait :
a) exactement deux pièces défectueuses ;
b) au moins deux pièces défectueuses ;
c) les pièces n0 1 et 2 défectueuses et les autres en bon état.
2. Chacune des pièces électroniques produites par un fabricant a 5% de chances d'être
défectueuse indépendamment des autres. Quelle est la probabilité que dans un échantillon
de 10 pièces électroniques produites par ce fabricant, on ait :
a) aucune pièce défectueuse ?
b) au plus 2 pièces défectueuses?
c) moins de 2 pièces défectueuses ?
d) au moins deux pièces défectueuses?
e) plus de deux pièces défectueuses?
3. Une variable aléatoire X est distribuée selon une loi de Poisson de moyenne 2. Déterminer
a) P(X = 2);
b) P(X > 2) ;
c) L'espérance mathématique de X et son écart – type
4. X suit une loi B(n; p).
a) Ecrire la probabilité que X s'écarte de sa moyenne d'au moins 3 écart – types.
1
b) Faire le calcul pour n=6 et p=
3
5. Au cours d'une expérience sur le comportement des animaux, des rats doivent choisir
entre 4 portes d'apparence identique, dont l'une est dite "bonne" et les 3 autres sont dites
"mauvaises". Chaque fois qu'il choisit une mauvaise porte, le rat reçoit une décharge
électrique désagréable et le rat est ramené à son point de départ, et cela jusqu'à ce qu'il
choisisse la bonne porte.
a) Le rat n'a aucune mémoire : il choisit à chaque essai de façon équiprobable entre les 4
portes. Déterminer la loi de la variable aléatoire X, nombre d'essais effectués par le
rat. Calculer E(X).
b) Le rat a une mémoire parfaite : à chaque nouvel essai, il évite les mauvaises portes
choisies précédemment et il choisit de façon équiprobable entre celles qu'il n'a pas
encore essayées. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y, nombre d'essais effectués
par le rat. Calculer E(Y).
Corrigé T D 4
Exercice 1 – Soit X le nombre de pièces défectueuses dans le lot.
X∈{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Pour une pièce donnée de deux choses l'une : ou elle est défectueuse; ou elle ne l'est pas. On a
affaire à une épreuve de Bernoulli, où le Succès est "la pièce est défectueuse". P(Succès) =
5/100=0,05. L'état des pièces est indépendante l'une à l'autre. X suit une loi Binomiale
B(n=10; p= 0,05).
a) A= "obtenir exactement 2 pièces défectueuses" ⇔ X= 2
2
P(X=2)=C10
(0, 05)2 (0, 95)8 = 0, 0746
b) B= "obtenir au moins deux pièces défectueuses"⇔ X≥2
P(X ≥ 2)=1-P(X<2)=1-P(X ≤ 1)=1- [ P(X=0)+P(X=1)]
= 1 − 0,9510 + 10* 0, 05*0,959 = 1 − 0,9139 = 0, 0861
c) C= "les pièces N°1 &2 sont défectueuses et les autres en bon état..
P(C) = 0, 05² *0, 958 = 0, 0016
Exercice 2 - Soit X le nombre de pièces défectueuses dans le lot.
X ∈{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}; X suit une loi Binomiale B(n=10; p= 0,05).
0
a) P(X=0)=C10
(0, 05)0 (0,95)10 = 0,5987
2
b) P(X ≤ 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,9510 + 10* 0, 051 * 0, 959 + C10
*0, 052 *0,958 = 0, 2633
c) P(X<2)=P(X ≤ 1)=1-P(X ≥ 2)=1-0,9139=0,0861
d) P(X ≥ 2)=1-P(X ≤ 1)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(0,9510 + 10*0,5*0,959 ) = 0, 9139
e) P(X>2)=1-P(X ≤ 2)=1- 0,2633=0,7367
Exercice 3 – On a la loi de X qui s'exprime de la façon suivante :
e-2 2 x
e-2 *22
P(X=x) =
; P(X=2)=
= 0, 2707
x!
2!
e-2 2 e-2 22
-2
0
P(X>2)=1- [ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) ] = 1 − (e * 2 +
+
)= = 1 − 5e-2 = 0, 3233
1
2
E(X) =2=V(X);
σ (X) = 2
Exercice 4- - X suit une loi B(n; p).
a) P( X-E(X) ≥ 3σ ⇒ P(-3σ ≤ X-E(X) ≤ 3σ )=P(E(X)-3σ ≤ X ≤ E(X)+3σ ) .
Or E(X) = n.p
et σ = npq
⇒ On a par conséquent:P( X-E(X) ≥ 3σ )=P(np-3 npq ≤ X ≤ np + 3 npq )
1
6
6
b)si n=6 et p= ; alors la probabilité cherchée s'écrit : P(2≤ X ≤ 2+ ) = P (2 − 2 3 ≤ X ≤ 2 + 2 3) =
3
3
3
P (0 ≤ X ≤ 5, 46) = P (0 ≤ X ≤ 6) = 1
Car X prend toutes les valeurs entières de 0 à 6
Exercice 5 – Soit X le nombre d'essais pour trouver la bonne porte.
a) Le rat n'a pas de mémoire. La probabilité de trouver la bonne porte est à chaque fois
1
3
p= ; et q=1-p= . X prend les valeurs entières : X ∈ {1; 2; 3; . . . . .} . On a une épreuve de
4
4
Bernoulli qui est répétée de façon indépendante jusqu'à obtenir le "Succès" à savoir la bonne
1
1
porte. La loi de X est une loi géométrique G(p=1/4). Et E(X) = =
= 4 . En moyenne le
p 1/ 4
rat fera 4 essais pour sortir.
b) La rat a une mémoire parfaite. Les tirages des portes sont sans remise.
1
3 1 1
3 2 1 1
3 2 1 1 1
P(X=1)= ; P(X=2)= . = ; P(X=3)= . . = ; P(X=4)= . . . =
4
4 3 4
4 3 2 4
4 3 2 1 4
1 + 2 + 3 + 4 10
=
= 2,5
X suit une loi uniforme sur Ω = {1; 2;3; 4} ⇒ E ( X ) = X =
4
4
En moyenne ce rat effectuera 3 essais avant de trouver la bonne porte.
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