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Corrigé des exercices « aspect énergétique »
Exercice 1
 dans les situations représentées cidessous et préciser si ce travail est
Calculer le travail de la force F
résistant ou moteur.
Le travail de la force ⃗
F le long d'un trajet rectiligne Δ L et tel que l'angle entre la direction de la force
et la trajectoire est noté y est donné par Δ W =F Δ L cos ψ
Application numérique : F = 100 N, longueur du trajet 20 m
Déplacement vers la droite
y = 0 donc Δ W =100×20
soit Δ W =2000 J
Travail moteur
Déplacement vers la gauche
a = 40°
y = 180 – 40 = 140° car le solide
se déplace vers la gauche
Δ W =100×20 cos 140
Déplacement vers la droite
y = 90°, le travail est nul (cas du
travail du poids d'un solide sur une
trajectoire horizontale).
soit 1532 J (attention à l'unité
d'angle de la calculatrice)
Travail résistant
Déplacement vers le bas
y = 0 donc Δ W =100×20
soit Δ W =2000 J
Travail moteur
Déplacement vers la droite
Angle d'inclinaison 10°
y = 90 – 10 = 80° Déplacement vers la gauche
Angle d'inclinaison 10°
y = 90 + 10 = 100° Δ W =100×20 cos 80
Δ W =100×20 cos 100
soit 347 J (attention à l'unité
d'angle de la calculatrice)
Travail moteur
soit 347 J (attention à l'unité
d'angle de la calculatrice)
Travail résistant
Exercice 2
Un solide de masse m est déplacé sur un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. Le coefficient
de frottement entre le solide et le support est noté f.
1. Bilan des forces
B
⃗ du
a. Placer sur le schéma cicontre le poids P

solide ainsi que la réaction du support R .
Le point d'application du poids 
P est sur le centre
d'inertie, sa direction est verticale et son sens vers le bas
(en rouge sur le graphique). Si le solide se déplace vers la
droite alors la composante tangentielle de la réaction
s'oppose au déplacement, la composante normale est
perpendiculaire à la direction du plan incliné ; le vecteur
⃗
R représentant la réaction est en vert sur le graphique.
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b. Faire apparaître les composantes normale et tangentielle de la réaction du support.
Voir sur le graphique : en bleu la composante normale et en violet la composante tangentielle.
2. Principe fondamental de la dynamique
a. Écrire la relation entre les vecteurs 
P , 
R et T si le solide se déplace à vitesse constante.
⃗ +⃗
L'accélération est alors nulle ce qui donne P
R+ ⃗
T =⃗
0
b. Projeter l'équation précédente sur la normale à la trajectoire et en déduire une relation entre le module
Rn de la composante normale de la réaction, P et l'angle a.
La contribution de ⃗
P est égale à P cos α et comptée négative si l'axe est orienté vers le haut. La
⃗ elle
contribution de la réaction correspond à Rn et est comptée négative ; quant à la contribution de T
est égale à T. On en déduit −P cos α + Rn =0
c. Projeter l'équation précédente sur la tangente à la trajectoire et en déduire une relation entre le module
Rt de la composante tangentielle de la réaction, P , T et l'angle a.
La contribution de ⃗
P est égale à P sin α et comptée négative si l'axe est orienté vers la droite. La
⃗ elle
contribution de la réaction correspond à Rt et est comptée négative ; quant à la contribution de T
est nulle. On en déduit −P sin α−R t+ T =0
d. Application numérique : calculer Rn puis Rt et enfin T si m = 50 kg, a = 30° et f = 0,2
D'après la relation de la question b : Rn =P cos α=m g cos α=50×9,81 cos 30=425 N
Puisque f =
Rt
alors Rt =f . Rn =0,2×245=85 N
Rn
Et finalement T =P sin α+ R t=50×9,81×sin 30+ 85=330 N
3. Travaux des forces
a. Exprimer le travail de la force T pour un déplacement du point A au point B en fonction du
module de T et de AB.
La force et la trajectoire ont même direction et même sens donc Δ W T=T. AB
b. Exprimer le travail du poids pour un déplacement du point A au point B en fonction du module de

P de l'angle a et de AB.
Le poids et la trajectoire font un angle de 90+α (en degrés) donc Δ W P=mg. AB cos (90+ α)
c. Exprimer le travail de la composante tangentielle de la réaction pour un déplacement du point A au
point B en fonction de Rt et de AB.
