Einführung in die Theoretische Astrophysik Vorlesung an der Julius-Maximilians-Universität Würzburg Sommersemester 2014 Prof. Dr. Friedrich Röpke ITPA Lehrstuhl für Astronomie Emil-Fischer-Str. 31 Büro 31.01.017 Tel. 84230 Email [email protected] Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Übungen ► Übungsleiter: Sebastian Ohlmann ► Übungsblätter und Folien zur Vorlesung unter www.astro.uni-wuerzburg.de/~sohlmann/teaching username: tastro password: wue14 ► Ziel: Bearbeitung von 50% der Aufgaben (Teilaufgaben a, b usw zählen ganz) ► keine Abgabe von Lösungen, gelöste Aufgaben werden in der Übung angekreuzt und müssen vorgeführt werden können ► für Note: mündliche Prüfung am Ende des Semesters Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Literaturempfehlungen Lecture notes @ MPA: ► www.mpa-garching.mpg.de → University Lectures and Seminars W. Hillebrandt, E. Müller: Einführung in die Theoretische Astrophysik, www.mpa-garching.mpg.de/lectures/TASTRO_SS08 ► ...and more ► M. Bartelmann: Theoretical Astrophysics: An Introduction, Wiley-VCH, 2012 Advanced reading: ► T. Padmanabhan: An Invitation to Astrophysics, World Scientific, Singapore ► T. Padmanabhan: Theoretical Astrophysics (Vol. I – III), Cambridge University Press ► R. Kippenhahn & A. Weigert: Stellar Structure and Evolution, Springer Berlin ► A. Weiss, W. Hillebrandt, H.-C. Thomas, & H. Ritter: Cox & Giuli's Principles of Stellar Structure, Cambridge Scientific Publishers (CSP) 2004 ► Neb Duric: Advanced Astrophysics, Cambridge University Press Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Isaac Newton (1643 – 1727) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Johannes Kepler (1571 – 1630) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Laplace, Runge, Lenz Pierre-Simon Laplace Carl Runge Wilhelm Lenz (1749 – 1827) (1856 – 1927) (1888 – 1957) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Suche nach extrasolaren Planeten Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Suche nach extrasolaren Planeten Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Suche nach extrasolaren Planeten Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Dreikörperproblem Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) Henri Poincaré (1854 – 1912) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Dreikörperproblem Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Lagrangepunkte Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Eingeschränktes Dreikörperproblem Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Trojanische Asteroiden Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Rudolf Clausius (1822 – 1888) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Virialtheorem und Galaxiencluster Coma-Cluster Fritz Zwicky (1898 – 1974) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 •Statistische Physik ► Zustandsdichte ► Kanonische Verteilung ► Zustandssumme ► Großkanonische Zustandssumme Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Verbindung mit Thermodynamik ► Boltzmanns Entropieformel ► Zustandssumme und (Helmholtz-) Freie Energie ► Großkanonische Zustandssumme und Thermodynamisches Potential Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Adiabatische Exponenten Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Stellare Konvektion (c) Jerôme Ballot Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Karl Schwarzschild (1873 – 1916) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Entartung Beispiel: Teilchen in kubischer Box: V = L3 nicht-relativitische kinetische Energie: ► klassisch: ► quantenmechanisch: → jeder beliebige Wert möglich → Energie ist quantisiert! Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Quantenstatistik ► Entartung → ein Energielevel kann zu verschiedenen Quantenzuständen gehören ► Unschärfeprinzip → Teilchen ununterscheidbar → total symmetrische/antisymmetrische Wellenfunktion Bosonen/Fermionen ► System in Kontakt mit Wärmebad → Wahrscheinlichkeit für Mikrozustand mit Energie Er: ► ideale Systeme: Satz von Besetzungszahlen der Quantenzustände {n j} mit Energien {εj}: Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Quantenstatistik ► (Quanten-)Zustandssumme: ► Großkanonische Zustandssumme: ► Zustandsgleichung: i 1 1 X h ¯(¹¡²) © = ¡P V = ¡ ln ZG = ¡ ln 1 + ae ¯ ¯a ² 8 > Fermi-Dirac <1 daraus: <N> und <E>, a = ¡1 Bose-Einstein mittl. Anzahl von Teilchen n(ε) > : 0 Maxwell-Boltzmann mit Energie ε Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideale Quantengase +1 Fermi-Dirac a= ̶ 1 Bose-Einstein 0 Maxwell-Boltzmann Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Kontinuumslimit ► Einzelteilchen: Wellenzahlvektoren ► Impulse ► Anzahl der Mikrozustände zwischen und ist gegeben durch ► (nur positiver Oktant trägt bei) Korrespondenz im Phasenraum X (¢ ¢ ¢ ) ¡! ² 4¼ (2¼~)3 Z Mikrozustände (¢ ¢ ¢ )p2 dp Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas Grenzfälle: ► ► Relativität p/(mc) Entartung η ¿1 nicht-relativistischer Grenzfall (NR) (i) À1 extrem-relativistischer Grenzfall (ER) (ii) -̶ 1 nicht entartet, klass. Grenzfall (ND) (a) +1 vollständig entartet (b) (D) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas ► Energie der Teilchen (mit Ruhemassenenergie) ► Teilchendichte ► Energiedichte Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas ► Fermi-Integral: Fn (´) ´ Z1 0 xn dx exp(x ¡ ´) + 1 Entartungsparameter: ´ = ¯¹ = ¹ kB T (i) NR nNR = eNR = PNR = 2¼gs 3=2 (2mk T ) F1=2 (´) B h3 2¼gs 3=2 (2mk T ) F3=2 (´) B h3 2 eNR 3 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas (ia) NR, ND nND NR = eND NR = ND PNR = gs 3=2 ´ (2mk T ) e B 3 h 3 ND n kB T 2 NR nND NR kB T (ib) NR, D Fermi-Energie nD NR = eD NR = ND PNR = 4¼gs 3=2 3=2 (2mk T ) ´ B 3h3 µ ¶2=3 3h2 3 5=3 (nND NR ) 10m 4¼gs 2 D e 3 NR h2 "F ´ ¹ = 2m µ 3nD NR 4¼gs ¶2=3 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Entartung ► D Grenzfall n(E) = ´ ! 1 entspricht T ! 0 1 F exp( E¡" kB T ) + 1 ) ( 1 lim n(E) = T !0 0 (E < "F ) (E > "F ) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Fermitemperaturen und -energien Beispiel TF [K] εF [eV] Elektronen in Metallen 105 <10 Neutronen in Kernen 5.3 × 1011 × [(A-Z)/A]2/3 46 [(A-Z)/A]2/3 × 106 Protonen in Kernen 5.3 × 1011 (Z/A)2/3 46 (Z/A)2/3 × 106 Elektronen in 3 × 109 3 × 105 Weißen Zwergsternen Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas: Grenzfälle Grenzfall allgemein ND D NR P = 2/3 e P = nkBT P ∝ (YF ρ)5/3 ER P = 1/3 e P = nkBT P ∝ (YF ρ)4/3 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Ideales Fermigas Cox & Giuli (1968/2004) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Weiße Zwergsterne (WDs) Sirius A und B Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Historische Bemerkung zu WDs ► 1834: Bessel (1784 – 1846) entdeckt Pekuliarbewegung von Sirius → interpretiert als Binärsystem mit unsichtbarem Begleitstern ► 1862: A. G. Clark findet Begleiter (Sirius B) nahe des vorhergesagten Orts; aus Orbitaleigenschaften: M~1M¯ , L~1/400 L¯ ► 1915: Adams