Linearizzazione del legame ingresso

Linearizzazione del legame ingresso-stato
P. Valigi
Ottimizzazione e Controllo
10 Marzo 2014
OeC - 10.03.2014
Linearizzazione I-S
Il problema
x˙ = f (x) + g (x)u,
y = h(x), y ∈ R
∈ Rn , u ∈ R
Trovare un nuovo sistema di coordinate e una legge di controllo in
retroazione statica dalla stato tale che il sistema a ciclo chiuso, nelle
nuove coordinate, abbia un legame ingresso-stato completamente lineare.
Idea: utilizzare il concetto di grado relativo.
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Linearizzazione I-S
Esempio
Esempio (4.2.4 di Isidori)
  x 


 x 
0
e2
0
e2
x˙ =  x1 + x22  +  ex2  u, f (x) =  x1 + x22  , g (x) =  ex2 
x1 − x2
0
x1 − x2
0

y = x3 ,
h(x) = x3
Un poco di algebra:
Lg h(x)
=
0,
Lf h(x) = x1 − x2 ,
Lg Lf h(x)
Lg L2f h(x)
=
=
0, L2f h(x) = −x1 − x22 ,
−(1 + 2x2 )ex2 , L3f h(x) = −2x2 (x1 + x22 )
Il grado relativo `e tre, per tutti i punti per i quali Lg L2f h(x) 6= 0, e cio`e
tali che x2 6= −1/2.
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Linearizzazione I-S
Esempio
Esempio (4.2.4 Isidori)
Intorno a punti di questo tipo, ad esempio intorno all’origine, punto di
equilibrio del sistema, il sistema pu`
o essere reso lineare tramite la
retroazione
v
−2x2 (x1 + x22 )
−
u=
(1 + 2x2 )ex2
(1 + 2x2 )ex2
ed il sistema di nuove coordinate:
z1 = x3 ,
z2 = Lf h = x1 − x2 ,
z3 = L2f h = −x1 − x22 .
Il sistema, nelle nuove coordinate e dopo la retroazione, `e descritto dal
modello lineare e raggiungibile:
z˙ 1 = z2 ,
z˙ 2 = z3 ,
z˙ 3 = v .
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Linearizzazione I-S
Il problema
Problema (Linearizzazione esatta nello spazio di stato)
Dato il sistema dinamico scalare
x˙ = f (x) + g (x)u,
∈ Rn , u ∈ R
e dato un punto xd del suo spazio di stato, trovare, se possibile, una
legge di controllo
u = α(x) + β(x)v
ed una trasformazione di coordinate, un diffeomorfismo,
z = Φ(x)
tale che il sistema, nelle nuove coordinate ed a ciclo chiuso, in un
intorno, anche ampio, del punto xd sia lineare e raggiungibile, e quindi
esprimibile nella forma:
z˙ = Az + bv .
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Linearizzazione I-S
Potenziale difficolt`a: l’uscita, il modello
Poich´e l’uscita non fa parte del processo di sintesi/progetto, non vi `e
alcuna garanzia di ottenere anche linearit`a ingresso-uscita.
L’approccio funziona bene se il modello `e “sufficientemente” noto.
Possibili rimedi: controllo adattivo, controllo robusto, stima
parametrica, identificazione, ...
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Linearizzazione I-S
Strumenti
m campi vettoriali f1 , . . . , fm , definiti tutti nello stesso dominio
A1 ⊆ Rn .
Fissato x ∈ A1 , i campi vettoriali si riducono vettori, e determinano
un sottospazio vettoriale G(x) di Rn .
Associazione tra x ∈ A1 ed un sottospazio vettoriale di Rn .
Una distribuzione G `e una mappa che associa ad ogni punto di un
dominio A1 , un sottospazio vettoriale.
Dati i campi vettoriali f1 , . . . , fm , la corrispondente distribuzione sar`a
denotata con
G := span{f1 , . . . , fm }.
Alle distribuzioni possono essere estesi tutti i concetti associabili agli
spazi vettoriali, in particolare `e ben definita l’immagine di una
distribuzione ed il rango di una distribuzione.
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Linearizzazione I-S
