ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA

ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA RISPOSTA
CICLICA DEI TERRENI
Annamaria di Lernia
Politecnico di Bari
[email protected]
Angelo Amorosi
Politecnico di Bari
[email protected]
Daniela Boldini
Università di Bologna
[email protected]
Sommario
Nella presente nota si mostrano i risultati della simulazione numerica di prove di taglio ciclico monodirezionale
e multidirezionale eseguite su un elemento di volume adottando per il terreno un modello costitutivo elastoplastico isteretico implementato nella libreria di un codice di calcolo agli elementi finiti. L’obiettivo delle analisi
è quello di studiare la risposta ciclica del modello costitutivo con riferimento a semplici percorsi di deformazione
ciclica monodirezionale (taglio semplice) e a più complessi percorsi multidirezionali, più rappresentativi delle
condizioni deformative indotte durante un evento sismico reale.
1. Introduzione
Il comportamento ciclico dei terreni è generalmente simulato mediante modelli costitutivi più o meno
avanzati, capaci di tener conto della non linearità della risposta costitutiva del terreno sollecitato da
azioni cicliche e dinamiche. Una maggiore accuratezza nella previsione della risposta ciclica del
terreno corrisponde, in generale, ad una maggiore complessità nella formulazione costitutiva, anche in
ragione del maggior numero di parametri che è tipicamente necessario introdurre. Alla luce di ciò,
appare utile individuare soluzioni di compromesso, che assicurino realisticità dei risultati a fronte del
minore grado di complessità possibile in termini di ipotesi costitutive. In linea con tale esigenza nel
seguito si illustrano delle simulazioni numeriche basate su un modello costitutivo di complessità
intermedia, l’Hardening Soil model with small strain stiffness (HSsmall), recentemente implementato
nella libreria del codice di calcolo agli Elementi Finiti PLAXIS, che consente di tener conto della non
linearità della risposta del terreno anche alle piccole deformazioni, attraverso alcuni parametri di facile
valutazione ingegneristica (Schanz et al., 1999; Benz et al., 2009).
Il lavoro presentato si colloca in una più ampia trattazione relativa allo studio della risposta sismica
locale in condizioni tridimensionali con riferimento al sito di Lotung a Taiwan (Amorosi et al., 2014),
eseguito adottando per il terreno il suddetto modello costitutivo opportunamente calibrato sulla base
dei dati sperimentali disponibili. L’obiettivo del presente lavoro è di evidenziare la risposta costitutiva
del modello HSsmall per percorsi di sollecitazione ciclica di taglio semplice monodirezionale e
multidirezionale, questi ultimi maggiormente rappresentativi della condizione indotta in un deposito di
terreno dal propagarsi di un reale evento sismico.
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2. Modello costitutivo HSsmall
2.1 Descrizione modello costitutivo
Il modello costitutivo HSsmall costituisce un’evoluzione del modello Hardening Soil model,
sviluppato da Schanz et al. (1999), attraverso l’introduzione di una specifica formulazione paraelastica proposta da Benz et al. (2009) al fine di tener conto della non linearità del terreno anche alle
piccole deformazioni. Il modello, infatti, consente di descrivere il comportamento isteretico del terreno
per stati all’interno della superficie di snervamento per mezzo di due parametri aggiuntivi rispetto alla
versione originale: il modulo di rigidezza a taglio iniziale G0 e la deformazione di taglio γ0.7, in
corrispondenza della quale il modulo di rigidezza a taglio secante Gs si riduce al 70% del modulo
iniziale. Esso inoltre consente di descrivere un andamento variabile con la profondità del modulo di
rigidezza a taglio iniziale, attraverso la dipendenza non lineare dallo stato tensionale. L’evoluzione
della rigidezza e dello smorzamento in funzione del livello deformativo raggiunto è descritta mediante
