PC le 6 décembre 2014 DEVOIR SURVEILLÉ 3 4

PC
le 6 décembre 2014
DEVOIR SURVEILLÉ 3
4 heures
EXERCICE
Soient a ∈ R et b ∈ ]a, +∞[ ∪ {+∞}. On considère deux applications f, g : [a, b[ −→ R, continues par
morceaux. On suppose de plus que, pour tout x > a, on a g(x) > 0.
Dans les deux premières questions, on établit des résultats de nature théorique, qui servent pour les
questions suivantes. On pourra utiliser ces résultats, même si l’on n’a pas réussi à les démontrer.
1. On suppose dans cette question que la fonction g est intégrable sur l’intervalle [a, b[.
a) Montrer que la relation «au voisinage de b, f ∈ o(g)» entraîne qu’au voisinage de b, on a
Z b
Z b !
f ∈o
g .
x
x
Indication : à ε > 0 fixé, on pourra commencer par choisir (en justifiant son existence) un réel x0 ∈ ]a, b[
tel que, pour x ∈ [x0 , b[, on ait 0 < f (x) 6 εg(x).
b) Montrer que la relation «au voisinage de b, f ∼ g» entraîne qu’au voisinage de b, on a
Z b
Z b
f∼
g
x
x
(on justifiera l’intégrabilité de f sur l’intervalle [x, b[).
2. On suppose dans cette question que gR n’est pas intégrable sur l’intervalle [a, b[.
x
a) Que peut-on dire de la limite de a g lorsque x tend vers b ?
b) Montrer que la relation «au voisinage de b, f ∈ o(g)» entraîne qu’au voisinage de b, on a
Z x Z x
f ∈o
g .
a
a
Indication : on travaillera encore avec des ε et on pourra découper l’intervalle [a, x] en deux.
c) Montrer que la relation «au voisinage de b, f ∼ g» entraîne qu’au voisinage de b, on a
Z x
Z x
f∼
g.
a
a
Que dire de l’intégrabilité de f sur l’intervalle [a, b[ ?
Les résultats obtenus pour des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert [a, b[ se transposent bien
sûr en des résultats concernant des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert ]a, b] ; on pourra utiliser
ces résultats dans les questions qui suivent.
Z 1
et
dt en 0+ .
3. a) Déterminer un équivalent simple de
x Arcsin t
Z x2
et
b) En déduire un équivalent simple de
dt en 0+ .
Arcsin
t
3
x
4. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, au voisinage de +∞, on a
Z x
dt
x
∼
.
ln
t
ln
x
2
5. Justifier le développement asymptotique suivant en +∞ :
x
Z x
et
ex
2ex
e
dt = 2 + 3 + o
.
2+1
3
t
x
x
x
1
1
PROBLÈME
Soient p ∈ ]0, 1[ un réel et N > 3 un entier. On pose q = 1 − p.
On considère un tournoi réunissant une infinité de joueurs J0 , J1 , . . . , Jn , . . . qui s’affrontent dans une
série de duels de la façon suivante :
– les joueurs J0 et J1 s’affrontent durant le duel numéro 1. Le perdant est éliminé du tournoi, le gagnant
reste en jeu ;
– le gagnant du premier duel participe au duel numéro 2, durant lequel il affront le joueur J2 . Ce duel se
déroule de manière analogue et ne dépend du duel précédent que par l’identité du joueur affrontant J2 .
Le perdant est éliminé du tournoi ; le gagnant participe au tournoi numéro 3 contre le joueur J3 . Et
ainsi de suite :
– pour tout k > 1, le joueur Jk participe, si le tournoi n’a pas encore été remporté, au duel numéro k.
Le joueur Jk remporte alors ce duel avec une probabilité p, alors que son adversaire le remporte avec
une probabilité q = 1 − p.
– Est désigné vainqueur du tournoi le premier joueur, s’il y en a un, qui remporte N duels consécutifs.
Pour tout entier n > 1, on note En l’événement «le vainqueur du tournoi n’a pas encore été désigné à
l’issue du duel numéro n».
Première partie : étude d’un cas particulier
On suppose dans cette partie que N = 3 et p = q = 21 .