La composante tangentielle de la réaction et la trajectoire ont même direction mais sont de sens opposés donc
Δ W R =R t . AB cos (180)=−R t . AB
t
d. Application numérique : Calculer tous les travaux précédents si AB = 100 m et vérifier que la somme
des travaux moteur est égale à la somme des travaux résistants.
Pour la force de traction : Δ W T=T. AB=330×100=33000 J
Pour le poids : Δ W P=50×9,81×100 cos( 90+30)=−24525 J
Pour les forces de frottements : Δ W R =−85×100=−8500 J
t
On vérifie bien que la somme des travaux est nulle (aux arrondis près).
Exercice 3
Un solide de masse m se déplace verticalement à une vitesse v.
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1. Exprimer le travail du poids de ce solide pour un déplacement d'une hauteur h vers le haut.
L'angle entre le poids et la trajectoire est égal à 180° donc Δ W =−mgh ; le signe « » siginfie qu'il
s'agit d'un travail résistant.
2. En déduire l'expression de la puissance nécessaire à ce déplacement en fonction de m, v et l'accélération
de la pesanteur.
La puissance, le travail et le temps sont reliés par Δ W =P Δ t donc P=
étant égale à la distance h parcourue pendant la durée Dt alors v =
Δ W −m g h
=
. La vitesse
Δt
Δt
h
, on obtient P=−m g v ; le
Δt
signe « » traduit qu'il faut fournir de l'énergie à la masse pour qu'elle monte.
3. Calculer cette puissance pour m = 400 kg et une vitesse de déplacement de 1 m/s puis de 0,5 m/s.
Pour 1 m/s : P=−m g v=−400×9,81×1=−3924 W
Pour 0,5 m/s : P=−m g v=−400×9,81×0,5=−1962 W
4. La motorisation électrique permettant ce déplacement a un rendement de 77%, calculer la puissance
absorbée dans chacun des cas.
Les puissances calculées cidessus correspondent à la puissance utile du moteur électrique, on recherche la
puissance absorbée Pa telle que η=
Pour 1 m/s : Pa =
P
avec h le rendement du moteur donc Pa = P
η .
Pa
3924
=5096 W
0,77
Pour 0,5 m/s : Pa =
1962
=2548 W
0,77
Exercice 4
Des alimentations « ininterruptibles » (« onduleurs ») utilisent des volants d'inertie comme unité de stockage
d'énergie (voir le schéma cidessous extrait de la revue 3EI n°48).
1. Calculer le moment d'inertie d'un volant
permettant de stocker 2 kWh pour une vitesse
de rotation de 40000 tr/min.
La relation donnant l'énergie cinétique pour un
dispositif de moment d'inertie J tournant à la
1
2
2
vitesse angulaire W est Ec = J Ω
avec Ec
en joules et W en rad/s
2 kWh correspondent à 2.103×3600=7,2 MJ
et 40000 tr/min correspondent à
2 π 40000
=4189 rad/s
60
D'où J =
2 Ec
Ω2
=
2×7,2 .106
2
=0,821 kg.m
2
4189
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1
2
2. Le moment d'inertie d'un cylindre plein tournant autour d'un axe est donné par la relation J = m R
2
avec m la masse du cylindre et R son rayon. Calculer la masse du cylindre du volant d'inertie précédent
pour un rayon égal à 10 cm.
On transforme la relation donnée pour extraire m et on utilise la valeur de J trouvée à la question précédente
2 J 2×0,821
=164 kg
ce qui donne m= 2 =
R
0,12
3. Calculer la durée pendant laquelle il restitue l'énergie emmagasinée si la puissance est égale à 110 kW.
On utilise la relation Δ W =P Δ t qui donne Δ t=
ΔW
2
−3
=
=18,2 .10 h≈65 s
P
110
Exercice 5
1. L'indice de protection contre les chocs (noté IK) est compris entre 0 (aucune protection) et 10
(protection contre les chocs d'impact égal à 20 J). Calculer la vitesse maximale d'une masse de 5 kg au
moment de l'impact lorsque IK = 1 (chocs d'impact égal à 0,15 J) puis lorsque IK = 10.
1
2
La relation donnant l'énergie cinétique Ec = m v
√
√
2
permet d'écrire v =
√
2 Ec
m
Pour IK = 1 : v = 2×0,15 =0,245 m/s
5
Pour IK = 10 : v = 2×20 =2,83 m/s
5
2. On utilise le dispositif représenté cicontre pour tester
l'indice de protection aux chocs d'un équipement. La
masse m est placée au bout d'un levier, de masse
négligeable, en pivot autour d'un axe de rotation
horizontal perpendiculaire au plan de la figure. Tous
les frottements sont négligés.
a. Calculer la valeur maximale de h si la masse est
égale à 5 kg et que IK = 10.
