THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES Julie Carreau IRD HydroSciences Montpellier www.pages-perso-julie-carreau.univ-montp2.fr lundi 10 mars 2014 Événements météorologiques majeurs 2012-2013 Courrier international lundi 10 mars 2014 OURAGAN SANDY : OCTOBRE 2012 Une des plus grosse tempête à frapper les États-Unis : évacuation, fermeture du métro (4-5 jours), pénurie d’essence, ... lundi 10 mars 2014 INONDATION DANS LE VAR : JUIN 2010 • • • Facteurs météorologiques mer chaude relief montagneux masses d’air chaud venant d’Afrique lundi 10 mars 2014 • • • 400 mm de pluie en 24 h équivalent de 5 mois de précipitation pas d’événement semblable depuis 1827 INONDATIONS DU GARD EN SEPTEMBRE 2002 L’étude des pluies extrêmes est indispensable pour le bon dimensionnement des ouvrages hydrauliques Barrage écréteur de crues de la Rouvière : • construit en 1978 • débit de contrôl de 1 m3/s • niveau de retour de 50 ans • hauteur de 18m lundi 10 mars 2014 Septembre 2002 : 687 mm de pluie en 24h Débit de 830 m3/s TEMPÉRATURES EXTRÊMES Montréal, Canada, 21 janvier 2013 : -27.3 0C Froid extrême ? lundi 10 mars 2014 TEMPÉRATURES EXTRÊMES Marseille, record de froid le 12 février 1956 : -16.8 0C Froid extrême ? lundi 10 mars 2014 TEMPÉRATURES EXTRÊMES Europe : Août 2003 • • • plus de 20 000 morts en Europe période la plus chaude depuis 500 ans plusieurs pays européen : record de température maximale Impacts environnementaux • • • niveaux des cours d’eau et des lacs très bas feux de forêts fonte des glaciers : chute de pierres et de glace lundi 10 mars 2014 TEMPÉRATURES EXTRÊMES Europe : Août 2003 Vautard et al. 2007 Summertime European heat and drought waves induced by wintertime Mediterranean rainfall deficit, GRL 58 ans d’observations météorologiques Le risque de vague de chaleur extrême va vraisemblablement augmenter. Des déficits de pluie en hiver dans le sud de l’Europe précède des étés chauds. lundi 10 mars 2014 CHANGEMENT CLIMATIQUE Rapport de la Banque Mondiale par le Postdam Institute for Climate Impact Research and Climate Analytics, Novembre 2012 sans engagement, de nombreux scénarios prévoient une augmentation de 4 ˚C d’ici la fin du siècle augmentation du niveau de la mer de 0.5 à 1 m Turn Down the Heat Why a 4°C Warmer World Must be Avoided augmentation des températures élevées extrêmes : impacts importants sur l’agriculture et les écosystèmes augmentation de l’intensité des cyclones tropicaux augmentation de l’aridité et des sécheresses lundi 10 mars 2014 Théorie des Valeurs Extrêmes lundi 10 mars 2014 THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES Applications en climat et environnement précipitation : pluie, neige débit des rivières température niveau de la mer vitesse du vent concentration des polluants ..... Caractériser le comportement de très grandes valeurs Caractériser le comportement de très petites valeurs EVT fondée sur le comportement asymptotique des grandes valeurs : maxima ou excédents Les très grandes (petites) valeurs sont rares : modèles non-paramétriques inadéquats lundi 10 mars 2014 FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE Observations i.i.d. tirées d’une même variable aléatoire telle que le niveau maximal annuel de la mer : {X1 , . . . , Xn } X∼F Statistiques d’ordre : tri des observations en ordre croissant X(1) ≤ · · · ≤ X(n) {X(1) , . . . , X(n) } Fonction de répartition empirique n � 1 p.s. � Fn (x) = I{X(i) ≤x} −→ F (x) n i=1 Loi forte des grands nombres lundi 10 mars 2014 p.s. � Fn (x) −→ F (x) lorsque n −→ ∞ n � 1 p.s. � Fn (x) = I{X(i) ≤x} −→ F (x) n i=1 i � Fn (X(i) ) = P (X ≤ X(i) ) = n i P (X ≤ x) = ∀x ∈ [X(i) , X(i+1) ) n P (X ≤ x) = 1 ∀x ≥ X(n) 1 P (X ≤ x) = 1 − p ∀p ≤ n 1 } n Queue légère à décroissance exponentielle lundi 10 mars 2014 Queue lourde à décroissance polynômiale Modèles pour les maxima de variables aléatoires Maurice Fréchet mathématicien français 1878 - 1973 Waloddi Weibull ingénieur et mathématicien suédois 1887 - 1979 Emil Julius Gumbel mathématicien allemand 1891 - 1966 lundi 10 mars 2014 {X1 , . . . , Xn } variables aléatoires indépendantes avec fonction Xi ∼ F de répartition F Par exemple : cumul journalier de précipitation Objectif : modéliser les maxima Mn = max{X1 , . . . , Xn } Cumul maximal journalier de précipitation Dérivons la fonction de répartition des maxima : P (Mn ≤ x) = P (X1 ≤ x, . . . , Xn ≤ x) = P (X1 ≤ x) × · · · × P (Xn ≤ x) n = {F (x)} �n = {F� }n Estimateur possible de la fonction de répartition des maxima : F Une petite erreur dans l’estimation de F donnera une grande erreur dans Fn ➡ considérer des observations extrêmes et estimer Fn directement lundi 10 mars 2014 Théorème central limite (presque) toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne X 1 , X2 , . . . , X n Soit variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées Sn = X 1 + X 2 + · · · + X n Si l’espérance et l’écart-type existent et [Xi ] = µ < ∞ 0 < V ar[Xi ] = σ 2 < ∞ Alors Sn d √ −→ N (µ, σ 2 ) n Les paramètres de position et de dispersion des Xi sont également ceux de la distribution limite. lundi 10 mars 2014 Convergence des cumuls de pluie mensuel journalier trimestriel Normale semestriel lundi 10 mars 2014 annuel Maxima de données provenant d’une loi Log-Normale • On retient le maximum un échantillon de taille 10 d’une loi Log-Normale • On répète l’expérience 10 000 fois échantillon de taille 10 échantillon de taille 100 échantillon de taille 1000 • On recommence avec des échantillons de taille 100 • Et finalement avec des échantillons de taille 1000 Lorsque la taille de l’échantillon augmente, la distribution des maximas de loi Log-Normale se rapproche de la loi de Gumbel. lundi 10 mars 2014 Densité et fonction de répartition de la loi de Gumbel Pour la Gumbel standard (centrée réduite) : f (x) = exp{−x} exp{− exp{−x}} F (x) = exp{− exp{−x}} x−µ Dans le cas général : x ← σ � x−µ f (x) = exp − σ lundi 10 mars 2014 � � � x−µ exp − exp − σ �� � � x−µ F (x) = exp − exp − σ �� Loi de Gumbel • appropriée pour modéliser les maxima d’une variable suivant une loi LogNormale par exemple : les maxima des cumuls journaliers de précipitation • mais aussi les maxima d’une variable suivant une loi Normale, Exponentielle, Gamma, etc .... Propriété des lois pour lesquelles la loi de Gumbel approxime bien les maxima : la queue supérieure de la distribution décroît de façon exponentielle 1 1 − F (x) ≈ exp(−x) = exp(x) x↑∞ Pour de très grandes valeurs, la densité décroît très rapidement, à vitesse