una relazione modificata delle curve di decadimento del modulo e dello smorzamento proposte da
Hardin & Drnevich (1972). Esse presentano un troncamento in corrispondenza di un determinato
valore della deformazione di taglio denominata γcut-off (funzione di γ0.7), in corrispondenza della quale il
modulo di rigidezza tangente diviene costante e pari al modulo di rigidezza tangente di scarico-ricarico
Gur. La formulazione paraelastica del modello consente di riprodurre il parziale o totale recupero di
rigidezza osservato in corrispondenza di parziali o totali inversioni nella direzione di carico e/o
deformazione. In particolare, tale aspetto è tenuto in conto attraverso una quantità scalare, γhist, che
descrive la storia deformativa deviatorica recente secondo l’espressione:
 hist  3
H e
e
(1)
nella quale  e rappresenta l’incremento di deformazione deviatorica lungo le sue tre direzioni
principali e H è un tensore che descrive la storia deformativa precedente. Ogni qualvolta che anche
una sola delle componenti principali della deformazione deviatorica subisce una inversione ne risulta
un aggiornamento del tensore H , e di conseguenza una inizializzazione parziale o totale dello scalare
γhist, dal quale dipende il valore di rigidezza normalizzata Gt/G0 adottato dal modello. La rigidezza
tangente così determinata caratterizza istantaneamente le relazioni tra incremento di sforzo e di
deformazione in tutte le direzioni di applicazione di quest’ultimo.
Per la risposta in regime irreversibile, il modello HSsmall appartiene alla classe dei modelli elastoplastici con incrudimento isotropo, in quanto caratterizzato da due superfici di snervamento che
delimitano il dominio paraelastico isteretico: una superficie deviatorica, che evolve in funzione delle
deformazioni deviatoriche plastiche fino al criterio di rottura di Mohr-Coulomb, ed una superficie
volumetrica, la cui dimensione dipende dalle deformazioni volumetriche plastiche accumulate.
2.2 Calibrazione modello
A titolo di esempio, lo studio numerico illustrato nella presente nota è stato condotto con riferimento
alle caratteristiche dello strato sabbioso presente nella parte sommitale del sito di Lotung. La
calibrazione dei parametri del modello adottati nelle analisi è eseguita sulla base dei dati sperimentali
disponibili in letteratura per il caso di studio (Elgamal et al., 1995; Zeghal et al., 1995; Borja et al.,
2000) come illustrato in Fig.1 e descritto in dettaglio in Amorosi et al. (2014), cui si rimanda per
dettagli. In Tabella 1 sono sintetizzati i parametri del modello adottati nelle simulazioni numeriche.
di Lernia, Amorosi, Boldini
1
25
Borja
(2000)_
Gs /G0
Borja
et et
al.al.
(2000)_
Gs/G0
0.8
20
HSsmall_Gs /G0
HSsmall_Gs/G0
0.6
15
0.4
10
0.2
5
0
0.0001
D (%)
G/G0
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HSsmall_Gt /G0
HSsmall_Gt/G0
Borja
(2000)_D
Borja
et et
al.al.
(2000)_
D
0
0.001
0.01
γ (%)
0.1
HSsmall_D
HSsmall_D
1
Fig 1. Calibrazione dei parametri del modello HSsmall: curve di decadimento del modulo di rigidezza e dello
smorzamento variabile con la deformazione di taglio.
Tabella 1. Parametri del modello HSsmall utilizzati nelle analisi
c'
'
K0
 ur
kPa
0
°
30
0.5
0.33
 0.7
%
0.011
G0ref
Eurref
ref
E50
ref
Eoed
MPa
90
MPa
60
MPa
20
MPa
20
 cut off
%
0.029
3. Modello numerico
Il modello numerico adottato nelle simulazioni consiste in un elemento di volume cubico di lato 0.1 m,
assoggettato preliminarmente ad un percorso di carico in condizioni triassiali, seguito dalla fase di
taglio ciclico monodirezionale o multidirezionale a spostamento controllato.
La fase di carico triassiale è costituita a sua volta da un primo percorso di carico e scarico isotropo
seguito da una fase di carico e scarico deviatorico (Tabella 2), eseguite allo scopo di espandere il
dominio elastico imponendo un allontanamento delle superfici di snervamento.
