08 - Reti Bayesiane

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Reti
bayesiane
introduzione
Vittorio Maniezzo – Università di Bologna
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Ringraziamenti
Questi lucidi derivano anche da adattamenti personali di
materiale prodotto (fornitomi o reso scaricabile) da:
wikipedia, P. Smyth, D. HeckerMann.
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1
Introduzione
Una rete bayesiana (Bayesian Network, BN) è un modello
grafico che serve a rappresentare una relazione non
deterministica fra un insieme di variabili.
Aiutano nella gestione di:
• insiemi di dati incompleti (mancano alcuni attributi per
qualche dato)
• apprendimento di reti causali
• combinazione di dati e conoscenze di dominio
E’ un formalismo probabilistico.
3
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Spazio di campionamento
Probabilità,
ripasso
Lo spazio di campionamento  è l’universo dei risultati
elementari, , di un esperimento. Spesso nelle
introduzione i risultati elementari sono equiprobabili (dadi,
monete, carte, roulette, urne, ...) e pochi.
Un evento a è un insieme di risultati.
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Misure di probabilità
Probabilità,
ripasso
Ogni evento (insieme di risultati) è associato ad una
probabilità tramite una funzione detta misura di
probabilità che gode di tre fondamentali proprietà:
1. La probabilità di ogni evento è compresa fra 0 e 1.
2. La probabilità dell’universo  è 1 ( p()=1).
3. Se a e b sono due eventi (insiemi di risultati) con
nessun elemento in comune, la probabilità della loro
unione è la somma delle loro probabilità
(p(ab)=p(a)+p(b) ).
Inoltre, la probabilità che un evento non accada è il
complemento a quella che accada ( p(a) = 1-p(a) )
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Probabilità congiunta
La probabilità che un evento a si verifichi è la sua
probabilità marginale, p(a). Es, pesco un asso o estraggo
una pallina tonda.
La probabilità congiunta di due eventi a e b è la probabilità
che si verifichino contemporaneamente, p(a,b). Es., pesco
l’asso di coppe o estraggo una pallina quadrata (?) rossa.
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3
Probabilità condizionata
Probabilità,
ripasso
La probabilità dell’evento a condizionata da b (probabilità
di a dato b, p(a|b)) è la probabilità che si verifichi a
sapendo che si verifica b.
p(a) è la probabilità a priori (prior probability), p(a|b) la
prob. a posteriori (posterior probability).
Sapendo che b è vero, l’universo di interesse si riduce a b
(ho estratto una pallina tonda, con che prob. è rossa?).
𝑝 𝑎 𝑏 = 𝑝(𝑎∩𝑏)
𝑝(𝑏)
a
a∩b
b
𝑝 𝑏 𝑎 = 𝑝(𝑎∩𝑏)
𝑝(𝑎)
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Variabili casuali
Probabilità,
ripasso
Anche dette variabili stocastiche o variabili aleatorie.
Non sono variabili. Sono funzioni.
• Dominio: lo spazio di campionamento,
• Codominio: numeri reali.
Permettono di tradurre gli eventi, qualsiasi siano, in numeri.
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Probabilità,
ripasso
Distribuzione di probabilità
Un insieme di numeri con somma 1 è una distribuzione.
Una distribuzione di probabilità F è una funzione
matematica che, per ogni valore della variabile, fornisce la
probabilità che venga osservato quel valore.
Es. per un dado, F(1) = F(2) = F(3) = F(4) = F(5) = F(6) = 1/6.
Nel caso di variabili aleatorie continue la distribuzione di
probabilità diventa una funzione densità di probabilità, il cui
integrale vale 1.
