Problemi di scelta
con effetti differiti
e in condizione di incertezza
Unita`
3
1. Problemi di scelta in condizione
di certezza con effetti differiti
Tema B
In questo paragrafo ci occupiamo dei problemi di scelta in condizioni di certezza
in cui optare per l’una o l’altra alternativa non ha un effetto immediato, ma dopo
un certo periodo di tempo (per questo motivo si parla di problemi di scelta con
effetti differiti); per esempio, si ricade in problemi di questo tipo quando si deve
scegliere tra due diverse forme di investimento.
Vogliamo fissare l’attenzione sui problemi di scelta tra operazioni finanziarie,
intendendo con quest’ultima espressione una qualsiasi sequenza temporale di
(almeno due) flussi di cassa. Tra le molteplici possibili operazioni finanziarie, ci
occuperemo in particolare degli investimenti, ossia delle operazioni nelle quali
tutte le uscite (flussi di cassa negativi) avvengono in periodi di tempo antecedenti
alle entrate (flussi di cassa positivi), e dei finanziamenti, ossia delle operazioni
in cui le entrate avvengono in periodi di tempo antecedenti alle uscite. Nelle
figg. 3.1 e 3.2 sono rappresentati un esempio di operazione di investimento e
un esempio di operazione di finanziamento.
Esempio di operazione di investimento
–C1
–C2
C3
C4
t1
t2
t3
t4
Esempio di operazione di finanziamento
tempo
Figura 3.1
C1
–C2
–C3
–C4
t1
t2
t3
t4
tempo
Figura 3.2
Presenteremo tre diversi criteri per affrontare problemi di scelta con effetti differiti:
1. il criterio dell’attualizzazione;
2. il criterio del tasso di rendimento interno;
3. il criterio dell’onere medio.
Criterio dell’attualizzazione
Il criterio dell’attualizzazione si basa sul calcolo del risultato economico attualizzato delle operazioni finanziarie in gioco; dobbiamo quindi anzitutto definire
questo concetto.
Modi di dire
RISULTATO ECONOMICO ATTUALIZZATO (REA)
Si chiama risultato economico attualizzato di un’operazione finanziaria (e si
indica con la sigla REA) la somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa in regime di capitalizzazione composta.
Se indichiamo con C0 , C1 , C2 , ..., Cn i flussi di cassa (positivi o negativi a seconda
che si tratti di entrate o uscite) corrispondenti ai tempi 0, 1, 2, ..., n e con i il tasso
di interesse, sara`:
REA ¼ C0 þ
C1
ð1 þ iÞ
1
þ
C2
ð1 þ iÞ
2
þ :::::: þ
Cn
ð1 þ iÞn
Il REA di un’operazione
finanziaria viene anche
chiamato VAN (valore
attuale netto).
Attenzione!
Stiamo considerando
un orizzonte temporale
formato da n periodi
e i e` il corrispondente tasso
periodale.
Tra due o piu` operazioni aventi un REA positivo (tipicamente gli investimenti), sara`
ovviamente preferibile quella avente il REA maggiore.
121
Ricerca operativa
La stessa regola vale per operazioni finanziarie aventi REA negativi (tipicamente
le operazioni di finanziamento): in questo caso l’operazione il cui REA (negativo)
e` maggiore non e` altro che quella il cui REA e` minore in valore assoluto, cioe` l’operazione che comporta una minore perdita.
ESEMPIO
Criterio del REA
Tema B
Consideriamo le seguenti due operazioni finanziarie:
l’operazione A che prevede un investimento iniziale di 1000 euro e il ricavo di
300 euro dopo 1 anno, di 500 euro dopo 2 anni e di 400 euro dopo 3 anni;
l’operazione B che prevede un investimento iniziale di 1000 euro e il ricavo di
200 euro dopo 1 anno, di 400 euro dopo 2 anni e di 600 euro dopo 3 anni.
Determiniamo, con il criterio del REA, l’operazione piu` conveniente, nel caso in
cui il tasso sia del 4%.
Possiamo rappresentare le due operazioni finanziarie sulla retta dei tempi come indicato nelle seguenti figure:
Operazione A
–1000
300
500
400
0
1
2
3
tempo
Operazione B
–1000
200
400
600
0
1
2
3
tempo
Risultera` pertanto:
REAA ¼ 1000 þ
300
500
400
þ
þ
’ 106,34 euro
2
1 þ 0,04
ð1 þ 0,04Þ
ð1 þ 0,04Þ3
REAB ¼ 1000 þ
200
400
600
þ
þ
’ 95,53 euro
2
1 þ 0,04
ð1 þ 0,04Þ
ð1 þ 0,04Þ3
La scelta piu` conveniente e` quindi l’operazione A, cui corrisponde il REA maggiore.
Rifletti
Un altro dei limiti del REA
e` quello di supporre che tutti
i flussi di cassa possano
essere attualizzati allo stesso
tasso i (ammettendo
implicitamente che il tasso
di interesse resti costante
nel tempo). Questa ipotesi
semplificatrice non e` sempre
realistica.
122
Il REA di un’operazione finanziaria e` fortemente influenzato sia dall’ordine di
grandezza dei capitali sia dalla durata dell’operazione: per esempio, un investimento di 1 milione di euro della durata di 1 anno puo` dare luogo a un valore attuale netto maggiore di un investimento di 10 000 euro (sempre per 1 anno) anche quando il tasso di rendimento di quest’ultimo e` preferibile al primo. Analogamente, il criterio del REA potrebbe fornire indicazioni non corrette, se applicato per esempio per confrontare un’operazione avente una durata di 20 anni con
un’operazione della durata di 2 soli anni. Per questo motivo, il criterio dell’attualizzazione va utilizzato solo se le operazioni poste a confronto sono omogenee tra
loro per quanto riguarda l’ammontare dei capitali investiti (o chiesti in prestito)
e la durata dell’operazione.
Inoltre, e` importante osservare che il REA di un’operazione finanziaria dipende
dal tasso di valutazione i; poiche´ quest’ultimo non e` intrinseco nelle operazioni
finanziarie che si vogliono confrontare, ma e` stabilito a discrezione dell’operatore che sta effettuando la scelta, operatori diversi potrebbero pervenire, nel confronto delle medesime operazioni finanziarie, a risultati diversi.
–1000
300
500
400
0
1
2
3
tempo
Il REA di questa operazione, in dipendenza dal tasso i, e` espresso dalla funzione:
REAðiÞ ¼ 1000 þ
300
500
400
þ
þ
2
1þi
ð1 þ iÞ
ð1 þ iÞ3
[3.1]
il cui grafico e` mostrato in fig. 3.3.
REA
300
200
100
O
i 0,0926
0,05
0,10
0,15
i
–100
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Esporremo ora un criterio che, a differenza di quello dell’attualizzazione, e` indipendente dal tasso di valutazione. Per giungere a tale criterio dobbiamo introdurre
il concetto di tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria, cui ci
avviciniamo a partire da un esempio.
Riconsideriamo il primo dei due flussi di cassa considerati nell’ultimo esempio:
Unita` 3
Criterio del tasso interno di rendimento
Figura 3.3
Il valore di i cui corrisponde un REA uguale a zero, ossia l’ascissa del punto di intersezione del grafico della funzione [3.1] con l’asse dei tassi, e` il cosiddetto tasso
interno di rendimento dell’operazione.
Possiamo dunque dare formalmente la seguente definizione.
TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR)
Si chiama tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria, e si indica
con la sigla TIR, il tasso di interesse i, se esiste, per cui si annulla il REA dell’operazione.
In formule, il TIR e` dunque quel tasso di interesse i che soddisfa l’equazione:
C0 þ
C1
C2
Cn
þ
þ :::::: þ
¼0
2
1þi
ð1 þ iÞn
ð1 þ iÞ
[3.2]
In alternativa, si potrebbe definire il TIR come quel tasso di interesse per cui il valore attuale delle entrate e` uguale al valore attuale delle uscite.
Il problema che si pone, ai fini del calcolo del TIR, e` che, se l’operazione finanziaria presenta piu` di tre flussi di cassa, solo in rari casi l’equazione [3.2] puo` essere risolta algebricamente; in generale quindi il calcolo del TIR di un’operazione finanziaria puo` avvenire solo in modo approssimato, facendo ricorso a un software
di calcolo oppure applicando gli algoritmi per l’approssimazione degli zeri di una
funzione che abbiamo presentato nel volume precedente del corso (metodo di
bisezione, metodo delle tangenti). Inoltre, nulla garantisce che l’equazione [3.2]
abbia effettivamente una soluzione reale e positiva (ai fini dei problemi di matematica finanziaria, infatti, possiamo scartare le soluzioni non reali e quelle negative che non hanno significato). Conseguenza di cio` e` che non tutte le operazioni
123
Ricerca operativa
Tema B
Attenzione!
In certe applicazioni
economiche (di cui pero` noi
non ci occuperemo) si
accettano anche valori del
TIR negativi, compresi tra 1
e 0 (nel caso di operazioni
che abbiano comportato
delle perdite).
finanziarie ammettono TIR; in particolare, si ammette che non esiste il TIR di
un’operazione finanziaria anche quando la corrispondente equazione [3.2] ha
piu` di una soluzione reale positiva: non potendone scegliere una in particolare,
infatti, il TIR resta comunque indefinito.
ESEMPIO
Calcolo del TIR
Calcoliamo, se esiste, il TIR delle seguenti operazioni finanziarie:
a. l’operazione che prevede un’uscita di 1000 euro oggi e un’entrata di 620
euro tra 1 anno e di 560 euro tra 2 anni;
b. l’operazione che prevede un’uscita di 1000 euro oggi, un’entrata di 1200
euro tra un anno e un’ulteriore uscita di 400 euro tra 2 anni;
c. l’operazione che prevede un’uscita di 480 euro oggi, un’entrata di 1400 euro tra 1 anno e un’ulteriore uscita di 1000 euro tra 2 anni.
a. La rappresentazione dell’operazione e` quella indicata nella seguente figura.
Per determinare il TIR occorre allora risolvere l’equazione (di secondo grado):
1000 þ
620
560
þ
¼0
1þi
ð1 þ iÞ2
–1000
620
560
0
1
2
tempo
REA
Risolvendo tale equazione si trovano le due soluzioni:
i1 ¼ 1,5
i2 ¼ 0,12
e
La prima soluzione non ha chiaramente significato, quindi va scartata; possiamo concludere che il TIR dell’operazione data e` il tasso del 12%.
b. La rappresentazione dell’operazione e` quella indicata nella seguente figura.
Per determinare il TIR occorre, similmente al caso precedente, risolvere l’equazione (di secondo grado):
1000 þ
1200
400
¼0
1þi
ð1 þ iÞ2
–1000
1200
–400
0
1
2
tempo
REA
Puoi verificare che tale equazione ha discriminante negativo, quindi non
ammette radici reali. Pertanto l’operazione considerata non ammette TIR.
c. La rappresentazione dell’operazione e` quella indicata nella seguente figura.
Per determinare il TIR occorre questa volta risolvere l’equazione:
480 þ
1400
1000
¼0
1þi
ð1 þ iÞ2
–480
1400
–1000
0
1
2
tempo
REA
che ammette come soluzioni:
i1 ¼ 0,25 e i2 ’ 0,6667
Poiche´ abbiamo ottenuto due possibili tassi, il 25% e il 66,67%, ammettiamo
come convenuto che l’operazione finanziaria considerata non ammette TIR.
L’interpretazione finanziaria del TIR appare del tutto evidente se si prende in
considerazione un caso limite: un’operazione finanziaria di investimento formata da una sola uscita e da una sola entrata. Se l’uscita e` C0 (in t ¼ 0) e l’entrata e`
Cn
Cn (al tempo t ¼ n), allora il TIR deve soddisfare l’equazione 0 ¼ C0 þ
ð1 þ iÞn
ossia Cn ¼ C0 ð1 þ iÞn : pertanto il TIR in questo caso non e` altro che quel tasso di
124
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
ESEMPIO
Unita` 3
interesse cui bisognerebbe investire (in regime di capitalizzazione composta) il
capitale C0 (al tempo t ¼ 0) per ottenere come montante Cn (al tempo t ¼ n).
Piu` in generale, data un’operazione di investimento (finanziamento), il TIR rappresenta il tasso cui dovrebbero essere impiegati tutti i capitali investiti (avuti in
prestito) per ottenere al tempo n (al tempo t ¼ 0) un montante (valore attuale)
uguale a quello generato da tutti i ricavi (tutte le rate da pagare).
In base a queste osservazioni e` immediato dedurre il criterio di scelta basato sul
TIR: un’operazione di investimento e` tanto migliore quanto piu` elevato e` il suo
TIR, mentre un’operazione di finanziamento e` tanto migliore quanto piu` basso e`
il suo TIR.
Scelta tra due investimenti con il criterio del TIR
In base al criterio del TIR, stabiliamo quale delle seguenti due operazioni finanziarie e` preferibile:
a. investire 10 000 euro oggi e ottenere 12 000 euro tra 2 anni;
b. investire 12 000 euro oggi e ottenere 8000 euro tra 1 anno e 6000 euro
fra 3 anni.
a. La rappresentazione dell’investimento e` la seguente:
–10 000
0
12000
1
2
tempo
3
Per calcolare il TIR dobbiamo risolvere l’equazione:
10 000 þ
12 000
ð1 þ iÞ2
¼0
Si tratta di un’equazione di secondo grado, che possiamo facilmente risolvere algebricamente; si trovano le due soluzioni i1 ’ 2,0954 e i2 ’ 0,0954. La
sola soluzione accettabile e` quella positiva, cui corrisponde un TIR uguale al
9,54%.
b. La rappresentazione dell’investimento e` la seguente:
–12 000
8000
0
1
6000
2
3
tempo
Per calcolare il TIR dobbiamo risolvere l’equazione:
12 000 þ
8000
6000
þ
¼0
1þi
ð1 þ iÞ3
Si tratta di un’equazione di terzo grado che non sappiamo risolvere algebricamente; ricorrendo per esempio al metodo di bisezione (con l’aiuto di un
foglio elettronico) o a un software di calcolo simbolico (per esempio GeoGebra), si trova che l’equazione ammette un’unica soluzione positiva:
i ’ 0,0886
dunque il TIR dell’operazione e` il tasso dell’8,86%. Dal confronto fra i due
TIR concludiamo che risulta piu` conveniente la prima operazione di investimento.