La fase di taglio ciclico prevede l’applicazione di due tipi di percorsi di deformazione: un percorso di
taglio semplice ed un percorso multidirezionale “a farfalla” (Fig. 2a).
Tabella 2. Dettaglio della fase di carico triassiale simulata prima della fase di taglio ciclico
p′ (kPa)
q (kPa)
Carico Isotropo Scarico Isotropo Carico Deviatorico Scarico Deviatorico
150
100
133
100
0
0
100
0
0.05
0.05
γ (%)
γ zy (%)
0
0
-0.05
0
γzx (%) 0.05
-0.05
0
(a)
-0.05
(b)
5
γzx
γzx
10
15
γzy
γzy
20
t (s)
Fig 2. Percorso di deformazione a farfalla applicato nelle prove di taglio multidirezionali (a); andamento nel
tempo delle singole componenti di deformazione (b).
Le condizioni al contorno adottate per simulare la prova ciclica monodirezionale prevedono
l’applicazione, lungo una sola direzione, di una distribuzione uniforme di spostamenti orizzontali sulla
faccia superiore dell’elemento cubico ed una linearmente decrescente con la profondità sulle due
corrispondenti facce verticali parallele. Le condizioni imposte per simulare la prova di taglio
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multidirezionale consistono invece nella applicazione sulla faccia superiore di spostamenti orizzontali
uniformi lungo due direzioni perpendicolari, le cui componenti hanno, in genere, diversa intensità,
contestualmente alle corrispondenti distribuzioni linearmente decrescenti con la profondità lungo le
rispettive facce verticali (Fig. 3). In entrambe le tipologie di analisi il provino è vincolato alla base in
tutte le direzioni.
Fig 3. Condizioni al contorno imposte nella fase di taglio ciclico multidirezionale
Le prove di taglio ciclico monodirezionali sono eseguite imponendo prefissate deformazioni di taglio
massime (da 0.0001% a 0.5%) e assegnando allo spostamento un andamento sinusoidale di periodo T
pari a 10 s. Le prove di taglio ciclico multidirezionali sono invece eseguite applicando un solo livello
di deformazione di taglio massima (γ = 0.05%) in entrambe le direzioni, attraverso un segnale
sinusoidale caratterizzato da un differente periodo di oscillazione lungo le due direzioni orizzontali (il
periodo del segnale applicato nelle direzione y è metà di quello nella direzione x, come mostrato in
Fig. 2b), allo scopo di ottenere il percorso di deformazione prefissato (Fig. 2a).
4. Risultati
Per ciascun livello di deformazione massima applicato nelle simulazioni della prova di taglio semplice
monodirezionale sono stati valutati il modulo di rigidezza a taglio secante ed il corrispondente valore
dello smorzamento. Essi sono confrontati con le curve teoriche del modello in Fig. 4a. Lo
smorzamento D è valutato come rapporto, a meno di un coefficiente moltiplicativo, tra l’area racchiusa
dalla curva tensioni-deformazioni in un ciclo di deformazione e l’area del triangolo formato dalla retta
secante il medesimo ciclo. Il confronto dei risultati delle analisi numeriche mostra un buon accordo
con i valori attesi teoricamente, fino al valore limite della deformazione di taglio γcut-off, superato il
quale si osserva un leggero aumento del rapporto Gs/G0 ed una contestuale riduzione seguita da un
rapido incremento del rapporto di smorzamento D. Tale comportamento è ascrivibile alla natura del
modello in quanto, al raggiungimento della deformazione limite γcut-off, esso assume una rigidezza
tangente costante (Gur) che comporta incrementi di energia accumulata maggiori degli incrementi di
energia dissipata. Quando lo stato del materiale intercetta poi il dominio di snervamento (in questo
caso per un valore della deformazione di poco superiore a 0.1%), si verifica un accumulo delle
deformazioni plastiche che aumentano ulteriormente le capacità dissipative del modello.