exponentielle, vers zéro. lundi 10 mars 2014 La loi de Gumbel est parfois inappropriée en présence de très fortes valeurs Maxima annuels de cumuls journaliers de précipitation lundi 10 mars 2014 Graphique quantile-quantile de l’ajustement d’une loi de Gumbel Maxima de données provenant d’une loi de Pareto généralisée • On retient le maximum un échantillon de taille 10 d’une loi de Pareto généralisée • On répète l’expérience 10 000 fois • On recommence avec des échantillons de taille 100 et 1000 échantillon de taille 10 échantillon de taille 100 échantillon de taille 1000 Lorsque la taille de l’échantillon augmente, la distribution des maximas de loi de Pareto généralisée se rapproche de la loi de Fréchet. lundi 10 mars 2014 Loi de Fréchet modèle pour les données ayant de très fortes valeurs ✴ appropriée pour modéliser les maxima de variables suivant des lois de Pareto, Student t, Cauchy Propriété des lois pour lesquelles la loi de Fréchet approxime bien les maxima : la queue supérieure de la distribution décroît de façon polynômiale 1 − F (x) ≈ x −α 1 = α x x↑∞ On appelle α le paramètre de forme : ✦ plus α est petit, plus la décroissance est lente, plus des valeurs extrêmes sont susceptibles de se produire ✦ plus α est grand, plus la décroissance est forte, moins des valeurs extrêmes vont se présenter lundi 10 mars 2014 Fonction de répartition de la loi de Fréchet comportement en fonction du paramètre de forme α Décroissance polynômiale ➡ α = 10 ➡ α=5 ➡ α=2 lundi 10 mars 2014 1 − F (x) ≈ x −α 1 = α x x↑∞ Maxima de données provenant d’une loi Uniforme échantillon de taille 10 échantillon de taille 100 échantillon de taille 1000 Loi de Weibull : loi pour les données ayant une borne supérieure • modèle réaliste lorsque les données ne peuvent pas dépasser une valeur maximale • barrière physique qui borne les valeurs • peut être le cas pour des données de température ✴ appropriée pour modéliser les maxima de variables suivant des lois Uniforme, Bêta lundi 10 mars 2014 Il y a trois et seulement trois distributions possibles pour les maxima de variables aléatoires. Décroissance exponentielle Gumbel Décroissance polynômiale Fréchet Densité bornée Weibull Ce sont les trois lois des valeurs extrêmes : elles correspondent aux trois types de comportement de la queue de la distribution possibles De façon analogue : la somme d’un grand nombre de variables aléatoires se comportent comme une loi Normale (théorème central limite). lundi 10 mars 2014 Théorème des types extrêmaux (Fisher-Tippett) Soit Mn = max{X1 , X2 , . . . , Xn } S’il existe des suites de constantes {an > 0} et {bn} telles que P � Mn − bn ≤x an � d −→ G(x) où G est une f.d.r. non dégénérée, alors G appartient à l’une des familles suivantes : � � � ��� I. Gumbel x−b G(x) = exp − exp − a II. Fréchet � � � � x −α G(x) = exp − a x≥0 III. Weibull � � x �α � G(x) = 1 − exp − a −∞ < x < ∞ x≥0 pour des paramètres a > 0, b et α > 0 ➡ Le comportement de la queue de distribution des Xi est lié au paramètre α de la distribution limite. lundi 10 mars 2014 MAX-STABILITÉ Gumbel, Fréchet et Weibull sont les distributions de valeurs extrêmes. Ce sont des distributions max-stables : d Mn = max{X1 , X2 , . . . , Xn } = an X + bn � � Mn − bn P ≤ x = F n (an x + bn ) = P (X ≤ x) = F (x) an Stabilité par l’addition : d X 1 + · · · + X n = a n X + bn Quelle(s) loi(s) sont stables par l’addition ? Relation entre les trois distributions max-stables : X ∼ Fr´echet =⇒ Y = ln X ∼ Gumbel X ∼ Weibull =⇒ Y = 1/X ∼ Fr´echet X ∼ Weibull =⇒ Y = ln (1/X ) ∼ Gumbel lundi 10 mars 2014 DOMAINE D’ATTRACTION X est dans le domaine d’attraction maximum de la loi G si : d M −b n n P( /an ≤ x) −→ G(x) Queue légère Gumbel distribution non bornée , tous les moments sont finis Ex : Normale, Log-Normale, Exponentielle, Gamma Caractéristique : queue supérieure décroît à vitesse exponentielle Queue lourde Fréchet distribution non bornée, certains moments ne sont r pas finis ; variance infinie si α > 2 et [X ] < ∞ ↔ r < α Ex : Cauchy, Student t, Pareto −α Caractéristique : queue supérieure décroît à vitesse polynômiale x Queue finie lundi 10 mars 2014 Weibull distribution bornée supérieurement Ex : Uniforme, Bêta Caractéristique : queue supérieure finie DISTRIBUTION VALEUR-EXTRÊME GÉNÉRALISÉE (GEV) G(x) = � � � � x−µ ��−1/ξ � exp − 1 + ξ σ � � x−µ �� exp − exp − σ position µ échelle σ forme ξ = 1/α Gumbel ξ → 0 lundi 10 mars 2014 si 1 + ξ(x − µ)/σ > 0 et ξ �= 0 avec x ∈ et ξ = 0 Condition sur les moments [X r ] < ∞ ↔ ξ < 1/r Fréchet ξ > 0 Weibull ξ < 0 EN PRATIQUE Block-Maxima On crée des blocs de longueur n à partir des observations avec n «grand» Mn,1 , . . . , Mn,m Choix fréquent : bloc = 1 an Maxima annuel : cumul journalier, horaire ou mensuel Maximum de vraisemblance L(µ, σ, ξ; Mn,1 , . . . , Mn,m ) = Où ∂G(x; µ, σ, ξ) g(x; µ, σ, ξ) = ∂x m � g(Mn,m ; µ, σ, ξ) i=1 est la densité de la GEV Minimisation de la log-vraisemblance négative l(µ, σ, ξ; Mn,1 , . . . , Mn,m ) = − ln (L(µ, σ, ξ; Mn,1 , . . . , Mn,m )) Sous contrainte : 1 + ξ(x − µ)/σ > 0 Cas à part : ➡ Bonnes propriétés de convergence en général et adaptabilité lundi 10 mars 2014 ξ=0 FONCTION DE QUANTILES xp est un quantile de niveau 1 − p ⇐⇒ G(xp ) = 1 − p � σ� −ξ xp = µ − 1 − {− log(1 − p)} ξ Niveau de retour xp de période de retour p : niveau dépassé en moyenne une fois par T = 1/p années T = 2 ←→ p = 0.5 p = 10% Temps moyen entre les dépassements : environ 10 ans T = 5 ←→ p = 0.2 T = 10 ←→ p = 0.1 T = 20 ←→ p = 0.05 10 % T = 50 ←→ p = 0.02 T = 100 ←→ p = 0.01 T = 1000 ←→ p = 0.001 lundi 10 mars 2014 90 % Niveaux de retour • • � σ� −ξ xp = µ − 1 − {− log(1 − p)} ξ Pour des niveaux de quantiles modérés, le paramètre de position de la GEV a le plus d’influence. Pour des niveaux de quantiles élevés, c’est le paramètre de forme qui est déterminant. T = 10 T = 20 T = 50 T = 100 T = 1000 σ=1 Fréchet ξ = 0.2 Gumbel ξ=0 µ = 100 µ = 10 ξ = −0.2 Weibull ➡ L’estimation du paramètre de forme dépend des observations extrêmes et présente beaucoup de variance (sensibilité aux fortes observations). lundi 10 mars 2014 Graphique Quantiles-Quantiles Statistiques d’ordre : {X(1) , . . . , X(n) } telles que X(1) ≤ · · · ≤ X(n) Fonction de répartition empirique n � 1 p.s. F�n (x) = I{X(i) ≤x} −→ F (x) n i=1 Fréquences empiriques � �n � � i 1 n−1 = ,..., ,1 n i=1 n n Fréquences empiriques de Hazen � �n � � i − 0.5 0.5 n − 0.5 = ,..., n n n i=1 ➡ Correspondance entre les quantiles estimés par le modèle aux fréquences empiriques et les statistiques d’ordre (quantiles empiriques) lundi 10 mars 2014 Graphique Quantiles-Quantiles �� � � ��n �� ��n � � i − 0.5 σ � −1 −ξ� � (i−0.5) F , X(i) = µ �− 1 − {− log( /n)} , X(i) n ξ� i=1 i=1 Si le modèle est juste, le graphique quantiles-quantiles s’aligne sur la diagonale. lundi 10 mars 2014 CUMUL DE PRÉCIPITATION JOURNALIER À MARSEILLE 1948 1948 - 1951 1948-2005 : 58 ans Propriétés des précipitations • intermittence • variabilité saisonnière • variabilité inter-annuelle • valeurs extrêmes lundi 10 mars 2014 MAX ANNUEL JOURNALIER À MARSEILLE 1948-2005 : 58 ans Ajustement d’une loi GEV par maximum de vraisemblance Paramètres estimés location : 49.531 scale : 18.812 shape : 0.205 location : 49.461 scale : 18.182 shape : 0.133 Erreurs standard location : 2.817 scale : 2.247 shape : 0.111 location : 2.756 scale : 2.129 shape : 0.111 lundi 10 mars 2014 sans le plus grand max DIAGNOSTIQUES � σ �� −ξ� x �p = µ �− 1 − {− log(1 − p)} ξ� Quelle est la période de retour de la plus forte pluie (environ 200 mm ) ? ➡ Incertitude plus grande pour les grands niveaux de retour (grands quantiles) due à l’incertitude sur l’estimation du paramètre de forme lundi 10 mars 2014 Comparaison avec un ajustement d’une loi de Gumbel ξ = 0 Paramètres estimés Gumbel location : 51.79 (2.86) scale : 20.88 (2.25) GEV location : 49.53(2.82) scale : 18.81 (2.25) shape : 0.205 (0.111) Log-vraisemblance nég. AIC (valeur élevée) BIC (valeur élevée) Gumbel 268.5355 2 x -268.5 - 2 x 2 = -541 2 x 268.5 - 2 x log(58) = -545 GEV 2 x -271.0 - 2 x 3 = -548 2 x 271,0 - 2 x log(58) = -554 270.9504 ➡ Le paramètre de forme est-il significativement différent de zéro ? ➡ Quelle distribution est plus adéquate ? lundi 10 mars 2014 NIVEAU DE LA MER À VENISE Le acque alte +1m lundi 10 mars 2014 NIVEAU ANNUEL MAXIMAL Ajustement d’une loi GEV par maximum de vraisemblance Paramètres estimés location : 111.092 (2.628) scale : 17.174 (1.803) shape : -0.077 (0.074) lundi 10 mars 2014 DIAGNOSTIQUES � σ �� −ξ� x �p = µ �− 1 − {− log(1 − p)} ξ� Quel est le niveau de retour de 100 ans ? lundi 10 mars 2014 TENDANCE ANNUELLE Introduire une covariable pour le paramètre de position de la GEV : t année µ(t) = µ0 + µ1 t µ0 = 111.65 (2.25) µ1 = 8.39 (2.07) σ = 14.58 (1.58) ξ = −0.027 (0.083) Comment faire l’apprentissage des coefficients de la régression ? Log-vraisemblance conditionnelle l(µ0 , µ1 , σ, ξ|(t1 , x1 ), . . . , (tn , xn )) = n � i=1 lundi 10 mars 2014 ln g(xi |µ = µ0 + µ + 1ti , σ, ξ) Log-vraisemblance conditionnelle Soit z, des variables indépendantes qui influencent la distribution de x On fait l’hypothèse que : µ(z) = h1 (z; β1 ) σ(z) = h2 (z; β2 ) ξ(z) = h3 (z; β3 ) où h1 (·; β1 ), h2 (·; β2 ), h3 (·; β3 ) sont des fonctions des variables z avec les vecteurs de paramètres β1 , β1 , β3 à apprendre en maximisant : l(β1 , β2 , β3 |(z 1 , x1 ), . . . , (z n , xn )) = n � i=1 ln g(xi |µ = h1 (z i ; β1 ), σ = h2 (z i ; β2 ), ξ = h3 (z i ; β3 )) ➡ On fait donc l’hypothèse que les maxima sont distribués selon une loi GEV conditionnellement à z Niveaux de retour � � σ(z) −ξ(z) 1 − {− log(1 − p)} xp (z) = µ(z) − ξ(z) Interprétation ? lundi 10 mars 2014 Modèles pour les excédents de variables aléatoires Approche «Peaks-over-Threshold» PoT développée par les hydrologues Vilfredo