ESEMPIO
Scelta tra mutuo e leasing con il criterio del TIR
Per l’acquisto di alcuni macchinari del valore di 100 000 euro, un’azienda deve
scegliere se stipulare un contratto di leasing o un mutuo. Le condizioni sono le seguenti:
il leasing prevede un pagamento all’acquisto di 25 000 euro, il versamento di
canoni mensili di 1000 euro alla fine di ogni mese per 6 anni, il riscatto fra 6 anni con pagamento di 20 000 euro;
Ô
125
Tema B
Ricerca operativa
Ô
Ricorda
1. Con il simbolo ik si indica
il tasso di interesse periodale,
essendo k il numero di
periodi contenuti in un
anno.
2. Il tasso annuo di interesse
i equivalente a un tasso
periodale ik e` dato dalla
formula:
il mutuo prevede il pagamento, per 6 anni, di rate mensili posticipate di 1650
euro ciascuna.
Quale dei due finanziamenti risulta piu` conveniente?
Possiamo confrontare le due operazioni con il criterio del TIR. Calcoliamo anzitutto i REA dei due finanziamenti:
!
20 000
REAleasing ¼ 100 000 25 000 þ 1000 a 72 i12 þ
¼
ð1 þ i12 Þ72
h
i
1000 1 ð1 þ i12 Þ72
20 000
¼ 75 000 i12
ð1 þ i12 Þ72
REAmutuo ¼ 100 000 1650 a 72 i12 ¼ 100 000 h
i
1650 1 ð1 þ i12 Þ72
i12
k
i ¼ ð1 þ ik Þ 1
Risolvendo in modo approssimato le due equazioni REAleasing ¼ 0 e
REAmutuo ¼ 0, con l’aiuto di un opportuno software di calcolo, si trova:
i12 ’ 0,00477 per il leasing
i12 ’ 0,00487 per il mutuo
cui corrispondono i seguenti TIR (annui):
TIRleasing ¼ ð1 þ i12 Þ12 1 ’ 5,88%
TIRmutuo ¼ ð1 þ i12 Þ12 1 ’ 6%
Trattandosi di un’operazione di finanziamento, la preferenza andra` a quella
con tasso inferiore, cioe` al leasing.
Investimenti industriali e criterio dell’onere medio annuo
Nel caso di investimenti industriali, relativi per esempio al noleggio o all’acquisto di macchinari, capita spesso di dovere confrontare investimenti di durate differenti. In questi casi, come abbiamo gia` osservato all’inizio del paragrafo, il criterio dell’attualizzazione non puo` essere applicato direttamente; una possibilita`
per superare l’ostacolo e` quella di ricondurre il problema a un confronto tra investimenti di durate uguali, ipotizzando di fare compiere piu` cicli alle macchine. Ci
spieghiamo con un esempio.
ESEMPIO
Riconduzione a una durata comune
Un’azienda deve scegliere tra l’acquisto di due macchine:
la macchina A ha un costo di 25 000 euro, deve essere sostituita ogni 10 anni,
comporta una spesa annua di esercizio di 2000 euro e all’atto del recupero sara`
valutata 2000 euro;
la macchina B ha un costo di 30 000 euro, deve essere sostituita ogni 15 anni,
comporta una spesa annua di esercizio di 1800 euro e all’atto del recupero sara`
valutata 3000 euro.
Valutiamo quale macchina all’azienda conviene acquistare, a un tasso di valutazione dell’8%.
Durata comune
Assumiamo come durata comune il minimo comune multiplo tra la durata di
un ciclo della macchina A e la durata di un ciclo della macchina B.
Poiche´ m.c.m.(10, 15) ¼ 30, scegliamo come durata comune 30 anni, supponendo:
126
Unita` 3
Confronto dei valori attuali dei costi
Poiche´ i REA delle operazioni di acquisto delle due macchine sarebbero negativi (si tratta di soli costi, eccetto che per i valori di recupero), possiamo piu`
semplicemente confrontare i valori attuali dei costi complessivi (ossia i valori assoluti dei corrispondenti REA), in modo da lavorare con numeri non negativi.
Per la macchina A il valore attuale dei costi in un ciclo e` uguale a:
VA ¼ 25 000
costo della
macchina
þ
2000 a 10
0,08
2000 1,0810 ’ 37 493,78 euro
valore attuale dei costi
di esercizio annui; ossia
della rendita da essi formata
valore di recupero
attualizzato
Analogamente, per la macchina B il valore attuale dei costi in un ciclo e` uguale a:
VB ¼ 30 000
costo della
macchina
þ
1800 a 15
0,08
3000 1,0815 ’ 44 461,34 euro
valore attuale dei costi
di esercizio annui; ossia
della rendita da essi formata
Attenzione!
Quando si devono
confrontare operazioni con
REA negativi si preferisce
talvolta (come abbiamo fatto
nell’esempio qui a fianco)
confrontare semplicemente i
valori attuali dei costi (ossia i
valori assoluti dei REA
corrispondenti).
valore di recupero
attualizzato
Per calcolare il valore attuale dei costi della macchina A nei tre cicli previsti occorre attualizzare i costi relativi al secondo ciclo (di valore attuale VA al tempo
t ¼ 10) di ulteriori di 10 anni e quelli relativi al terzo ciclo (di valore attuale
VA al tempo t ¼ 20) di ulteriori 20 anni (vedi la figura qui sotto); ragionamenti
analoghi vanno condotti per la macchina B.
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
1. di sostituire la macchina A dopo 10 e dopo 20 anni con due macchine di
uguale tipo (ossia immaginando che la macchina A compia quindi 3 cicli);
2. di sostituire la macchina B dopo 15 anni sempre con una dello stesso tipo
(ossia immaginando che la macchina B compia 2 cicli).
Macchina A
Valore attuale
dei costi relativi
al primo ciclo
Attualizzazione
dei costi relativi
al secondo ciclo
VA
VA
VA
0
10
20
30
tempo
30
tempo
Attualizzazione dei costi
relativi al terzo ciclo
Macchina B
Valore attuale
dei costi relativi
al primo ciclo
Attualizzazione
dei costi relativi
al secondo ciclo
VB
VB
0
15
Il valore attuale dei costi nei tre cicli previsti per la macchina A e` quindi:
V 0A ¼ 37 493,78
þ
valore attuale dei costi
del primo ciclo
’ 62 904,87 euro
37 493,78 ð1,08Þ10
valore attuale dei costi
del secondo ciclo
þ
37 493,78 ð1,08Þ20 ’
valore attuale dei costi
del terzo ciclo
Ô
127
Ricerca operativa
Tema B
Ô
Il valore attuale dei costi nei due cicli previsti per la macchina B e` invece:
V 0B ¼ 44 461,34
þ
44 461,34 ð1,08Þ15 ’ 58 477,40 euro
valore attuale dei costi
del primo ciclo
valore attuale dei costi
del secondo ciclo
Concludiamo che e` piu` conveniente l’acquisto della macchina B, essendo il
valore attuale dei costi inferiore.
In alternativa, per confrontare investimenti industriali aventi durate diverse, anziche´ cercare una scadenza comune e` possibile ricorrere al cosiddetto criterio
dell’onere medio annuo. L’idea intuitiva e` quella di ripartire, per ciascun investimento, costi e ricavi come rate annuali costanti di una rendita (posticipata)
avente la stessa durata dell’investimento, quindi confrontare i valori di tali rate.
Per esempio, in riferimento all’esempio precedente, per applicare il criterio dell’onere medio annuo occorre procedere come segue:
1. si calcolano i valori attuali VA , VB dei costi di un singolo ciclo rispettivamente
delle due macchine A e B;
2. si determina la rata annua RA di una rendita, avente la stessa durata di un ciclo
della macchina A, il cui valore attuale sia uguale a VA : il valore di tale rata e` l’onere medio annuo relativo al macchinario A;
3. analogamente, si determina la rata annua RB di una rendita, avente la stessa
durata di un ciclo della macchina B, il cui valore attuale sia uguale a VB : il valore di tale rata e` l’onere medio annuo relativo al macchinario B;
4. si confrontano infine gli oneri medi annui RA ed RB .
ESEMPIO
Criterio dell’onere medio annuo
Nelle stesse ipotesi dell’esempio precedente, scegliamo quale macchina conviene
acquistare all’azienda, applicando il criterio dell’onere medio annuo.
Calcolo del valore attuale dei costi in un singolo ciclo
Sono gia` stati calcolati nell’esempio precedente e abbiamo visto che:
VA ’ 37 493,78 euro
VB ’ 44 461,34 euro
Calcolo degli oneri medi annui
Per il calcolo dell’onere medio annuo RA relativo alla macchina A dobbiamo
risolvere l’equazione:
VA ¼ RA a 10
0,08
) RA ¼
37 493,78
’ 5587,68 euro
a 10 0,08
Analogamente, per il calcolo dell’onere medio annuo RB relativo alla macchina B dobbiamo risolvere l’equazione:
VB ¼ RB a 15
0,08
) RB ¼
44 461,34
’ 5194,40 euro
a 15 0,08
Confronto degli oneri medi annui
Dal confronto tra gli oneri annui medi concludiamo (come nel caso precedente) che e` piu` conveniente l’acquisto della macchina B.
128
ESERCIZI a p. 135
2. Problemi di scelta
in condizione di incertezza
In questo paragrafo ci occupiamo di problemi di scelta in condizione di incertezza, problemi cioe` in cui subentrano dei fattori legati al verificarsi o meno di alcuni eventi aleatori indipendenti dalla volonta` di chi sceglie. Problemi di questo
tipo sono particolarmente frequenti in ambito economico: basta pensare per
esempio a investimenti legati all’andamento della Borsa, o a utili che dipendono
dalla quantita` di un bene che verra` venduta.
Per costruire i modelli matematici di questi problemi occorre utilizzare delle variabili aleatorie e, di conseguenza, gli strumenti del calcolo della probabilita`. Presenteremo tre criteri per risolvere problemi di scelta in condizione di incertezza:
il criterio del valore medio, il criterio della valutazione del rischio e il criterio
del pessimista. I primi due richiedono la conoscenza delle distribuzioni di probabilita` delle variabili aleatorie in gioco, mentre il terzo criterio, sebbene piu`
«grossolano», ha il vantaggio di potere essere applicato anche nel caso in cui non
si conoscano le distribuzioni di probabilita`.
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Considera le seguenti due operazioni finanziarie:
l’operazione A che prevede un esborso di 3000 euro oggi e il ricavo di 2900 euro tra 1 anno e di 2100 euro tra 2 anni;
l’operazione B che prevede un esborso di 3000 euro oggi e il ricavo di 1200 euro tra 1 anno e di 4000 euro tra 2 anni.
Determina quale delle due e` preferibile:
a. mediante il criterio del REA, al tasso di valutazione del 5%;
b. mediante il criterio del TIR.
[a. REAA ¼ 1666,67 euro, REAB ¼ 1770,98 euro; b. TIRA ¼ 44,96%, TIRB ¼ 37,19%]
Unita` 3
Prova tu
Criterio del valore medio
Illustriamo il criterio del valore medio direttamente mediante un esempio. Ricordiamo pero` preliminarmente alcuni concetti (presentati nel Volume 4) di cui faremo utilizzo.
VALORE MEDIO DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA E SUE PROPRIETA`
Data una variabile aleatoria (discreta) X, che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , rispettivamente con probabilita` p1 , p2 , ..., pn , si chiama valore medio (o media o valore
atteso o speranza matematica) della variabile aleatoria X, e si indica con il simbolo ðXÞ, o con il simbolo EðXÞ, il numero:
ðXÞ ¼ x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn
Il valore medio di una variabile aleatoria gode della proprieta` di linearita` per
cui:
ðaX þ bÞ ¼ aðXÞ þ b
ESEMPIO
per ogni a, b 2 R
Criterio del valore medio
Un’impresa puo` produrre un certo articolo seguendo tre processi produttivi:
il processo A comporta un costo fisso pari a 100 000 euro e un costo variabile
di 450 euro per ogni articolo;
il processo B comporta un costo fisso di 20 000 euro e un costo variabile pari a
500 euro per ogni articolo;
il processo C comporta un costo variabile pari a 550 euro per ogni articolo, senza costi fissi.
Ô
129
Ricerca operativa
Tema B
Ô
L’articolo verra` venduto al prezzo unitario di 1000 euro e si stima che la quantita`
venduta seguira` la seguente distribuzione di probabilita`:
Quantita` venduta
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
Quale processo e` preferibile per l’azienda, al fine di conseguire l’utile massimo?