La rappresentazione della risposta ciclica isteretica del modello è mostrata in Fig. 3b per i cicli di
deformazione di taglio massima di ampiezza pari a 0.02%, 0.1 % e 0.2%. La curva tensioni
deformazioni assume inizialmente una pendenza pari al modulo di rigidezza a taglio iniziale G0, per
poi ridursi all’aumentare della deformazione secondo la curva di decadimento; all’inversione di carico
la curva è caratterizzata dalla medesima pendenza iniziale, per poi decrescere fino alla successiva
inversione. In questo caso, infatti, il tensore H è completamente reinizializzato in relazione alla
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inversione del percorso deformativo monodirezionale imposto, dando luogo al corrispondente
azzeramento dello scalare γhist che, a sua volta, riporta la rigidezza a taglio al suo valore iniziale G0.
Dalla Fig. 3b si osserva inoltre che il regime deformativo elastico imposto dalle condizioni iniziali (i.e.
superfici di snervamento allargate) fa sì che la risposta del materiale sia reversibile (la curva tensioni
deformazioni passa infatti dall’origine degli assi) per i due livelli deformativi più piccoli, mentre per il
ciclo spinto fino a γ = 0.2 % si osserva un accumulo di deformazione dovuto all’aver intercettato la
superficie di snervamento deviatorica.
La risposta ciclica del modello soggetto al percorso di deformazione multidirezionale è mostrata in
Fig. 5, in termini di curve tensioni-deformazioni per le due componenti orizzontali τzx-γzx e τzy-γzy. Le
curve sono confrontate con le corrispondenti curve ottenute dalle prove di taglio ciclico semplice,
eseguite applicando singolarmente ciascuna componente dello spostamento.
(a)
1
50
0.8
40
0.6
30
0.4
20
0.2
10
(b)
τzx (kPa) 40
0
0.0001
D (%)
Gs/G0
20
γzx (%)
0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05
0
0.001
Gs/G0
Gs/G0 (Modello Teorico)
DD(Modello
(ModelloTeorico)
Teorico)
0.01
0.1 γ (%)
1
Gs/G0
(SimulazioneNumerica)
Numerica)
G
s/G0 (Simulazione
(SimulazioneNumerica)
Numerica)
DD(Simulazione
-20
Gur
0
0.05 0.1 0.15 0.2
γ = 0.02 %
γ = 0.1 %
-40
γ = 0.2%
Fig 4. Confronto fra curve di decadimento del modulo di rigidezza a taglio normalizzato e dello smorzamento
ottenute tramite le espressioni analitiche e per mezzo di analisi numeriche (a); Cicli di isteresi del provino
numerico per tre livelli di deformazione di taglio massima: γ=0.02%, γ=0.1% e γ=0.2% (b).
La risposta multidirezionale del modello costitutivo presenta delle non trascurabili differenze rispetto a
quella monodirezionale (Fig. 5), dovute essenzialmente alla modalità con cui il modello seleziona la
rigidezza tangente da associare ad ogni incremento di deformazione. Si osserva, ad esempio, che il
ramo di primo carico della curva τzy-γzy (Fig. 5b) presenta un andamento più “rigido” rispetto alla
curva τzx-γzx (Fig. 5a). Questo andamento è dovuto al fatto che nel generico intervallo di tempo Δt la
rigidezza tangente, determinata in funzione di γhist, è la stessa in entrambe le direzioni x ed y, ma le
deformazioni raggiunte in ciascuna direzione sono differenti in virtù del particolare percorso applicato.
Per meglio comprendere quanto sopra, ci si può riferire a titolo di esempio all’istante t=1.25 s di
Fig.2b: si osserva che la componente γzy ha raggiunto il valore massimo pari a 0.05%, mentre la γzx è
pari a 0.035%; ne consegue che il valore di rigidezza a taglio selezionato dal modello non può che
sottostimare quello atteso lungo un percorso monodirezionale per γzx=0.035%.