En position haute, l'énergie potentielle de la masse
Ep =mgh doit être égale à 20 J.
On obtient donc h=
Ep
20
=
=0,41 m
mg 5×9,81
b. Calculer m avec la même valeur de h que précédemment pour IK = 1.
L'énergie potentielle est maintenant égale à 0,15 J, on obtient m=
Ep
0,15
=
=0,037 kg
hg 0,408×9,81
Exercice 6
Une station de transfert d'énergie par pompage (STEP) est constituée d'un réservoir supérieur et d'un
réservoir inférieur. Les machines situées dans l'usine proche du réservoir inférieur peuvent fonctionner en
turbine, elles convertissent l'énergie mécanique en énergie électrique ; ou en pompe, elles convertissent
l'énergie électrique en énergie mécanique. Lorsque la demande d'énergie électrique est faible (heures
creuses), l'eau est remontée du réservoir inférieur vers le réservoir supérieur ; lorsque la demande d'énergie
électrique est élevée (heures pleines), l'eau est redescendue du réservoir supérieur vers le réservoir inférieur.
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Caractéristiques de la STEP de Grand'Maison :
Volume utile du réservoir supérieur (retenue de Grand'Maison) 134,8 hm 3
Hauteur de chute nominale : 926 m
Machines installées :
• Turbines : il y en a quatre. Les alternateurs accouplés ont une puissance utile de 157 MW avec un
rendement de 98,5% et les turbines accouplées (Pelton) ont un rendement de 90%.
• Turbines – pompes (réversibles) : il y en a huit. Les machines synchrones (alternateurs / moteurs)
accouplées ont une puissance électrique de 149 MW avec un rendement de 98,1% et les turbines pompes
accouplées ont un rendement de 89,4% en turbine et 89,8% en pompe.
En une année, l'énergie électrique consommée pour le pompage est égale à 1720 GWh.
1. Calculer l'énergie potentielle de l'eau stockée dans le barrage lorsqu'il est plein (en J puis en MWh).
Cette énergie est donnée par Ep =mgh=134,8 .(102 )3×1000×9,81×926=1,22.10 15 J (1 hm3
correspond à (102 )3 m 3 et 1 m3 a une masse de 1000 kg).
Puisque 1 Wh correspond à 3600 J, cela fait Ep =
340 GWh)
1,22 .1015
=340.109 Wh soit 340000 MWh (ou bien
3600
2. Calculer le rendement global des turbines – pompes en fonctionnement « pompe » et en déduire
l'énergie transférée à l'eau pendant une année. Évaluer le nombre de fois qu'une même quantité d'eau est
turbinée en une année.
Il faut tenir compte du rendement des machines électriques (synchrones) soit he = 98,1% et du rendement des
pompes soit hp = 89,8% ce qui donne un rendement global η=ηe. ηp=0,981×0,898=0,88 .
Les pompes absorbent 1720 GWh (électrique) en une année, l'eau reçoit donc
1720×0,88=1515 GWh durant cette année.
Pour évaluer le nombre de fois qu'une même quantité d'eau est turbinée en une année, on divise l'énergie
totale fournie à l'eau par l'énergie de l'eau lorsqu'elle est dans le réservoir supérieur 1515.10 9
≈4,5 .
340.10 9
3. La puissance maximale en production est égale à 1690 MW pendant une heure : les alternateurs reliés
aux turbines sont utilisés à leur puissance utile, ceux reliés aux turbines – pompes fournissant le
complément. Calculer l'énergie mécanique nécessaire et en déduire la quantité d'eau turbinée.
Il faut recenser les machines utilisées puis tenir compte de leurs rendements.
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Alternateurs reliés aux turbines :
Puissance utile : Pt =4×157=628 MW et rendement global : ηt=0,985×0,9=0,886 . La
puissance mécanique (absorbée) est donc Pmt =
628
=709 MW soit 709 MWh pour une heure de
0,886
fonctionnement.
Alternateurs reliés aux turbines pompes :
Puissance utile : Ptp =1690−628=1062 MW ; rendement global : ηtp =0,981×0,894=0,877 La
puissance mécanique (absorbée) est donc Pmtp=
1062
=1211 MW soit 1211 MWh pour une heure de
0,877
fonctionnement.
