correction

Bac blanc mathématiques – Avril 2014- Durée 2h
CORRECTION.
Exercice 1
Partie A :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [
1
; 14 ] par f : x a f (x) = -
2
1
2
x + 2 ln x.
1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe (on donnera les valeurs à 10-2 près) : on utilise
le mode Table de la calculatrice graphique.
x
0,5
1
2
3
4
6
8
10
12
14
f (x)
– 1,64
– 0,5
0,39
0,70
0,77
0,58
0,16
– 0,39
– 1,03
– 1,72
2. a) Déterminer la dérivée f ’ de f.
1
1
1 2
Pour tout x de I, f ' ( x) = − ×1 + 2 × = − + .
2
x
2 x
b) Montrer que f ’(x) est du signe de (- x + 4).
1 2 − 1× x 2 × 2 − x 4 − x + 4
Pour tout x de I, f ' ( x) = − + =
+
=
+
=
2 x 2 × x x × 2 2x 2x
2x
Pour tout x de I, 2x > 0 donc f ’(x) et (– x + 4) ont le même signe.
c) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur I.
Signe de f ’(x) :
f ’(x) = 0 équivaut à – x + 4 = 0 c’est-à-dire à x = 4.
f ’(x) > 0 équivaut à – x + 4 > 0 c’est-à-dire à
x<4
donc, f ’(x) > 0 pour tout x de
1
[ ; 4 [.
2
f ’(x) < 0 équivaut à – x + 4 < 0
4 ; 14 ].
c’est-à-dire à
x>4
donc, f ’(x) < 0 pour tout x de ]
Sens de variations de f :
Compte tenu du signe de f ’(x), la fonction f est croissante sur [
1
; 4 ] et décroissante sur [ 4 ; 14 ]..
2
Tableau de variations de f :
x
1
2
4
f ’(x)
+
Sens de variation de
1
f
f( ) = – 1,64
2
0
14
–
f(4) = 0.78
f(14)
= – 1,72.
3. L'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de la fonction f.
Préciser laquelle convient en justifiant votre réponse.
1
Courbe (C1)
Courbe (C2)
1
2
f( ) = – 1,64
1
2
Sur le graphique relatif à la courbe (C1), on lit : f( ) = – 0.5 donc la courbe (C1) n’est pas la
représentation graphique de f .
Sur le graphique relatif à la courbe (C2), on lit :
1
2
f( ) = –3 donc la courbe (C2) n’est pas la
représentation graphique de f ..
Comme l'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de f , cette courbe est
la courbe (C3).
Partie B :
La société DUGIGA fabrique et vend des micro-ordinateurs.
Son bénéfice B (en dizaines de milliers d'euros) peut s'exprimer en fonction du nombre x (en milliers)
d'ordinateurs vendus selon la relation B (x) = -
1
2
x + 2 ln x.
1. a) Déduire de la partie A qu'il existe un nombre d'ordinateurs vendus pour lequel le bénéfice est
maximal.
B (x) = f(x) . Donc les variations de B sont celles de la fonction f de la partie A.
D’après la question 2 c) de la partie A, f(4) est la valeur maximale de f.
Il en résulte que le bénéfice est maximal lorsque le nombre d’ordinateurs vendus est égal à 4 milliers,
c’est-à-dire à 4000.
a) Calculer ce bénéfice maximal (à l'euro près).
La valeur maximale f(4) de f est environ égale à 0,77259.
Donc, le bénéfice maximal B (4) est environ égal à 0,77259 dizaine de milliers d’euros, c’est-à-dire
7725,9 euros.
Donc, à l’euro près, le bénéfice maximal est 7726 euros.
2. Par lecture graphique, préciser le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour
commencer à gagner de l'argent.
La société commence à gagner de l'argent dès que le bénéfice qu’elle réalise est positif.
2
Par lecture graphique, l’ordonnée f(x) d’un point d’abscisse x de la courbe (C3) est positive, dès que x
est supérieur à environ 1,4.
Donc, le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent
est environ égal à 1,4 milliers d’ordinateurs, c’est-à-dire 1400.
Courbe (C3)
Exercice 2
1. Nombre d’électeurs
Soit N le nombre d’électeurs de la communauté de communes.
85% des électeurs (inscrits), soit 1394, se sont déplacés pour le référendum. Donc,
D’où, N =
85
× N = 1394.
100
1394 × 100
= 1640. Il y a donc 1640 électeurs (votants) dans cette communauté de communes.
