esercizi di sicurezza strutturale

Esercizio 1
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per flessione della sezione A della trave in acciaio di figura 1. La rottura si
verifica quando il valore assoluto del momento sollecitante MS nella sezione A è uguale o supera il
momento resistente MR della sezione trasversale. Si assume MR=Wpl·fy, dove Wpl e fy sono,
rispettivamente, il modulo plastico della sezione e la tensione di snervamento dell’acciaio. La trave
in acciaio è un profilato IPE160 (Wpl=123900 mm3), la cui sezione trasversale è mostrata in Figura
2.
Figura 2: sezione trasversale (quote in mm)
Si assume il seguente modello probabilistico:
q ~ N(μ=15, σ=3) kN/m
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di MR e MS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(MR ≤ MS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali q e fy corrispondenti ai
valori 0.718 e 0.314 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
1 Risultati:
1) MR ~ N(μ=34.7, σ=2.8) kNm
MS ~ N(μ=16.9, σ=3.4) kNm
2) PR = 2.28·10-5
3) 0.718 → q=16.7 kN/m
0.314 → fy=269.1 N/mm2
g(q,fy)=14.5 kNm
4) β = 4.08
2 Esercizio 2
Si considera lo stesso problema strutturale dell’esercizio 1. Si assume il seguente modello
probabilistico:
q ~ U(μ=20, σ=4) kN/m
fy ~ U(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Una variabile aleatoria X a distribuzione uniforme è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
Si chiede di:
1) disegnare i grafici delle funzioni di densità di probabilità e di distribuzione cumulativa delle
variabili MR e MS;
2) calcolare la probabilità di rottura PR=P(MR ≤ MS) con il metodo di livello 3, verificando che si
ottiene lo stesso risultato integrando per strisce orizzontali o verticali.
Risultati:
1) MR ~ U(μ=34.7, σ=2.8) kNm
aR=29.9 kNm, bR=39.5 kNm
MS ~ U(μ=22.5, σ=4.5) kNm
aS=14.7 kNm, bS=30.3 kNm
3 Figura 1: funzione di densità di probabilità
Figura 2: funzione di distribuzione cumulativa
2) PR = 5.59·10-4
4 Esercizio 3
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per sforzo normale dell’asta 1 della struttura reticolare in acciaio di figura
1. La rottura si verifica quando lo sforzo normale sollecitante NS è uguale o supera lo sforzo
normale resistente NR della sezione trasversale. Si assume NR=As·fy, dove As e fy sono,
rispettivamente, l’area della sezione trasversale (As=758 mm2) e la tensione di snervamento
dell’acciaio.
Si assume il seguente modello probabilistico:
F ~ N(μ=40, σ=12) kN
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di NR e NS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(NR ≤ NS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali F e fy corrispondenti
ai valori 0.241 e 0.893 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) NR ~ N(μ=212.2, σ=17) kN
NS ~ N(μ=80.0, σ=24) kN
2) PR = 3.43·10-6
3) 0.241 → F=31.6 kN
0.893 → fy=307.8 N/mm2
g(F,fy)=170.2 kN
4) β = 4.50
5 Esercizio 4
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per sforzo normale dell’asta 1 della struttura reticolare in acciaio (alta L e
lunga 3L) di figura 1. La rottura si verifica quando lo sforzo normale sollecitante NS è uguale o
supera lo sforzo normale resistente NR della sezione trasversale. Si assume NR=As·fy, dove As e fy
sono, rispettivamente, l’area della sezione trasversale (As=1382 mm2) e la tensione di snervamento
dell’acciaio.
Si assume il seguente modello probabilistico:
F ~ N(μ=25, σ=7.5) kN
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di NR e NS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(NR ≤ NS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali F e fy corrispondenti
ai valori 0.873 e 0.425 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) NR ~ N(μ=387, σ=31) kN
NS ~ N(μ=150, σ=45) kN
2) PR = 7.18·10-6
3) 0.873 → F=33.6 kN
0.425 → fy=275.8 N/mm2
g(F,fy)=179.8 kN
4) β = 4.34
6 Esercizio 5
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLE di deformazione della trave in acciaio di luce L=6m di figura 1. La
funzionalità della struttura risulta insoddisfacente se lo spostamento verticale massimo vmax è uguale
o maggiore del valore L/250. Si assume il seguente modello probabilistico:
q ~ N(μ=12, σ=2.4) kN/m
EI ~ N(μ=12159, σ=608) KNm2.
Si chiede di:
1) stimare la probabilità di insuccesso Pi=P(vmax ≥ L/250) con il metodo di livello 3;
2) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali q e EI corrispondenti
ai valori 0.993 e 0.273 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
3) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) PR = 1.90·10-2
2) 0.993 → q=17.9 kN/m
0.273 → EI=11791.9 kNm2
g(q,EI)=-19 kNm3
3) β = 2.07
7 Esercizio 6
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per sforzo normale del tirante in acciaio della struttura di figura 1. La
rottura si verifica quando lo sforzo normale sollecitante NS è uguale o supera lo sforzo normale
resistente NR della sezione trasversale. Si assume NR=As·fy, dove As e fy sono, rispettivamente,
l’area della sezione trasversale del tirante e la tensione di snervamento dell’acciaio. Il tirante è
costituito da un profilo cavo di diametro esterno D=101.6 mm e spessore s=8 mm (figura 2).