Formalizzazione del problema
Indichiamo con X la variabile aleatoria (di cui e` data la distribuzione di probabilita`) che esprime la quantita` di articoli venduti. Siano poi UA , UB , UC gli utili,
corrispondenti ai tre processi produttivi A, B, C, che derivano dalla vendita
della quantita` X del bene. Poiche´ UA , UB , UC dipendono da X, sono anch’esse
variabili aleatorie; precisamente risulta:
UA ¼ 1000X ð450X þ 100 000Þ ¼ 550X 100 000
ricavo
costo
UB ¼ 1000X ð500X þ 20 000Þ ¼ 500X 20 000
ricavo
costo
UC ¼ 1000X 550X ¼ 450X
ricavo
costo
Un criterio per decidere quale processo produttivo e` piu` conveniente e` quello
di confrontare i valori medi delle tre variabili aleatorie UA , UB , UC e scegliere
l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo.
Calcolo dei valori medi
Osserviamo che per calcolare i valori medi di UA , UB , UC non e` necessario determinarne le distribuzioni di probabilita`; e` sufficiente infatti determinare il
valore medio di X e poi dedurre i valori medi di UA , UB , UC in base alle proprieta` del valore medio. Abbiamo:
ðXÞ ¼ 5000,05þ10000,1þ15000,2þ20000,3þ25000,2þ30000,15 ¼
x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn
¼ 1975
Pertanto, in base alla proprieta` di linearita` del valor medio:
ðUA Þ ¼ ð550X 100 000Þ ¼ 550ðXÞ 100 000 ¼ 550 1975 100 000 ¼
¼ 986 250 euro
ðUB Þ ¼ ð500X 20 000Þ ¼ 500ðXÞ 20 000 ¼ 500 1975 20 000 ¼
¼ 967 500 euro
ðUC Þ ¼ ð450XÞ ¼ 450ðXÞ ¼ 450 1975 ¼ 888 750 euro
3. Conclusione
In base al criterio del valore medio, la scelta preferibile e` quella del processo
produttivo A.
In generale, date due o piu` alternative, a ciascuna delle quali e` associata una variabile aleatoria che esprime il fenomeno d’interesse, la scelta dell’alternativa migliore in base al criterio del valore medio e` basata sul confronto dei valori medi delle
singole variabili aleatorie; per esempio, se lo scopo e` quello di massimizzare un
utile, sceglieremo l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo, mentre
se l’obiettivo e` quello di minimizzare un costo, la scelta cadra` sull’alternativa cui
corrisponde il valore medio minimo.
130
Unita` 3
Criterio della valutazione del rischio
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Sempre nell’ipotesi di dovere scegliere tra un insieme di alternative a ciascuna
delle quali e` associata una variabile aleatoria che esprime il fenomeno d’interesse, un altro criterio di scelta e` quello della valutazione del rischio. Questo criterio
introduce un vincolo in piu` rispetto al criterio del valore medio: il massimo rischio che e` disposto a correre chi vuole eseguire la scelta. Questa «soglia di ri
schio» viene quantificata, per ciascuna alternativa, come frazione
(o percenn
tuale) del valore medio della variabile aleatoria associata all’alternativa e va
confrontata con la deviazione standard della variabile aleatoria stessa, che rappresenta il rischio connesso all’alternativa. Cosı` facendo, e` possibile stabilire qua
li alternative soddisfano la condizione sul rischio (ossia Þ e scartare le altre;
n
fra le alternative rimaste, la scelta viene infine effettuata secondo il criterio del
valore medio (nel caso che ci siano piu` alternative con lo stesso valore medio, si
sceglie quella la cui deviazione standard e` minore).
Illustriamo questo modo di procedere mediante un esempio. Ricordiamo pero`
preliminarmente alcuni concetti (presentati nel volume 4) di cui faremo utilizzo.
VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
Data una variabile aleatoria (discreta) X, che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , rispettivamente con probabilita` p1 , p2 , ..., pn e il cui valore medio e` ðXÞ, si chiama varianza della variabile aleatoria X, e si indica con il simbolo VðXÞ, il numero cosı`
definito:
VðXÞ ¼ ½x1 ðXÞ2 p1 þ ½x2 ðXÞ2 p2 þ :::::: þ ½xn ðXÞ2 pn
La varianza puo` essere calcolata anche con la formula alternativa:
VðXÞ ¼ x21 p1 þ x22 p2 þ ::: þ x2n pn ½ðXÞ2
La deviazione standard di X, indicata con il simbolo ðXÞ, e` la radice quadrata
della varianza:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðXÞ ¼ VðXÞ
La deviazione standard di una variabile aleatoria gode della seguente proprieta`:
ðaX þ bÞ ¼ a ðXÞ
ESEMPIO
per ogni a, b 2 R
Criterio della valutazione del rischio
In riferimento al problema dell’ultimo esempio, determiniamo l’alternativa preferibile in base al criterio della
valutazione del rischio, se si e` disposti ad accettare un rischio massimo uguale al 36% del valore medio.
Calcolo dei valori medi e delle deviazioni standard
Abbiamo gia` determinato i valori medi delle variabili aleatorie UA , UB , UC ; per applicare il criterio della valutazione del rischio e` necessario determinare anche le deviazioni standard di queste variabili aleatorie. A
tale scopo, non serve determinarne le distribuzioni di probabilita`; e` sufficiente infatti determinare la deviazione standard di X e poi dedurre le deviazioni standard di UA , UB , UC in base alla proprieta` della deviazione standard poc’anzi ricordate.
VðXÞ ¼ 5002 0,05 þ 10002 0,1 þ 15002 0,2 þ 20002 0,3 þ 25002 0,2 þ 30002 0,15 19752 ¼
¼ 461 875
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðXÞ ¼ VðXÞ ’ 679,61
½ðXÞ2
x12 p1 þ x22 p2 þ ::: þ xn2 pn
Pertanto:
ðUA Þ ¼ ð550X 100 000Þ ¼ 550 ðXÞ ¼ 550 679,61 ¼ 373 785,50 euro
ðUB Þ ¼ ð500X 20 000Þ ¼ 500 ðXÞ ¼ 500 679,61 ¼ 339 805 euro
ðUC Þ ¼ ð450XÞ ¼ 450 ðXÞ ¼ 450 679,61 ¼ 305 824,50 euro
Ô
131
Ricerca operativa
Tema B
Ricerca delle alternative che soddisfano la soglia di rischio
Riassumiamo ora nella seguente tabella i risultati ottenuti; predisponiamo anche due righe in cui calcoliamo, per ciascuna alternativa, la massima soglia di rischio ammessa e verifichiamo se tale soglia di rischio
e` rispettata.
Variabile aleatoria
UA
UB
UC
Media ()
986 250
967 500
888 750
Deviazione standard ()
373 785,50
339 805
305 824,50
Soglia di rischio (0,36)
355 050
348 300
319 950
E` soddisfatta la condizione sulla soglia ð 0,36Þ?
No
Sı`
Sı`
Conclusione
Dovendo scartare il processo A, perche´ non soddisfa la condizione sulla soglia del rischio, la scelta rimane
ristretta al processo B o al processo C: fra queste due alternative, scegliamo il processo B perche´ e` quello
cui corrisponde l’utile medio piu` alto.
Criteri del pessimista e dell’ottimista
Il criterio del pessimista, come anticipato, e` utilizzabile anche nel caso in cui
non siano note le distribuzioni di probabilita` delle variabili aleatorie coinvolte
nel problema.
Intuitivamente, questo criterio consiste nell’individuare, in corrispondenza di
ciascuna alternativa, lo «scenario peggiore» e poi scegliere l’alternativa che corrisponde al «meno peggio». Per esempio, se vogliamo confrontare degli utili, individuiamo l’utile minimo in corrispondenza di ciascuna alternativa (lo «scenario
peggiore»), quindi scegliamo l’alternativa in corrispondenza della quale l’utile
minimo risulta massimo (il «meno peggio»); se vogliamo confrontare dei costi, individuiamo il costo massimo in corrispondenza di ciascuna alternativa (lo «scenario peggiore»), quindi scegliamo l’alternativa per cui il costo massimo risulta minimo. Da queste ultime osservazioni puoi comprendere perche´ il criterio del pessimista e` anche detto criterio del minimax o del maximin.
ESEMPIO
Criterio del pessimista
Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra le quattro alternative A, B, C, D. Per
ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere
quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determiniamo l’alternativa
preferibile, utilizzando il criterio del pessimista.
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
E1
120 000
135 000
80 000
100 000
E2
140 000
120 000
150 000
75 000
E3
110 000
130 000
160 000
150 000
Individuiamo, per ogni alternativa lo «scenario peggiore» (evidenziato in giallo):
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
E1
120 000
135 000
80 000
100 000
E2
140 000
120 000
150 000
75 000
E3
110 000
130 000
160 000
150 000
Fra i quattro utili peggiori cosı` individuati, l’utile massimo e` quello di 120 000 euro, dunque, in base al
criterio del pessimista, dobbiamo scegliere l’alternativa B.
132
Criterio dell’ottimista
In riferimento all’esempio precedente, determiniamo l’alternativa preferibile, utilizzando il criterio dell’ottimista.
Individuiamo, per ogni alternativa, lo scenario migliore (evidenziato in azzurro):
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
E1
120 000
135 000
80 000
100 000
E2
140 000
120 000
150 000
75 000
E3
110 000
130 000
160 000
150 000
Fra i quattro utili migliori cosı` individuati, l’utile massimo e` quello di 160 000 euro, dunque, in base al
criterio dell’ottimista, dobbiamo scegliere l’alternativa C.
Problemi di scelta in condizione di incertezza, con effetti differiti
I problemi di scelta tra operazioni finanziarie in cui i ricavi (costi) futuri dipendono da eventi aleatori di cui sono note le probabilita` di verificarsi si affrontano
combinando il criterio del valore attuale con quello del valore medio: per ciascuna alternativa il valore attuale dei ricavi (costi) risulta una variabile aleatoria di cui
si puo` calcolare il valore medio, dunque la scelta cadra` sull’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo (minimo).
ESEMPIO
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
ESEMPIO
Unita` 3
Un altro criterio che non fa uso delle distribuzioni di probabilita`, in un certo senso
«opposto» a quello del pessimista, e` il cosiddetto criterio dell’ottimista: quest’ultimo consiste nell’individuare, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo «scenario migliore» e poi scegliere l’alternativa cui corrisponde il «miglior scenario»,
tra i migliori (per questo e` anche detto criterio del maximax o del minimin).
Problema di scelta in condizione di incertezza, con effetti differiti
Vogliamo investire 10 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni:
l’operazione A prevede un ricavo di 2000 euro fra 2 anni con una probabilita` del 40%, oppure di 3500 euro
fra 3 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilita` del 30%
l’operazione B prevede un ricavo di 3000 euro fra 3 anni con una probabilita` del 60%, oppure di 5000 euro
fra 5 anni con una probabilita` del 40%.
Quale operazione e` preferibile, al tasso di valutazione del 5%?
I valori attuali VA e VB dei ricavi, rispettivamente nelle due operazioni A e B, sono due variabili aleatorie,
aventi le seguenti distribuzioni di probabilita`:
VA
2000 (1,05)2
3500 (1,05)3
5000 (1,05)5
Probabilita`
0,4
0,3
0,3
VB
3000 (1,05)3
5000 (1,05)5
Probabilita`
0,6
0,4
Pertanto:
ðVA Þ ¼ 2000 ð1,05Þ2 0,4 þ 3500 ð1,05Þ3 0,3 þ 5000 ð1,05Þ5 0,3 ¼ 2807,94 euro
ðVB Þ ¼ 3000 ð1,05Þ3 0,6 þ 5000 ð1,05Þ5 0,4 ¼ 3121; 96 euro
Risulta dunque piu` conveniente l’operazione B.
133
Ricerca operativa
Tema B
Prova tu
ESERCIZI a p. 143
1. Un imprenditore vende ciascuna unita` di un dato bene al prezzo unitario di 20 euro. I processi produttivi che puo`
seguire sono due:
il processo A comporta un costo di produzione pari a 6 euro per ogni unita` prodotta e spese fisse pari a 10 000 euro;
il processo B comporta un costo di produzione pari a 10 euro per ogni unita` prodotta, senza spese fisse.
Si stima che le vendite seguiranno la distribuzione di probabilita` indicata dalla seguente tabella:
Quantita` venduta
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
Trova il procedimento piu` conveniente ai fini di conseguire il massimo utile, applicando:
a. il criterio del valore medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massimo uguale al 40% del valore medio.
[a. Il processo B; b. il processo B]
2. Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra le quattro alternative A, B, C, D. Per ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determina l’alternativa preferibile, utilizzando sia il criterio del pessimista sia quello dell’ottimista.
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
E1
125 000
115 000
85 000
95 000
E2
132 000
105 000
124 000
105 000
E3
90 000
130 000
130 000
140 000
[Criterio del pessimista: alternativa B; criterio dell’ottimista: alternativa D]
134
3
Esercizi
In più: esercizi interattivi
Unita`
TIR (tasso interno di rendimento)
E` il tasso per cui il valore attuale del costo di un investimento e` uguale al valore attuale dei ricavi. In alternativa, si
puo` dire che e` il tasso per cui REA ¼ 0. Non per tutte le operazioni finanziarie esiste il TIR.
Criteri per problemi di scelta in condizione di certezza, con effetti differiti
Criterio dell’attualizzazione. Consiste nello scegliere tra due o piu` operazioni finanziarie confrontando i corrispondenti REA. L’operazione preferibile sara` quella il cui REA e` maggiore (sia nel caso di investimenti, sia nel caso di finanziamenti).
Criterio del tasso interno di rendimento. Consiste nello scegliere tra due o piu` operazioni finanziarie confrontando
i corrispondenti TIR. Nel caso di un’operazione di investimento, e` preferibile quella il cui TIR e` maggiore, mentre nel caso di un’operazione di finanziamento e` preferibile quella il cui TIR e` minore.