Pareto, sociologue et économiste italien 1848 - 1923 Loi de Pareto : répartition des richesses « 20 % de la population détient 80% des richesses » lundi 10 mars 2014 Peaks-over-Threshold Fixer un seuil et utiliser les excédents au-delà du seuil Permet d’inclure plus d’observations dans l’estimation que l’approche des maxima X∼F V1 La distribution des excédents est donnée par : Z1 Fu (y) = P {X ≤ u + y|X > u} V3 Z5 V5 V4 u Z9 Z6 V2 V7 Z12 V6 Z Z3 11 Z 4 Z7 Z10 Z2 Z 8 ∀0 < y < xF − u Si F est connue alors : F (u + y) − F (u) Fu (y) = 1 − F (u) Si on se sert d’une estimation de F pour estimer Fu (y) , on risque d’avoir des problèmes d’extrapolation car il y a peu d’observations extrêmes. Student Version of MATLAB Distribution de Pareto généralisée GPD : modélise les excédents au-delà d’un seuil lundi 10 mars 2014 Distribution de Pareto généralisée approximation pour la distribution des excédents H(y) = � 1− 1− � � y −1/ξ 1 + ξ σ� � y� exp − σ� si ξ > 0 si ξ = 0 ξ>0 ξ=0 ξ<0 Condition sur les moments [X r ] < ∞ ↔ ξ < 1/r Cas particuliers � lorsque ξ = 0 , H est la distribution exponentielle de paramètre σ lorsque ξ < 0 , H est une distribution bornée supérieurement lorsque ξ > 0 , H est une distribution de Pareto à queue lourde ➡ Le paramètre de forme définit trois classes de distributions tout comme les domaines d’attraction maximale Gumbel, Weibull et Fréchet. lundi 10 mars 2014 Théorème de Pickands-Balkema-de Haan Soit X1, X2, ... Xn une suite de variables aléatoires indépendantes avec f.d.r. F et considérons M = max{X , X , . . . , X } n 1 2 n Soit X l’une des variables de la suite et supposons que, pour n grand, l’on ait : P {Mn ≤ x} ≈ G(x) où G est la f.d.r. de la GEV pour µ, σ et ξ. Alors, pour u suffisamment grand, la distribution des excédents peut être approximée par � � � y −1/ξ 1 − 1 + ξ σ� si ξ > 0 Fu (y) = P {X > u + y|X > u} ≈ H(y) = � y� si ξ = 0 1 − exp − σ� définie sur {y : y > 0, (1 + ξy/σ�) > 0} � = σ + ξ(u − µ) où σ ➡ Si les maxima sont approximativement distribués selon la GEV, alors les excédents sont approximativement distribués selon la GPD. lundi 10 mars 2014 STABILITÉ PAR SEUILLAGE H(y) = � 1− 1− � � y −1/ξ 1 + ξ σ� � y� exp − σ� si ξ > 0 si ξ = 0 Pour une distribution donnée, si les maxima convergent vers la GEV, alors les excédents convergent vers la GPD. Les paramètres de la GPD sont déterminés par ceux de la GEV : σ � = σ + ξ(u − µ) Le paramètre de forme est le même : ‣ ξ > 0 queue lourde (décroissance polynômiale) ‣ ξ = 0 queue légère (décroissance exponentielle) ‣ ξ < 0 queue finie (bornée) La GPD possède la propriété de stabilité par l’opération seuil : Y ∼ GP D =⇒ Y − u|Y > u ∼ GP D lundi 10 mars 2014 ∀u > 0 EN PRATIQUE Peaks-over-Threshold On définit les excédents à partir des observations avec un seuil u «grand» Par exemple, on fixe k et on pose u = X(k) Alors, les observations qui dépassent le seuil sont : {X(1) , . . . , X(n) } =⇒ {X(k+1) , . . . , X(n) } Les excédents sont donnés par : {Y1 = X(k+1) − u, . . . , Yn−k = X(n) − u} Maximum de vraisemblance nu � L(� σ , ξ; Y1 , . . . , Ynu ) = h(Yi − u; σ �, ξ) i=1 �, ξ) est la densité de la GPD Où h(y; σ Minimisation de la log-vraisemblance négative n u � l(� σ , ξ; Y1 , . . . , Ynu ) = ln h(Yi − u; σ �, ξ) i=1 