Ch 7 Les séries chro..

Ch 7 Les séries chronologiques
 Série chronologique =



‘Chronique’, ‘série temporelle’
Valeurs successivement prises par une variable statistique au
cours du temps
Ex
Série statistique bidimensionnelle (t, xt)
 Objectifs de l’analyse d’une série chronologique


Interpréter l’évolution d’une variable au cours du temps
Prévoir son évolution future
L’analyse consiste à identifier les différentes composantes
du mouvement global

Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
Source : INSEE
2
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti

Ch 7 Les séries chronologiques
Source : Boursorama.com
3
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
I. La décomposition d’une série chronologique

Ex : vente de foie gras d’un hypermarché
Quantités
vendues
06
a nnée 1
4
12
06
a nnée 2
12
06
12
temps
a nnée 3
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
I.1. Les composantes du mouvement brut
3 composantes
 la
tendance (ou trend) gt
 la composante saisonnière
st
 la composante résiduelle (ou bruit)
et
I.2. Les schémas de composition
2 modèles de composition principaux
 modèle
additif
 modèle multiplicatif
5
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Modèle additif

xt = gt + st + et
 Hyp : les composantes sont indépendantes les unes des autres


Modèle multiplicatif

xt = gt x st x et
 Hyp : les composantes sont dépendantes les unes des autres

Choix du modèle de composition

Méthode de Buys-Ballot



Calcul des coefficients de variation
Si CV peu différents  modèle additif ; modèle multiplicatif sinon
Démarche d’analyse

Détermination du trend
 Détermination de la composante saisonnière, en négligeant les
variations résiduelles
 Désaisonnalisation  Série corrigée des variations saisonnières (CVS)
 Détermination des influences résiduelles (étape laissée de côté ici)
6
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Emprunté
à http://www.math-info.univ-paris5.fr/~brunel/Enseignement/Poly1.pdf
7
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
II. La détermination de la tendance
II.1. Approche analytique


Ajustement paramétrique de la tendance
Ex :
x
x
Trend linéaire
gt


8
a t b
t
x
Trend exponentiel
gt
b at
t
t
Trend logarithmique
gt
ln(a t b)
Ajustement linéaire  Méthode des moindres carrés (MCO, OLS en
anglais pour Ordinary Least Squares)
Intérêt de la méthode analytique : autorise l’extrapolation
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
II.2. Approche empirique
II.2.1. Ajustement graphique (procédé des points médians)

Méthode :





x
On relie les points hauts du mouvement brut  Courbe enveloppe haute
On relie les points bas  Courbe enveloppe basse
On projette les ‘pics’ les plus marqués sur la courbe enveloppe basse, les
‘creux’ les plus marqués sur la courbe enveloppe haute
On relie les milieux des segments verticaux
Estimation de la tendance
Courbe enveloppe haute
Mouvement brut
TREND
Courbe enveloppe basse
9
temps
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques


Intérêt du procédé des points médians : simple et rapide
Limite : risque d’intégrer au trend des valeurs aberrantes
II.2.2. Lissage par les moyennes mobiles

Le principe
On définit une série de moyennes qui sont
 calculées sur un certain nombre d'observations
consécutives, "l'ordre"
 décalées d'une unité de temps à chaque nouveau
calcul ("mobiles")
10
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Mode de calcul
Moyennes mobiles d’ordre 3
Série brute
Moyennes mobiles d’ordre 3
Estimation de la valeur
du trend à la date t

xt
x1
x2
x3
x4
x5
xt
III
x2
III
1
3
x3
III
1
3
( x2
x3
x4 )
x4
III
1
3
( x3
x4
x5 )
( x1
x2
etc.
…
xT-2
xT-1
xT
xT
III
1
3
1
 Généralisation : xt
11
x3 )
III
( xT
1
3
xT
2
( xt
1
1
xt
xT )
xt 1 )
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Moyennes mobiles d’ordre 5
V
3
1
5
( x1
x2
x3
x4
x5 )
Estimation du trend en t = 3
V
1
5
( x2
x3
x4
x5
x6 )
Estimation du trend en t = 4
x
x4
etc.
V
T 2
x
1
5
( xT
4
xT
3
xT
 Généralisation :
xT
2
xt
V
1
1
5
xT ) Estimation du trend en t = T-2
( xt
2
xt
1
xt
xt
1
xt 2 )
 Les moyennes mobiles de n'importe quel ordre impair sont
obtenues sur le même principe
12
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
Moyennes mobiles d’ordre pair, par ex d’ordre 4