Criteri per problemi di scelta in condizione di incertezza
Criterio del valore medio. Consiste nello scegliere fra due o piu` alternative, a ciascuna delle quali e` associata una
variabile aleatoria con distribuzione di probabilita` nota, confrontando i valori medi delle variabili aleatorie.
Criterio della valutazione del rischio. E` basato su una logica simile a quella del valore medio, ma introduce un vincolo in piu`, legato al massimo rischio che e` disposto a correre chi vuole eseguire la scelta; questa «soglia di rischio» massima viene quantificata come frazione o percentuale del valore medio. Si procede cosı`:
1. si calcolano il valore medio e la deviazione standard di ciascuna delle variabili aleatorie di interesse;
2. si scartano le alternative cui corrisponde una deviazione standard maggiore della prefissata frazione del valore medio;
3. tra le alternative rimaste, si sceglie quella preferibile, in base al criterio del valore medio. Andra` scelta per
esempio l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo se l’obiettivo e` massimizzare un utile, oppure
l’alternativa cui corrisponde il valore medio minimo se l’obiettivo e` minimizzare un costo. Nel caso in cui vi
siano piu` alternative alle quali corrisponde lo stesso valore medio si scegliera` quella la cui corrispondente deviazione standard e` minore.
Criterio del pessimista. Intuitivamente, consiste nell’individuare, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo
«scenario peggiore» e poi scegliere l’alternativa che corrisponde allo scenario «meno peggio» tra quelli ottenuti.
Per esempio, se l’obiettivo e` massimizzare un utile, individuiamo l’utile minimo in corrispondenza di ciascuna
alternativa, quindi scegliamo l’alternativa in corrispondenza della quale l’utile minimo risulta massimo. Questo
criterio non necessita della conoscenza delle probabilita` degli eventi aleatori coinvolti.
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
REA (risultato economico attualizzato)
E` la somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa di un’operazione finanziaria (considerati positivi o negativi a
seconda che si tratti di entrate o di uscite) in regime di capitalizzazione composta.
Unita` 3
SINTESI
`
CONOSCENZE E ABILITA
1. Problemi di scelta in condizione di certezza
con effetti differiti
TEORIA a p. 121
Nota Nelle soluzioni degli esercizi verra` sottinteso che i valori monetari sono espressi in euro o nella stessa unita` indicata nella consegna.
Esercizi preliminari
Test
1 Quale delle seguenti espressioni fornisce il valore attuale di un capitale di 2000 euro, disponibile fra 2 anni,
Þ
al tasso composto del 5%?
A
2000 ð0,05Þ2
B
2000 ð1,05Þ2
C
2000 ð0,05Þ2
D
2000 ð1,05Þ2
135
Ricerca operativa
Tema B
Qual e` il valore attuale di una rendita posticipata, costituita da 10 rate annuali di 1000 euro, al tasso annuo
del 4%?
2
Þ
A
8110,90 euro
B
7515,18 euro
C
8256,21 euro
D
7984,35 euro
Un’operazione finanziaria prevede un costo di 5000 euro oggi e due ricavi, uno di 3000 euro tra 1 anno e uno
di 5000 euro tra 2 anni. Quale delle seguenti espressioni fornisce il REA dell’operazione al tasso i?
3
Þ
A
5000 þ 3000ð1 þ iÞ þ 5000ð1 þ iÞ2
C
5000 þ 3000ð1 þ iÞ1 þ 5000ð1 þ iÞ2
B
5000 3000ð1 þ iÞ 5000ð1 þ iÞ2
D
5000 3000ð1 þ iÞ1 5000ð1 þ iÞ2
4
Þ
Il TIR di un’operazione finanziaria:
A
esiste sempre ed e` il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 0
B
esiste sempre ed e` il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 1
C
puo` non esistere e, se esiste, e` il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 0
D
puo` non esistere e, se esiste, e` il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 1
Calcolo del REA
5
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di
cassa rappresentato in tabella.
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
2500
1500
2000
In base alla definizione, risulta:
REA ¼ 2500 þ
1500
2000
þ
’ ::::::::::
1 þ 0,04
ð::::::::::Þ2
[791,42]
6 Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di casÞ
sa rappresentato in tabella.
[17,38]
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
1000
1010
50
Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella.
[36,07]
7
Þ
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa (euro)
1000
800
100
100
100
8 Con un tasso di interesse del 5%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di casÞ
sa rappresentato in tabella.
[409,30]
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
5
Flusso di cassa (euro)
1000
200
500
700
100
100
9 Con un tasso di interesse del 5%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di casÞ
sa rappresentato in tabella.
[347,93]
136
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa (euro)
800
500
600
100
50
Data la seguente operazione finanziaria:
0
1
2
3
4
Flusso di cassa (euro)
500
100
150
200
x
e sapendo che il REA di questa operazione, valutato al 5%, e` uguale a 109,74 euro, calcola il valore di x.
[250,01]
Data la seguente operazione finanziaria:
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa (euro)
800
200
200
x
300
e sapendo che il REA di questa operazione, valutato al 4%, e` uguale a 100,36 euro, calcola il valore di x.
[300]
Problemi di scelta da risolvere con il criterio dell’attualizzazione
Un capitale di 20 000 euro puo` essere dato in prestito alle seguenti condizioni:
AÞ restituzione mediante 3 versamenti, uno di 8000 euro fra 4 anni, uno di 12 000 euro fra 7 anni e uno di 16 000
euro fra 10 anni;
BÞ restituzione con due versamenti, uno di 14 000 euro fra 6 anni e uno di 24 000 euro fra 10 anni.
Quale delle due restituzioni e` piu` conveniente per chi concede il prestito, al tasso del 6%? E se il tasso fosse dell’8%?
[Al 6%: REAA ¼ 3251,75 e REAB ¼ 3270,92, quindi conviene la scelta B;
all’8% REAA ¼ 293,22 e REAB ¼ 60,98, quindi conviene la scelta A]
12
Þ
13 Un’operazione finanziaria, diciamo A, consiste in un versamento iniziale di 35 000 euro e in ricavi annui poÞ
sticipati pari a 4000 euro per 12 anni. Un’altra operazione finanziaria, diciamo B, consiste invece in un versamento
iniziale di 35 000 euro e in due ricavi di 24 000 euro e di 30 000 euro che maturano rispettivamente dopo 4 anni e
dopo 12 anni. Quale forma di investimento e` la piu` conveniente al tasso di valutazione del 5%?
[REAA ¼ 453,01, REAB ¼ 1449,98, dunque conviene la seconda operazione]
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Scadenza (anni)
11
Þ
Unita` 3
10
Þ
14 Si vuole investire il capitale di 10 000 euro ed e` possibile scegliere tra due alternative:
Þ
AÞ ricevere 5500 euro fra 3 anni e 9000 euro fra 6 anni;
BÞ ricevere 2000 euro fra 6 mesi e 1750 euro alla fine di ogni anno per 6 anni.
Qual e` l’alternativa piu` conveniente al tasso di valutazione del 6,5%?
[REAA = 721,18, REAB = 409,78; l’alternativa A]
15 Dispongo di un capitale di 40 000 euro che posso investire scegliendo tra le seguenti alternative:
Þ
AÞ ricavo di 20 000 euro dopo 4 anni, di 20 000 euro dopo 7 anni e di 20 000 euro dopo 10 anni;
BÞ ricavo di 30 000 euro dopo 5 anni e di 30 000 euro dopo 8 anni.
Quale forma di impiego e` la piu` conveniente al tasso di valutazione del 6%? E se il tasso viene portato al 4%?
[Al 6%: REAA ¼ 310,91, REAB ¼ 1240,12, dunque conviene l’alternativa B;
al 4%: REAA ¼ 5805,72, REAB ¼ 6578,52, dunque conviene l’alternativa B]
16 Disponendo di un certo capitale, e` possibile effettuare un’operazione di investimento scegliendo tra due opÞ
zioni:
AÞ ricevere due volte la somma di 9000 euro fra 2 anni e fra 5 anni;
BÞ ricevere 8 rate trimestrali posticipate di 2000 euro ciascuna.
Al tasso di valutazione del 5%, quale delle due opzioni e` la piu` conveniente? E al tasso del 7,5%?
[Al 5%: REAA ¼ 15 215, REAB ¼ 15 151,36, dunque conviene A;
al 7,5%: REAA ¼ 14 057,02, REAB ¼ 14 762,44, dunque conviene B]
` essere investito scegliendo tra le seguenti alternative:
17 Un capitale di 100 000 euro puo
Þ
AÞ ricevere 8 rate semestrali posticipate di 14 000 euro ciascuna e la somma di 15 000 euro fra 6 anni;
BÞ ricevere alla fine di ogni semestre 10 rate, le prime 6 di importo pari a 15 000 euro e le successive 4 di importo
pari a 8000 euro.
Qual e` l’alternativa piu` conveniente al tasso di valutazione del 7,5%?
[REAA ¼ 5227,17, REAB ¼ 3003,64; l’alternativa A]
137
Ricerca operativa
Tema B
Ricevo un prestito di 100 000 euro, che posso scegliere di rimborsare con una delle seguenti modalita`:
AÞ versare 60 000 euro fra sei mesi e 65 000 euro fra un anno;
BÞ versare alla fine di ogni due mesi per un anno 20 000 euro;
CÞ versare alla fine di ogni mese per un anno 10 000 euro.
Quale possibilita` conviene scegliere al tasso di valutazione del 9%?
[REAA ¼ 17 102,60, REAB ¼ 14 151,01, REAC ¼ 14 562,37 e l’opzione preferibile
sarebbe quella cui corrisponde il REA maggiore (ossia minore in valore assoluto), quindi B]
18
Þ
` scegliere fra tre forme di pagamento:
19 Una persona vuole acquistare un appartamento e puo
Þ
AÞ pagare 250 000 euro subito;
BÞ versare subito 80 000 euro e pagare 7 rate annuali posticipate di 30 000 euro;
CÞ versare 7 rate annuali posticipate di 45 000 euro.
Quale forma di pagamento e` la piu` conveniente al tasso di valutazione del 6%? E se il tasso fosse del 5%?
[Al 6% si ha REAA ¼ 250 000, REAB ¼ 247 471,44, REAC ¼ 251 207,16, dunque conviene la scelta B,
mentre al 5% risulta REAA ¼ 250 000, REAB ¼ 253 591,20, REAC ¼ 260 386,80, quindi conviene A]
Calcolo del TIR
20
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella.
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
1000
500
1000
Il REA dell’operazione, espresso in funzione del tasso i, e`:
REA ¼ 1000 þ
500
1000
þ
1þi
ð1 þ iÞ2
Il TIR e` il tasso, se esiste, per cui REA ¼ 0. Risolvendo l’equazione:
1000 þ
500
1000
þ
¼0
1þi
ð1 þ iÞ2
e scartando la soluzione negativa, troverai che il TIR dell’operazione data corrisponde a un tasso del 28,08%.
21
Þ
[6,81%]
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
500
300
250
22
Þ
Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella.
[9,46%]
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
600
200
500
23
Þ
Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella.
[13,75%]
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
200
300
600
24
Þ
138
Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella.
Verifica che per l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella non esiste alcun TIR.
Scadenza (anni)
0
1
2
Flusso di cassa (euro)
300
–500
250
0
1
2
3
Flusso di cassa (euro)
1500
x
500
800
26 Data l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella, calcola il valore di x in modo che il TIR sia uguaÞ
le al 5%.
[94,75]
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa (euro)
800
300
250
x
250
27 Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale di 10 000 euro e ricevere dopo 6 anni il dopÞ
pio della cifra investita. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione finanziaria.
[12,25%]
Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale di 5000 euro e ricevere dopo 10 anni il triplo della cifra investita. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione.
[11,61%]
28
Þ
29 Una persona investe 15 000 euro oggi e potra` ricevere tra 1 anno 8000 euro e tra 2 anni altri 8000 euro. DeterÞ
mina il tasso interno di rendimento dell’operazione.
[4,41%]
Una persona investe oggi 10 000 euro e potra` ricevere tra 1 anno 6000 euro e tra 2 anni altri 6000 euro. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione.
[13,07%]
30
Þ
Una persona investe oggi 15 000 euro e potra` ricevere tra 2 anni 9000 euro e tra 4 anni altri 9000 euro. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione.
[6,33%]
31
Þ
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Scadenza (anni)
Unita` 3
25 Data l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella, calcola il valore di x in modo che il TIR sia uguaÞ
le al 4%.
[339,59]
32 Una persona investe 30 000 euro in un’operazione finanziaria in base alla quale potra` ricevere una rata anÞ
nuale posticipata di 5000 euro per 10 anni. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione.
(Suggerimento: utilizza un software opportuno per determinare la soluzione approssimata dell’equazione cui si
giunge)
[10,56%]
33 Una persona investe 20 000 euro in un’operazione finanziaria in base alla quale potra` ricevere ogni due mesi
Þ
800 euro per 6 anni. Determina il tasso annuo interno di rendimento dell’operazione finanziaria.
(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)
[13,42%]
Problemi di scelta da risolvere con il criterio del tasso interno di rendimento
34 Un’operazione finanziaria consiste nell’investimento di 10 000 euro oggi e consente di scegliere tra due alterÞ
native:
AÞ ricevere 5000 euro dopo un anno e 6000 euro dopo due anni;
BÞ ricevere 5500 euro dopo un anno e altri 5500 euro dopo due anni.
Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR.
[TIRA ¼ 6,39%; TIRB ¼ 6,60%; e` preferibile B]
35 Un’operazione finanziaria consiste nell’investimento di 10 000 euro oggi e consente di scegliere tra due alterÞ
native:
AÞ ricevere 11 200 euro dopo 2 anni;
BÞ ricevere 6000 euro dopo un anno e ricevere altri 5000 euro dopo due anni.
Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR.
[TIRA ¼ 5,83%; TIRB ¼ 6,81%, e` preferibile B]
Ricevo un prestito di 10 000 euro oggi che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative:
AÞ rimborso di 11 500 euro dopo due anni;
BÞ rimborso di 5500 euro dopo un anno e di altri 6000 euro dopo due anni.
Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR.
[TIRA ¼ 7,24%, TIRB ¼ 9,70%, quindi conviene A]
36
Þ
139
Ricerca operativa
Tema B
37 Ricevo un prestito di 50 000 euro oggi che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative:
Þ
AÞ rimborso di 65 000 euro dopo quattro anni;
BÞ rimborso di 30 000 euro dopo due anni e di 32 000 euro dopo quattro anni.
Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR.
[TIRA ¼ 6,78%, TIRB ¼ 7,44%, quindi conviene A]
38 Ricevo in prestito 100 000 euro, che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative:
Þ
AÞ pagare una rata annuale posticipata di 22 000 euro per 5 anni;
BÞ versare 35 000 euro fra 1 anno, 35 000 fra 2 anni e 40 000 euro fra 6 anni.
Determina con il criterio del TIR la proposta piu` conveniente. [TIRA ¼ 3,26%, TIRB ¼ 3,16%, quindi conviene B]
39 Si possono investire 10 000 euro con due modalita` diverse che consentono di:
Þ
AÞ ottenere una quota costante semestrale posticipata di 1000 euro per 10 anni;
BÞ ottenere una quota costante annuale posticipata di 2000 euro per 10 anni.
Determina con il criterio del TIR la modalita` di investimento piu` conveniente.
[TIRA ¼ 16,11%, TIRB ¼ 15,10%, quindi conviene A]
Una persona intende investire 100 000 euro in un’operazione finanziaria. Puo` decidere tra due forme di investimento caratterizzate da:
AÞ ricevimento di rate semestrali posticipate di 8000 euro ciascuna per 12 anni;
BÞ ricevimento di 130 000 euro fra 5 anni e di 90 000 euro fra 12 anni.
Determina con il criterio del TIR la forma di investimento piu` conveniente.
[TIRA ¼ 12,45%, TIRB ¼ 11,47%, quindi conviene A]
40
Þ
Abbiamo 20 000 euro da investire e possiamo scegliere una delle seguenti proposte:
AÞ ricevimento di 22 500 euro fra 4 anni, di 17 500 euro fra 7 anni e di 17 500 euro fra 12 anni;
BÞ ricevimento di una quota costante semestrale posticipata di 2000 euro per 12 anni;
Determina con il criterio del TIR la proposta di investimento piu` conveniente.
[TIRA ¼ 17,5%, TIRB ’ 18%, quindi conviene B]
41
Þ
Investimenti industriali
42
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Un’industria ha bisogno di acquistare una macchina e puo` scegliere tra due alternative:
1. una prima macchina ha un costo iniziale di 10 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 150 euro
e deve essere sostituita dopo 5 anni con un valore di recupero finale di 2000 euro;
2. una seconda macchina ha un costo iniziale di 8000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 175 euro
e deve essere sostituita dopo 3 anni, con un valore di recupero finale di 2500 euro.
` conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12,5%:
Determina quale macchinario e` piu
a. con il criterio dell’attualizzazione;
b. con il criterio dell’onere medio annuo.
a. Criterio dell’attualizzazione
Assumi una durata comune di 15 anni, poiche´ 15 ¼ m.c.m.(5, 3).
Determina, per ciascuna delle due macchine, i valori attuali dei costi in un ciclo:
V1 ¼ 10 000 þ 150 a 5
0,125
2000 ð1,125Þ5 ¼ ::::::::::
V2 ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ ::::::::::::::::::::
Determina, per ciascuna delle due macchine, i valori attuali dei costi per un periodo di 15 anni (immaginando
che la macchina 1 compia tre cicli e la macchina 2 compia cinque cicli):
V 01 ¼ V1 þ V1 ð1,125Þ5 þ V1 ð1,125Þ10 ¼ ::::::::::
V 02 ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ ::::::::::::::::::::
Confronta infine i valori di V 01 e V 02 .
140
L’onere medio annuo relativo alla prima macchina e` la rata annuale costante, diciamo R1 , di una rendita posticipata di valore attuale V1 e di durata 5 anni. Per calcolare R1 devi dunque risolvere l’equazione:
0,125
da cui ottieni:
R1 ¼
V1
¼ :::::
a 5 0,125
onere medio annuo
relativo alla macchina 1
Procedendo analogamente puoi calcolare l’onere medio annuo R2 .
Confronta infine R1 ed R2 .
[a. Per un ciclo: V1 ¼ 9424,23, V2 ¼ 6660,91;
per 15 anni: V 01 ¼ 17 556,16, V 02 ¼ 18 553, quindi conviene la prima macchina; b. R1 ¼ 2646,83 ed R2 ¼ 2797,12]
43
Þ
Un imprenditore vuole acquistare un nuovo macchinario e puo` scegliere tra le seguenti due alternative:
1. un primo macchinario ha un costo iniziale di 20 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 500 euro e
deve essere sostituito dopo 8 anni con un valore di recupero finale di 5000 euro;
2. un secondo macchinario ha un costo iniziale di 15 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 250 euro e
deve essere sostituito dopo 4 anni con un valore di recupero finale di 4000 euro.
Determina quale macchinario e` piu` conveniente acquistare al tasso di valutazione del 10,5%:
a. con il criterio dell’attualizzazione;
b. con il criterio dell’onere medio annuo.
[a. Per un ciclo: V1 ¼ 20370,17, V2 ¼ 13 101,03;
per 8 anni: V 01 ¼ V1 , V 02 ¼ 21 888,34, quindi conviene il primo macchinario; b. R1 ¼ 3888,04 ed R2 ¼ 4177,81]
44 Un’industria vuole ristrutturare un comparto produttivo e ha la necessita` di acquistare una nuova macchina;
Þ
puo` scegliere tra due alternative:
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
V1 ¼ R1 a 5
Unita` 3
b. Criterio dell’onere medio annuo
1. una prima macchina ha un costo iniziale di 50 000 euro, ha un costo di manutenzione di 1500 euro all’anno e
deve essere sostituita dopo 9 anni con un valore di recupero finale di 8000 euro;
2. una seconda macchina ha un costo iniziale di 25 000 euro, ha un costo di manutenzione di 1000 euro all’anno
e deve essere sostituita dopo 3 anni con un valore di recupero finale di 4500 euro.
Determina quale macchina e` piu` conveniente acquistare al tasso di valutazione dell’11%:
a. con il criterio dell’attualizzazione;
b. con il criterio dell’onere medio annuo.
[a. Per un ciclo: V1 ¼ 55 178,17, V2 ¼ 24 153,35;
per 9 anni: V 01 ¼ V1 , V 02 ¼ 54 727,45, quindi conviene la seconda macchina; b. R1 ¼ 9965,27 ed R2 ¼ 9883,87]
45 Un’industria intende acquistare un macchinario, potendo scegliere tra due alternative:
Þ
1. il macchinario A, del costo iniziale di 20 000 euro, con costi di manutenzione pari a 1500 euro all’anno per i primi 5 anni e a 2500 euro all’anno per i successivi 10 anni, e con valore di recupero tra 15 anni pari a 7000 euro;
2. il macchinario B, del costo iniziale di 25 000 euro con costi di manutenzione pari a 1250 euro all’anno per i primi 6 anni e a 1000 euro all’anno per i successivi 4 anni, e con valore di recupero tra 10 anni pari a 1500 euro.
Determina quale macchinario e` piu` conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12%, tramite:
a. il criterio dell’attualizzazione;
b. il criterio dell’onere medio annuo.
[a. Per un ciclo: VA ¼ 32 143,51, VB ¼ 31 195,12; per una durata
0
0
comune di 30 anni V A ¼ 38 016,01, VB ¼ 44 473; quindi e` piu` conveniente A; b. RA ¼ 4719,45 ed RB ¼ 5521,04]
46
Þ
Un’industria vuole procurarsi una macchina e puo` scegliere tra due alternative:
1. la macchina A ha un costo iniziale di 45 000 euro, costi di manutenzione pari a 2000 euro all’anno per i primi 7
anni e a 2500 euro all’anno per i successivi 3 anni, e un valore di recupero tra 10 anni pari a 6000 euro.
2. la macchina B ha un costo iniziale di 50 000 euro, costi di manutenzione pari a 2000 euro all’anno per i primi 8
anni e a 3000 euro all’anno per i successivi 7 anni, e un valore di recupero tra 15 anni pari a 1500 euro.
Determina quale macchinario e` piu` conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12%, tramite:
a. il criterio dell’attualizzazione;
b. il criterio dell’onere medio annuo.
[a. Per un ciclo: VA ¼ 54 911,84, VB ¼ 65 190,90; per una durata comune di 30 anni: VA0 ¼ 78 284,52,
VB0 ¼ 77 101,04; quindi e` piu` conveniente B; b. RA ¼ 97 18,53 ed RB ¼ 95 71,61]
141
Ricerca operativa
Tema B
Scelta tra mutuo e leasing
47 Per procurarsi un macchinario si deve sostenere una spesa di 100 000 euro. Per effettuare il pagamento ci soÞ
no le seguenti due possibilita`:
1. stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di 36 rate posticipate mensili di 4000 euro ciascuna;
2. contratto di leasing con pagamento di 24 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annuali posticipati di 25 000 euro per la durata di 3 anni, versamento di 40 000 euro a titolo di riscatto fra 3 anni.
Trova la possibilita` piu` conveniente con il criterio dell’attualizzazione, al tasso dell’8%.
[V1 ¼ 128 173,33, V2 ¼ 120 180,71; conviene il leasing]
48 Per disporre di un capannone si deve sostenere una spesa di 150 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono
Þ
le seguenti due possibilita`:
1. stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di 48 rate posticipate bimestrali di 5000 euro
ciascuna;
2. contratto di leasing con pagamento di 50 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annuali posticipati di 20 000 euro per la durata di 8 anni, versamento di 27 000 euro a titolo di riscatto fra 8 anni;
Trova la possibilita` piu` conveniente con il criterio del valore attuale al tasso del 9%.
[V1 ¼ 172 166,92; V2 ¼ 174 246,77; conviene il mutuo]
49 Per procurarsi un automezzo si deve sostenere una spesa di 60 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le
Þ
seguenti tre possibilita`:
1. stipula di un mutuo con una banca estinguibile con pagamento di rate posticipate quadrimestrali di 5000 euro
ciascuna per 5 anni;
2. contratto di leasing con pagamento di 15 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 10 000 euro per la durata di 3 anni, versamento di 30 000 euro a titolo di riscatto fra 5 anni;
3. versamento di 17 500 euro subito, di 25 000 euro tra 3 anni e di 35 000 euro tra 5 anni.
Trova la possibilita` piu` conveniente:
a. con il criterio del valore attuale al tasso dell’8,5%;
b. con il criterio del tasso interno di rendimento.
[a. V1 ¼ 60 754,05, V2 ¼ 60 491,59, V3 ¼ 60 349,29; b. TIR1 ¼ 9,04%, TIR2 ¼ 8,86%, TIR3 ¼ 8,72%]
50 Per l’acquisto di un fuoristrada del costo di 40 000 euro vi sono le seguenti tre possibilita`:
Þ
1. stipulare un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate semestrali di 5000 euro ciascuna per 5 anni;
2. stipulare un contratto di leasing, con pagamento di 10 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni
annui posticipati di 6000 euro per la durata di 5 anni, versamento di 9000 euro a titolo di riscatto fra 5 anni;
3. versare 10 000 euro subito, 17 000 euro tra 4 anni e 28 000 euro tra 6 anni.
Trova l’alternativa piu` conveniente:
a. con il criterio del valore attuale al tasso dell’ 8%;
b. con il criterio del tasso interno di rendimento.
[a. V1 ¼ 40 710,28, V2 ¼ 40 081,51, V3 ¼ 40 140,26; b. TIR1 ¼ 8,74%, TIR2 ¼ 8,09%, TIR3 ¼ 8,1%]
51 Per sostituire un macchinario si deve sostenere una spesa di 200 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono
Þ
le seguenti tre possibilita`:
1. stipulare un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate trimestrali di 10 000 euro ciascuna per 7 anni;
2. stipulare un contratto di leasing, con pagamento di 40 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni
annui posticipati di 30 000 euro per la durata di 7 anni, versamento di 35 000 euro a titolo di riscatto fra 7 anni;
3. versare 65 000 euro subito, 100 000 euro tra 4 anni e 130 000 euro tra 7 anni.
Trova l’alternativa piu` conveniente:
a. con il criterio del valore attuale al tasso del 10%;
b. con il criterio del TIR.
[a. V1 ¼ 201 894,40, V2 ¼ 204 013,10, V3 ¼ 200 011,90; b. TIR1 ¼ 10,32%, TIR2 ¼ 10,69%, TIR3 ¼ 10,002%]
142
TEORIA a p. 129
Nota Nelle soluzioni degli esercizi verra` sottinteso che i valori monetari sono espressi in euro o nella stessa unita` indicata nella consegna.
Test
52
Þ
Una variabile aleatoria X ha come distribuzione di probabilita`:
xi
3
6
2
12
pðX ¼ xi Þ
0,2
0,3
0,1
0,4
a. Qual e` la media di X?
A
7,3
B
7,4
C
7,5
D
7,6
C
15,86
D
15,87
b. Qual e` la varianza di X?
