Exercices dapplication systèmes ouverts

Exercices d’applications
Exercice 1 :
Calcul du rendement thermodynamique des machines
hydrauliques
1)Pour les fluides réels, montrer que la variation
d’entropie massique s’écrit :
ds = c
p
dT
− α vdp
T
1  ∂V 
α= 
 est le coefficient de dilatation isobare
V  ∂T  P
En déduire l’expression de dh.
Rappel :
δ q = c p dT + kdp
le coefficient k est donné par :
∂v 
k = −T

∂T  P
∂v 
cpdT − T  dP
dT
δq cpdT + kdp
∂T P
ds = =
=
= cp
− αvdp
T
T
T
T
dh = d (u + pv) = du + d ( pv) = δq − pdv+ pdv+ vdp
dh = δq + vdp = c p dT + v (1 − αT ) dp
2) Une pompe idéale fonctionne de manière
isentropique. Elle aspire de l’eau à T0=300K
sous une pression p0=105Pa. Elle la refoule
sous une pression p1=1,5.106Pa.
Calculer la variation de température de l’eau
à la traversée de la pompe et le travail
massique de compression wu à fournir à
l’arbre de la pompe (dit travail utile avec
transvasement).
On négligera les variations d’énergie cinétique
et potentielle de pesanteur.
Bilans en régime permanent d’une pompe :
• bilan de masse : m& s = m& e = m&
c s2
c e2
• bilan d’énergie :
(h s +
+ gz s ) − ( h e +
+ gz e ) = q + w
2
2
Dans une pompe idéale : w p ≈ ve ( Ps − Pe )
( Wp : travail reçu par la pompe)
L’aspiration de l’eau par la pompe idéale est
une transformation isentropique donc :
ds = 0
avec
donne
ds =
δq
T
= cp
dT
− α vdp = 0
T
dT
cp
= α vdp
T
Les variations de température sont faibles,
on peut donc écrire :
δTs
T0
cp
≈ αv(p1 − p 0 ) donne δTs ≈ αv( p1 − p0 )
cp
T0
Application numérique :
v=10-3m3kg-1 ; cp=4180JK-1kg-1 ; α = 1,5.10 −4 K −1
p0=105Pa et p1=1,5.106Pa :
δTs = 0,015K
Travail massique de compression wu à fournir
à l’arbre de la pompe (dit travail utile avec
transvasement) :
wu = ∫ vdp = v f ( p1 − p0 )
Application numérique :
vf =10-3m3kg-1 ; p0=105Pa ; p1=1,5.106Pa
wu = 1400 J/kg
3) Pour une pompe réelle fonctionnant dans les mêmes
conditions d’aspiration (T0, p0) et de refoulement (p1),
on peut conserver l’hypothèse d’un fonctionnement
adiabatique mais on ne peut négliger les frottements
fluides internes.
On définit alors le rendement isentropique :
η
s
=
w
w
u
r
où wr est le travail massique réel à fournir à l’arbre de
la pompe. Si l’on a mesuré une élévation de
température de l’eau δT = 0,114K à la traversée de la
pompe, calculer la variation d’entropie massique , le
travail massique de compression wr et le rendement
isentropique de la pompe.
3) Pompe réelle
Variation d’entropie massique :
δq
dT
ds =
= cp
− αvdp
T
T
δT
∆s ≈ c p
− αv(p1 − p 0 ) = 1,32J / K / kg
T0
Travail massique de compression wr :
dh = d (u + pv) = δq + vdp = c p dT + v(1 − αT )dp
w r = ∆h = c p δT + (1 − αT0 ) v( p1 − p 0 ) = 1814 J / K / kg
Rendement isentropique de la pompe :
wu
1400
ηs =
=
wr
1840
= 0 , 77
Exercice 2 : Machine motrice
Dans une machine adiabatique arrive 10 m3
d'air à 5 bars. Cet air effectue dans la machine
un travail interne de 6,47 MJ et sort alors à
1bar et avec un volume de 31,5 m3. On
négligera la variation des énergies cinétique et
potentielle de l'air dans la machine.
Comment varient l'énergie interne et
l'enthalpie de l'air pendant son écoulement ?
L’air est considéré comme un gaz parfait pour
lequel les variations d’énergie interne et
d’enthalpie sont donnée par les relations :
∆ U = nc
v
( T 2 − T1 )
∆H = nc p (T2 − T1 )
Les états de l’air initial (P1, V1 ) et final (P2 , V2)
sont connus.
L’air est assimilé à un gaz parfait :
PV = nRT
P2V2 P1V1
cv
∆U = ncv (
−
) = (P2V − P1V1 )
nR
nR
R
cv
1
(P2V − P1V1 ) =
(P2V − P1V1 )
∆U =
c p − cv
γ −1
∆U = −4,62MJ
Variation d’enthalpie
On trouve de même :
γ
∆H =
(P2 V2 − P1V1 ) = −6,47MJ
γ −1
c’est le travail que l’air a effectué.
Exercice 3 : Compresseur à air
Dans un compresseur à parois non
adiabatiques, on comprime de l'air par apport
de travail interne égal à 10 MJ. L'enthalpie de
l'air ne change pas pendant ce processus de
compression.
Quelle quantité de chaleur est fournie ou cédée
au système pendant cette compression ?
Expliquer le signe.
Dans un compresseur, l’équation du bilan
d’énergie s’écrit :
q + w = h 2 − h1
et puisque la variation d’enthalpie dans le gaz
n’a pas changé, alors on obtient :
q = − w = −10 MJ
c’est la chaleur perdue (signe -) par le système.

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