P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka - Hu

P2.2 Elektrodynamik
WS 16/17
Prof. Jan Plefka
Präsenzübung 14
P11 - Magnetische Wellen in elektrischen Leitern
In der Vorlesung haben wir für elektromagnetische Felder in homogenen, isotropen und ladungsfreien (ρ = 0) elektrische Leiter, charakterisiert durch die elektrische Leitfähigkeit σ und die
~ hergeleitet, dass dort die folMaterialkonstanten µr , r sowie die ohm’sche Beziehung ~j = σ E,
genden Maxwellgleichungen gelten
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ = −B
~˙
∇
~˙
~ ×B
~ = µr µ0 σ E
~+ 1 E
∇
2
u
√
mit u = c/n mit n = r µr . Hieraus leitet man durch Rotationsbildung die Telegraphengleichung
ab, deren monochromatische Lösungen mit Kreisfrequenz ω nehmen die Form an
~ = E~0 ei(~k̃·~x−ω t)
E
~ = B~0 ei(~k̃·~x−ω t)
B
mit ~k̃ = (k0 + i k1 )q̂ und Ausbreitungsrichtungseinheitsvektor q̂ sowie
r
r
ω
ω
n2
σ 2
n2
σ 2
2
2
k0 = ñ ,
k1 = γ .
ñ =
[1 + 1 + (
) ], γ =
[−1 + 1 + (
)]
c
c
2
0 r ω
2
0 r ω
Zeigen Sie, dass
~ ⊥B
~ ⊥ q̂ ist, indem sie die Gültigkeit
a) auch diese Welle im Leiter transversal ist, d.h. dass E
der Maxwellgleichungen fordern.
~ und B
~ nun nicht mehr phasengleich sondern um die Phase arctan(γ/ñ) verschoben sind.
b) E
P12 - Vektorpotential einer bewegten Punktladung
In der Vorlesung haben wir mithilfe der Green’schen Funktion der Wellengleichung das Vektorpotential für eine allgemeine Quelle j µ (~x,t) = (c ρ(~x,t), ~j(~x,t)) hergeleitet:
Z
µ
0 0
µ0
x)
µ
4 0 j (ct ,~
A (~x,t) =
dx
δ (c(t − t0 ) − |~x − ~x0 |)
0
4π
|~x − ~x |
Wir wollen diesen Ausdruck nun auf eine beliebig bewegte Punktladung q mit der Trajektorie
~
R(t)
spezialisieren. D.h. wir haben es nun mit der Ladungsdichte und dem Strom
~
ρ(~x,t) = q δ (3) (~x − R(t))
,
~˙ δ (3) (~x − R(t))
~
~j(~x,t) = q R(t)
,
zu tun.
1
a) Zeigen Sie, dass das die Potentiale dann
q
φ(~x,t) =
4π0
Z
~ x,t) = q µ0
A(~
4π
Z
dt0
~ 0 )|/c − t + t0 )
δ(|~x − R(t
~ 0 )|
|~x − R(t
0
~0
~˙ 0 ) δ(|~x − R(t )|/c − t + t )
dt0 R(t
~ 0 )|
|~x − R(t
lauten.
b) Wir wollen nun eine sich kreisförmig bewegende Punktladung betrachte mit der Bahnkurve:
~
R(t)
= R cos(ω t)e~x + R sin(ω t)e~y
Wie lauten die Potentiale am Ursprung ~x = 0 als Funktion der Zeit?
2

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