Strumenti
Un’operazione fondamentale tra campi vettoriali `e la parentesi di Lie:
dati due campi vettoriali f e g , si dice parentesi di Lie, o prodotto di Lie,
e si indica con [f , g ], (od anche con adf g ), il vettore cosi ottenuto:
[f , g ] :=
∂g
∂f
f −
g.
∂x
∂x
Ricorsivamente si definisce la parentesi di Lie di ordine i come:
adfi g := [f , adfi −1 g ],
adf0
g := g .
i ≥ 1,
Si noti che il prodotto di Lie tra due vettori pu`
o essere visto come la
generalizzazione al caso non lineare del noto prodotto lineare A b tra una
matrice A ed un vettore b, infatti [Ax, b] = −A b.
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Linearizzazione I-S
Uscita aggiunta
Il problema pu`
o essere risolto se si riesce a trovare una funzione λ(x),
interpretabile come funzione di “uscita aggiunta”, tale che il sistema:
x˙ = f (x) + g (x)u,
y = λ(x)
x ∈ Rn
abbia grado relativo pari ad n in un intorno del punto xd di interesse.
In tal caso, il cambio di coordinate e la retroazione che possono essere
determinati garantiscono linearit`a e raggiungibilit`a della mappa dinamica
ingresso-stato.
Nel caso di una funzione di uscita “aggiunta” λ, non `e invece garantita in
alcun modo la linearit`a della mappa stato-uscita.
Si noti comunque come la linearit`a della mappa ingresso-stato sia ben pi`u
rilevante di quella di uscita, perch´e tale linearit`a consente di imporre, in
modo immediato, comportamenti transitori arbitrari.
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Linearizzazione I-S
La soluzione
Ricordando il concetto di grado relativo, una funzione λ per il problema `e
soluzione della equazione alle derivate parziali di ordine superiore:
Lg λ(x)
=
0,
Lg Lf λ(x)
=
..
.
0,
Lg Lfn−2 λ(x) =
Lg Ln−1
λ(xd ) 6=
f
0,
0,
o, equivalentemente, della equazione alle derivate parziali del primo
ordine:
Lg λ(x)
= 0,
Ladf g λ(x)
= 0,
..
.
= 0,
Lad n−2 g λ(x)
f
Lad n−1 g λ(xd )
f
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6= 0.
Linearizzazione I-S
Le condizioni:involutivi`a
Lo studio dell’esistenza di una soluzione per tale sistema pu`
o essere
condotto tramite un’applicazione del teorema di Frobenius, che richiede,
come condizione principale, la involutivit`a della distribuzione generate
dalle parentesi di Lie dei campi vettoriali f e g .
Definizione (Distribuzione involutiva)
Una distribuzione G = span{f1 , . . . , fm } si dice involutiva se la parentesi
di Lie di due vettori qualunque della distribuzione `e un vettore ancora
appartenente alla distribuzione:
[fi , fj ] ∈ G,
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∀i, j = 1, . . . , m.
Linearizzazione I-S
Teorema
Teorema (Linearizzazione ingresso-stato mediante trasformazione e retroazione)
Dato il sistema non lineare
x˙ = f (x) + g (x) u,
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , u ∈ R,
con xd punto di equilibrio per il sistema omogeneo [f (xd ) = 0], esiste un
diffeomorfismo
z = φ(x),
ed una retroazione non lineare dallo stato
u = α(x) + β(x) v ,
tali che, in un intorno A (anche grande) del punto xd , il sistema a ciclo chiuso,
nelle nuove coordinate, sia esprimibile come:
z˙ = A z + b v ,
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Linearizzazione I-S
Teorema
Teorema (Linearizzazione ingresso-stato (2))
. . . il sistema a ciclo chiuso, nelle nuove coordinate, sia esprimibile come:
z˙ = A z + b v ,
con