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Probabilità
Probabilità,
ripasso
Approccio oggettivista (o frequentista): considera la
probabilità come un’entità misurabile, legata alla frequenza
di accadimento (base statistica)
Probabilità classica: probabilità oggettiva (vera) di un
evento
Approccio soggettivista: considera la probabilità una misura
del grado di attesa soggettivo del verificarsi di un evento
(base cognitiva)
Probabilità Bayesiana: grado con cui si crede che un
evento accada
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5
Probabilità,
ripasso
Probabilità
Tre leggi alla base della teoria delle probabilità classica:
• Condizione di convessità: 0 ≤ 𝑝(𝑒) ≤1
• Additività semplice: 𝑝 𝑎 ∪ 𝑏 ≤ 𝑝 𝑎 + 𝑝(𝑏)
• Regola del prodotto: 𝑝(𝑎, 𝑏) = 𝑝 𝑎 𝑏 𝑝 𝑏 = 𝑝 𝑏 𝑎 𝑝(𝑎)
Dalla terza proprietà deriva direttamente il Teorema di Bayes:
𝑝 𝑎𝑏 =
𝑝 𝑏 𝑎 𝑝(𝑎)
= 𝐾 𝑝 𝑏 𝑎 𝑝(𝑎)
𝑝(𝑏)
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Teorema di Bayes
Probabilità,
ripasso
Teorema di Bayes: apprendimento dall’esperienza
𝑝 𝑎 𝑏 = 𝐾 𝑝 𝑏 𝑎 𝑝(𝑎)
𝑝(𝑎)
probabilità a priori
𝑝 𝑎 𝑏 probabilità a posteriori
𝑝 𝑏 𝑎 verosimiglianza
𝐾
fattore di normalizzazione
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Teorema probabilità totale
Probabilità,
ripasso
Teorema della probabilità totale (o della marginalizzazione)
p(𝑎) =
𝑏 𝑝(𝑎, 𝑏) =
𝑏𝑝
𝑎 𝑏 𝑝(𝑏)
e quindi:
data la probabilità congiunta (es., p(a,b,c)) si può ottenere una
probabilità marginale (es., p(b)) sommando le altre variabili:
p(b) = Sa Sc p(a, b, c)
data la probabilità congiunta possiamo calcolare qualunque
probabilità condizionale :
p(c | b) =
𝑎 𝑝(𝑎, 𝑐|𝑏) =
1/p(b)
𝑎 𝑝(𝑎, 𝑏, 𝑐)
(dove 1/p(b) è una costante di normalizzazione)
Dalla probabilità congiunta si può ricavare qualunque probabilità di
interesse.
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Probabilità,
ripasso
Concatenazione (o fattorizzazione)
Per definizione di prob. congiunta:
𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐, … = 𝑝 𝑎 𝑏, 𝑐, … 𝑝(𝑏, 𝑐, … )
Ripetendo il procedimento
𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑧 = 𝑝 𝑎 𝑏, 𝑐, … , 𝑧 𝑝 𝑏 𝑐, … , 𝑧 𝑝 𝑐 … , 𝑧 𝑝(𝑧)
Questa fattorizzazione può essere fatta con un qualunque
ordinamento delle variabili
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Indipendenza condizionale
Probabilità,
ripasso
Un evento a è condizionalmente indipendente da un evento b, dato
l’evento c, se
p(a|b,c) = p(a|c) (indipendenza stocastica subordinata)
In pratica a è condizionalmente indipendente da b, dato c, se la
conoscenza di b non porta a nessuna ulteriore variazione della
probabilità di a rispetto a quella apportata dall’avverarsi di c.
Dall’indipendenza condizionale di a e b dato c otteniamo:
p(a,b|c) = p(a|c)p(b|c) = p(b,a|c)
Se c è un insieme vuoto:
p(a,b) = p(a)p(b) (noncorrelazione)
Generalizzando a più variabili casuali: assunzione naïve di Bayes
p(x1, x2,…. xk | c) = i p(xi | c)
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Indipendenza marginale
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Probabilità,
ripasso
Due variabili a e b sono marginalmente indipendenti se
p(a,b)=p(a)p(b) o, equivalentemente, p(a|b)=p(a)
a e b sono condizionalmente indipendenti data una terza
variabile c se p(a,b|c)=p(a|c)p(b|c) o equivalentemente
p(a|b,c)=p(a|c)
Indipendenza marginale e condizionale sono due concetti
differenti e non legati tra loro.
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Inferenza probabilistica
Probabilità,
ripasso
Dato un insieme di eventi e1,e2,..,ek e tutte le possibili
combinazioni dei loro valori Vero e Falso,
supponendo di:
• conoscere tutti i valori di prob. congiunta p(e1,e2,...,ek)
• conoscere il valore di un sottoinsieme di variabili, per es.
ej = e (ad es. Vero)
si chiama inferenza probabilistica il processo di calcolo dei
valori p(ei=vero|ej=e)
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Reti Bayesiane
Le reti bayesiane sono una struttura che rappresenta le indipendenze
condizionali
Sono DAG (grafi orientati aciclici) i cui nodi sono eventi (E)
Una rete bayesiana stabilisce che ogni nodo, dati i suoi immediati
ascendenti (parents, P), è condizionalmente indipendente da ogni
altro che non sia suo discendente
Cioè, per ogni e del grafo p(e|a,p(e)) = p(e|p(e)) per ogni a che non
sia discendente di e.