Sous contrainte : (1 + ξy/σ�) > 0 Cas à part : ➡ Bonnes propriétés de convergence en général et adaptabilité lundi 10 mars 2014 ξ=0 CHOIX DU SEUIL Dilemme biais-variance ‣ plus le seuil est élevé, plus l’approximation asymptotique de la distribution des excédents par la GPD est juste et plus le biais diminue ‣ moins le seuil est élevé, plus le nombre d’excédents est grand pour l’estimation des paramètres de la GPD et plus leur variance est petite ‣ dilemme similaire avec le choix de la taille du bloc dans l’approche des maxima mais solution pragmatique bloc = année ➡ Adopter le seuil le plus bas tel que l’approximation asymptotique est à peu près valide lundi 10 mars 2014 Mean Residual Life Plot graphique de l’espérance excédentaire Si Y ∼ GP D et ξ < 1 alors σ [Y ] = 1−ξ Supposons X − u0 |X > u0 ∼ GP D alors σ u0 [X − u0 |X > u0 ] = 1−ξ Aussi ∀u > u0 σu σu0 + ξu [X − u|X > u] = = 1−ξ 1−ξ Donc, pour u > u0 la moyenne est une fonction linéaire de u ➡ Tracer le graphique de l’espérance excédantaire et identifier la plus petite valeur de u pour laquelle il devient linéaire : �� lundi 10 mars 2014 1 u, n−k n � i=k+1 (X(i) − u) �� Precipitation journalière positive à Marseille graphique de l’espérance excédentaire lundi 10 mars 2014 Stabilité des paramètres estimés par rapport au choix du seuil �� lundi 10 mars 2014 u, ξ�u �� {(u, σ �u∗ )} où σu∗ = σu − ξu NIVEAU DE RETOUR Supposons que � P {X > x|X > u} = 1 + ξ � Il s’en suit : P {X > x} = ζu 1 + ξ Où ζu = P {X > u} � � x−u σ x−u σ ��−1/ξ ��−1/ξ ∀x > u ∀x > u Pour trouver le niveau qui sera dépassé une fois sur m, il faut résoudre : � � ��−1/ξ xm − u 1 ζu 1 + ξ = σ m On obtient : xm σ = u + [(mζu )ξ − 1] ξ xm > u Pour obtenir le niveau dépassé en moyenne une fois par N ans avec ny le nombre d’observations par année : m=N ×n y k Estimation de la probabilité d’excéder le seuil : ζ�u = n lundi 10 mars 2014 Precipitation journalière positive à Marseille Fixons le seuil u = 10 mm : 1029 excédents soit moins de 5% des données Estimateurs MLE des paramètres de la GPD σ � = 12.07(0.55) ξ = 0.13(0.033) Estimateur MLE du paramètre de forme de la GEV (58 max annuels) ξ� = 0.21 (0.11) lundi 10 mars 2014 EXCÉDENTS CONDITIONNELLEMENT DÉPENDANTS Log-vraisemblance conditionnelle Soit z, des variables indépendantes qui influencent la distribution de x On fait l’hypothèse que : u(z) = h1 (z; β1 ) σ �(z) = h2 (z; β2 ) ξ(z) = h3 (z; β3 ) où h1 (·; β1 ), h2 (·; β2 ), h3 (·; β3 ) sont des fonctions des variables z avec les vecteurs de paramètres β1 , β1 , β3 à apprendre en maximisant : l(β1 , β2 , β3 |(z 1 , x1 ), . . . , (z n , xn )) = n � i=1 ln h(xi − u|u = h1 (z i ; β1 ), σ � = h2 (z i ; β2 ), ξ = h3 (z i ; β3 )) ➡ On fait donc l’hypothèse que les maxima sont distribués selon une loi GPD conditionnellement à z lundi 10 mars 2014 Global Flood Risk under Climate Change Nature Climate Change June 2013 ‣ 11 modèles de climat de CMIP5 ‣ Calcul du niveau de retour 100 ans pour les crues au 20ème siècle (1971-2000) ‣ Sous le scénario RCP85 au 21ème siècle (2071-2100), calcul de la période de retour du niveau de retour 100 ans du 20ème siècle ‣ On considère la médiane des périodes de retour des 11 modèles. lundi 10 mars 2014
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