Au total Δ W =709+1211=1920 MWh d'énergie mécanique sont nécessaires ce qui correspond à une
quantité d'eau m=
joules).
Δ W 1920.106×3600
6
=
=761.10 kg (Attention : l'énergie doit être exprimée en
gh
9,81×926
4. La puissance de pointe est égale à 1420 MW pendant 172 heures (la répartition de puissance suit le
même principe que pour la question précédente). Calculer l'énergie mécanique nécessaire et en déduire
la quantité d'eau turbinée. Combien de temps fautil pour remonter la même quantité d'eau du réservoir
inférieur vers le réservoir supérieur si toutes les pompes sont en fonctionnement ?
Il faut recenser les machines utilisées puis tenir compte de leurs rendements.
Alternateurs reliés aux turbines (inchangé par rapport à la question précédente) : 709 MW soit
709×172=122000 MWh pour les 172 heures de fonctionnement.
Alternateurs reliés aux turbines pompes :
Puissance utile : Ptp =1420−748=792 MW ; rendement global : ηtp =0,981×0,894=0,877 La
puissance mécanique (absorbée) est donc Pmtp=
792
=903 MW soit 903×172=155000 MWh
0,877
pour les 172 heures de fonctionnement.
Au total Δ W =122000+155000=277000 MWh d'énergie mécanique sont nécessaires ce qui
correspond à une quantité d'eau m=
Δ W 277000.106×3600
=
=1,1.1011 kg
gh
9,81×926
Toutes les pompes en fonctionnement absorbent une puissance électrique de 8×149=1192 MW . Le
rendement global de la chaîne de pompage est η p=0,981×0,898=0,881 ce qui donne une puissance
utile (donc fournie à l'eau) Pu =1192×0,881=1050 MW
Pour remonter la quantité d'eau calculée précédemment, il faut lui fournir Δ W =276900 MWh d'où la
durée nécessaire Δ t=
Δ W 276900
=
=263 h
P
1050
Exercice 7
Un véhicule de masse m se déplace d'un point A vers un point B. Le point A est situé à une altitude h par
rapport au point B. Les projections des points A et B sur l'horizontale sont distante de L.
Il est conseillé de représenter schématiquement le dispositif étudié.
1. Les frottements sont négligés
a. Exprimer le travail du poids lors du trajet de A à B en fonction de la masse, de la différence d'altitude
et de l'accélération de la pesanteur.
Le travail d'une force ne dépend pas du trajet suivi, on peut donc écrire pour le travail du poids
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Δ W p=mg h
b. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer la vitesse du véhicule lorsqu'il atteint le
point B alors qu'il était arrêté au point A.
La différence d'énergie cinétique entre les deux points est égale au travail du poids (seule force qui travaille
dans ce cas car les frottements sont négligées : la composante normale de la réaction est perpendiculaire au
déplacement) : Δ E cB−Δ EcA =ΔW p . Comme la vitesse initiale est nulle alors Δ E cA=0 et l'équation
1
2
2
précédente devient Δ E cB=Δ W p . En remplaçant Δ W p par mg h et comme Δ E cB= mv B
on obtient 1
m v 2B =mgh soit v B = √2 g h
2
c. Avec cette hypothèse, la vitesse au point B dépendelle de la masse du véhicule ?
Non car la masse n'intervient pas dans l'équation trouvée précédemment.
d. Calculer la vitesse au point B si h = 50 m et L = 1000 m. Combien de temps va rouler le véhicule si le
sol est horizontal à partir du point B ?
On utilise v B = √ 2 g h=√ 2×9,81×50=31,3 m/s . Comme il n'y a pas de frottements alors le véhicule
var rouler pendant un temps infini.
2. Les frottements ne sont plus négligés
Les frottements ont deux origines, la résistance de l'air et la résistance au roulement, ils sont représentés par
deux forces dont les modules sont donnés par les relations suivantes :
1
• pour la résistance de l'air : F a= ρ .S .C x v2 avec  la masse volumique de l'air (1,2 kg.m 3), S la
2
surface frontale du véhicule (appelée aussi maître couple, en m 2), Cx le coefficient de traînée (sans unité)
et v la vitesse (en m.s1)
• pour la résistance au roulement : F r =k.m.g avec m la masse du véhicule, g l'accélération de la
pesanteur et k un coefficient sans unité.