A
15,84
B
15,85
c. Qual e` la deviazione standard di X, arrotondata alla seconda cifra decimale?
A
53
Þ
A
54
Þ
A
3,95
B
3,96
C
3,97
D
3,98
Siano X e Y due variabili aleatorie tali che EðXÞ ¼ 4 e Y ¼ 4X þ 5. Qual e` la media di Y?
18
B
21
C
24
D
I dati sono insufficienti per determinarla
Siano X e Y due variabili aleatorie tali che 2 ðXÞ ¼ 4 e Y ¼ 4X þ 5. Qual e` la deviazione standard di Y?
pffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
B 8
C
D I dati sono insufficienti per determinarla
2 2
69
Criterio del valore medio
55
Þ
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Esercizi preliminari
Unita` 3
2. Problemi di scelta in condizione di incertezza
ESERCIZIO GUIDATO
Gli utili annuali UA e UB (in migliaia di euro) generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili
aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilita`. Quale dei due investimenti e`
preferibile, in base al criterio del valore medio?
Utile investimento A
Probabilita`
Utile investimento B
Probabilita`
80
0,2
75
0,25
100
0,3
100
0,20
120
0,4
125
0,40
150
0,1
150
0,15
Calcola il valore medio di UA :
ðUA Þ ¼ 80 0,2 þ 100 0,3 þ 120 0,4 þ 150 0,1 ¼ :::::
Calcola analogamente il valore medio di UB .
Confronta i valori medi di UA e UB .
[ðUA Þ ¼ 109 e ðUB Þ ¼ 111,25; e` preferibile l’investimento B]
56 Gli utili annuali UA e UB (in migliaia di euro) generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili
Þ
aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilita`. Quale dei due investimenti e` preferibile, in base al criterio del valore medio?
Utile investimento A
Probabilita`
Utile investimento B
Probabilita`
65
0,2
80
0,25
90
0,4
100
0,40
110
0,3
115
0,20
120
0,1
130
0,15
[ðUA Þ ¼ 94 e ðUB Þ ¼ 102,5; e` preferibile l’investimento B]
143
Ricerca operativa
Tema B
I costi annuali CA e CB (in migliaia di euro) relativi a due diverse linee produttive di uno stesso bene prodotto
da un’azienda sono due variabili aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilita`.
Quale delle due linee produttive e` preferibile, in base al criterio del valore medio?
57
Þ
Costo linea produttiva A
Probabilita`
Costo linea produttiva B
Probabilita`
25
0,2
35
0,15
45
0,3
40
0,25
50
0,4
55
0,45
70
0,1
60
0,15
[ðCA Þ ¼ 45,5 e ðCB Þ ¼ 49; e` preferibile la linea produttiva A]
I costi annuali CA e CB (in migliaia di euro) relativi a due diverse linee produttive di uno stesso bene prodotto
da un’azienda sono due variabili aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilita`.
Quale delle due linee produttive e` preferibile, in base al criterio del valore medio?
58
Þ
Costo linea produttiva A
Probabilita`
Costo linea produttiva B
Probabilita`
35
0,15
40
0,25
50
0,30
45
0,35
45
0,40
50
0,25
60
0,15
55
0,15
[ðCA Þ ¼ 47,25 e ðCB Þ ¼ 46,5; e` preferibile la linea produttiva B]
59
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Un’impresa puo` avviare la produzione di un certo bene seguendo due processi produttivi:
a. il processo A comporta un costo fisso pari a 500 000 euro e un costo variabile di 450 euro per ogni unita`
del bene;
b. il processo B comporta un costo variabile pari a 600 euro per ogni unita` del bene, cui va aggiunto un ulteriore costo uguale al 5% del quadrato della quantita` prodotta.
L’articolo verra` venduto al prezzo unitario di 1000 euro e si stima che la quantita` venduta avra` la seguente
distribuzione di probabilita`:
Quantita` venduta
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
` conveniente per conseguire l’utile massimo applicando il criterio del
Determina il processo produttivo piu
valore medio.
Sia X la variabile aleatoria che rappresenta la quantita` venduta e siano UA e UB le variabili aleatorie che rappresentano l’utile, rispettivamente se viene seguito il processo A o il processo B.
Esprimi UA e UB in funzione di X:
UA ¼ 1000X ð450X þ ::::::::::Þ ¼ ::::::::::
5
1 2
X2 ¼ 400X X
UB ¼ 1000X 600X þ
100
20
Determina la media di X e quella di X2 :
ðXÞ ¼ 500 0,05 þ 1000 0,1 þ 1500 0,2 þ :::::::::: ¼ ::::::::::
ðX2 Þ ¼ 5002 0,05 þ 10002 0,1 þ 15002 0,2 þ :::::::::: ¼ ::::::::::
Da questi valori puoi immediatamente dedurre i valori medi di UA e UB :
ðUA Þ ¼ 550ðXÞ 500 000 ¼ ::::::::::
1
ðX2 Þ ¼ ::::::::::
ðUB Þ ¼ 400ðXÞ 20
Dal confronto tra i valori medi di UA e UB puoi concludere.
[ðUA Þ ¼ 586 250; ðUB Þ ¼ 571 875; conviene il processo A]
144
Per produrre un dato bene un’impresa puo` scegliere tra due processi produttivi A e B:
Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 4000 euro per entrambi i processi e che la quantita` del bene venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita` e` quella in tabella, determina
quale processo e` piu` conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore
medio.
Quantita` venduta
100
200
300
Probabilita`
0,2
0,5
0,3
[A ¼ 406 000 e B ¼ 344 000, conviene il processo A]
61
Þ
Per produrre un dato bene un’impresa puo` scegliere tra due processi produttivi A e B:
a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 15 000 euro e un costo variabile di 60 euro per ogni unita`
prodotta;
b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 18 000 euro e un costo variabile di 55 euro per ogni unita`
prodotta.
Supposto che la quantita` prodotta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita` e` quella
in tabella, determina quale processo e` piu` conveniente, allo scopo di minimizzare i costi, secondo il criterio del valore medio.
Quantita` prodotta
1000
1500
2000
2500
Probabilita`
0,15
0,4
0,3
0,15
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 140 000 euro e un costo variabile di 1400 euro per ogni
unita` prodotta;
b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 160 000 euro e un costo variabile di 1600 euro per ogni
unita` prodotta.
Unita` 3
60
Þ
[A ¼ 118 500, B ¼ 112 875, conviene il processo B]
62
Þ
Per produrre un dato bene un’impresa puo` scegliere tra due processi produttivi A e B:
a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 25 000 euro e un costo variabile di 125 euro per ogni unita`
prodotta;
b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 30 000 euro e un costo variabile di 120 euro per ogni unita`
prodotta.
Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 250 euro per entrambi i processi e che la quantita` venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita` e` quella in tabella, determina quale processo e` piu` conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore medio.
Quantita` venduta
1000
2000
3000
4000
Probabilita`
0,1
0,3
0,5
0,1
[A ¼ 300 000, B ¼ 308 000, conviene il processo B]
63 Un’azienda vende la merce che produce a 100 euro al kilogrammo. Per la produzione della merce l’azienda
Þ
puo` scegliere tra due alternative A e B:
a. l’alternativa A comporta un costo fisso di 6500 euro e un costo variabile di 30 euro per ogni kilogrammo;
b. l’alternativa B non comporta costi fissi, ma impone un costo di 50 euro per ogni kilogrammo, cui va
aggiunto un ulteriore costo uguale all’1% del quadrato della quantita` prodotta.
La quantita` di merce venduta e` una variabile aleatoria avente la distribuzione di probabilita` indicata nella seguente
tabella:
Quantita` venduta (kg)
100
200
300
400
500
600
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
Trova l’alternativa piu` conveniente ai fini di ottenere il massimo profitto, in base al criterio del valore medio.
[A ¼ 21 150, B ¼ 18 005, conviene l’alternativa A]
145
Ricerca operativa
Tema B
64
Þ
Un’industria puo` produrre un dato bene in base a due sistemi produttivi diversi:
a. nel caso del sistema A i costi fissi ammontano a 300 000 euro, mentre i costi variabili ammontano a 1800
euro per ogni unita` prodotta, cui va aggiunto un ulteriore costo pari al 4% del quadrato della quantita` prodotta;
b. nel caso del sistema B i costi fissi ammontano a 600 000 euro e i costi variabili a 2000 euro per ogni unita`
prodotta.
Ogni unita` del bene viene venduta al prezzo di 4000 euro. La quantita` venduta e` da considerare una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita` e` la seguente:
Quantita` venduta
400
800
1200
1600
2000
Probabilita`
0,15
0,2
0,3
0,25
0,1
Individua il sistema produttivo piu` conveniente al fine di conseguire l’utile massimo, in base al criterio del valore
medio.
[A ¼ 2 231 040; B ¼ 1 760 000; conviene il sistema A]
65
Þ
Per produrre un dato bene un’impresa puo` scegliere tra tre processi produttivi A, B e C:
a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 12 500 euro e un costo variabile di 120 euro per ogni unita`
prodotta;
b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 18 000 euro e un costo variabile di 118 euro per ogni unita`
prodotta;
c. il processo C non comporta costi fissi, ma impone un costo variabile di 117 euro per ogni unita` prodotta.
Supposto che la quantita` del bene prodotta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita`
e` quella in tabella, determina quale processo e` piu` conveniente, allo scopo di minimizzare i costi, secondo il criterio del valore medio.
Unita` prodotte
500
1250
1500
1750
2000
Probabilita`
0,15
0,30
0,25
0,20
0,10
[A ¼ 177 500, B ¼ 180 250, C ¼ 160 875, conviene il processo C]
66
Þ
Per produrre un dato bene un’impresa puo` scegliere fra tre processi produttivi A, B e C:
a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 15 000 euro e un costo variabile di 150 euro per ogni unita`
prodotta;
b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 20 000 euro e un costo variabile di 130 euro per ogni unita`
prodotta;
c. il processo C non comporta costi fissi ma impone un costo variabile di 160 euro per ogni unita` prodotta.
Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 280 euro per tutti e tre i processi e che la quantita` di bene
venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilita` e` quella in tabella, determina quale
processo e` piu` conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore medio.
Unita` prodotte (e vendute)
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,1
0,3
0,3
0,2
0,1
[A ¼ 238 500, B ¼ 272 500, C ¼ 234 000, conviene il processo B]
Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da due diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A e B, dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella:
67
Þ
Utili investimento A
Utili investimento B
Se si verifica l’evento E1
15
18
Se si verifica l’evento E2
25
22
Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilita` p, studia, al variare di p, qual e` l’operazione finanziaria piu`
conveniente, secondo il criterio del valore medio.
1
1
1
`
`
`
e indifferente
Se p > , e preferibile l’investimento B; se p < , e preferibile l’investimento A; se p ¼
2
2
2
146
Utili investimento B
Se si verifica l’evento E1
10
12
Se si verifica l’evento E2
18
15
Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilita` p, studia, al variare di p, qual e` l’operazione finanziaria piu`
conveniente, secondo il criterio del valore medio.
3
3
3
e` indifferente
Se p > , e` preferibile l’investimento B; se p < , e` preferibile l’investimento A; se p ¼
5
5
5
69 Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da tre diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A, B e C, diÞ
pendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella:
Utili investimento A
Utili investimento B
Utili investimento C
Se si verifica l’evento E1
4
3
5
Se si verifica l’evento E2
5
6
2
Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilita` p, studia, al variare di p, qual e` l’operazione finanziaria piu`
conveniente, secondo il criterio del valore medio.
1
1
3
< p < , conviene l’investimento A;
Se 0 < p < , conviene l’investimento B; se
2
2
4
3
se
< p < 1, conviene l’investimento C
4
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Utili investimento A
Unita` 3
Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da due diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A e B, dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella:
68
Þ
I costi (in migliaia di euro) derivanti dalla scelta di tre diverse linee produttive, che indichiamo con A, B e C,
dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella:
70
Þ
Utili investimento A
Utili investimento B
Utili investimento C
Se si verifica l’evento E1
4
3
5
Se si verifica l’evento E2
3
5
2
Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilita` p, studia, al variare di p, quale linea produttiva conviene scegliere, secondo il criterio del valore medio.
1
1
2
< p < , e` preferibile la linea produttiva A;
Se 0 < p < , e` preferibile la linea produttiva C; se
2
2
3
2
`
se
< p < 1 e preferibile la linea produttiva B
3
Criterio della valutazione del rischio
71
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Un’azienda deve decidere quale linea di prodotto sviluppare, fra tre proposte che indichiamo con A, B e C.
In base ad alcune indagini statistiche, si stima che i possibili utili annuali (in miglia di euro) e le rispettive
probabilita` di realizzarsi, siano quelli riportati nella seguente tabella.
Utile annuo previsto
per la linea di prodotto A
Utile annuo previsto
per la linea di prodotto B
Utile annuo previsto
per la linea di prodotto C
Probabilita`
80
75
60
0,2
100
110
150
0,3
120
125
100
0,4
150
140
200
0,1
147
Ricerca operativa
Tema B
Quale linea di prodotto dovrebbe sviluppare l’azienda se e` disposta ad accettare un rischio al massimo uguale al 25% dell’utile medio?
Siano UA , UB , UC gli utili corrispondenti alle tre linee di prodotto A, B, C. Devi anzitutto determinare la media e
la deviazione standard di UA , UB , UC .
