Propositions et prédicats Exercices

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Propositions et pr´edicats
Exercices
1
Exercice
Soit V et F deux propositions respectivement vraie et fausse, et P une proposition.
Simplifier les propositions suivantes :
1. P ∧ F
2. P ∨ V
3. (P ∨ V ) ∧ F
4. (P ∧ V ) ∨ F
5. (P ∨ F ) ∧ V
6. (P ⇒ V ) ⇔ P
2
Exercice
Soit trois propositions a, b et c donner la table de v´erit´e des propositions suivantes :
1. a ∧ (b ⇒ a)
2. b ∨ (¬b ⇔ c)
3. (a ∨ b) ∧ ¬c
4. ¬a ∨ ¬b ∨ ¬c
5. ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c
6. (a ⇒ b) ∧ (c ⇒ b)
7. (a ⇒ b) ∨ (c ⇒ b)
3
Exercice
Soient P , Q et R trois propositions, dire si les deux propositions suivantes sont ´equivalentes :
(P ⇒ Q) ⇒ R
P ⇒ (Q ⇒ R)
4
Exercice
Soient a et b deux propositions, donner la n´egation des propositions suivantes et les simplifier :
1. ¬a ⇒ b
2. a ∨ b
3. a ⇔ ¬b
4. (¬a ∨ b) ∧ (a ∨ ¬b)
5
Exercice
Soit la proposition A : P ⇔ Q o`
u P et Q sont deux propositions quelconques. Donner une proposition B
´equivalente `
a la proposition A en n’utilisant que les symboles ¬ et ∨.
S.Mirbel
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6
Exercice
Soit ∗ une nouvelle op´eration telle que pour deux propositions a et b on a a ∗ b = ¬a ∧ b.
1. Donner la table de v´erit´e
2. Donner la table de v´erit´e
Soit c une proposition.
3. Donner la table de v´erit´e
4. Donner la table de v´erit´e
5. Donner la table de v´erit´e
6. Donner la table de v´erit´e
7. Donner la table de v´erit´e
7
de l’op´eration a ∗ b.
de la proposition ¬ (a ∗ b).
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
proposition
proposition
proposition
proposition
proposition
(a ∗ b) ∧ c.
(a ∗ b) ∨ c.
(a ∗ b) ⇒ c.
(a ∗ b) ⇔ c.
a ∗ b ∗ c.
Exercice
Le connecteur ”nand”.
La barre de Sheffer est le connecteur binaire qui, `a toutes les propositions P , Q associe la proposition, not´ee
P |Q, ´equivalente `
a ¬ (P ∧ Q).
Ce connecteur est aussi appel´e ”nand”, contraction de ”no and”, c’est-`a-dire ”non et”.
´
1. Etablir
la table de v´erit´e de P |Q.
2. D´emontrer que pour toute proposition P , P |P ⇔ ¬P .
3. D´eduire de la d´efinition de P |Q et du r´esultat pr´ec´edent une proposition ´equivalente `a P ∧ Q dans
laquelle seul le connecteur | apparaˆıt.
4. D´emontrer `
a l’aide des lois de Morgan que, pour toutes propositions, P , Q,
P ∨ Q ⇔ ((P |P ) | (Q|Q)).
5. R´e´ecrire P ⇒ Q puis P ⇔ Q en n’utilisant que le connecteur |.
8
Exercice
Le connecteur ”nor”.
La connecteur de Peirce est le connecteur binaire qui, `a toutes les propositions P , Q associe la proposition,
not´ee P ↓ Q, ´equivalente `
a ¬ (P ∨ Q). Ce connecteur est aussi appel´e ”nor”, contraction de ”no or”,
c’est-`
a-dire ”non ou”.
1. D´emontrer que pour toute proposition P , ¬P ⇔ P ↓ P .
2. P et Q ´etant des propositions quelconques, d´eterminer une proposition ´equivalente `a P ∨ Q dans laquelle
seul le connecteur ↓ apparaˆıt.
3. P et Q ´etant des propositions quelconques, d´eterminer une proposition ´equivalente `a P ∧ Q dans laquelle
seul le connecteur ↓ apparaˆıt.
4. R´e´ecrire P ⇒ Q puis P ⇔ Q en n’utilisant que le connecteur ↓.
9
Exercice
1. P , Q, R ´etant des propositions quelconques, ´etablir la table de v´erit´e de chacune des propositions :
P ↓ (Q|R)
(1)
(P ↓ Q) | (P ↓ R)
(2)
Ces 2 propositions sont-elles ´equivalentes ?
2. Mˆeme question en permutant ↓ et |.
S.Mirbel
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10
Exercice
On donne les propositions suivantes :
∀x ∈ N, ∃y ∈ N, x < 10y
∃x ∈ N, ∀y ∈ N, x < 10y
1. Traduire par une phrase chacune des propositions,
2. Donner la v´erit´e de chacune de ces propositions,
3. Est-ce que ces deux propositions sont contraires (l’une la n´egation de l’autre) ? Justifier.
4. Est-ce que ces deux propositions sont ´equivalentes ? Justifier.
11
Exercice
soient les deux propositions suivantes :
∀x ∈ N, ∃y ∈ N, x < y
∃y ∈ N, ∀x ∈ N, x < y
Traduire ces deux propositions par une phrase, et donner la v´erit´e de chacune d’elle.
Peut-on permuter des quantificateurs ?
12
Exercice
1. Traduire par des quantificateur : ”il existe un entier naturel inf´erieur ou ´egal `a tous les autres entiers
naturels.”
2. Donner la v´erit´e de cette proposition.
13
Exercice
Donner la n´egation des propositions suivantes :
1. ∀x ∈ N, x < 200
2. ∃x ∈ N ∧ x > 2, x + 1 < 4
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