Pb de la date à laquelle associer une moyenne de 4 valeurs
 Solution : on calcule des moyennes mobiles d'ordre 2 à partir des
moyennes mobiles successives d'ordre 4
1
2
1
4
1
4
x1
1
2
x2
x1
x2
x3
x3
x4
x4
1
4
1
2
x2
x5
 Généralisation :

13
x3
x3
xt
IV
x4
x5
IV
1
4
1
2
xt
2
xt
1
xt
xt
1
1
2
xt
2
Les moyennes mobiles d’ordre pair sont toutes déterminées sur le
même principe
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Le choix de l’ordre

Ordre adapté à la périodicité des variations saisonnières
 Cependant, plus l'ordre est élevé


plus le lissage est violent
plus on perd de valeurs
III. Identification de la composante saisonnière
III.1. Détermination des coefficients saisonniers
 Pour chaque date t, on dispose



14
d'une valeur observée xt
de la valeur (estimée) du trend gt
La composante saisonnière (st) se détermine à partir de ces
deux valeurs,

modèle additif : st = xt - gt

modèle multiplicatif : st = xt / gt
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

On calcule ensuite la moyenne de la série des st qui se
rapportent à un même moment de chq année (même mois,
même trimestre…)
 Cette caractéristique constitue le coefficient saisonnier relatif
au mois (trimestre) considéré


Exemple

Série trimestrielle couvrant 3 années, donc 12 observations
 1er trimestre  x1 , x5 , x9
 2ème trimestre  x2 , x6 , x10 , etc.

Supposons que l'on ait déterminé le trend de façon analytique
Valeurs g1 , g2 ,…, g12

Modèle additif  s1 = x1 – g1 ; s2 = x2 – g2 jusqu’à s12 = x12 – g12
Modèle multiplicatif  s1 = x1 / g1 ; s2 = x2 / g2 jusqu’à s12 = x12 / g12

15
12 CS avec des données mensuelles, 4 CS avec données
trimestrielles
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

Coefficients saisonniers

CS associé au 1er trimestre : CS1 = (s1 + s5 + s9 )/3

CS associé au 2ème trimestre : CS2 = (s2 + s6 + s10 )/3

CS associé au 3ème trimestre : CS3 = (s3 + s7 + s11 )/3

CS associé au 4ème trimestre : CS4 = (s4 + s8 + s12 )/3
III.2. Rectification éventuelle des coefficients saisonniers

Hypothèse de neutralité des Δ° saisonnières sur une période
 La moyenne des CS doit être
 nulle dans le cas du modèle additif
 égale à 1 dans le cas du modèle multiplicatif

Si ce n'est pas le cas, il est nécessaire de rectifier les coefficients
saisonniers


16
Modèle additif  On retranche de chaque CS la moyenne des CS
Modèle multiplicatif  On divise chaque CS par la moyenne des CS
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques

17
Dans l’exemple,

Moyenne des CS : MCS = (CS1 + CS2 + CS3 + CS4 )/4

Modèle additif
 MCS significativement différente de 0 ?
 Si non, CS rectifiés : CS1* = CS1 - MCS ; CS2* = CS2 - MCS etc.

Modèle multiplicatif
 MCS significativement différente de 1 ?
 Si non, CS rectifiés : CS1* = CS1 / MCS ; CS2* = CS2 / MCS etc.
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti
Ch 7 Les séries chronologiques
III. Correction des variations saisonnières



18
Modèle additif

Série CVS obtenue en retranchant de la valeur prise par la variable à
chaque mois (ou chaque trimestre) le coefficient saisonnier associé
à ce mois (ou ce trimestre)

Dans l’exemple, série CVS :
x1c = x1 – CS1*, x2c = x2 – CS2*, … , x5c = x5 – CS1*, … x12c = x12 – CS4*
Modèle multiplicatif

Série CVS obtenue en divisant la valeur prise par la variable à
chaque mois (ou chaque trimestre) par le coefficient saisonnier
associé à ce mois (ou ce trimestre)

Dans l’exemple, série CVS :
x1c = x1 / CS1*, x2c = x2 / CS2*, … , x5c = x5 / CS1*, … x12c = x12 / CS4*
Pourquoi procède-t-on à la désaisonnalisation de la série brute ?
Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti

Download Report