Il valore medio e la deviazione standard di UA sono dati da:
ðUA Þ ¼ 80 0,2 þ 100 0,3 þ 120 0,4 þ 150 0,1 ¼ 109
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðUA Þ ¼ 802 0,2 þ 1002 0,3 þ 1202 0,4 þ 1502 0,1 1092 ’ 20,22
Analogamente puoi verificare che il valore medio e la deviazione standard di UB e UC sono i valori riportati nella seguente tabella, che devi completare calcolando, per ciascuna alternativa, la massima soglia di rischio ammessa e
verificando se tale soglia di rischio e` rispettata.
Variabile aleatoria
UA
UB
UC
Media ()
109
112
117
Deviazione standard ()
20,22
20,52
42,20
Soglia di rischio (0,25)
...............
...............
...............
E` soddisfatta la condizione sulla soglia ( 0,25)?
...............
...............
...............
Osserva che uno dei tre processi non rispetta la condizione sulla soglia di rischio, quindi va scartato, e scegli tra
i due restanti quello che garantisce il valore medio maggiore.
Un’azienda deve decidere quale dei tre macchinari A, B, C deve acquistare. In base a delle statistiche precedentemente effettuate, si stima che i costi (in migliaia di euro) per il funzionamento mensile dei tre macchinari e
le rispettive probabilita` che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella.
72
Þ
Costi di produzione A
Costi di produzione B
Costi di produzione C
Probabilita`
8
7
6
0,3
10
9
10
0,5
12
13
14
0,2
Se l’azienda e` disposta ad accettare un rischio uguale al massimo al 25% del valore medio, quale macchinario dovrebbe acquistare?
[A ¼ 9,8, A ¼ 1,4; B ¼ 9,2, B ’ 2,09; C ¼ 9,6, C ¼ 2,8; il macchinario B]
Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare fra tre proposte A, B, C. Si stima che gli utili annuali (in
migliaia di euro) derivanti dallo sviluppo dei progetti e le rispettive probabilita` che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella.
73
Þ
Progetto A
Progetto B
Progetto C
Probabilita`
60
10
50
0,25
100
100
100
0,45
120
220
150
0,3
Se l’azienda e` disposta ad accettare un rischio uguale al massimo al 75% del valore medio, quale progetto dovrebbe
scegliere di sviluppare?
[A ¼ 96, A ’ 22,45; B ¼ 108,5, B ’ 85,28; C ¼ 102,5, C ’ 37; il progetto C]
Il sig. Bianchi deve scegliere fra tre forme di investimento A, B o C. Si stima che gli utili annuali (in migliaia
di euro) derivanti dagli investimenti e le rispettive probabilita` che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella.
74
Þ
Investimento A
Investimento B
Investimento C
Probabilita`
2
1
1
0,25
4
3
2
0,35
8
5
3
0,40
Il sig. Bianchi e` disposto ad accettare un rischio uguale al massimo all’80% del valore medio; quale investimento
dovrebbe scegliere?
[A ¼ 4,1, A ’ 3,92; B ¼ 2,8, B ’ 2,36; C ¼ 2,15, C ’ 0,79; l’investimento C]
148
400
800
1200
1600
2000
Probabilita`
0,1
0,15
0,2
0,3
0,25
Determina quale delle due macchine e` preferibile scegliere, al fine di ottenere l’utile maggiore, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massima uguale al 50% del valore medio.
[a. A ¼ 3920, B ¼ 3630, il macchinario A; b. A ’ 2053,68, B ’ 1796,97, il macchinario B]
Un’impresa puo` avviare la produzione di un certo articolo seguendo tre processi produttivi:
il processo A comporta un costo fisso pari a 150 000 euro e un costo variabile di 450 euro per ogni articolo;
il processo B comporta un costo fisso pari a 30 000 euro e un costo variabile di 550 euro per ogni articolo;
il processo C comporta un costo variabile pari a 600 euro per ogni articolo prodotto, senza costi fissi.
L’articolo verra` venduto al prezzo unitario di 1000 euro e per le vendite si prevede la seguente distribuzione di probabilita`:
76
Þ
Quantita` venduta
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
Determina il processo produttivo piu` conveniente per conseguire l’utile massimo applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 37% del valore medio.
[a. A ¼ 936 250, B ¼ 858 750, C ¼ 790 000, il processo A;
b. A ’ 373 787,6, B ’ 305 826,2, C ’ 271 845,5, il processo B]
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Quantita` venduta
Unita` 3
Per la produzione di un certo oggetto un’impresa puo` utilizzare due macchinari diversi: la macchina A e la
macchina B. Con la macchina A e` necessaria una spesa fissa di 1600 euro e un costo di 2 euro per ogni pezzo prodotto, con la macchina B invece occorre una spesa fissa di 1200 euro e un costo per ogni pezzo prodotto di 2,5 euro. Il prezzo unitario di vendita e` fissato per entrambi i macchinari in 6 euro. Il numero di articoli venduti e` una
variabile casuale alla quale sono associati i valori di probabilita` riportati nella seguente tabella.
75
Þ
Criterio del pessimista
Un’azienda deve decidere quale dei tre macchinari A, B, C deve acquistare. In base a delle statistiche precedentemente effettuate, si stima che i costi (in migliaia di euro) per il funzionamento mensile dei tre macchinari, in
dipendenza di tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 , siano quelli riportati nella seguente tabella.
77
Þ
Costi di produzione A
Costi di produzione B
Costi di produzione C
E1
8
7
6
E2
10
13
10
E3
11
6
12
Quale alternativa va scelta, in base al criterio del pessimista?
[Il macchinario A]
Il sig. Bianchi deve scegliere fra tre forme di investimento A, B o C. Si stima che gli utili annuali (in migliaia
di euro) derivanti dagli investimenti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella.
78
Þ
Investimento A
Investimento B
Investimento C
E1
2
1
1
E2
4
3
2
E3
8
5
3
Quale investimento dovrebbe scegliere il sig. Bianchi, in base al criterio del pessimista?
[L’investimento C]
149
Ricerca operativa
Tema B
79 Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali deÞ
rivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella.
Progetto A
Progetto B
Progetto C
E1
10
60
50
E2
100
40
30
E3
120
190
150
Quale progetto dovrebbe scegliere di sviluppare, in base al criterio del pessimista?
[Il progetto B]
80 Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali deÞ
rivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella.
Progetto A
Progetto B
Progetto C
E1
60
80
k
E2
100
100
100
E3
120
220
150
Determina, al variare di k, con k > 0, il progetto che l’azienda dovrebbe scegliere, in base al criterio del pessimista.
[Se 0 < k < 80, il progetto B; se k > 80, il progetto C; se k ¼ 80, e` indifferente scegliere B o C]
81 Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali deÞ
rivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella.
Progetto A
Progetto B
Progetto C
E1
80
100
70
E2
120
k
130
E3
90
210
120
Determina, al variare di k, con k > 0, il progetto che l’azienda dovrebbe scegliere, in base al criterio del pessimista.
[Se 0 < k < 80, il progetto A; se k > 80, il progetto B; se k ¼ 80, e` indifferente scegliere A o B]
Problemi di scelta in condizione di incertezza con effetti differiti
Vogliamo investire 15 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni:
a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 2 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 3500 euro
fra 3 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 4000 euro fra 5 anni con una probabilita` del 40%;
b. l’operazione B prevede un ricavo di 2000 euro fra 3 anni con una probabilita` del 40%, oppure di 5000 euro
fra 5 anni con una probabilita` del 60%.
Quale operazione e` preferibile, al tasso di valutazione del 6%? [ðVA Þ ¼ 2878,21; ðVB Þ ¼ 2913,47; l’operazione B]
82
Þ
Vogliamo investire 20000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni:
a. l’operazione A prevede un ricavo di 2000 euro fra 3 anni con una probabilita` del 20%, oppure di 3500 euro
fra 4 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 4000 euro fra 6 anni con una probabilita` del 50%;
b. l’operazione B prevede un ricavo di 2500 euro fra 4 anni con una probabilita` del 60%, oppure di 4500 euro
fra 6 anni con una probabilita` del 40%.
Quale operazione e` preferibile, al tasso di valutazione del 5%? [ðVA Þ ¼ 2701,80; ðVB Þ ¼ 2577,24; l’operazione A]
83
Þ
Vogliamo investire 10 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni:
a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 1 anno con una probabilita` del 20%, oppure di 4500 euro
fra 2 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 6000 euro fra 4 anni con una probabilita` del 50%;
b. l’operazione B prevede un ricavo di 3500 euro fra 2 anni con una probabilita` del 60% oppure di 6000 euro fra
4 anni con una probabilita` del 40%.
Quale operazione e` preferibile, al tasso di valutazione del 4%? [ðVA Þ ¼ 4389,49; ðVB Þ ¼ 3993,10; l’operazione A]
84
Þ
150
Esercizi di riepilogo
PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONE DI CERTEZZA CON EFFETTI DIFFERITI
86 Considera un’operazione finanziaria che consiste nell’investire 1500 euro oggi e 500 euro tra un anno e nel
Þ
ricevere 2500 euro tra due anni.
a. Determina il REA dell’operazione, al tasso del 6%.
b. Determina il TIR dell’operazione.
c. Stabilisci se e` preferibile l’operazione data o un’operazione che consiste nell’investire 2000 euro oggi e avere
2400 euro tra due anni, mediante il criterio del TIR.
[a. 253,29; b. 13,5%; c. il TIR della seconda operazione e` 9,54%, dunque e` preferibile la prima]
87 Considera le seguenti due operazioni finanziarie:
Þ
l’operazione A che prevede un costo di 3000 euro oggi e il ricavo di 2900 euro tra 1 anno e di 2100 euro tra 2 anni;
l’operazione B che prevede un costo di 3000 euro oggi e il ricavo di 1200 euro tra 1 anno e di 4000 euro tra 2 anni.
Determina per quali valori del tasso di interesse i l’operazione A risulta preferibile rispetto alla B, in base al criterio
del REA.
2
i>
17
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
RIEPILOGO
Unita` 3
Vogliamo investire 15000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni:
a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 2 anni con una probabilita` del 40%, oppure di 2500 euro
fra 3 anni con una probabilita` del 30%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilita` del 30%;
b. l’operazione B prevede un ricavo dato da una rendita annua posticipata di 600 euro all’anno per 5 anni con
una probabilita` del 40%, oppure una rendita annua posticipata di 800 euro all’anno per 5 anni con una
probabilita` del 60%.
Quale operazione e` preferibile, al tasso di valutazione del 5%? [ðVA Þ ¼ 2911,60; ðVB Þ ¼ 3117,22; l’operazione B]
85
Þ
88 Considera le seguenti due operazioni finanziarie:
Þ
l’operazione A che prevede di investire 4500 euro oggi e di ricavare 3000 tra 1 anno e 2000 euro tra 2 anni;
l’operazione B che prevede di investire 5000 euro oggi e di ricavare 1500 euro tra 1 anno e 4500 euro tra 2 anni.
a. Esprimi una preferenza su queste due operazioni in base ai rispettivi TIR.
b. Calcola per quale valore del tasso di interesse i REA delle due operazioni sono uguali.
[a. TIRA ¼ 7,87%, TIRB ¼ 11,05%, quindi e` preferibile B; b. i ’ 19,26%]
89
Þ
Considera le due operazioni finanziare descritte nella seguente tabella:
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa operazione A
5500
3000
2000
1000
2000
Flusso di cassa operazione B
6000
1500
4000
2000
1000
Determina l’operazione piu` conveniente, in base al criterio del REA, con tasso di valutazione uguale al 5%.
[REAA ¼ 1947,67; REAB ¼ 1250,08, e` preferibile B]
90
Þ
Considera le due operazioni descritte nella seguente tabella.
Scadenza (anni)
0
1
2
3
4
Flusso di cassa operazione A
500
100
150
200
250
Flusso di cassa operazione B
500
750
Determina l’operazione piu` conveniente, in base al criterio del REA, con tasso di valutazione uguale al 5%. Se il tasso di interesse utilizzato fosse del 12% la scelta sarebbe la stessa?
[Con il tasso del 5% si preferisce B, mentre con il tasso del 12% si preferisce A]
151
Ricerca operativa
Tema B
91
Þ
Si intendono investire 150 000 euro e si puo` effettuare la scelta tra due tipologie di investimento:
a. il primo investimento, A, consente di ottenere una rata costante semestrale posticipata di 10 000 euro per 12
anni;
b. il secondo investimento, B, consente di ottenere una rata costante trimestrale posticipata di 5000 euro per 12
anni.
Calcola il REA di ciascuna delle due operazioni, valutato al tasso del 5%, e stabilisci la tipologia di investimento
piu` conveniente.
[REAA ¼ 29 453,82; REAB ¼ 30 554,97, dunque e` preferibile B]
92 Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale C e nel ricevere in cambio tra un anno
Þ
2000 euro e tra due anni 1000 euro. Un’altra operazione, che prevede l’investimento dello stesso capitale e la stessa
durata, ha un TIR uguale all’8%. Determina per quali valori di C la prima operazione e` preferibile alla seconda, in
base al criterio del TIR.
[C < 2709,19]
93
Þ
Una persona vuole investire 40 000 euro e puo` scegliere una delle seguenti proposte:
AÞ ricevere 20 000 euro fra 3 anni, 25 000 euro fra 5 anni e 25 000 euro fra 8 anni;
BÞ ricevere una quota costante annua posticipata di 8000 euro per 8 anni.
Determina, con il criterio del tasso interno di rendimento, la proposta di investimento piu` conveniente.
[TIRA ¼ 11,17%, TIRB ¼ 11,81%, dunque e` preferibile B]
PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONE DI INCERTEZZA
Un’industria vuole avviare la produzione di un nuovo articolo e puo` scegliere fra due progetti alternativi; per
ciascun progetto si stima che, nel primo anno di lancio, la distribuzione di probabilita` degli utili sia quella rappresentata in tabella.