85
2. Remplissage du tableau
Quelle démarche adopter pour trouver les résultats attendus ? Le détail des calculs n’est pas demandé.
• Prise en compte des indications fournies :
Il y a autant d’électeurs âgés de 18 à moins de 30 ans que d’électeurs âgés de 66 ans ou plus.
Pour la 2ème et 6ème colonne, le total est donc le même est doit être la moitié de 1394-291-324-289=490, soit
245 pour chaque colonne.
Parmi les électeurs âgés de 18 à moins de 30 ans, 80% souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes.
Ce qui fait 80 × 245 = 196
100
Parmi les électeurs âgés de 30 à moins de 42 ans, il y a cinq fois plus de personnes qui souhaitent
l’implantation que de personnes qui ne se prononcent pas. Il y a 291 personne âgées de de 30 à moins de
42 ans, dont 45 ne souhaitant pas l’implantation, il reste donc 246 personnes. Donc 246 = 41 personnes ne
6
se prononçant pas et 5 × 41 = 205 pour l’implantation.
Parmi les électeurs âgés de 66 ou plus, il y autant de personnes qui souhaitent l’implantation que de
personnes qui ne la souhaitent pas. Il y 245 personnes âgées de 66 ou plus ; dont 47 ne se prononçant pas,
ce qui laisse 245-47=198 électeurs. Donc 198 = 99 électeurs pour l’implantation et 99 électeurs contre
2
l’implantation.
3
Le tableau de contingence est le suivant (les nombres manquant sont obtenus grâce aux 4 indications cidessus et aux totaux par ligne et/ou colonne) :
Age (années)
Réponse
Souhaitent l’implantation
Ne souhaitent pas
l’implantation
Ne se prononcent pas
Total
[18 ;
30[
196
21
[30 ;
42[
205
45
[42 ;
54[
223
77
[54 ;
66[
151
81
[66 ;
96[
99
99
Total
28
245
41
291
24
324
57
289
47
245
197
1394
874
323
3. Pourcentage d’électeurs
Parmi les 874 électeurs qui souhaitent l’implantation, 223 sont âgés de 42 à moins de 54 ans.
223
= 0,2551 à 10-4 près.
874
Parmi les électeurs qui souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes, le pourcentage de ceux qui sont
âgés de 42 à moins de 54 ans est égal, au centième près, à 25,51%.
4. Pourcentage d’électeurs qui ne souhaitent pas l’implantation d’un champ d’éoliennes
Parmi les 1394 électeurs, 323 ne souhaitent pas l’implantation.
323
= 0,2317 à 10-4 près.
1394
Le pourcentage d’électeurs qui ne souhaitent pas l’implantation d’un champ d’éoliennes est égal, au
centième près, à 23,17%.
5. Tranche d’âge
Tranche
d’âge
Pourcentage d’électeurs qui ne se prononcent
pas
[18 ; 30[
28
[30 ; 42[
41
[42 ; 54[
24
[54 ; 66[
57
[66 ; 96[
47
245
291
324
289
245
soit environ 11,4%
soit environ 14,1%
soit environ 7,4%
soit environ 19,7%
soit environ 19,2%
[54 ; 66[ est la tranche d’âge dans laquelle le pourcentage d’électeurs qui ne se prononcent pas pour
l’implantation d’un champ d’éoliennes est le plus élevé.
6.a) Moyenne et écart-type
Soit respectivement x et σ la moyenne et l’écart-type des âges des électeurs qui souhaitent l’implantation
d’un champ d’éoliennes.
(on utilise les deux premières lignes du tableau uniquement).
A l’aide d’une calculatrice, on obtient : x = 45,61 à 10-2 près et σ = 17,48 à 10-2 près.
L’âge moyen de ces électeurs est environ 45,6 ans, l’écart-type de leurs âges est environ 17,5 ans.
6.b) Comparaison des paramètres
Electeurs
l’implantation
souhaitant Electeurs
ne
l’implantation
souhaitant
Moyenne des âges
45,61 ans
57,89 ans
Ecart-type
17,48 ans
18,15 ans
4
des
pas
âges
La comparaison des paramètres relatifs à ces deux groupes d’électeurs peut se traduire ainsi :
• L’âge moyen des électeurs qui souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes est inférieur à l’âge
moyen de ceux qui ne la souhaitent pas.
• La dispersion des âges autour de leur moyenne pour les électeurs qui souhaitent l’implantation est peu
différente de celle des électeurs qui ne la souhaitent pas.
5

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