Le reti bayesiane sono chiamate anche reti causali, perché gli archi
che connettono i nodi possono essere visti come se rappresentassero
relazioni causali dirette
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Reti Bayesiane
La rete Bayesiana specifica le distribuzioni congiunte in una forma
strutturata: rappresenta dipendenze/indipendenze con un gafo
orientato
• Nodi = variabili casuali
• Edge = dipendenze dirette
In generale,
p(x1, x2,....xn) =
 p(xi | ascendenti(xi ) )
Distribuzione congiunta
Base della rappresent. del grafo
Topologia del grafo  relazioni di indipendenza condizionale
Il grafo deve essere aciclico
Necessario specificare due elementi
• La topologia del grafo (assunzioni di indipendenza condizionale)
• Distribuzioni di probabilità (per ogni variabile dati i suoi padri)
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Reti Bayesiane
Le reti Bayesiane (definizione)
• Le reti Bayesiane usano dei grafi per catturare le assunzioni di
indipendenza condizionale all’interno di un set di variabili.
• Una BN ha due componenti principali: un grafo diretto aciclico
(DAG) e un set di distribuzioni di probabilità condizionali.
Nel DAG:
• I nodi rappresentano variabili casuali
• Gli archi sono diretti e rappresentano dipendenze tra le variabili
• Ad ogni nodo è associata una distribuzione di probabilità
condizionale.
• Nel caso di variabili discrete, le distribuzioni di probabilità sono
rappresentate con tabelle che contengono i valori di probabilità di
un nodo in funzione di tutte le possibili configurazioni dei nodi
ascendenti (nodi da cui parte un arco che punta al nodo di
interesse).
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Apprendimento delle BN
Due problemi:
• Apprendere le probabilità condizionali, nota la struttura
della rete
• Apprendere sia la struttura della rete che le probabilità
condizionali
In entrambi i casi si sfrutta la fattorizzazione della
probabilità congiunta delle variabili
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Applicazioni: esempi
• Diagnosi mediche (Pathfinder, 1990)
• Analisi decisionale (si incorporano nodi dei valori e nodi di
decisione, si parla allora di diagrammi di influenza)
• Diagnosi di reti mobili (cellulari)
• Analisi di dati finanziari
• Previsioni meteorologiche
• Esplorazioni in campo petrolifero
• Interazione software-utente (Microsoft, progetto
Lumiere)
• Valutazione rischio (http://www.bayesianrisk.com/)
• Data mining
• Comprensione di storie
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Risorse per BN
• Ambienti freeware di sviluppo di reti bayesiane: MSBNx di
Microsoft (http://research.microsoft.com/adapt/MSBNx/)
• JavaBayes: http://www-2.cs.cmu.edu/~javabayes/Home/
• List of BN software
http://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Software/bnsoft.html\
• BNT: inference and learning, Matlab, open source
• MSBNx: inference, by Microsoft, free closed source
• OpenBayes: inference and learning, Python, open source
• BNJ: inference and learning, Java, open source
• Weka: learning, Java, open source
• List of BN Models and Datasets:
http://www.cs.huji.ac.il/labs/compbio/Repository/
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Esempio di rete Bayesiana
B
A
p(a,b,c) = p(c|a,b)p(a)p(b)
C
• Il modello stocastico ha una forma semplice, fattorizzata
• Archi orientati => dipendenza diretta
• Archi assenti => indipendenza condizionale
Vengono anche chiamate belief networks, graphical models, causal
networks, …
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Reti Bayesiane a 3 variabili
a
b
c
Indipendenza marginale:
p(a,b,c) = p(a) p(b) p(c)
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Reti Bayesiane a 3 variabili
Indipendenze condizionali:
p(a,b,c) = p(b|a)p(c|a)p(a)
A
B
b e c sono condizionatamente indipendenti
dato a
C
es., a è una malattia e b e c sono sintomi
indipendenti di a (dato a)
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Reti Bayesiane a 3 variabili
A
B
Cause indipendenti:
p(a,b,c) = p(c|a,b)p(a)p(b)
C
Effetto di spiegazione:
Dato c, osservare a rende b meno
plausibile (v. esempio dopo)
a e b sono marginalmente
indipendenti, ma diventano dipendenti
se si conosce c
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Reti Bayesiane a 3 variabili
A
B
C
Dipendenza markoviana:
p(a,b,c) = p(c|b) p(b|a)p(a)
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Esempio (al mondo fanno tutti questo)
Modello causale dello scatto di un allarme antifurto in casa mentre io
sono in vacanza. Basato su 5 variabili stocastiche binarie:
• B = un ladro è entrato in casa
• E = c’è stato un terremoto a casa
• A = l’allarme scatta
• J = il vicino John chiama per segnalare l’allarme
• M = la vicina Mary chiama per segnalare l’allarme
• Quanto vale p(B | M, J) ?
