11. Übungsblatt zu Physik A2

11. Übungsblatt zu Physik A2
WS 2016/17
Prof. Dr. Thomas Weis
Abgabe in der Vorlesung
Ausgabe: Do, 12.01.17
Abgabe: Do, 19.01.17
Aufgabe 42: Phasenraum eines harmonischen Oszillators
Eine Masse m ist an einer Feder mit Federkonstante k befestigt. Die Situation ist in Abbildung 1
dargestellt. Die potentielle Energie der Masse am Ort x ist durch das skalare Potential
1
U (x) = kx2
2
(1)
gegeben. Vernachlässigen in den folgenden Rechnungen Reibungseekte!
a)
Stellen Sie nach dem zweiten Newtonschen Axiom die Dierentiagleichung auf, die das vorgestellte,
mechanische System beschreibt.
b)
Lösen Sie die in a) aufgestellte Dierentialgleichung mit dem Ansatz x(t) = A cos(ωt) für den
Startwert x(t = 0) = x0 .
c)
Bestimmen sie den Impuls der Masse p(t) zum Zeitpunkt t.
d)
Zeigen Sie, dass Gleichung
p(x(t))
pmax
2
+
x(t)
x0
(2)
=1
gilt.
e)
Gleichung (2) beschreibt die Trajektorie der Masse im Phasenraum. Zeichnen Sie das zugehörige
Phasenraumdiagramm. Tragen Sie dafür p(x(t)) gegen x(t) für eine volle Schwingungsperiode
T = 2π/ω des Oszillators auf. Markieren Sie auÿerdem
~z(t) =
x(t)
p(x(t))
(3)
für die Zeiten t = 0, t = T /4, t = T /2 und t = 3T /4 im Phasenraumdiagramm.
f)
Die Fläche einer Ellipse A kann aus der Länge ihrer groÿen Halbachse a und der Länge ihrer kleinen
Halbachse b zu A = πab berechnet werden. Wie hängt die Fläche der Phasenraumtrajektorie mit
der in der Bewegung der Masse gespeicherten, mechanischen Energie E zusammen?
g)
Wie verändert sich die im Oszillator gespeicherte Energie E und seine Kreisfrequenz ω , wenn Sie
den Startwert x0 vergröÿern oder verkleinern?
Abbildung 1: Federoszillator
Aufgabe 43: Seilwelle
Betrachten Sie eine Welle auf einem Seil. Es handelt sich um eine reine Transversalwelle. Das bedeutet,
dass die Auslenkung des Seils senkrecht zur Ausbreitungsrichtung x der Welle steht. Die Auslenkung A
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der Welle hängt dann vom Ort x und von der Zeit t ab und lautet A(x, t) = 0.50 cm· sin x · 5.6
m +t· s .
a)
Bestimmen Sie für diese Welle zunächst die Wellenlänge λ, die Amplitude A0 und die Ausbreitungsrichtung.
b)
Zeichnen Sie die Welle A(x) zum Zeitpunkt t0 = 0 und t1 = 1 s. Beachten Sie, dass die Winkel in
Bogenmaÿ gegeben sind.
c)
Berechnen Sie die Frequenz f und die Periodendauer T der Welle (siehe Folie S.340).
d)
Geben Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit (=Phasengeschwindigkeit) der Welle an.
Aufgabe 44: Erdumlaufbahn
Die Erdumlaufbahn ist eine Ellipse mit einer groÿen Halbachse a und einer kleinen Halbachse b =
149979081 km. Der sonnennächste Punkte A auf der Erdumlaufbahn ist rA = 147500000 km und der
sonnenfernste Punkt B auf der Erdumlaufbahn ist rB = 152500000 km von der Sonne entfernt. Die
Situation ist in Abbildung 2 dargestellt.
a)
Zeichnen Sie die elliptische Erdumlaufbahn aus Abbildung 2 ab und markieren Sie darin a, b, rA
und rB . Berechnen Sie auÿerdem die Länge der groÿen Halbachse a.
b)
Berechnen Sie die Fläche der elliptischen Umlaufbahn der Erde. Es gilt
A = πOP
(4)
für die Fläche einer Ellipse mit groÿer Halbachse O und kleiner Halbachse P .
c)
Verbindet man das Zentrum der Erdumlaufbahn mit dem Zentrum der Erde über einen Vektor ~r,
überstreicht dieser Vektor die Fläche dA, wenn sich die Erde ein ininitesimales Wegelement ds
auf ihrer Bahn entlang bewegt (Abbildung 2). Berechnen sie die zeitliche Änderung dieser Fläche
~ dA dA
= .
dt dt
(5)
Weitere Hinweise nden Sie im Skript von diesem Donnerstag (S. 296-299). Ein Jahr hat 365 Tage!
d)
Berechnen Sie die Geschwindigkeiten vA und vB der Erde im sonnennächsten Punkt A und sonnenfernsten Punkt B aud der elliptischen Umlaufbahn. Bedienen Sie sich dafür der Drehimpulserhaltung!
Abbildung 2: Umlaufbahn der Erde. Im linken Bild ist die Erde im sonnennächsten Punkt A und im sonnenfernsten Punkt B ihrer Umlaufbahn abgebildet. Rechts ist eine schematische Zeichnung der
~ dargestellt, die in Aufgabe 3 c) benötigt wird.
innitesimalen Fläche dA

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