Ces forces ont une direction parallèle au déplacement du véhicule et leur sens est opposé au déplacement.
a. Exprimer le travail des forces de frottements sur une portion AM (M est un point quelconque compris
entre les points A et B) du trajet. Estce un travail moteur ou résistant?
⃗ =( F a + F r ) AM cos α avec a l'angle entre
Le travail de ces forces est donné par Δ W frot=( F⃗a+ F⃗r ) . AM
la direction des forces et la trajectoire.
Les forces de frottements sont colinéaires à la trajectoire mais de sens contraire, l'angle est donc égal à 180°
ce qui donne Δ W frot=−( F a + F r ) AM qui est un travail résistant. En remplaçant les modules des forces
1
2
2
par les expressions données dans l'énoncé : Δ W frot=−( ρ. S .C x v M + k m g) AM
b. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer la relation donnant la vitesse au point M.
La démarche est identique à celle de la question précédente en rajoutant le travail des forces de frottements
Δ E cM=Δ W p+ Δ W frot . En remplaçant les travaux par leurs expressions, on obtient (hM est l'altitude du
1
2
2
point M) Δ E cM=mghM −( ρ . S . C x v M + k m g) AM
c. Calculer la vitesse atteinte au point B pour un véhicule de 1000 kg puis 2000 kg en prenant S = 3 m2,
Cx = 0,3 et k = 0,015.
1
2
2
1
2
2
On utilise la relation Δ E cM=mgh M −( ρ . S . C x v M + k m g) AM avec Δ E cB= mv B hM = h et
AM = AB= √ h 2+ L2 ce qui donne Corrigé des exercices aspect énergétique
1
1
m v 2B =mgh−( ρ. S .C x v 2B + k m g) √ h2 + L2
2
2
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Extraction de la vitesse :
1
1
m v 2B =mgh− ρ. S . C x v 2B √ h2 + L2−k m g √ h2+ L2 puis on passe à
2
2
1 2
v (m+ρ. S . C x √ h2+ L2)=mg(h−k √ h 2+ L2 ) puis
gauche le terme de droite qui dépend de la vitesse 2 B
2 mg (h−k √ h2 + L2)
2
on divise par le terme multipliant la vitesse v B =
et finalement on prend la racine
2
2
( m+ρ. S .C x √ h + L )
On développe le terme de droite carrée v B =
√
2 mg(h−k √ h2+ L2)
(m+ρ. S .C x √ h2 + L2)
Pour un véhicule de 1000 kg : v B =
v B=
√
√
2×1000×9,81(50−0,015 √50 2+1000 2)
(1000+1,2×3×0,3 √50 +1000 )
2
2
2×2000×9,81(50−0,015 √50 2+1000 2)
(2000+ 1,2×3×0,3 √50 +1000 )
2
2
=18,2 m/s
=21,1 m/s
Pour un véhicule de 2000 kg :
Remarque : les deux vitesses sont plus faibles que celles obtenues en absence de frottements. Le véhicule de
masse la plus élevée atteint une vitesse plus importante.
Exercice 8
1. Un solide de masse m = 200 kg se déplace sur un plan horizontal à la vitesse de 40 km/h. Le plan
horizontal est situé à 4 m du sol.
a. L'énergie cinétique du solide est égale à (Attention aux unités)
12,3 kJ 7,8 kJ 160 kJ Impossible à définir Autre valeur à préciser :
_____
b. L'énergie potentielle du solide par rapport au sol est égale à 12,3 kJ 7,8 kJ 160 kJ Impossible à définir Autre valeur à préciser :
_____
2. Le solide représenté cicontre est placé sur un plan horizontal. Les forces extérieures appliquées au
solide sont toutes représentées.
Le solide se déplace vers la droite
Le solide se déplace vers la gauche
Le solide est immobile
Impossible à définir
La somme vectorielle des forces est nulle : le solide peut être immobile ou se déplacer vers la gauche (la
composante tangentielle de la réaction s'oppose au déplacement).
3. Une masse de 300 kg est placée dans un ascenseur. Le travail du poids de la masse lors d'un trajet aller
retour du rez de chaussée au quatrième étage (soit 12 m au total) est égal à :
Autre valeur à préciser :
_____
Le travail du poids est résistant pendant la phase de montée et moteur pendant la phase de descente.
0 J 35,3 kJ 70,6 kJ Corrigé des exercices aspect énergétique
Impossible à déterminer Page 8
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