Alla prima inversione di carico, che avviene per la componente γzy appena dopo l’istante considerato
sopra, il materiale assume un comportamento più rigido, che non influenza solo il ramo di scarico
lungo la direzione zy ma caratterizza, sovrastimandola, anche la rigidezza nel tratto di primo carico
ancora da compiere lungo la direzione zx. Comportamenti analoghi si osservano anche nelle
successive fasi della prova, caratterizzate da una risposta nel complesso meno rigida rispetto a quella
prevista per percorsi di taglio monodirezionali, mentre le curve tensioni-deformazioni formano cicli di
isteresi piuttosto stretti, che riducono la capacità dissipativa del modello.
Il modello costitutivo soggetto a percorsi di deformazione multidirezionali esibisce dunque un
comportamento mediamente meno rigido e meno dissipativo, di cui è necessario essere consapevoli
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ogni qualvolta lo si intende utilizzare in simulazioni tridimensionali di propagazione di eventi sismici
caratterizzati da componenti accelerometriche differenti lungo le due direzioni di applicazione.
30
(a)
τzx (kPa)
30
(b)
20
20
10
10
0
0
-0.06
-0.04
-0.02
0
-10
-20
-30
τzy (kPa)
0.02
0.04
0.06
γzx (%)
Monodirezionale
Multidirezionale
-0.06
-0.04
-0.02
0
-10
0.02
0.04
0.06
γzy (%)
Monodirezionale
-20
-30
Multidirezionale
Fig 5. Curve tensioni deformazioni τzx- γzx (a) e τzy- γzy (b) relative alle prove di taglio ciclico multidirezionali
confrontate con le corrispondenti curve τ- γ ottenute dalle prove di taglio semplice.
5. Conclusioni
Oggetto della presente nota è lo studio della risposta ciclica del modello costitutivo elasto-plastico
isteretico HSsmall per prove di taglio ciclico mono o multidirezionali e multidirezionale; quest’ultima
condizione, infatti, è da considerarsi più rappresentativa delle condizioni di carico che subisce il
terreno in occasione di reali eventi sismici.
In condizioni monodirezionali il modello costitutivo è in grado di riprodurre fedelmente le risposte
attese in termini di evoluzione della rigidezza a taglio e del fattore di smorzamento con l’ampiezza dei
cicli di deformazione imposti. In condizioni multidirezionali il comportamento ciclico previsto è
affetto mediamente da una minore capacità dissipativa e da una risposta in genere meno rigida. Questo
comportamento è da mettere in relazione alla formulazione costitutiva della parte paraelastica
isteretica del modello, basata su equazioni scalari ottenute attraverso il fitting di curve di decadimento
ottenute in condizioni monodirezionali.
Bibliografia
Amorosi A, Boldini D, di Lernia A. (2014). “Modellazione numerica della risposta sismica locale: il caso di
Lotung”. Atti del XXV Convegno Nazionale di Geotecnica, Baveno, 21-28.
Benz T, Vermeer PA, Schwab R. (2009). “A small-strain overlay model”, International Journal for Numerical
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Borja RI, Lin CH, Sama KM, Masada GM. (2000). “Modeling non-linear ground response of non-liquefiable
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Brinkgreve RBJ., Kappert MH, Bonnier PG. (2007). “Hysteretic damping in a small-strain stiffness model”. Atti
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Elgamal A.W., Zeghal M., Tang H.T., Stepp J.C. (1995). “Lotung downhole array.I: Evaluation of site dynamic
properties”, Journal Geotechnical Engineering, 121 (4), 350-362
Hardin B., Drnevich V. (1972). “Shear modulus and damping in soils: design equations and curves”, Journal of
Soil Mechanics and Foundations Division, 98 (7), 667-692
Schanz T, Vermeer PA, Bonnier PG. (1999). “The hardening soil model: formulation and verification”. Plaxis
Symposium on Beyond 2000 in Computational Geotechnics, Amsterdam 1999; 281-296.
Zeghal M., Elgamal A.W., Tang H.T., Stepp J.C. (1995). “Lotung downhole array.II: Evaluation of soil
nonlinear properties”, Journal Geotechnical Engineering, 121 (4), 363-378
di Lernia, Amorosi, Boldini

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