年 番号 1 関数 f(x) = ex + e¡x があり,g(x) = f0 (x),h(x) = xf(x) とおく.a を実数として,点 3 氏名 原点を O とする xy 平面上に,F(5; 0) と F0 (¡5; 0) とを焦点とし ,直線 ` : y = kx と直線 P(a; f(a)) における曲線 y = f(x) の法線を ` とし,点 Q(a; g(a)) における曲線 y = g(x) `0 : y = ¡kx とを漸近線とする双曲線 C がある.C 上に点 P をとるとき,以下の問いに答え の法線を m とする.` と m との交点を R とするとき,以下の問いに答えよ. よ.ただし,k は正の定数とする. (1) R の座標を,a を用いて表せ. (1) 双曲線 C の方程式を求めよ. (2) PR2 ¡ QR2 の値を求めよ. (2) 点 P を通り,`; `0 に平行な直線をそれぞれ m; m0 とする.4 つの直線 `; `0 ; m; m0 で囲ま (3) 2 つの曲線 y = g(x),y = h(x) および直線 x = 1 によって囲まれた図形を,x 軸の周りに 1 れた平行四辺形の面積を S とするとき,S は C 上の点 P のとり方によらずに一定であることを 回転させてできる立体の体積 V を求めよ. 示せ. ( 福井大学 2016 ) (3) k = 2 のとき,PF ¢ PF0 = 2OP2 をみたす C 上の点 P の座標を求めよ.ただし,P は第 1 象限 にあるものとする. ( 福井大学 2016 ) 2 四面体 OABC において,辺 OA,OB,OC のどの 2 辺も互いに直交し,長さがすべて 1 である. 3 点 O,B,C を通る平面上に点 D を OD = 1; 0± < ÎBOD < 90± ; 0± < ÎCOD < 90± 4 複素数 z は,以下に述べる規則 ‘; ’ にしたがって,1 秒ごとに値が変化していくものと ¼ ¼ する.ただし,i を虚数単位として,® = cos + i sin とおき,n = 0; 1; 2; Ý につい 3 3 て,時刻 n 秒での z の値を zn とおく. ‘ z0 = 1 とする. となるようにとり,ÎBOD = µ,cos µ = x とおく.線分 AB を (x + 2) : x に外分する点を ¡! ¡ ! E,線分 AC を x : (1 ¡ x) に内分する点を F,三角形 DEF の重心を G とする.OA = a , ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! OB = b ,OC = c とおくとき,以下の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OD を,x; b ; c を用いて表せ.また,OG を,x; a ; b ; c を用いて表せ. (2) 点 G が 3 点 O,B,C を通る平面上にあるような x の値を求めよ. ¡! ¡! (3) OG と DF の内積の最小値と,そのときの x の値を求めよ. ’ z の値は,時刻 n + 1 秒において,確率 1 1 で zn+1 = ®zn に,確率 で zn+1 = ®¡1 zn 2 2 に変化する. m = 1; 2; 3; Ý について,z2m = ®2 となる確率を pm ,z2m = 1 となる確率を qm とおくと き,以下の問いに答えよ. (1) z2m = ¡1 となる確率を求めよ. (2) qm を,pm を用いて表せ. ( 福井大学 2016 ) (3) pm を求めよ. (4) zn = 1 となる確率を求めよ. ( 福井大学 2016 ) 5 8 以下の問いに答えよ. a を正の定数とし ,f(x) = (x + a) log x とする.曲線 C : y = f(x) 上の点 P(a; f(a)) に おける接線 ` が原点を通るとき,以下の問いに答えよ. (1) 方程式 65x + 31y = 1 の整数解をすべて求めよ. (2) 65x + 31y = 2016 を満たす正の整数の組 (x; y) を求めよ. (1) a の値と,接線 ` の方程式を求めよ. (3) 2016 以上の整数 m は,正の整数 x; y を用いて m = 65x + 31y と表せることを示せ. (2) 曲線 C と x 軸,および接線 ` とで囲まれた図形を,y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体 積 V を求めよ. ( 福井大学 2016 ) (3) 定数 k が k = 6 1 を満たすとき,関数 g(x) = (x + k) log x は極値を持たないことを示せ. a ( 福井大学 2016 ) ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! 一直線上にない 3 点 O,A,B があり,OA = a ,OB = b とする.また,OC = b ¡ a , ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! OD = a + b ,OE = a ¡ b を満たすように点 C,D,E をとる.0 < x < 1 を満たす実数 x に対し,線分 OA を x : (1 ¡ x) に内分する点を P,直線 PC と直線 OB との交点を Q,直線 QD と直線 AB との交点を R とするとき,以下の問いに答えよ. ¡! (1) OQ を,x; ¡! (2) OR を,x; ¡ ! b を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! a ; b を用いて表せ. (3) 直線 RE と直線 OA との交点が P と一致するとき,x の値を求めよ. (4) x を (3) で求めた値とするとき,4PQR の重心と 4OAB の重心は一致することを証明せよ. ( 福井大学 2016 ) 9 f(x) = x3 ,g(x) = x3 ¡ 4 とし,曲線 C1 : y = f(x) と曲線 C2 : y = g(x) の両方に接する 直線を ` とする.このとき,以下の問いに答えよ. (1) 直線 ` の方程式を求めよ. 7 表の出る確率が r,裏の出る確率が 1 ¡ r であるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表 の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が 2 になったときにコイン投げを終了する.ちょうど 2n 回で終了する確率を pn とし,2n 回以下で終了する確率を qn とする.ただし,n は正の整数 (2) ` と C1 との接点を P,` と y 軸との交点を Q,` と C1 とが P 以外で交わる点を R とする.線 分 PQ と線分 QR の長さの比 PQ : QR を求めよ. (3) C2 と ` とで囲まれた部分の面積 S を求めよ. ( 福井大学 2016 ) とする.このとき,以下の問いに答えよ. (1) pn を求めよ. (2) qn を求めよ. 1 (3) r = のとき,qn = 0:999 となる最小の n を求めよ.必要であれば ,log10 2 = 0:3010, 4 log10 3 = 0:4771 として計算せよ. ( 福井大学 2016 )
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