Facile rispondere se si conoscono tutte le probabilità congiunte
‐ Necessarie 25 = 32 probabilità
‐ Possibile utilizzare della conoscenza di dominio per definire una
rete Bayesiana che utilizza meno probabilità.
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Costruzione della rete: Step 1
Si ordinano la variabili in ordine causale (ordinamento parziale)
Qualunque ordinamento di variabili è permesso. Euristicamente,
si parte dalle cause e si va verso gli effetti.
Nell’esempio {B, E}, A, {J, M}  4 possibili ordinamenti.
Es., {E, B} -> {A} -> {J, M}
P(J, M, A, E, B) = P(J, M | A, E, B) P(A| E, B) P(E, B)
 P(J, M | A)
P(A| E, B) P(E) P(B)
 P(J | A) P(M | A) P(A| E, B) P(E) P(B)
Queste assunzioni di indipendenza condizionale definiscono la
topologia della rete Bayesiana.
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La rete Bayesiana
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Costruzione della rete: Step 2
p(J,M,A,E,B) = p (J|A) p(M|A) p(A|E,B) p(E) p(B)
Necessarie:
3 tabelle di probabilità condizionale:
p (J | A), p(M | A), p(A | E, B)
• Necessarie 2 + 2 + 4 = 8 probabilità
2 probabilità marginali p(E), p(B)
Queste 10 probabilità derivano da:
• conoscenza di esperti
• dati (stime di frequenze relative)
• una combinazione delle due
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Num probabilità in ingresso
Modello con n variabili binarie
Le tabelle di probabilità congiunte richiedono O(2n)
probabilità
Una rete Bayesiana con un massimo di k padri per nodo
richiede O(n 2k) probabilità
Esempio per n=30 e k=4
• probabilità congiunte: 230  109 probabilità
• rete Bayesiana: 30  24 = 480 probabilità
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Diversi ordinamenti delle variabili
Con ordinamento M, J, A, B, E
MaryCalls
JohnCalls
Alarm
p(J|M) = p(J) ?
Burglary
No
p(A|J,M) = p (A|J) ? p(A|J,M) = p (A) ?
p(B|A,J,M) = p (B|A) ?
Si
p(B|A,J,M) = p (B) ?
No
p(E|B, A,J,M) = p (E|A) ?
No
No
Earthquake
p(E|B,A,J,M) = p (E|A,B) ? Si
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Diversi ordinamenti delle variabili
MaryCalls
JohnCalls
Alarm
Burglary
Earthquake
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Inferenza nelle reti Bayesiane
SI vuole rispondere a una domanda tramite una rete Bayesiana
• Q = variabili nella query
• e = conoscenza pregressa (coppie istanziate variabile-valore)
• Inferenza = calcolo della distribuzione condizionale p(Q|e)
Esempio
• p(furto | allarme)
• p(terremoto | JCalls, MCalls)
• p(JCalls, MCalls | furto, terremoto)
Si può utilizzare la rete per rispondere efficientemente a queste
domande. La complessità sarà inversamente proporzionale alla
sparsità del grafo.
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Tipi di inferenza
Q:query
E:evidenza disponibile
• Inferenza diagnostica:
dagli effetti alle cause.
p(Furto | JohnChiama )
• Inferenza causale:
dalle cause agli effetti.
p(JohnChiama | Furto)
p(MaryChiama | Furto)
• Inferenza intercausale: fra cause di un effetto comune.
