年 番号 1 関数 f(x) = ex + e¡x があり，g(x) = f0 (x)，h(x) = xf(x) とおく．a を実数として，点 3 氏名 原点を O とする xy 平面上に，F(5; 0) と F0 (¡5; 0) とを焦点とし ，直線 ` : y = kx と直線 P(a; f(a)) における曲線 y = f(x) の法線を ` とし，点 Q(a; g(a)) における曲線 y = g(x) `0 : y = ¡kx とを漸近線とする双曲線 C がある．C 上に点 P をとるとき，以下の問いに答え の法線を m とする．` と m との交点を R とするとき，以下の問いに答えよ． よ．ただし，k は正の定数とする． (1) R の座標を，a を用いて表せ． (1) 双曲線 C の方程式を求めよ． (2) PR2 ¡ QR2 の値を求めよ． (2) 点 P を通り，`; `0 に平行な直線をそれぞれ m; m0 とする．4 つの直線 `; `0 ; m; m0 で囲ま (3) 2 つの曲線 y = g(x)，y = h(x) および直線 x = 1 によって囲まれた図形を，x 軸の周りに 1 れた平行四辺形の面積を S とするとき，S は C 上の点 P のとり方によらずに一定であることを 回転させてできる立体の体積 V を求めよ． 示せ． （ 福井大学 2016 ） (3) k = 2 のとき，PF ¢ PF0 = 2OP2 をみたす C 上の点 P の座標を求めよ．ただし，P は第 1 象限 にあるものとする． （ 福井大学 2016 ） 2 四面体 OABC において，辺 OA，OB，OC のどの 2 辺も互いに直交し，長さがすべて 1 である． 3 点 O，B，C を通る平面上に点 D を OD = 1; 0± < ÎBOD < 90± ; 0± < ÎCOD < 90± 4 複素数 z は，以下に述べる規則 ‘; ’ にしたがって，1 秒ごとに値が変化していくものと ¼ ¼ する．ただし，i を虚数単位として，® = cos + i sin とおき，n = 0; 1; 2; Ý につい 3 3 て，時刻 n 秒での z の値を zn とおく． ‘ z0 = 1 とする． となるようにとり，ÎBOD = µ，cos µ = x とおく．線分 AB を (x + 2) : x に外分する点を ¡! ¡ ! E，線分 AC を x : (1 ¡ x) に内分する点を F，三角形 DEF の重心を G とする．OA = a ， ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! OB = b ，OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ． ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OD を，x; b ; c を用いて表せ．また，OG を，x; a ; b ; c を用いて表せ． (2) 点 G が 3 点 O，B，C を通る平面上にあるような x の値を求めよ． ¡! ¡! (3) OG と DF の内積の最小値と，そのときの x の値を求めよ． ’ z の値は，時刻 n + 1 秒において，確率 1 1 で zn+1 = ®zn に，確率 で zn+1 = ®¡1 zn 2 2 に変化する． m = 1; 2; 3; Ý について，z2m = ®2 となる確率を pm ，z2m = 1 となる確率を qm とおくと き，以下の問いに答えよ． (1) z2m = ¡1 となる確率を求めよ． (2) qm を，pm を用いて表せ． （ 福井大学 2016 ） (3) pm を求めよ． (4) zn = 1 となる確率を求めよ． （ 福井大学 2016 ） 5 8 以下の問いに答えよ． a を正の定数とし ，f(x) = (x + a) log x とする．曲線 C : y = f(x) 上の点 P(a; f(a)) に おける接線 ` が原点を通るとき，以下の問いに答えよ． (1) 方程式 65x + 31y = 1 の整数解をすべて求めよ． (2) 65x + 31y = 2016 を満たす正の整数の組 (x; y) を求めよ． (1) a の値と，接線 ` の方程式を求めよ． (3) 2016 以上の整数 m は，正の整数 x; y を用いて m = 65x + 31y と表せることを示せ． (2) 曲線 C と x 軸，および接線 ` とで囲まれた図形を，y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体 積 V を求めよ． （ 福井大学 2016 ） (3) 定数 k が k = 6 1 を満たすとき，関数 g(x) = (x + k) log x は極値を持たないことを示せ． a （ 福井大学 2016 ） ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! 一直線上にない 3 点 O，A，B があり，OA = a ，OB = b とする．また，OC = b ¡ a ， ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! OD = a + b ，OE = a ¡ b を満たすように点 C，D，E をとる．0 < x < 1 を満たす実数 x に対し，線分 OA を x : (1 ¡ x) に内分する点を P，直線 PC と直線 OB との交点を Q，直線 QD と直線 AB との交点を R とするとき，以下の問いに答えよ． ¡! (1) OQ を，x; ¡! (2) OR を，x; ¡ ! b を用いて表せ． ¡ ! ¡ ! a ; b を用いて表せ． (3) 直線 RE と直線 OA との交点が P と一致するとき，x の値を求めよ． (4) x を (3) で求めた値とするとき，4PQR の重心と 4OAB の重心は一致することを証明せよ． （ 福井大学 2016 ） 9 f(x) = x3 ，g(x) = x3 ¡ 4 とし，曲線 C1 : y = f(x) と曲線 C2 : y = g(x) の両方に接する 直線を ` とする．このとき，以下の問いに答えよ． (1) 直線 ` の方程式を求めよ． 7 表の出る確率が r，裏の出る確率が 1 ¡ r であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表 の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が 2 になったときにコイン投げを終了する．ちょうど 2n 回で終了する確率を pn とし，2n 回以下で終了する確率を qn とする．ただし，n は正の整数 (2) ` と C1 との接点を P，` と y 軸との交点を Q，` と C1 とが P 以外で交わる点を R とする．線 分 PQ と線分 QR の長さの比 PQ : QR を求めよ． (3) C2 と ` とで囲まれた部分の面積 S を求めよ． （ 福井大学 2016 ） とする．このとき，以下の問いに答えよ． (1) pn を求めよ． (2) qn を求めよ． 1 (3) r = のとき，qn = 0:999 となる最小の n を求めよ．必要であれば ，log10 2 = 0:3010， 4 log10 3 = 0:4771 として計算せよ． （ 福井大学 2016 ）
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