1. a) Écrire en python une fonction duel(u,v), qui choisit l’un ou l’autre des deux éléments u ou v (chacun
avec probabilité 12 ) et renvoie cet élément. On pourra utiliser le module random, dont voici un extrait de
la documentation :
random.randrange(start, stop[, step])
Return a randomly selected element from range(start, stop, step).
b) Écrire une fonction test_victoire(a,b,c), qui renvoie True si les trois nombres a, b, c sont égaux,
False sinon.
c) Écrire une fonction tournoi(), simulant un tournoi, et renvoyant le nombre de duels nécessaires pour
que le tournoi s’achève.
d) Écrire une fonction moyenne(n), simulant n tournois, et renvoyant le nombre moyen de duels nécessaires pour que le tournoi s’achève.
2. a) Créer un tableau à trois lignes, dont chaque colonne représentera une des issues possibles pour les trois
premiers duels. Par exemple, l’événement «les trois premiers duels ont été remportés par le joueur J0 »
sera représenté par une colonne comportant trois 0.
b) Déterminer les probabilités P(E1 ), P(E2 ) et P(E3 ). Vérifier que l’on a
P(E3 ) =
1
1
P(E2 ) + P(E1 ).
2
4
3. En considérant le nombre de victoires déjà obtenues par le vainqueur du duel numéro n, démontrer que,
pour tout n > 3, on a
1
1
P(En ) = P(En−1 ) + P(En−2 ).
(1)
2
4
4. Déterminer la limite de P(En ) lorsque n tend vers l’infini.
5. Exprimer l’événement E : «le tournoi ne s’achève pas» en fonction des événements En . Quelle est la
probabilité que le tournoi s’achève ?
2
Deuxième partie : étude du cas général
On revient au cas général : p désigne un réel appartenant à ]0, 1[ et N un entier supérieur ou égal à 3.
On considère le polynôme
N
−1
X
Q = −1 +
pq k−1 X k .
k=1
(n)
Ak
1. Pour tout entier k ∈ [[1, N − 1]], on note
l’événement «à l’issue du nème duel, le vainqueur de ce duel
a obtenu exactement k victoires». Justifier l’égalité
∀n > N, PA(n) (En ) = P(En−k ).
k
2. Établir que, pour tout n > N , on a
P(En ) =
N
−1
X
pq k−1 P(En−k ).
(2)
k=1
3. Calculer les probabilités P(E1 ), . . . , P(EN −1 ). En déduire que P(EN ) = 1 − q N −1 .
4. Soit n > N . Démontrer la relation
P(En ) − P(En+1 ) = pq N −1 P(En−N +1 ).
(3)
5. Démontrer que le polynôme Q admet une unique racine positive. On note rN cette racine. Justifier que
rN > 1 et que Q0 (rN ) > 0.
6. À l’aide de la relation (2), établir que
∀n > 1, P(En ) 6
7. Établir la convergence de la série
de cette série.
P
1
rN
n−N
.
P(En ). En utilisant la relation (3), calculer la somme
P∞
n=1
P(En )
8. On
P note Fn l’événement «le tournoi s’achève à l’issue de n duels exactement». Montrer que la série
nP(Fn ) converge et calculer sa somme (nombre moyen de duels nécessaires pour que le tournoi
s’achève).
Troisième partie : calcul de P(En )
On conserve dans cette partie les hypothèses et définitions introduites en deuxième partie.
1. On considère le polynôme R = (qX − 1)Q. Donner l’expression simplifiée des polynômes R et XR0 − N R.
2. On considère un nombre complexe z tel que Q(z) = Q0 (z) = 0. Montrer que R(z) = R0 (z) = 0. En
déduire que z > 0, puis obtenir une contradiction.
3. On note z1 , . . . , zN −1 les N − 1 racines complexes du polynôme Q. Démontrer que les zi sont deux à deux
distincts.
4. Démontrer que le système

x1



x

 z11
..

.



 Nx1−2
z1
+ ···
+ ···
+
+
xN −1
=
=
P(E1 )
P(E2 )
+ ···
+
xN −1
N −2
zN
−1
=
P(EN −1 )
xN −1
zN −1
admet une unique solution. On notera (α1 , . . . , αN −1 ) cette solution.
5. Démontrer que, pour tout n > 1, on a
P(En ) =
N
−1
X
αk
k=1
3
1
zk
n−1
.

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