94
Þ
Progetto A
Progetto B
utile (in migliaia di euro)
Probabilita`
utile totale (in migliaia di euro)
Probabilita`
40
0,2
35
0,15
50
0,45
45
0,25
55
0,2
55
0,35
60
0,15
65
0,25
Trova il progetto preferibile, ai fini di ottenere l’utile massimo, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, se si e` disposti ad accettare un rischio massimo uguale al 30% del
valore medio;
c. il criterio del pessimista.
[a. A ¼ 50,5, B ¼ 52, progetto B; b. A ’ 6,3, B ’ 10,05 progetto B; c. progetto A]
Un’impresa, per produrre un certo bene, puo` attivare due processi produttivi. Il processo A e il processo B.
Il processo A richiede un costo fisso di 400 000 euro e un costo di 1900 euro per ogni unita` prodotta. Il processo
B comporta invece costi fissi pari a 700 000 euro e un costo di 2200 euro per ogni unita` prodotta. Il prezzo di
vendita unitario e` di 4000 euro. La quantita` venduta e` una variabile aleatoria avente la seguente distribuzione di
probabilita`:
95
Þ
Quantita` venduta
300
600
900
1200
1500
1800
2100
2400
2700
Probabilita`
0,08
0,15
0,18
0,25
0,16
0,1
0,05
0,02
0,01
Determina il processo produttivo piu` conveniente per conseguire l’utile massimo, applicando il criterio del valor
medio.
[A ¼ 2 069 600, B ¼ 1 416 800, quindi conviene il processo A]
96 Un’azienda deve ordinare una certa materia prima. Il quantitativo ordinato verra` consegnato alcuni mesi doÞ
po l’ordine e il costo dell’ordine verra` saldato al momento della consegna, in base alle quotazioni di mercato della
152
Fornitore A
costo totale
probabilita`
costo totale
probabilita`
50 000
0,15
40 000
0,1
70 000
0,25
70 000
0,35
90 000
0,45
100 000
0,4
100 000
0,15
130 000
0,15
Determina il fornitore presso cui e` preferibile che l’azienda faccia l’ordine, al fine di minimizzare il costo totale, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio del pessimista;
c. il criterio dell’ottimista.
[a.A ¼ 80 500, B ¼ 88 000, il fornitore A; b. il fornitore A; c. il fornitore B]
Per la produzione di un articolo un’impresa puo` scegliere fra tre alternative A, B e C.
L’alternativa A prevede un costo fisso di 250 000 euro e un costo variabile di 10 000 euro per ogni articolo prodotto;
l’alternativa B prevede un costo fisso di 50 000 euro e un costo variabile di 11 000 euro per ogni articolo prodotto;
l’alternativa C prevede un costo variabile di 16 000 euro per ogni articolo prodotto senza spese fisse.
Ciascun articolo e` venduto al prezzo di 20 000 euro. La quantita` di articoli venduta e` una variabile aleatoria avente
la seguente distribuzione di probabilita`:
97
Þ
Quantita` venduta
200
400
600
800
1000
1200
Probabilita`
0,15
0,2
0,25
0,25
0,05
0,1
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Fornitore B
Unita` 3
materia prima in quel momento. L’azienda puo` rivolgersi a due fornitori, A e B; si stima che il costo totale dell’ordine, a seconda del fornitore, abbia la distribuzione di probabilita` in tabella:
Trova l’alternativa piu` conveniente per conseguire il massimo profitto, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 25% del valore medio.
[a. A ¼ 6 050 000, B ¼ 5 620 000, C ¼ 2 520 000, quindi conviene l’alternativa A;
b. A ’ 2 917 190,40, B ’ 2 625 471,40, C ’ 1 166 876,20, nessuna alternativa e` accettabile]
` scegliere tra la rivista A, che
98 Un libraio vuole procurarsi una rivista d’arte da vendere nella sua libreria: puo
Þ
gli costa 7 euro e che puo` rivendere al prezzo di 12 euro, e la rivista B, che gli costa 9 euro e che puo` rivendere al
prezzo di 16 euro a copia. Da precedenti esperienze valuta la vendita di copie con le seguenti distribuzioni di
probabilita`:
Rivista B
Rivista A
numero copie
probabilita`
numero copie
probabilita`
2
0,05
2
0,2
3
0,15
3
0,35
4
0,3
4
0,3
5
0,25
5
0,1
6
0,25
6
0,05
Trova la rivista che conviene scegliere per conseguire l’utile massimo, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 30% del valore medio;
c. il criterio del pessimista.
[a. A ¼ 22,5, B ¼ 24,15, quindi conviene la rivista B; b. A ’ 5,81, B ’ 7,5, conviene la rivista A;
c. conviene la rivista B]
153
Ricerca operativa
Tema B
Per produrre un certo articolo un’impresa puo` scegliere tra due processi produttivi:
nel caso del processo A, il costo fisso e` di 240 000 euro e il costo variabile uguale a 1400 euro per ogni unita`;
nel caso del processo B, il costo fisso e` di 160 000 euro e il costo variabile e` di 1600 euro per ogni unita`.
Il prezzo unitario di vendita e` di 4000 euro per entrambi i processi produttivi e il numero di unita` vendute e` una
variabile casuale avente la seguente distribuzione di probabilita`:
99
Þ
Quantita` venduta
100
200
300
Probabilita`
0,2
0,5
0,3
Determina il processo produttivo piu` conveniente per conseguire l’utile massimo, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 50% del valore medio;
c. il criterio del pessimista.
[a. A ¼ 306 000, B ¼ 344 000, il processo B; b. A ¼ 182 000, B ¼ 168 000, il processo B; c. il processo B]
` scegliere tra due linee di produzione:
100 Per la produzione di un certo bene un’impresa puo
Þ
la linea di produzione A richiede un costo fisso di 60 000 euro e un costo variabile di 900 euro per ogni unita` del
bene prodotta;
la linea di produzione B richiede un costo fisso di 110 000 euro e un costo variabile di 700 euro per ogni unita`
del bene prodotta.
Il prezzo unitario di vendita e` di 2000 euro per entrambe le linee di produzione. La quantita` del bene venduta e`
una variabile casuale avente la seguente distribuzione di probabilita`:
Quantita` venduta
100
200
300
Probabilita`
0,25
0,4
0,35
Determina il processo produttivo piu` conveniente ai fini di conseguire l’utile massimo:
a. in base al criterio del valor medio;
b. in base al criterio della valutazione del rischio, nell’ipotesi che si voglia accettare un rischio massimo uguale
al 50% del valore medio;
c. in base al criterio dell’ottimista.
[a. A ¼171 000, B = 163 000, la linea A; b. A ’ 84 492; 6, B ’ 99854; 9, la linea A; c. la linea B]
Un’industria produce un bene che vende al prezzo unitario di 9000 euro. Per la produzione del bene puo` seguire tre alternative:
l’alternativa A comporta costi fissi di 500 000 euro e costi variabili di 4000 euro per ogni unita` prodotta;
l’alternativa B comporta costi fissi di 350 000 euro e costi variabili di 5000 euro per ogni unita` prodotta;
l’alternativa C comporta costi variabili di 6000 euro per ogni unita` prodotta senza spese fisse.
La quantita` venduta prevista e` una variabile aleatoria la cui distribuzione di probabilita` e` indicata nella seguente
tabella:
101
Þ
Quantita` venduta
100
200
300
400
500
600
Probabilita`
0,1
0,2
0,3
0,25
0,1
0,05
Determina l’alternativa piu` conveniente, ai fini di conseguire l’utile massimo, in base:
a. al criterio del valor medio;
b. al criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 50% del valore medio.
[a. A ¼ 1 100 000, B ¼ 930 000, C ¼ 960 000, l’alternativa A;
b. A ’ 644 204,9, B ’ 515 363,9, C ’ 386 523, l’alternativa C]
102 Un imprenditore decide di vendere ogni unita` di un dato bene che produce al prezzo di 20 euro. Due sono i
Þ
processi produttivi che puo` attivare:
il processo A, che comporta un costo unitario di produzione pari a 6 euro e spese annue fisse pari a 10 000 euro;
il processo B, che comporta un costo unitario di produzione pari a 5 euro e un ulteriore costo variabile pari allo
0,2% del quadrato della quantita` prodotta (senza spese fisse).
154
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,05
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
Determina il processo produttivo piu` conveniente, al fine di conseguire l’utile massimo, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, se si e` disposti ad accettare una soglia di rischio massima uguale al
30% del valore medio;
c. il criterio del pessimista.
[a. A ¼ 17 650, B ¼ 20 900, il processo B; b. A ¼ 9514,59, B ¼ 5185,56, il processo B; c. il processo B]
Esercizi dalle gare di matematica e in inglese
103 Supponi che per la produzione di una determinata merce un’azienda possa utilizzare due differenti tariffe, daÞ
te dai seguenti modelli:
tariffa 1: y ¼ 500x þ 300 000
tariffa 2: y ¼ 0,2x2 þ 700x þ 900 000
L’azienda, attraverso un’accurata indagine di mercato, ha potuto stimare le probabilita` di assorbimento della merce prodotta settimanalmente come indicato nella seguente tabella:
Quantita` (kg)
500
1000
1500
2000
2500
3000
Probabilita`
0,1
0,05
0,15
0,25
0,3
0,15
a. Rappresenta in uno stesso piano cartesiano i grafici delle due tariffe, sapendo che la produzione puo` variare
tra 0 e 3000 kg compresi.
b. Determina la tariffa piu` conveniente in funzione della produzione, senza tener conto delle probabilita` di
assorbimento del mercato.
c. Determina, applicando il criterio del valor medio, quale delle due tariffe risulta piu` conveniente, tenendo
conto delle probabilita` di vendita, e discuti l’attendibilita` dei risultati.
d. Determina poi la convenienza anche applicando il criterio della valutazione del rischio con una soglia di
rischio massima uguale al 25% del valore madio, e il criterio del pessimista.
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
Quantita` venduta
Unita` 3
Si stima che la quantita` venduta in un anno seguira` la distribuzione di probabilita` indicata dalla seguente tabella:
(Esame di Maturita` per ragionieri programmatori, sessione ordinaria 1998)
[b. Per 0 x < 2302,78 conviene la tariffa 1, per 2302,78 < x 3000 conviene la tariffa 2,
per x ¼ 2302,78 le due tariffe sono equivalenti; c. conviene la tariffa 1;
d. conviene la tariffa 2 sia in base al criterio della valutazione del rischio sia in base al criterio del pessimista]
104 Solve math in English Determine the net present value for a project that costs $ 60 000 and would yield cash
Þ
flows of $ 15 000 the first year, $ 20 000 the second year, $ 25 000 the third year and $ 28 000 the fourth year, given
that the guaranteed interest rate in the bank is 8%.
[$ 11 462,31]
105 Solve math in English Determine the internal rate of return for a project that costs $ 12000 and would yield
Þ
cash flows of $ 8000 the first year and $ 7000 the second year.
[16,67%]
155
Ricerca operativa
Tema B
PROVA DI AUTOVERIFICA
Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza
` scegliere fra tre processi produttivi A, B e C che compor1 Per la produzione di una certa merce un’azienda puo
Þ
tano i seguenti costi:
procedimento produttivo A: spese fisse di 1100 euro e costo di 1,20 euro per ogni pezzo prodotto;
processo produttivo B: costo di 1,50 euro, senza spese fisse;
procedimento produttivo C: spese fisse di 1500 euro e costo di produzione pari a 1 euro per ogni pezzo prodotto
Il prezzo di vendita unitario e` di 3 euro.
Il numero di pezzi venduti e` una variabile aleatoria che si suppone avere la seguente distribuzione di probabilita`:
Quantita` venduta
500
1000
1500
2000
2500
Probabilita`
0,05
0,3
0,4
0,2
0,05
Determina il processo produttivo piu` conveniente, ai fini di conseguire il massimo utile, applicando:
a. il criterio del valor medio;
b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massima uguale al 50% del valore medio.
2 Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra quattro alternative A, B, C, D. Per
Þ
ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determina l’alternativa preferibile, utilizzando il criterio del pessimista.
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
E1
90 000
125 000
85 000
101 000
E2
145 000
86 000
128 000
88 000
E3
70 000
98 000
132 000
140 000
3 Per rinnovare un impianto produttivo si deve sostenere una spesa di 80 000 euro. Per effettuare il pagamento
Þ
ci sono le seguenti possibilita`:
stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate bimestrali di 5000 euro ciascuna per 3 anni;
contratto di leasing con pagamento di 15 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 17 500 euro per la durata di 3 anni, versamento di 25 000 euro a titolo di riscatto fra 3 anni.
Trova la possibilita` piu` conveniente:
a. con il criterio dell’attualizzazione al tasso del 7,5%;
b. con il criterio del TIR.
Valutazione
Esercizio
Punteggio
1
2
3
Totale
2,25 þ 2,25 ¼ 4,5
1
2,25 þ 2,25 ¼ 4,5
10
Punteggio ottenuto
Tempo massimo: 1 h
156
3Risposte in fondo al volume

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MHBC / Lescar

Resultate - SSV Plaffeien

FDMF

ORARIO SETTIMANALE SIGNORESSA IN BIT 14.15

Gruppi mamme MEL - Azienda ULSS 2 Feltre

Applicazioni 3

Offerte San Casciano VP

Roma 5 giugno 2014 Alle Strutture Territoriali Legacoop Servizi Ai

Determinazione Dirigenziale n. 163

Commissione del 14 gennaio 2014

Piano degli indicatori 2014