Corrigé DM9 - Dominique Frin

CORRIGÉ
DEVOIR MAISON N° 9
PREMIÈRE ES 3
Exercice 1 : 1. Deux capitaux C1 et C2 sont placés sur un site bancaire.
Soit x le montant du capital C1 et y le montant du capital C2 . Alors, si C1 est placé au taux de 8 % et C2 au taux
de 10 %, on obtient un revenu annuel de 18600 donne 0,08x + 0,1y = 18600; Si C1 est placé au taux de 10 % et
le deux C2 au taux de 8 %, on obtient un revenu annuel de 19200 , donne 0,1x + 0,08y = 19200.
On résout le système
{
{
{
{
L 1 0,08 x0,1 y=18600
10 L 1 0,8 x y=186000
10 L 1
0,8 x y=186000
équivaut à
équivaut à
L 2 0,1 x0,08 y=19200
8 L 2 0,8 x0,64 y=153600
10 L 18 L 2 0,36 y=32400
0,8 x y=186000
0,8 x=18600090000
x=120000
équivaut à
équivaut à
équivaut à
.
y=90000
y=90000
y=90000
{
{
Ainsi, le capital C1 = 120000 et C2 = 90000 .
2. A la Bourse, un jour noir, la valeur moyenne des actions baissent de 10%, tandis que celle de l'or augmente de
4%. Un épargnant qui, à l'ouverture de la séance de ce jour avait investi 20000 , dont une partie en or et l'autre en
actions , subit une perte de 1160 .
Soit x la somme investie en actions et y celle placée sur l'or.
L
0,1 L 1 0,1 x0,1 y=2000
x y=20000
On obtient le système 1 0,1 x1,04 y=1160 équivaut à
équivaut à
L2
L 2 0,1 x0,04 y=1160
L1
x y=20000
x y=20000
x=14000
équivaut à
équivaut à
.
y=6000
y=6000
0,1 L 1 L 2 0,14 y=840
Donc la somme investie en actions es 14000 et celle placée sur l'or est 6000 .
{
{
{
{
{
Exercice 2
Albane et Bastien ont un chien Crapil. Ils souhaitent se peser sur une balance dont l'aiguille ne descend plus endessous de 50 kg. Ils se pèsent alors deux par deux et obtiennent :
Albane et Bastien : 89 kg;
Bastien et Crapil : 75 kg;
Albane et Crapil : 70 kg.
1. Soient a le poids d'Albane, b le poids de Bastien et c le poids de Crapil.
L 1 ab=89
On obtient le système L 2 bc=75 de trois équations à trois inconnues correspondant au problème posé.
L 3 ac=70
L 1 ab=89
L1
ab=89
ab=89
L 1 L 2
ac=14 équivaut à a c=14 équivaut à
2. On résout le système : L 1L 2 ac=14 équivaut à
c=28
L 3 ac=70
L 1L 2 L 3 2c=56
{
{
{
{
{
{
{
a b=89
b=8942
b= 47
a=2814 équivaut à
a= 42 équivaut à a= 42 .
c=28
c= 28
c=28
Albane pèse 42 kg, Bastien pèse 47 kg et le chien Crapil pèse 28 kg.
Exercice 3 : Un atelier de fabrication de palettes produit deux types de palettes :
La palette de type 1 avec 0,05 m³ de bois et 100 clous; la palette de type 2 avec 0,03 m³ de bois et 150 clous.
L'atelier produit au minimum 1600 palettes par jour, et dispose quotidiennement d'un stock de bois de 69 m³ et de
210000 clous.
A la vente, les bénéfices sont les suivants : La palette de type 1: 30 ; La palette de type 2 : 20 .
On désigne par x le nombre de palettes de type 1, et par y le nombre de palettes de type 2.
1. On obtient le système d'inéquations traduisant les contraintes concernant la production de palettes :
x0
x 0
y0
y0
0,05 x0,03 y69 équivaut à 5 x3 y6900 .
100 x150 y210000
x1,5 y2100
x y1600
x y1600
{
{
2. On trace les droites d'équation 5x + 3y = 6900, soit (d1) : y =
x + 1,5y = 2100, soit (d2) : y =
2
x + 1400 ;
3
et x + y = 1600, soit (d3) : y = x + 1600.
5
x + 2300 ;
3
On colorie ensuite les demis plans solutions en recherchant si le point O(0; 0) appartient ou non à la solution.
La zone du plan solution est le triangle ABC colorié sur le graphique.
3. On note B le bénéfice journalier de la vente de la totalité de la production de l'atelier.
On a alors 30x + 20y = B, soit y =
3
B
x+
.
2
20
a) On trace dans le même repère la droite correspondant à un bénéfice de 40000 , soit y =
b) A l'aide du graphique, on
détermine le nombre de palettes de
chaque type à produire chaque jour
pour obtenir un bénéfice maximal :
on cherche la droite parallèle à la
droite d'équation y =
3
x + 2000
2
donnant des valeurs de x et de y
maximales dans la zone solution
de la question 2. C'est celle passant
par le point B intersection de d1 et
d2 , de coordonnées vérifiant le
5
x 2300
y=
3
;
système
2
y=
x1400
3
on trouve
5
2
x + 2300 =
x + 1400,
3
3
soit x = 900, et y = 800.
{
c) Ce bénéfice maximal est égal à
B = 30×900 + 20×800 = 43000 .
d) Il ne reste plus de bois puisque
0,05×900 + 0,03×800 = 69 m³ ;
il ne reste plus de clous puisque
100×900 + 150×800 = 210000.
3
x + 2000.
2

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