bestimmt Spektraltyp (F) of Sirius B: T ~ 8500K, R ~ R¯/55 ► <ρ> ~ 61000 g/cm3 ► 1924: A.S. Eddington formuliert Paradoxon: hohe Dichte nur möglich bei vollständiger Ionisierung, d.h. hohen Temperaturen → was passiert, wenn Stern kühlt und nicht länger ionisiert ist? ► 1925: Adams mißt gravitative Rotverschiebung von Sirius B (v R ~ 20 km/s); bestätigt Vorhersagen der ART und hoher mittl. Dichte von Sirius B ► 1926: R.H. Fowler löst Eddington's Paradoxon: vollständige Ionisierung nicht nur bei hoher T sondern auch möglich bei T → 0, wenn Druck hoch genug (Druckionisierung); wegenPauli-Prinzip, F-D Statistik: Entartung unterstützt Stern gegen Kollaps Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Planck-Spektrum Max Planck (1858 – 1947) CMB Leistungsspektrum (COBE Satellit) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Wiensches Verschiebungsgesetz Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Astrophysikalische Zustandsgleichung (gezeigt: Anteil, der den Druck dominiert!) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Zust.Gl. unter extremen Bedingungen (gezeigt ist Komposition der Materie!) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Zustandsgleichung Neutronenstern Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Astrophysikalische Gleichgewichte ► 1. HS Thd im GGW: d ► ³"´ n µ ¶ 1 = ¡P d + T ds n bei Gasgemischen: Abhängigkeit von Komposition d ³"´ n µ ¶ X 1 = ¡P d + T ds + ¹i dYi n i Häufigkeit der Spezies i: Yi ´ ni n chemisches Potential: ¡"¢ @ n @" ¹i ´ = @Yi ni Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Astrophysikalische Gleichgewichte ► System thermisch isoliert (δQ = 0), V=const → dn = 0, infinitesimal dicht am GGW: ds = 0 (in erster Ordnung, nach 2. HS Thd) )d ► ³"´ n =0 mit 1. HS Thd folgt daraus die Gleichgewichtsrelation X ¹i dYi = 0 i ► Beispiel: Reaktion Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Sternaufbaugleichungen ► 1. Sternaufbaugleichung: dm(r) = 4¼r2 ½(r) dr ► 2. Sternaufbaugleichung (hydrostatisches Gleichgewicht): dP (r) Gm(r) =¡ ½(r) dr r2 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Polytropen ► Polytrope: 1 P (r) = K½(r)1+ n ► Lane-Emden-Gleichung: 1 d x2 dx µ ¶ d# x2 = ¡#n dx Friedrich Röpke 1 d x2 dx µ ¶ d# x2 = ¡#n dx #(x) Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Lösungen der Lane-Emden-Gleichung n = 0,1,2, 3, 4, 5 x Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Historische Bemerkung zu WDs (II) ► 1926: R.H. Fowler löst Eddington's Paradoxon: vollständige Ionisierung nicht nur bei hoher T, sondern auch T→ 0, wenn P hoch (Druckionisierung); Pauli-Prinzip → FD-Statistik: Entartung stabilisiert Stern gegen Kollaps ► 1931: S. Chandrasekhar verallgemeinert Fowlers Modell unter Berücksichtigung der SRT → relativistische Entartung → Massengrenze für WDs ► Beginn der Kontroverse mit Eddington, der behauptet, dass relativist. Entartung nicht existiert und es demzufolge keine Massengrenze gibt Chandrasekhar sucht Unterstützung von bekannten Physikern (u.a. Bohr und Pauli), aber diese äußern sich nicht öffentlich ► 1939: Chandrasekhar beendet den Disput mit Eddington und schreibt sein Buch "An Introduction to the Study of Stellar Structure". Die Kontroverse endet mit Eddingtons Tod. 1983 erhält Chandrasekhar den Nobelpreis. Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Lane-Emden-Funktionen ► S. Chandrasekhar: “An Introduction to the Study of Stellar Structure” (1939, 1958) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Chandrasekhar-Masse ► ideales Fermigas, Fall iib) ER, D: ! nD ER = ½ = D PER = P = KCh = 4 kB T 3 3 ¼gs ´ 3 hc A ½ ne mB ´ ne ¹e mB ! ne = Z ¹e mB µ ¶1=3 ¡ D ¢4=3 1 3 hc nER 4 4¼gs µ ¶1=3 µ ¶4=3 1 3 1 hc ½4=3 (gs = 2) 4 8¼ ¹e mB µ ¶1=3 µ ¶4=3 3 hc 1 ¼ 8 ¹e mB Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Nukleare Brennphasen in Sternen Brennphase Brenn- Asche Zündtemperatur [109 K] Energiefreisetzung [1018 erg/g] Kühlung durch He 0.0004 ~0.0001 γ He, 14N 0.003 5—8 γ stoff D-Brennen 2 H 3 H-Brennen 1 H 4 He-Brennen 4 He 12 C, 16O, 22Ne 0.2 0.7 γ C-Brennen 12 C 20 Ne, 24Mg, 16O, 23Na 0.8 0.5 ν Ne-Brennen 20 Ne 16 O, 1.5 0.1 ν O-Brennen 16 O 28 Si, 32S 2 0.5 ν Si-Brennen 28 Si 56 Ni, A ¼ 56 3.5 0.1—0.3 ν Photodisintegration 56 Ni n, 4He, p 6—10 ̶- 8 ν 24 Mg,28Si,... Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Struktur entwickelter massereicher Sterne Friedrich Röpke 12 Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 C ignition curve ► from Gasques et al., Phys. Rev. C 72, 025806 (2005) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Homologe Entwicklung von Sternen ½ / P ® T ¡± ► Zustandsgleichung ► homologe Entwicklung impliziert d ln T 4® ¡ 3 = d ln ½ 3± ► ideales Gas ® = 1; ► ±=1 ) d ln T 1 = d ln ½ 3 entartetes Gas ®2 · ¸ 3 3 ; ; 5 4 ±¼0 ) d ln T <0 d ln ½ Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Entwicklungspfade η= 0 C-burning He-burning H-burning ► M1>M2>M3 α= 3/4 (Abbildung aus Kippenhahn & Weigert) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Sternentwicklung Iben (1991) ApJ Suppl 76, 55 non-degenerate degenerate Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Leonhard Euler (1707—1783) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Die Eulergleichungen ► Massenerhaltung @½ = ¡r ¢ (½~v ) @t ► Impulsbilanz @½~v = ¡r ¢ (½~v ~v ) ¡ rP + ½f~ @t ► Energiebilanz @½e tot = ¡r ¢ (½e tot~v ) ¡ r ¢ (P~v ) + ½~v ¢ f~ @t Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Aufsteilung von Schallwellen ρ x Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Navier, Stokes Claude-Louis Navier (1785—1836) George Gabriel Stokes (1818—1903) Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Navier-Stokes-Gleichung ► Impulsbilanz @½~v = ¡r ¢ (½~v ~v ) ¡ r ¢ ¦ + ½f~ @t ► Drucktensor Reynoldszahl: ¦ = PI + ¿ ► ½v 2 =L ½vL Re = = ¹v=L2 ¹ (viskoser) Spannungstensor ½ ¾ £ ¤ 1 ¿ = 2¹ (r~v ) + (r~v )T ¡ (r~v )I 3 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Die Eulergleichungen ► Massenerhaltung @½ = ¡r ¢ (½~v ) @t ► Impulsbilanz @½~v = ¡r ¢ (½~v ~v ) ¡ rP + ½f~ @t ► Energiebilanz @½e tot = ¡r ¢ (½e tot~v ) ¡ r ¢ (P~v ) + ½~v ¢ f~ @t Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Rankine-Hugoniot-Sprungbedingungen ► kontinuierlicher Massenfluss [½u] ´ ½2 u2 ¡ ½1 u1 = 0 ► kontinuierlicher Impulsfluss [½u 2 + P ] = 0 ► kontinuierlicher Energiefluss [(½e tot + P )u] = 0 mit 1 "~i = etot ¡ u2 (spezifische innere Energie) 2 1 P1 P2 (u1 ¡ u2 )(u1 + u2 ) + "~i;1 ¡ "~i;2 + ¡ =0 2 ½1 ½2 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Stoßwellen ► Massenfluss über Diskontinuität: M = ½1 u 1 = ½2 u 2 ► M = 0 Kontaktdiskontinuität ► M 6= 0 hydrodynamische Schockwelle (eigentlich: Verdichtungswelle oder Verdünnungswelle) spezifisches Volumen ¿ ´ Rayleigh-Linie M2 = ¡ 1 ½ P1 ¡ P2 ¿1 ¡ ¿2 Friedrich Röpke Theoretische Astrophysik Sommersemester 2014 Stosswellen P Hugoniot-Adiabate H1 (P; ¿ ) P2 Rayleigh-Linie R1 (P; ¿ ) P1 ¿2 ¿1 ¿ = 1=½ Friedrich Röpke
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