Algorithmes MCMC rapides pour les problèmes inverses en

Algorithmes MCMC rapides pour les problèmes inverses
en grandes dimensions
Proposition de stage
Problématique – Problèmes inverses, grandes dimensions, non-stationnarité, méthodes
non supervisées, restauration, superrésolution, signal–image.
Outils – Pénalisation quadratique/convexe, algorithmes d’échantillonnages, algorithmes
d’optimisation, approches bayésiennes.
Applications – Le problème posé est général. Cependant des applications privilégiées en
reconstruction d’image haute résolution en astronomie ou microscopie sont envisagées.
Contact et lieu – F. Orieux 1 ([email protected], 01 69 85 17 47). Groupe des Problèmes
Inverses, Laboratoire des Signaux et Systèmes, Supélec, Gif-sur-Yvette.
Contexte
L’augmentation de la puissance des machines de calcul a incité à la conception d’instrument
générant des quantités importantes de données. Parallèlement, le désir de travailler sur des
inconnues de grande taille telle que des images haute ou très haute résolution est de plus en
plus présent en particulier dans les sciences expérimentales ou observationnelles. Parmi les
activités de l’équipe on peut par exemple citer la miscroscopie storm ou palm [1] ou encore
le projet spatial européen Euclid [2]. Cependant pour exploiter pleinement l’ensemble des
informations disponibles, une modélisation fine du processus d’acquisition est nécessaires
conduisant à des problèmes inverses généralement mal posés et non-stationnaires.
Méthodologie
Les approches standard pour l’inversion reposent généralement sur la minimisation de
critères régularisés [3], la régularisation permettant de rendre le problème bien posé. Ces
approches sont par contre limitées sur au moins deux points essentiels.
— Tout d’abord l’estimation des hyperparamètres pilotant l’apport des données et des a
priori dans la solution restent une question épineuse et
— l’absence d’intervalles de confiance qui permettraient de quantifier la fiabilité de l’estimation.
Les algorithmes de Monte-Carlo par Chaîne de Markov (MCMC) ont depuis quelques années
[4]–[6] démontrées leur capacité à adresser ces problèmes. En effet, par le formalisme bayésien
et la prise en compte de toute la structure de la loi a posteriori étendue aux hyperparamètres,
les MCMC permettent de calculer l’estimateur de la moyenne a posteriori mais également
toute espérance de la loi.
1. Ce travail se déroulera en interaction avec O. Féron et J.-F. Giovannelli.
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Proposition de stage sur les algorithmes MCMC rapides pour les problèmes inverses
Le problème majeur posé alors est l’efficacité de ces nouveaux algorithmes dans le contexte
cité précédemment où les gros volumes de données, la taille importante des inconnues ou la
complexité des modèles limitent leurs champs d’application. Le travail a effectuer sera
— l’étude des algorithmes d’échantillonnages existants [5]–[7] pour, en particulier, extraire
les caractéristiques fondamentales permettant la conception d’algorithmes accélérés ou
rapides
— étudier le comportement des algorithmes dans le cas de problèmes non stationnaires
intervenant presque systématiquement dans le traitement fin de données réelles
— et en fonction du candidat soit l’orientation vers une application concrète en astronomie
ou miscroscopie ou alors l’extension vers des modèles a priori plus sophistiqués que les
modèles gaussiens.
Le travail sur la conception d’algorithmes rapides pour la résolution de problèmes non supervisés et en grandes dimensions permettra de dépasser l’obstacle de la mise en œuvre de
méthodes sophistiquées pour l’expérimentation scientifique.
Mise en œuvre
Ce travail est principalement méthodologie et algorithmique. Les résultats pouvant impacter
un champ très large de problèmes d’inférence de données, le candidat aura la liberté de les
mettre en œuvre sur une application précise de l’équipe ou sur un problème synthétique.
Références
[1] S. W. Hell, « Microscopy and its focal switch », Nature methods, t. 6, no 1, p. 24–32, 2009.
[2] L. Amendola, S. Appleby, D. Bacon et al., « Cosmology and fundamental physics with
the Euclid satellite », 2012.
[3] J. Idier, éd., Approche bayésienne pour les problèmes inverses. Paris : Traité IC2, Série
traitement du signal et de l’image, Hermès, 2001.
[4] F. Orieux, J.-F. Giovannelli et T. Rodet, « Bayesian estimation of regularization and psf
parameters for wiener-hunt deconvolution », Journal of the Optical Society of America
A, t. 27, no 7, p. 1593–1607, 2010.
[5] F. Orieux, O. Féron et J.-F Giovannelli, « Sampling high-dimensional gaussian distributions for general linear inverse problems », Signal Processing Letters, IEEE, t. 19, no 5,
p. 251–254, 2012.
[6] C. Gilavert et S. I. Moussaui, « Rééchantillonnage gaussien en grande dimension pour
les problèmes inverses », in Actes 24 e coll. GRETSI, Brest, France, 2013.
[7] D. J. C. MacKay, Information theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge
University Press, 2003.
F. Orieux
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Laboratoire des Signaux et Systèmes

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