0
0

A = .
 ..
0
se e solo se
1 0
0 1
.. ..
. .
0 0
···
···
..
.
···

0
0

.. 
.
0
 
0
0
 
b = . ,
 .. 
1
la distribuzione Gn = {g , adf g , . . . , adfn−1 g } ha rango n
nell’intorno A,
la distribuzione Gn−1 = {g , adf g , . . . , adfn−2 g } `e involutiva
nell’intorno A.
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Linearizzazione I-S
Commento
Le tecniche di trasformazione e retroazione utilizzate nei teoremi
precedenti possono essere viste come delle generalizzazioni delle
corrispondenti operazioni eseguite su di un sistema lineare per
trasformarlo nella forma canonica di Brunowsky, o forma canonica di
controllore.
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Linearizzazione I-S
Esempio (J.K. Hedrick, A. Girard)
(
x˙1
x˙2
= x2 + x13 + u
= −u
f (x) =
x2 + x13
,
0
g=
1
−1
Condizioni
1
distribuzione G2 = {g , adf g } rango 2
2
distribuzione G1 = {g } involutiva.
2 ⇒ Involutivit`a: ogni vettore g `e involutivo.
1 ⇒ Rango pieno di G2
[f , g ] =
G2
=
2
∂g
∂f
0
3x1 1
1
1 − 3x12
f −
g=
f −
=
0
0 0 −1
0
∂x
∂x
2
1 −3x1
{g , adf g } =
1
0
2
1
1 −3x1 +
det
= 3x12 − 1 6= 0 iff x1 6= ± √
−1
0
3
adf g =
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Linearizzazione I-S
Esempio (J.K. Hedrick, A. Girard)
Uscita “aggiunta” λ(x) tale che
Lg λ =
0⇒
Ladf g λ 6=
0
∂λ
∂x1
∂λ
∂x2
1
=0
−1
La prima condizione implica:
∂λ
∂x1
λ(x)
=
=
La seconda condizione diviene:
∂λ 1 − 3x12
∂λ
0
∂x1 ∂x2
∂λ
∂x2
x1 + x2
=
∂λ
(1 − 3x12 ) 6= 0.
∂x1
Le nuove coordinate sono date da:
z1
= λ = x1 + x2
z2
= Lf λ = z˙1 = x˙1 + x˙2 = x13 + x2 + u − u = x13 + x2
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Linearizzazione I-S
!!
Esempio (J.K. Hedrick, A. Girard)
z1
=
λ = x1 + x2
z2
=
x13 + x2
Il sistema nelle nuove coordinate:
z˙1
z˙2
=
=
z2
3x˙1 x12 + x˙2 = 3x12 (x2 + x13 ) + (3x12 − 1)u
La legge di controllo linearizzante:
=
u
−3x12 (x2 + x13 ) + v
3x12 − 1
e quindi il sistema lineare:
z˙1
= z2
z˙2
= v
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Linearizzazione I-S
Esempio (J.K. Hedrick, A. Girard)
Legge di controllo per il sistema lineare.
Obiettivo per il sistema originale: regolare x1 ad un valore costante
assegnato (set-point) pari a x1,r . Si vuole ottenere:
1
.
x1 6= ± √
lim x1 (t) = x1,r
t→∞
3
Si pu`
o porre:
v
k1 , k2
=
:
−k1 (z1 − z1,r ) − k2 z2 ,
q 2 + k2 q + k1 polinomio di Hurwitz (radici parte reale negativa)
z1,r
z1
=
=
??
x1 + x2 ⇒ z1,r = x1,r + x2,r ,
x˙1
=
z1,r
=
x13
+ x2 + u = 0 ⇒
3
x1,r − x1,r
x13
x2,r =??
3
+ x2 = 0 ⇒ x2,r = −x1,r
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