p(Furto | Allarme)
p(Furto | Allarme Ʌ Terremoto)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
C
F
G
p(a, b, c, d, e, f, g) modellata come
p(a|b) p(c|bi p(f|e) p(g|e) p(b|d) p(e|d) p(d)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
g
Si vuole calcolare p(a | c, g)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
Calcolo diretto: 𝑝 𝑎 𝑐, 𝑔 =
𝑏𝑑𝑒𝑓 𝑝
g
𝑎𝑏𝑑𝑒𝑓 𝑐, 𝑔)
La complessità è O(m4)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
g
Riordinando:
Sd p(a|b) Sd p(b|d,c) Se p(d|e) Sf p(e,f |g)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
g
Riordinando :
Sb p(a|b) Sd p(b|d,c) Se p(d|e) Sf p(e,f |g)
p(e|g)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
g
Riordinando :
Sb p(a|b) Sd p(b|d,c) Se p(d|e) p(e|g)
p(d|g)
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Esempio: rete ad albero
D
A
B
E
c
F
g
Riordinando :
Sb p(a|b) Sd p(b|d,c) p(d|g)
p(b|c,g)
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Esempio: rete ad albero
D
B
E
c
F
A
g
Riordinando :
Sb p(a|b) p(b|c,g)
p(a|c,g)
Complessità O(m), non O(m4)
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Algoritmo per l'inferenza
Per calcolare p(q | e)
Step 1:
p(q | e) = p(q,e)/P(e) = a p(q,e), dato che p(e) è costante
rispetto a Q
Step 2:
p(q,e) = Sa..z p(q, e, a, b, …. z), per la legge della prob. totale
Step 3:
Sa..z
p(q, e, a, b, …. z) = Sa..z i p(variabile i | padri i)
(utilizzando la fattorizzazione Bayesiana)
Step 4:
Distribuisci le sommatorie sui prodotti per migliorare l'efficienza
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Complessità dell’inferenza
Assumendo che la rete sia un albero orientato (polytree), in cui cioè
esiste un solo cammino orientato fra ogni copia di nodi, la
complessità è O(n m K+1)
• n = numero di variabili
• m = arità (num valori assumibili) delle variabili
•K = massimo num di padri per nodo
• Forza bruta è O(mn-1)
Se la rete non è un polytree si prova a raggruppare variabili per
rendere il grafo un polytree.
La complessità diventa O(n m W+1), dove W è il num di variabili nel
cluster più grande.
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Grafi non polytree
D
A
B
E
C
F
G
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Grafi non polytree
D
A
B
E
C
F
G
Si raggruppa il minimo numero possibile di variabili
per convertire il grafo in un polytree
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Junction Tree
D
B, E
A
C
F
G
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Complessità dell’inferenza
Il problema di trovare l’ordinamento o il clustering delle variabili
ottimo per l’inferenza è NP-hard per grafi generici.
• Si utilizzano euristiche
• Esistono algoritmi efficienti per lavorare con BN anche grandi
Altri tipi di query possibili:
• Trovare i valori più probabili per una variabile data l’evidenza
disponibile
• arg max P(Q | e) = “spiegazione più probabile”, chiamata
maximum a posteriori query
• Può sfruttare la struttura del grafo come per l’inferenza,
sostanzialmente sostituendo le sommatorie con dei “max”
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Algoritmo Message Passing
Algoritmo Message Passing (MP, Pearl, 1988; Lauritzen
and Spiegelhalter, 1988), più efficiente
• Scegli un nodo (qualunque) come radice
• Due fasi di message-passing
1. i nodi passano i messaggi verso la radice
2. i messaggi sono ridistribuiti verso le foglie
• Si può calcolare p(…) in tempo O(n)
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Sketch di MP
2
1
3
4
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Junction Tree
D
B, E
A
C
F
G
Possibile MP anche su junction tree, ma la
complessità diventa O(K2)
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Variabili reali
Gestione variabili reali:
• Se le variabili sono distribuite in modo gaussiano, la teoria
dell’inferenza in BN è ben sviluppata. Essenzialmente si
sostituiscono le sommatorie con degli integrali.
• Per altre funzioni di ddp, molto meno.
• Problemi nella combinazione di più variabili (es. Come calcolare
la prob. congiunta di una Poissoniana e di una Gaussiana)
• Aggiustamenti pratici:
•Cercare di mettere le variabili reali come foglie del grafo, così
nessun’altra è condizionata da loro
•Assumere che tutte le variabili reali siano Gaussiane
•Discretizzare le variabili reali
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Reti Bayesiane: sommario
Una rete Bayesiana
• Rappresenta una distribuzione congiunta per mezzo di un grafo
• Fornisce una rappresentazione efficiente della distribuzione
congiunta
Inferenza nelle reti Bayesiane
• Inferenza = risposte a domande del tipo p(q | e)
• In generale intrattabili (compless. esponenziale nel num di var.)
• trattabile per certe classi di reti Bayesiane
• Disponibili algoritmi efficienti sul grafo equivalente
Altri aspetti rilevanti delle reti Bayesiane
• variabili reali
• altri tipi di domande
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