Figura 2: sezione trasversale del tirante
Si assume il seguente modello probabilistico:
p ~ N(μ=10, σ=1) kN/m
q ~ N(μ=15, σ=4.5) kN/m
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di NR e NS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(NR ≤ NS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali g, q e fy
corrispondenti ai valori 0.571, 0.794 e 0.212 delle rispettive funzioni di distribuzione
8 cumulativa. Infine, si chiede di valutare la funzione di stato limite con i tre valori casuali
generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) NR ~ N(μ=658.7, σ=52.7) kN
NS ~ N(μ=292.5, σ=65.3) kN
2) PR = 6.33·10-6
3) 0.571 → p=10.2 kN/m
0.794 → q=18.7 kN/m
0.212 → fy=262.1 N/mm2
g(g,q,fy)=277.7 kN
4) β = 4.37
9 Esercizio 7
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLE di deformazione della trave in calcestruzzo armato di luce L=2.5m (figura
1). La funzionalità della struttura risulta insoddisfacente se lo spostamento verticale massimo vmax è
uguale o maggiore del valore L/250. Si assume il seguente modello probabilistico:
q ~ N(μ=22.5, σ=6.8) kN/m
EI ~ N(μ=23541, σ=3531) kNm2.
Si chiede di:
1) stimare la probabilità di insuccesso Pi=P(vmax ≥ L/250) con il metodo di livello 3;
2) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali q e EI corrispondenti
ai valori 0.993 e 0.273 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
3) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) PR = 4.67·10-3
2) 0.993 → q=39.1 kN/m
0.273 → EI=21408.7 kNm2
g(q,EI)=23.2 kNm3
3) β = 2.60
10 Esercizio 8
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per flessione della sezione A della trave in acciaio di figura 1. La rottura si
verifica quando il valore assoluto del momento sollecitante MS nella sezione A è uguale o supera il
momento resistente MR della sezione trasversale. Si assume MR=Wpl·fy, dove Wpl e fy sono,
rispettivamente, il modulo plastico della sezione e la tensione di snervamento dell’acciaio. La trave
in acciaio è un profilato IPE270 (Wpl=484000 mm3).
Si assume il seguente modello probabilistico:
g ~ N(μ=9.5, σ=1) kN/m
q ~ N(μ=3.6, σ=1.4) kN/m
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di MR e MS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(MR ≤ MS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali g, q e fy
corrispondenti ai valori 0.84, 0.57 e 0.30 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa.
Infine, si chiede di valutare la funzione di stato limite con i tre valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) MR ~ N(μ=135.5, σ=10.8) kNm
MS ~ N(μ=59, σ=7.8) kNm
2) PR = 4.67·10-9
3) 0.84 → g=10.4 kN/m
0.57 → q=3.9 kN/m
0.30 → fy=268.3 N/mm2
g(g,q,fy)=65.5 kNm
4) β = 5.74
11 Esercizio 9
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per sforzo normale dell’asta 2-3, di lunghezza L=2m della struttura
reticolare in acciaio di figura 1. L’angolo α è di 8°. La rottura si verifica quando lo sforzo normale
sollecitante NS è uguale o supera lo sforzo normale resistente NR della sezione trasversale. Si
assume NR=As·fy, dove As e fy sono, rispettivamente, l’area della sezione trasversale (As=1742
mm2) e la tensione di snervamento dell’acciaio.
Si assume il seguente modello probabilistico:
P ~ N(μ=22, σ=4.4) kN
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di NR e NS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(NR ≤ NS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali F e fy corrispondenti
ai valori 0.873 e 0.425 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa. Infine, si chiede di
valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) NR ~ N(μ=487.8, σ=39) kN
NS ~ N(μ=234.8, σ=47) kN
2) PR = 1.72·10-5
3) 0.873 → P=27 kN
0.425 → fy=275.8 N/mm2
g(P,fy)=192 kN
4) β = 4.14
12 Esercizio 10
Figura 1: schema strutturale
Si vuole studiare lo SLU per sforzo normale del tirante in acciaio (l’elemento inclinato) della
copertura di figura 1. La rottura si verifica quando lo sforzo normale sollecitante NS è uguale o
supera lo sforzo normale resistente NR della sezione trasversale. Si assume NR=As·fy, dove As e fy
sono, rispettivamente, l’area della sezione trasversale del tirante e la tensione di snervamento
dell’acciaio. Si considera As = 78.5 mm2.
Si assume il seguente modello probabilistico:
q ~ N(μ=3, σ=0.7) kN/m
fy ~ N(μ=280, σ=22.4) N/mm2.
Si chiede di:
1) definire il tipo di distribuzione, media e deviazione standard (con unità di misura) di NR e NS;
2) stimare la probabilità di rottura PR=P(NR ≤ NS) con il metodo di livello 3;
3) spiegare l’applicazione del metodo Monte Carlo al problema in esame, specificando il numero
di simulazioni da effettuare. Inoltre, si chiede di generare i valori casuali g, q e fy
corrispondenti ai valori 0.123 e 0.845 delle rispettive funzioni di distribuzione cumulativa.
Infine, si chiede di valutare la funzione di stato limite con i due valori casuali generati;
4) calcolare l’indice di affidabilità β con i metodi MVFOSM e AFOSM.
Risultati:
1) NR ~ N(μ=22, σ=1.8) kN
NS ~ N(μ=9.5, σ=2.1) kN
2) PR = 2.82·10-6
3) 0.123 → q=2.2 kN/m
0.845 → fy=302.7 N/mm2
g(q,fy)=16.7 kN
4) β = 4.54
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